2023-2024學年安徽省淮南一中等校高一（下）期末數學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年安徽省淮南一中等校高一（下）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復數z=i2?2i在復平面內對應的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,?2)，b=(2,?3)，c=(2,x)，若xa?c與A.?3 B.?2 C.?1 D.03.2024年全國夏季游泳錦標賽將在合肥舉辦，某高中共有男學生1300人，女學生1100人，男教師150人，女教師100人申請做志愿者，現(xiàn)按人數比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取部分人，若抽取的人中男性有290人，則抽取的總人數為(

)A.480 B.500 C.520 D.5304.已知在梯形ABCD中，AB/?/CD，DC=2BA，AC∩BD=O，若AO=xAB+yADA.x=23，y=13 B.x=12，y=12 C.5.從?2，?1，1，3這4個數中隨機取出2個不同的數，則這2個數的乘積不超過1的概率為(

)A.34 B.23 C.126.在如圖所示的電路中，三個開關A，B，C閉合與否相互獨立，且在某一時刻A，B，C閉合的概率分別為12，13，14，則此時燈亮的概率為A.34

B.58

C.12

7.已知正四棱錐V?ABCD的底面邊長為2，體積為423，E為棱VC的中點，則直線VA與BE所成角的余弦值為A.33 B.24 C.8.在水平桌面上放置一個上、下底面直徑分別為2，4，高為2的敞口圓臺形容器，現(xiàn)往其內部注水至水面高度為1，然后將上底面加蓋，使容器完全密封，再把此容器倒扣在水平桌面上，記此時的水面高度為?，則(

)A.?3+3?2+3?=374 B.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某學校舉辦了一次數學競賽，共有200名參賽者，對所有參賽者的成績進行統(tǒng)計，所有成績都在[50,100)內，得到如圖所示的頻率分布直方圖(每組均為左閉右開區(qū)間)，則(

)A.a=0.04 B.所有參賽者成績的極差小于50

C.估計所有參賽者成績的中位數為70.5 D.成績在區(qū)間[60,70)內的人數為6410.設z1，z2∈C，則下列結論中正確的是A.若z1z2=0，則z12+z22=0 B.若z1?=11.在三棱錐S?PQR中，若A，B，C分別為棱SR，SP，SQ的中點，平面PQA、平面QRB、平面RPC相交于O點，則(

)A.△ABC的面積△RPQ的面積=14 B.三棱錐三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若向量a=(?1,2)，b=(3,4)，則a在b上的投影向量的坐標為______．13.已知一個高為3的圓錐的底面圓周和頂點都在一個半徑為2的球的球面上，設圓錐和球的體積分別為V1，V2，則V1V14.已知在△ABC中，∠B=135°，∠C=15°，AC=2，E為線段BA的延長線上一點，∠EAC的平分線所在的直線與直線BC交于點D，則AD=______．

參考數據：sin15°=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△AOB中，設向量a=OA，b=OB，且|a|=2|b|=2，∠AOB=2π3．

(Ⅰ)求a?(a16.(本小題15分)

某校高一(1)班、(2)班的學生人數分別為40，42，在某次測驗中，記(1)班所有學生的成績分別為x1，x2，…，x40，平均成績?yōu)閤?，方差為sx2，已知i=140xi=3200，i=140xi2=260000．

(Ⅰ)求x?，sx2；

(Ⅱ)記(2)17.(本小題15分)

某公司擬通過摸球抽獎的方式對員工發(fā)放生日紅包.先在一個不透明的袋子中裝入7個標有一定金額的球(除標注的金額不同外，其余均相同)，其中標注的金額為100元、200元、300元的球分別有2個、2個、3個.參與的員工每次從袋中隨機摸出1個球，記錄球上標注的金額后放回袋中，連續(xù)摸n次.規(guī)定：某員工摸出的球上所標注的金額之和為其所獲得的生日紅包的總金額．

(Ⅰ)當n=1時，求甲員工所獲得的生日紅包總金額不低于200元的概率；

(Ⅱ)當n=2時，設事件A=“甲員工獲得的生日紅包總金額不超過400元”，事件B=“甲員工獲得的生日紅包總金額不低于300元”，試判斷事件A，B是否相互獨立，并說明理由．18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinB+sinC=sin(A?B)．

(Ⅰ)求A．

(Ⅱ)如圖，D為△ABC的外接圓O的BMC上一動點(含端點)，c=2b=2．

(ⅰ)求AD的取值范圍；

(ⅱ)當AD=AB且點B，D不重合時，求BD19.(本小題17分)

如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，點E在線段AC上，且E為△BCD的重心，點F在棱AA1上，且A1F=13FA，點G在棱DD1上，且DG=13GD1．

(

答案解析1.C

【解析】解：z=i2?2i=?1?2i，

故z在復平面內對應的點為(?1,?2)，該點位于第三象限．

故選：2.B

【解析】解：根據題意，向量a=(1,?2)，b=(2,?3)，c=(2,x)，

則xa?c=(x?2,?3x)，

因為xa?c與b3.D

【解析】解：因為1300：1100：150：100=26：22：3：2，

所以抽取的總人數為290×26+22+3+226+3=530．

故選：4.A

【解析】解：由題可得：AOCO=ABDC=12，

所以AO=13AC=5.B

【解析】解：從?2，?1，1，3這4個數中隨機取出2個不同的數，共有6種不同的情況，

滿足乘積不超過1的為(?2,1)，(?2,3)，(?1,1)，(?1,3)，共有4種不同的情況，

故所求的概率為46=23．

6.D

【解析】解：因為三個開關A，B，C閉合與否相互獨立，且在某一時刻A，B，C閉合的概率分別為12，13，14，

則燈亮的概率為1?(1?14)×(1?7.A

【解析】解：設正四棱錐V?ABCD的高為?，

則13×22×?=423，?=2，

又因為正四棱錐V?ABCD的底面邊長為2，即AB=2，

所以AC=22，

所以VA=2，

設正四棱錐V?ABCD的底面中心為O，連接OB，OE，則OE//VA，

所以直線VA與BE所成的角為∠OEB，

由題可得OE=1，OB=2，EB=8.C

【解析】解：將圓臺補成一個圓錐，則大圓錐的高為4，小圓錐的高為2，

因為容器正放時水面高度為1，

所以容器正放時水面所在圓面的半徑為1+22=32，

所以注入水的體積為π3×[(32)2+22+32×2]×1=37π12，

當把此容器倒扣在水平桌面上時，設水面所在圓面的半徑為r，

則1r=29.BCD

【解析】解，對于A，由題可得a=1?0.16?0.32?0.40?0.0810=0.004，故A錯誤；

對于B，由題圖可知，所有參賽者成績的極差小于100?50=50，故B正確；

對于C，設中位數為x，則0.16+0.32+(x?70)×0.04=0.5，解得x=70.5，故C正確；

對于D，成績在區(qū)間[60,70)內的人數為200×0.32=64，故D正確．

故選：10.BC

【解析】解：對于A，若z1=0，z2=i，則z1z2=0?i=0，z12+z22=02+i2=?1≠0，故A錯誤；

對于B，設z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，

因為z1?=z2，所以a?bi=c+di，所以a=c，b=?d，a+bi=c?di，故z1=z2?，故B正確；

對于C，若z12=z211.ACD

【解析】解：對于A選項，根據題意可知△ABC∽△RPQ，且相似比為12，

∴△ABC的面積△RPQ的面積=(12)2=14，∴A選項正確；

對于B選項，∵△BPQ為△SPQ的面積的12，△BPR為△SPR的面積的12，

又△BQR與△SQR的面積關系未知，∴B選項錯誤；

對于C選項，∵三棱錐S?ABC的體積三棱錐S?PQR的體積=(SASR)3=18，∴C選項正確；

對于D選項，如圖，設PA，RB交于點D，QA，RC交于點E，連接QD，PE，

則QD，PE的交點為O，延長AO交PQ于點F，連接DE交AO于點H，

易知D，E分別為△SPR，△SQR的重心，

∴ADPD=AEQE=12，∴DE//PQ，

∴OHOF=12.(3【解析】解：設a，b的夾角為θ，則a在b上的投影向量的坐標為|a|cosθ?b|b|13.932【解析】解：由題可知：球心O在圓錐的高上，

所以圓錐的底面半徑為22?12=3，

14.3?【解析】解：因為∠ABC=135°，∠C=15°，

所以∠BAC=30°，

所以∠EAC=180°?∠BAC=150°，

因為∠EAC的平分線所在的直線與直線BC交于點D，

所以∠ADC=∠ABC?12∠EAC=135°?12×150°=60°，

在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=ADsin∠C，

所以15.解：(Ⅰ)由已知得|a|=2，|b|=1，∠AOB=2π3，

所以a?b=|a|?|b|cos∠AOB=2×1×(?12)=?1，【解析】(Ⅰ)根據向量數量積的定義求解；

(Ⅱ)根據向量加法運算法則及數量積的運算即可求解．

16.解：(Ⅰ)由題意可知，x?=320040=80，

所以sx2=140i=140xi2?x?2=140×260000?802=100；

(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)利用平均數和方差的定義求解；

(Ⅱ)利用平均數和方差的定義求解．

17.解：(Ⅰ)根據題意，n=1即只摸1次球，袋子中裝入7個標有一定金額的球(除標注的金額不同外，其余均相同)，其中標注的金額為100元、200元、300元的球分別有2個、2個、3個．

生日紅包總金額不低于200元，即為200元或300元，

從袋中隨機摸出1個球，對應的生日紅包金額為200元的概率為27，為300元的概率為37，

故甲員工所獲得的生日紅包總金額不低于200元的概率為27+37=57；

(Ⅱ)當n=2時，AB=“甲員工獲得的生日紅包總金額為300元或400元”，

因為300=100+200=200+100，400=200+200=100+300=300+100，

所以P(AB)=27×27×2+(27)2+27×37×2=2449．

事件A=“甲員工獲得的生日紅包總金額為200元、300元或400【解析】(Ⅰ)根據題意，生日紅包總金額不低于200元，即為200元或300元，由互斥事件概率的加法公式計算可得答案；

(Ⅱ)根據題意，求出P(AB)、P(A)和P(B)，由相互獨立事件的定義分析可得答案．

18.解：(Ⅰ)因為sinB+sinC=sin(A?B)，所以sinB+sin(A+B)=sin(A?B)，

所以sinB+2cosAsinB=0，因為sinB≠0，所以cosA=?12，

因為A∈(0,π)，所以A=2π3；

(Ⅱ)(ⅰ)在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2?2bccosA，即a2=4+1+2=7，所以a=7，

所以圓O的直徑為asin∠BAC=7sin2π3=2213，

又AD≥AB，AD≥AC【解析】(I)利用三角變換即可求解；

(II)(i)先求a，利用正弦定理求2R，再結合AD≥1，即可求解；

(ii)先用正弦定理求sin∠ACB，根據∠ACB=∠ADB，可以求出cos∠ADB，再利用BD=2ADcos∠ADB19.解：(Ⅰ)證明：如圖，設BD∩AC=O，連接FO，

∵底面ABCD為菱形，E為△BCD的重心，

∴EO=13OA.又A1F=13FA，∴A1FFA=EOOA，

∴A1E//FO，又A1E?平面BDF，F(xiàn)O?平