高中數(shù)學(xué)必修五數(shù)列單元綜合測試(含答案)

數(shù)列單元測試題

命題人：張曉光

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的。）

CC

1.已知等差數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為s“，且滿意m一3=1,則數(shù)列｛&J的公差是（）

O乙

1

A-B.1C.2D.3

乙

2.設(shè)等比數(shù)列｛品｝的前n項(xiàng)和為S,若8a+備=0,則下列式子中數(shù)值不能確定的是（）

,劉5__S、1S?+1

A.—B.-C.—D.-7r~

L>3Hn

3.設(shè)數(shù)列｛<3』滿意<31=0,<3.+4+1=2,則桀011的值為（）

A.2B.1C.0D.-2

4.已知數(shù)列｛a“｝滿意log3a“+l=log3a〃+i（〃6N*）且a2+a1+a=9,則1081（4+&+加的

值是（）

11

A.-5B.一~C.5D.—

55

A7〃-l-45a

5.已知兩個(gè)等差數(shù)列｛4｝和伉｝的前〃項(xiàng)和分別為4和氏，且言=8止，則使得華為正

Bn〃+3b?

偶數(shù)時(shí)，"的值可以是（）

A.1B.2C.5D.3或11

1o-LO

6.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的公比且出，&成等差數(shù)列，則2詈的值

24十注

為（）

A*B—C號(hào)D.號(hào)或

乙乙乙乙

乖一］

2

7.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，若上<一1,且它們的前〃項(xiàng)和S有最大值，則使得S>0的

510

最大值〃為（）

A.11B.19C.20D.21

8.等比數(shù)列｛4｝中，句=512,公比q=-用口〃表示它的前〃項(xiàng)之積：口產(chǎn)為?a...a”

乙2

則n〃中最大的是（）

A.n11B.nio?c.口?D.口8

9.已知等差數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S”若句=1,S=%,a,“=2011,則勿=（）

A.1004B.1005C.1006D.1007

10.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為&=6〃-4,數(shù)列伉｝的通項(xiàng)公式為吹=2",則在數(shù)列｛4｝

的前100項(xiàng)中與數(shù)列｛b,,｝中相同的項(xiàng)有（）

A.50項(xiàng)B.34項(xiàng)C.6項(xiàng)D.5項(xiàng)

二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上)

11.已知數(shù)列｛8,｝滿意：a=l——,國=2,記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)之積為則/ki=

n+1d/7

12.秋末冬初，流感盛行，荊門市某醫(yī)院近30天每天入院治療流感的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列

｛品｝,已知a=1,.a2=2,且a,+2—4=1+(―1"(〃￡N*),則該醫(yī)院30天入院治療

流感的人數(shù)共有人.

1O-L-Z?

13.已知等比數(shù)列回｝中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a,3a3,2&成等差數(shù)列，則‘工』=.

24十且8

14.在如圖的表格中，每格填上一個(gè)數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)

15.數(shù)列｛&,｝中，a=1,4、4+1是方程(2〃+1)彳+；=0的兩個(gè)根，則數(shù)列｛6〃｝的前

bn

〃項(xiàng)和S=.

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S產(chǎn)pR—2n+q(p,必，

(1)求q的值；

(2)若&=8,數(shù)列伉｝滿意a〃=41og2九,求數(shù)列｛若的前n項(xiàng)和.

17.(本小題滿分12分)等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，&=3,前〃項(xiàng)和為￡,｛&｝為等

比數(shù)列，慶=1,且。2$=64,&S=960.

⑴求為與b“；

(2)求---b］的值.

>2)

18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列｛6〃｝前〃項(xiàng)和為S,且以=1,

O

(1)求。2,6,A的值；

(2)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑶求―+&+4T---卜一的值.

19.(本小題滿分12分)已知f(x)=勿'(加為常數(shù),R>0且加W1).設(shè)/1(&),￡(&)，…，本小…(n

6N)是首項(xiàng)為溪公比為加的等比數(shù)列.

(1)求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

(2)若b產(chǎn)a“f(a),且數(shù)歹U｛4｝的前n項(xiàng)和為S,當(dāng)勿=2時(shí)，求S;

(3)若c〃=f(4)lgy(a〃)，問是否存在如使得數(shù)列｛4中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？若

存在，求出力的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

1

sin：（x+2n）?sinj（x+3無）在區(qū)間（0,

20.(本小題滿分13分)將函數(shù)Hx)4-

’1乙

+8)內(nèi)的全部最值點(diǎn)按從小到大的依次排成數(shù)列｛4｝(〃￡N*).

(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)4=2%,數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為北,求北的表達(dá)式.

21.(本小題滿分14分)數(shù)歹(]｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,且S=〃(〃+l)(〃￡N*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛6』滿意：&尸備+*+備+…+$,求數(shù)列｛6』的通項(xiàng)公式;

(3)令&,=亍(〃￡"),求數(shù)歹U｛c,,｝的前n項(xiàng)和T,..

數(shù)列單元測試題

命題人：張曉光

一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的。)

cc

1.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s”且滿意號(hào)一5=1,則數(shù)列｛a｝的公差是()

O乙

,1

A,2B.1C.2D.3

［答案］C［解析］設(shè)｛案的公差為1則S=g+"丁d,

???｛當(dāng)是首項(xiàng)為句，公差為J的等差數(shù)列，*—怖=1,.?<=1,."=2.

H乙J/N

2.設(shè)等比數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和為S,若8az+a5=0,則下列式子中數(shù)值不能確定的是()

.&cW_a〃+1nSn+1

A.—B.-C.-D.-7T

@3、33，n

a

［答案］D［解析］等比數(shù)列｛a,｝滿意8a2+芋=0,BPa（8+^）=0,：.q=~2,：.—=

2@3

.1-—

2=4,9_2,|=一嚴(yán)==曰=2，都是確定的數(shù)值，但生=F」的

an5a1—q1—Sn1—q

1-。

值隨〃的改變而改變，故選D.

3.設(shè)數(shù)列｛4｝滿意<31-0,a.+a〃+i=2,則骸11的值為（）

A.2B.1C.0D.-2

［答案］C［解析］a,-0,4+&+1=2,...a=2,<93=0,國=2,8=0,…，即32k-

i=0,a2k=2,<32OII-0.

4.已知數(shù)列｛a“｝滿意log3a〃+l=log3a〃+i（77eN*）且&+&+&=9,則log「（%+&+加的

值是()

11

A.-5B.—TC.5D.~

55

［答案］A［分析］依據(jù)數(shù)列滿意log34+l=log3a〃+i(〃￡N*).由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，得

出af與a,的關(guān)系，推斷數(shù)列的類型，再結(jié)合a?+&+桀=9得出a5+&+&的值.

［解析］由log3a+l=log總+i(〃6N*)得，a〃+i=3a“，.?.數(shù)列｛a｝是公比等于3的等

比數(shù)列，

?.&;+禺+<3y—(桀+<31H-&;)X3—■3,?.log^(2+3,1<9g)=-1Og：;3——5.

O

A7/74455

5.已知兩個(gè)等差數(shù)列⑷和⑥的前〃項(xiàng)和分別為4和a，且/E,則使彳厥為正

偶數(shù)時(shí)，〃的值可以是()

A.1B.2C.5D.3或11

.a.2aai+a2i14〃+38

［答案］D［解析］?.?｛4｝與｛4｝為等差數(shù)列,li

**bn2bnb\~\~bin-\Bln-\2A+2

當(dāng)’將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)知選》

1o-Lo

6.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列｛&｝的公比oNl,且及,國成等差數(shù)歹1則弊的值

為（）

A-小B號(hào)乖一1D號(hào)或

A.之

2乙

乖T

2

［答案］c［解析］：&,5a3,國成等差數(shù)列，??.<33=42+a”

乙

;｛4｝是公比為g的等比數(shù)列，.,.aM=aiq+ai,1=0,,.??〉（），...］

乙

.a+&1乖一1

,故選C.

&+13sQ2

7.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，若」1<—1,且它們的前刀項(xiàng)和S有最大值，則使得S>0的

510

最大值〃為（）

A.11B.19C.20D.21

［答案］B［解析］???S"有最大值，.?.&》（）,d<Q,

40

?/、?1/?204+/、/

??己11〈0,510/09??4310?<311\0,??$0==10（dio+du）<0,

乙

-

又$9=0~"J">—=19<a,0>0,故選B.

8.等比數(shù)列｛a｝中，句=512,公比<?=一：,用口“表示它的前〃項(xiàng)之積：口〃=a?a2....a”

乙

則n〃中最大的是（）

c.n9

A.n］iB.n10D.n8

n??—1n、nn-l—zzJ+19/7

解析：n.=@g??a=/*4+2+TE=29〃———=（-1）——-——2——-——

a乙乙乙

???當(dāng)

〃=9時(shí)，n”最大.故選c

9.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”若為=1,5=為，4=2011,則/=（）

A.1004B.1005C.1006D.1007

|21=1

3=1

［答案］C［解析］由條件知3M竿二+4"

d=2

,.,&,=&+（%一1）d=l+2（加-1）=2加-1=2011,.,.勿=1006,故選C.

10.已知數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為a〃=6〃-4,數(shù)列已〃｝的通項(xiàng)公式為吠=2",則在數(shù)列｛4｝

的前100項(xiàng)中與數(shù)列｛4｝中相同的項(xiàng)有（）

A.50項(xiàng)B.34項(xiàng)C.6項(xiàng)D.5項(xiàng)

［答案］D［解析］a、=2=b、,桀=8=&,<93=14,a=20,<35—26,%=32=加，又

加=2'°=1024>國00,A=512,令6〃-4=512,貝lj〃=86,/.a?f,—by,4=256,令6〃-4=

256,VneZ,無解，方=128,令6/7-4=128,貝Un=22,:.a?尸匕,&=64=6〃-4

無解，綜上知,數(shù)列｛a｝的前100項(xiàng)中與的.｝相同的項(xiàng)有5項(xiàng).

二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上)

11.已知數(shù)列｛8,｝滿意：a=l——,國=2,記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)之積為則/ki=

n+1d/7

［答案］2

［解析］句=，==｛品｝的周期為

2,&=1-5乙=5乙&=1—2-19<3i1—(—1)=2,3,

且aa2a3=-1,?/2011=(<3i(a2a：),a2tHi=(-1)fi'°?a.\=2.

12.秋末冬初，流感盛行，荊門市某醫(yī)院近30天每天入院治療流感的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列

｛a〃｝,已知a=l,&=2,且a〃+2—4=1+(—1)"(〃GN*),則該醫(yī)院30天入院治療

流感的人數(shù)共有人.

［答案］255

［解析］a?+2—an—\+(—1)"(〃RN*),為奇數(shù)時(shí)，an+2—an,〃為偶數(shù)時(shí)，an

+2—a=2,即數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)為常數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

故這30天入院治療流感人數(shù)共有15+(15X2+15^14X2)=255人.

乙

1O-L-Z?

13.已知等比數(shù)列回｝中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且&,溟,2H2成等差數(shù)列，則4^4=_______.

24十且8

［答案］3—2小

［解析］成等差數(shù)列，，&=a+2&,設(shè)數(shù)列｛a｝公比為q,則a4=&

乙

+2a?,?.?&W0,2q-l=0,Aq=~l±\［2,'：a?>0,；皿=陋一1,

.?.中J/=3-2也

Q\十己8

14.在如圖的表格中，每格填上一個(gè)數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)

［解析］由橫行成等差數(shù)列知，6下邊為3,從縱列成等比數(shù)列與全部公比相等知,

公比q=2,...6=2X2=4由橫行等差知c下邊為一^—=5,故c=5X2=10,由縱列公比

乙

為2知a=lX2'3=8,，a+6+c=22.

15.數(shù)列｛品｝中，a=1,4、a1是方程*—(2〃+l)x+；=0的兩個(gè)根，則數(shù)列｛6〃｝的前

bn

〃項(xiàng)和Sn=.

［答案］Er［解析］由題意得4+&+尸2〃+1,又...a一片—人—5+1)］,&=i

品=〃，又4?a什］=工,***bn=I,.Sn=b\4-/%+.■■+bn=1-—I.

bnn〃十1〃十1

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題滿分12分)(2011?甘肅天水期末)已知等差數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S“=pK—

2〃+Q(R心，

(1)求q的值；

(2)若&=8,數(shù)列伉｝滿意a?=41og2Z>n,求數(shù)列｛者的前n項(xiàng)和.

［解析］⑴當(dāng)〃=1時(shí)，ai=S=p—2+q,

2

當(dāng)2時(shí)，an—Sn—S?~\—pn—2z?+q—pin—1)+2(n-1)—q=2pn—p—2

?「｛a”｝是等差數(shù)列，:.p—2+q=2p—q—2,/.<7=0.

(2)：&3=8,a=6夕一夕一2,.,.6夕一°一2=8,.,.0=2,

??4/74,

又4=41og2,得4=2'i,故出｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

所以數(shù)列9J的前〃項(xiàng)和T產(chǎn)廠：=2f.

17.(本小題滿分12分)等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，a=3,前〃項(xiàng)和為S,｛4｝為等

比數(shù)列，一=1,且-5=64,&$=960.

⑴求a“與臉

(2)求---b］的值.

解:⑴設(shè)｛a｝的公差為的｛差的公比為4,則d為正數(shù)，4=3+(〃-l)d,bn=(T，

Sit>2=6+(7q=64

依題意有

s&=9+3d爐=960

d=2

解得(舍去),

々=8

nl

故a=3+2(〃-1)=2〃+1,bn=8~.

(2)由(1)知S=3+5H-----F(2〃+1)=〃(〃+2),所以---不

+,+???+—

3X5n〃+2

_1(1__1113________2〃+3

=于+5一行廠衣獷廠2〃+1〃+2°

18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列的｝前〃項(xiàng)和為S,且。=1,b?+l=^S?.

(1)求Z%,bi,4的值；

(2)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑶求—+4+/%+…+十的值.

［解析］⑴&=；S=((6i+㈤=：,(4+慶+6)=黑

OOOOOuOO乙I

bn+\=aS“①

⑵1]

A,=25,-1②

①一②解4+1—b—~b,：.b\—~b,

nonn+on

11⑷

vz%=-,[gJ'T（心2）

in=\

b?—<1

5_n-2啟2

1⑷

(3)壇",僅…%是首項(xiàng)為g,公比的等比數(shù)歹ij,

3：1-

。2+A+優(yōu)+…+從產(chǎn)

1-

34

二［（式一］.

19.(本小題滿分12分)已知f(x)=/"(加為常數(shù)，勿>0且加W1).設(shè)C(a。，f(9)，…"(小…(A

WN)是首項(xiàng)為勿2,公比為勿的等比數(shù)列.

(1)求證：數(shù)列｛劣｝是等差數(shù)列；

(2)若6〃=a/(a),且數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”當(dāng)勿=2時(shí)，求S；

(3)若c〃=f(a.)lgf(a〃)，問是否存在如使得數(shù)列｛或中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？若

存在，求出勿的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

［解析］⑴由題意F(a,)=著?為"一|,即儂尸/;

??a〃=z?+1,??(3?+i-a“=1,

數(shù)列｛a｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

(2)由題意—=&/■(由=(7?+1)?*,

當(dāng)勿=2時(shí)，b?=(A+1)?2n+1,

，S=2?22+3?2：'+4?2'H-----H5+1)?2n+I@

①式兩端同乘以2得，

2s=2?23+3?2,+4?25H------\-n?2,,+1+(〃+1)?2n+2@

②一①并整理得，

S,=-2?22-23-24-25--------2n+I+(z?+l)?2^2

=-22-(22+23+244-------2.1)+(〃+1)?2"+2

2

=—22—J21—2"-+(〃+1)?2"+2

1—2

=-22+22(l-2n)+(/?+l)?2"+2=2"2?n.

(3)由題意Cn=f(a)?lg/(a?)=nf+'?lgnf+'=(n+1)?/nn+'?Ig/n,

要使c〃<C"+i對(duì)一切〃金N*成立，

即(〃+1)?加"+'?1g欣(〃+2)?m+1?lg/n,對(duì)一切〃￡N*成立，

①當(dāng)加〉1時(shí)，lgzzz＞0,所以〃+1〈加(〃+2)對(duì)一，切〃GN*恒成立；

I1

②當(dāng)0＜欣1時(shí)，IgzzKO,所以［而＞〃對(duì)一切〃eN*成立，

11I乙

因?yàn)?1=1—三的最小值為*所以?！答?/p>

刀+2刀+233

2

綜上，當(dāng)0〈水可或於1時(shí)，數(shù)列｛&｝中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng).

O

20.(本小題滿分13分)將函數(shù)f{x)=sin)x?sin1(x+2n)?sin)(x+3n)在區(qū)間(0,

AA乙

+8)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的依次排成數(shù)列｛2｝(〃￡N*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)4=2%“數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為北，求北的表達(dá)式.

［解析］⑴化簡f(x)=sin；x?sin；(x+2n)?sin］(x+3兀)

JLJ￡乙

/、

XXX1

=sinTcos7?—cos-=一二sinx

44124

其極值點(diǎn)為x=kN+—(Aez),

乙

JI

它在(0,+8