2025版新教材高中數(shù)學(xué)第二章三角恒等變換2.1兩角和與差的三角函數(shù)2.1.2兩角和與差的正弦公式導(dǎo)學(xué)案湘教版必修第二冊

2.1.2兩角和與差的正弦公式教材要點要點兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式運用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝______________________α，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝____________________α，β∈R狀元隨筆公式的記憶方法(1)理順公式間的聯(lián)系．C(α＋β)以-β代βC(α－β)(2)留意公式的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律．對于公式C(α－β)，C(α＋β)，可記為“同名相乘，符號反”．對于公式S(α－β)，S(α＋β)，可記為“異名相乘，符號同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)，sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)，cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)．基礎(chǔ)自測1.思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)對隨意的α，β角，都有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.()(2)存在α，β角，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.()(3)存在α，β角，使得sin(α－β)＝sinα＋sinβ.()(4)?α，β，有sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β.()2．sin35°cos25°＋cos35°sin25°的值等于()A．14B．12C．23．sin15°cos225°＋cos15°sin45°的值為()A．－32B．－12C．14．若cosα＝－45，α是第三象限的角，則sinα題型1給角求值例1(1)化簡sin200°cos140°－cos160°sin40°，得()A．32B．sin20°C．cos20°D．(2)2sin方法歸納(1)對于非特別角的三角函數(shù)式求值問題，肯定要本著先整體后局部的基本原則，假如整體符合三角函數(shù)式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形．(2)一般途徑有：將非特別角化為特別角的和或差的形式，化為正負相消的項并消項求值，變換分子、分母的形式進行約分，解題時要留意逆用或變用公式．跟蹤訓(xùn)練1(1)化簡：sin(x＋27°)cos(18°－x)＋sin(63°－x)·sin(18°－x)＝________．(2)求值：sin47題型2給值求值角度1干脆法求值例2已知sinα＝35，cosβ＝－513，且α為第一象限角，β為其次象限角，求sin(α＋方法歸納(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．(2)已知角的一個弦值，求另一個弦值時，肯定留意已知角的范圍．角度2拆角變換求值例3已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35跟蹤訓(xùn)練2(1)已知α，β均為銳角，cosα＝22，cos(α＋β)＝－23，則sinA．10+226B．C．10-2(2)已知θ是其次象限角且cosθ＝－45，則sinθ題型3已知三角函數(shù)值求角例4已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2方法歸納(1)要求一個角，一般可以先求這個角的某種三角函數(shù)值，詳細求哪種三角函數(shù)值，應(yīng)依據(jù)所求角的范圍確定．(2)考慮角的拼湊，留意到β＝α－(α－β)，故sinβ＝sin[α－(α－β)]，或cosβ＝cos[α－(α－β)].(3)本題還可以將cos(α－β)綻開，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解，但比較困難．跟蹤訓(xùn)練3已知cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，0＜α＜π2，0＜β＜課堂非常鐘1．sin105°的值為()A．3+2C．6-22．(多選)下面各式中，正確的是()A．sinπ4+π3＝sinπB．cos5π12＝22sinπ3C．cos-π12＝cosπD．cosπ12＝cosπ33．cos16°cos44°－cos74°sin44°的值為()A．32B．－C．12D．－4．已知sinA＝45，且A∈π2，5．已知：α∈0，π2，β∈-π2，0，且cos(α－β)＝32.1.2兩角和與差的正弦公式新知初探·課前預(yù)習(xí)要點sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：由題得sin35°cos25°＋cos35°sin25°＝sin(35°＋25°)＝sin60°＝32答案：D3．解析：∵cos225°＝cos(45°＋180°)＝－cos45°，因此，sin15°cos225°＋cos15°sin45°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12答案：C4．解析：因為cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－35，由兩角和的正弦公式可得sinα+π4＝sinαcosπ4＋cosαsin答案：－7題型探究·課堂解透例1解析：(1)sin200°cos140°－cos160°sin40°＝sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝sin60°＝32(2)原式＝2＝2＝2＝3cos20°答案：(1)A(2)3跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)因為sin(63°－x)＝sin[90°－(27°＋x)]＝cos(27°＋x)，所以，原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(27°＋x)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin45°＝22(2)∵sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos答案：(1)22(2)例2解析：因為α為第一象限角，β為其次象限角，sinα＝35，cosβ＝－5所以cosα＝45，sinβ＝12所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝35×(－513)＋45例3解析：∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α又∵cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－3∴sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－56sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)＝－1665跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)因為α，β均為銳角，故α＋β∈(0，π)，因為cosα＝22，cos(α＋β)＝－2所以sinα＝1-12＝22，sin(α＋β)＝所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝53×2(2)∵θ是其次象限角且cosθ＝－45，∴sinθ＝1-cos∴sinθ+π4＝sinθcosπ4＝3＝－210答案：(1)A(2)－2例4解析：由0＜β＜α＜π2可知，0＜α－β＜π2，故sinα＝437，sin(α－故sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝4＝32又0＜β＜π2，因此β＝π跟蹤訓(xùn)練3解析：因為0<α<π2，cosα＝17，所以sinα＝又因為0<β<π2，所以0<α＋β因為sin(α＋β)＝5314<sinα，所以cos(α＋β)＝－所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×又因為0<β<π2，所以β＝π[課堂非常鐘]1．解析：sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝22×1答案：D2．解析：∵sinπ4+π3＝sinπ4cosπ3＋cosπ4sinπ3＝sinπ4cosπ3+32cosπ4，∴A正確；∵cos∵cos-π12＝cosπ4-π3＝cosπ4cosπ3+答案：ABC3．解析：方法一cos16°cos44°－cos74°sin44°＝cos16°cos44°－sin16°sin44°＝cos(16°＋44°)＝cos60°＝12方法二cos16°cos44°－cos74°sin44°＝sin74°cos44°－cos74°sin44°＝sin(74°－44°)＝sin30°＝12答案：C4．解析：