四川省綿陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測(cè)試文試題含解析

Page18四川省綿陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測(cè)試（文）試題一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，故選D2.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件，干脆寫(xiě)出拋物線準(zhǔn)線方程作答.【詳解】拋物線準(zhǔn)線方程是.故選：D3.某校有老師150人，后勤工作人員20人，中學(xué)生1200人，初中生1800人，現(xiàn)要了解該校全體人員對(duì)學(xué)校的某項(xiàng)規(guī)定的看法，抽取一個(gè)容量為317的樣本進(jìn)行調(diào)查，設(shè)計(jì)一個(gè)合適的抽樣方案，你會(huì)在初中生中抽?。ǎ〢.120人 B.180人 C.200人 D.317人【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分層抽樣計(jì)算即可得解.【詳解】由題意，所選人員類(lèi)型不同，應(yīng)當(dāng)選用分層抽樣選取樣本，故初中生應(yīng)抽?。ㄈ耍?，故選：B4.已知圓和圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.外離【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圓的方程確定圓的圓心和半徑，再依據(jù)兩圓圓心間的距離與兩圓半徑的大小關(guān)系推斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)閳A，所以，半徑為5,因?yàn)閳A，所以，半徑為5，由于，等于兩圓半徑之和，所以圓與圓外切.故選：A【點(diǎn)睛】推斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采納代數(shù)法．兩圓相切留意探討內(nèi)切外切兩種狀況.5.已知橢圓的右焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)橢圓半焦距公式，結(jié)合雙曲線的右頂點(diǎn)的定義、漸近線方程進(jìn)行求解即可【詳解】因?yàn)闄E圓的半焦距為：，所以雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，因此該雙曲線的漸近線方程為，故選：C6.雙曲線上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為6，則到右焦點(diǎn)的距離為（）A. B.10 C.或10 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線定義即可解決.【詳解】由題知雙曲線，所以，記左，右焦點(diǎn)分別為，所以依據(jù)定義得，因?yàn)?所以或，因?yàn)闀r(shí)，，即不滿意題意，所以，故選B7.為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，安康市某學(xué)校開(kāi)展“唱紅色歌曲，誦紅色經(jīng)典”歌詠競(jìng)賽活動(dòng)，甲、乙兩位選手經(jīng)驗(yàn)了7場(chǎng)初賽后進(jìn)入決賽，他們的7場(chǎng)初賽成果如莖葉圖所示．下列結(jié)論正確的是（）A.甲成果的極差比乙成果的極差大B.甲成果的眾數(shù)比乙成果的中位數(shù)大C.甲成果的方差比乙成果的方差大D.甲成果的平均數(shù)比乙成果的平均數(shù)小【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，分別求出極差推斷，對(duì)于B，求出甲的眾數(shù)和乙成果的中位數(shù)推斷，對(duì)于C，依據(jù)數(shù)據(jù)的離散程度推斷，對(duì)于D，分別求出平均數(shù)推斷即可.【詳解】甲成果的極差為，乙成果的極差為，故A錯(cuò)誤；甲成果的眾數(shù)為85分，乙成果的中位數(shù)為87分，故B錯(cuò)誤；由莖葉圖的數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，可判定甲成果的數(shù)據(jù)更集中，乙成果的數(shù)據(jù)更分散，所以甲成果的方差比乙成果的方差小，故C錯(cuò)誤；甲成果的平均數(shù)為分，乙成果的平均數(shù)為分，故D正確．故選：D8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點(diǎn)，則（）A.1 B.3 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】由題意可得直線與的方程為，代入拋物線方程得，依據(jù)韋達(dá)定理與焦半徑的公式即可求出的值.【詳解】解：由題意可知，所以直線與的方程為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，可得，設(shè)則，所以.故選：D.9.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,且雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的方程為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：依題意有，解得，所以方程為.考點(diǎn)：雙曲線的概念與性質(zhì)．10.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，于，若，則（）A.4 B.12 C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合拋物線定義，為正三角形，即可解決.【詳解】由題知拋物線：，開(kāi)口向右，，記準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)?，依?jù)拋物線定義有：，因?yàn)?，所以為正三角形，所以，所以因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以，故選：B11.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上（位于第一象限），且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)幾何分析確定四邊形為矩形，依據(jù)勾股定理求出，構(gòu)造齊次式即可求出離心率.詳解】依題意，作圖如下，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，，所以四邊形為矩形，設(shè)依據(jù)勾股定理得,即，整理得，解得，由于橢圓的范圍知，所以，由得,即，整理得，即，解得，因?yàn)?，所以，故選:C.12.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，則，，確定最小時(shí)是拋物線的切線，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)雙曲線的定義計(jì)算．【詳解】由題意是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，則，，由題意最小，是銳角，因此最小時(shí)，是拋物線的切線，設(shè)直線方程為，由，得（*），，，由對(duì)稱性，不妨取，方程（*）為，，，所以，故雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，故選：D．二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上．13.中國(guó)福利彩票“雙色球”中的紅色球號(hào)碼區(qū)的33個(gè)號(hào)碼分別為01，02，…，33.一位彩民用隨機(jī)數(shù)法從紅色球號(hào)碼區(qū)的33個(gè)號(hào)碼中選取6個(gè)號(hào)碼.選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表中第1行第6列起先，從左向右讀數(shù)，則依次選出來(lái)的第4個(gè)號(hào)碼為_(kāi)_______.49544354821737932378873520964384263491648442175331572455068877047447672176335025【答案】16【解析】【分析】由隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生規(guī)則確定：依次兩位兩位讀數(shù)，不大于33的保留即可．【詳解】依次選出來(lái)的號(hào)碼依次為21，32，09，16，第四個(gè)是16.故答案為：16.14.若直線與直線相互垂直，則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由直線垂直的條件求解．【詳解】由題意，．故答案為：．15.若點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，，為左右焦點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程確定，確定題中點(diǎn)是短軸端點(diǎn)，由此易得結(jié)論．【詳解】由已知，，因此，，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，，是等邊三角形，，此時(shí)到軸距離等于．故答案為：．16.已知是橢圓：上隨意一點(diǎn)，是圓：上隨意一點(diǎn)，，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓的下頂點(diǎn)，則正確的是_________.①．使為直角的點(diǎn)共有個(gè)②．的最大值為③．若為鈍角，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為④．當(dāng)最大時(shí)，【答案】①③④【解析】【分析】作以為直徑的圓，與橢圓交于點(diǎn)，可推斷①，③是否正確；利用可推斷②是否正確；利用，可推斷④是否正確.【詳解】對(duì)于①，如圖，以橢圓：的焦點(diǎn)，為直徑，作圓，與橢圓交于，，，四點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，為直角，∴使為直角的點(diǎn)共有4個(gè)，即，，，，故①正確；對(duì)于②，易知，∴如圖，的最大值為的最大值與圓半徑的和，設(shè)，∵在橢圓上，∴，即，，由已知，，∴由二次函數(shù)學(xué)問(wèn)知，當(dāng)時(shí)，的最大值為，∴的最大值為，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由，解得，，，當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，為鈍角，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故③正確.對(duì)于④，如圖，而大小不變，因此最大時(shí)，最大，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切，且切點(diǎn)位于第一象限時(shí)，最大，此時(shí)，連接，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，故④正確.故答案：①③④.三、解答題：本大題共6小題，共70分．其中17題10分，其余每個(gè)大題12分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知兩條直線：與：的交點(diǎn)為.（1）求過(guò)點(diǎn)且平行于直線：的直線方程；（2）若直線與軸、軸分別交于A、兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出平行線方程代入點(diǎn)坐標(biāo)求得參數(shù)，從而得結(jié)論；（2）由是中點(diǎn)求得坐標(biāo)，由截距式得直線方程并整理．【小問(wèn)1詳解】由題意可得，即，∵所求直線與平行，∴設(shè)直線方程為：，把的坐標(biāo)代入得：，即所求方程為：；【小問(wèn)2詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，∵是的中點(diǎn)坐標(biāo)∴，，則，，∴方程即．18.已知圓C的圓心為(1，1)，直線與圓C相切.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)(2，3)，且被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離可得：圓心到直線的距離．依據(jù)直線與圓相切，可得．即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程：，即：，可得圓心到直線的距離，又，可得：．即可得出直線的方程．②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，代入圓的方程可得：，解得可得弦長(zhǎng)，即可驗(yàn)證是否滿意條件．【詳解】（1）圓心到直線的距離．直線與圓相切，．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程：，即：，，又，．解得：．直線的方程為：．②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，代入圓的方程可得：，解得，可得弦長(zhǎng)，滿意條件．綜上所述的方程為：或．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式、分類(lèi)探討方法，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．19.為了估計(jì)某校的一次數(shù)學(xué)考試狀況，現(xiàn)從該校參與考試的600名學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生，其成果（百分制）均在上，將這些成果分成六段，，…，，后得到如圖所示部分頻率分布直方圖.（1）求抽出的60名學(xué)生中分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)；（2）若規(guī)定成果不小于85分為優(yōu)秀，則依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校優(yōu)秀人數(shù)；（3）依據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù).【答案】（1）15人（2）135人（3）76【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率的和等于1求出成果在內(nèi)的頻率，計(jì)算對(duì)應(yīng)的頻數(shù)即可.（2）計(jì)算小于85分的頻數(shù)即可.（3）依據(jù)中位數(shù)平分頻率直方圖的面積，求出即可.【小問(wèn)1詳解】解：由題意得：在頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率，頻率的和等于1，成果在內(nèi)的頻率人數(shù)為人；【小問(wèn)2詳解】估計(jì)該校的優(yōu)秀人數(shù)為不小于85分的頻率再乘以樣本總量600，即人；【小問(wèn)3詳解】分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為0.25，∵分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，∴中位數(shù)在內(nèi)，∵中位數(shù)要平分方圖的面積，∴中位數(shù)為20.已知點(diǎn)在拋物線上，為焦點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先依據(jù)焦半徑公式，求解，得到拋物線方程；（2）設(shè)，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，求得，再利用點(diǎn)在拋物線上得到，從而求得的值.【小問(wèn)1詳解】拋物線，焦點(diǎn)，由得.∴拋物線得方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意，可設(shè)過(guò)點(diǎn)直線的方程為，由得，設(shè)，則，∴，∴.21.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為M，且.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于不同的兩點(diǎn)、，若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式表示P點(diǎn)坐標(biāo)滿意的等量關(guān)系并化簡(jiǎn)即可得到其軌跡方程；（2）先依據(jù)直線與曲線E的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)狀況探討直線的斜率，斜率不存在和斜率為0時(shí)均不滿意；斜率存在且不為0時(shí)，再依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系解出斜率k，即可求得直線l的方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?所以曲線E的方程為.【小問(wèn)2詳解】若直線l的斜率不存在，則l與曲線E無(wú)公共點(diǎn)，因此l的斜率存在；若l的斜率為0，則l與曲線E只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此l的斜率不為0.設(shè)，由得，于是，解得且．設(shè)，，則.因?yàn)锽為線段的中點(diǎn)，所以．又，所以，因此，所以，符合且，于是，此時(shí)直線的方程為.22.已知橢圓：的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P在橢圓上滿意（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的