2025年高考數(shù)學一輪復習-函數(shù)與導數(shù)【課件】

函數(shù)與導數(shù)內(nèi)容索引必考知識常用結論經(jīng)典重溫1.函數(shù)的單調(diào)性(1)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1，x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù).PARTONE必考知識如果?x1，x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù).(2)單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)零點(1)函數(shù)零點的定義：對于一般函數(shù)y＝f(x)，把使

的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.(2)三個等價關系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與

有公共點.(3)函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有

，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間

內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得

，這個c也就是方程f(x)＝0的解.f(x)＝0x軸f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝03.函數(shù)的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函數(shù)在它的定義域上的整體性質，所以判斷函數(shù)的奇偶性應先明確它的定義域.一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)).(2)①周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有

，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.②最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個

的正數(shù)，那么這個

就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正數(shù)4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(1)過定點：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過點

，y＝logax(a>0，且a≠1)恒過點

.(2)單調(diào)性：當a>1時，y＝ax在R上單調(diào)

；y＝logax在

上單調(diào)遞增；當0<a<1時，y＝ax在R上單調(diào)

；y＝logax在

上單調(diào)遞減.(0,1)(1,0)(0，＋∞)(0，＋∞)遞增遞減5.導數(shù)的概念及幾何意義(1)如果當Δx→0時，平均變化率___無限趨近于一個確定的值，即___有極根，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的

(也稱

)，記作

或

，即f′(x0)＝________＝__________________.導數(shù)瞬時變化率f′(x0)(2)當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))，記為f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y(tǒng)′＝

.(3)導數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的

，相應的切線方程為_________________________.斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)6.導數(shù)的單調(diào)性、極值及最值(1)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導，f′(x)>0，f(x)在(a，b)上

；f′(x)<0，f(x)在(a，b)上

；f′(x)＝0，f(x)在(a，b)上是

.單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)(2)函數(shù)的極值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側

，右側

，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側

，右側

，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.f′(x)<0f′(x)>0f′(x)>0f′(x)<0(3)函數(shù)的最大(小)值①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：一般地如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值.②求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的

；將函數(shù)y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.連續(xù)不斷極值端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)1.函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結論(1)當f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)為增(減)函數(shù).(2)奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性.(3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關于原點對稱；f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關于y軸對稱.PARTTWO常用結論(4)偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商(分母不為零)是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商(分母不為零)是奇函數(shù).(5)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點，即有f(0)＝0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)f(x)＝0.(6)f(x)＋f(－x)＝0?f(x)為奇函數(shù)；f(x)－f(－x)＝0?f(x)為偶函數(shù).2.函數(shù)的周期性的重要結論周期函數(shù)y＝f(x)滿足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數(shù)的周期為2|a|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)的周期為2|a|.3.函數(shù)的對稱性的重要結論(1)f(a－x)＝f(a＋x)?f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.4.函數(shù)圖象平移變換的相關結論(1)把y＝f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|c|個單位長度(c>0時向左平移，c<0時向右平移)得到函數(shù)y＝f(x＋c)的圖象(c為常數(shù)).(2)把y＝f(x)的圖象沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度(b>0時向上平移，b<0時向下平移)得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象(b為常數(shù)).5.函數(shù)圖象伸縮變換的相關結論(1)把y＝f(x)的圖象上各點的縱坐標伸長(a>1)或縮短(0<a<1)到原來的a倍，而橫坐標不變，得到函數(shù)y＝af(x)(a>0)的圖象.(2)把y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長(0<b<1)或縮短(b>1)到原來的

，而縱坐標不變，得到函數(shù)y＝f(bx)(b>0)的圖象.6.抽象函數(shù)的性質與特殊函數(shù)模型的對照表抽象函數(shù)的性質特殊函數(shù)模型(1)f(x)f(y)＝f(x＋y)(x，y∈R)，(2)＝f(x－y)(x，y∈R，f(y)≠0)指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)(x>0，y>0)，(2)＝f(x)－f(y)(x>0，y>0)對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)(1)f(xy)＝f(x)f(y)(x，y∈R)，(2)(x，y∈R，y≠0，f(y)≠0)冪函數(shù)f(x)＝xnf(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)三角函數(shù)f(x)＝sinx，g(x)＝cosx經(jīng)典重溫12345678910A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]C.(1,3)∪(3，＋∞) D.(－∞，3)PARTTHREE經(jīng)典重溫√12345678910∴1<x<2或2<x≤3，∴函數(shù)的定義域為(1,2)∪(2,3].A.2 B.9C.65 D.513√12345678910f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2.123453.(2024·黃山模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－xf′(1)，則曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為A.3x－y－4＝0 B.3x－y＋4＝0C.3x＋y＋4＝0 D.3x＋y－4＝0√67891012345678910由f(x)＝x2－xf′(1)，得f′(x)＝2x－f′(1)，所以f′(1)＝2－f′(1)，得f′(1)＝1，所以f(x)＝x2－x，f′(x)＝2x－1，所以f(2)＝22－2＝2，f′(2)＝2×2－1＝3，所以所求切線方程為y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.A.a<b<c

B.b<a<cC.c<a<b

D.c<b<a√1234567891012345678910由x>0時，xf′(x)－f(x)<0，得g′(x)<0，則g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又log25>log24＝2,1<20.2<2,0<0.22＝0.04<1，可得log25>20.2>0.22，故g(log25)<g(20.2)<g(0.22)，即c<a<b.123456789105.(2024·蘄春第一高級中學模擬)設函數(shù)f(x)＝

若f(x1)＝f(x2)(x1<x2)，且2x2－x1的最小值為ln2，則a的值為√12345678910令f(x1)＝f(x2)＝t，由圖象可得t∈(－∞，－2a]，因為x1<x2，所以x1－2a＝t，lnx2＝t，即x1＝t＋2a，x2＝et，則2x2－x1＝2et－t－2a，令g(t)＝2et－t－2a，t≤－2a，則g′(t)＝2et－1，令g′(t)＝0，解得t＝－ln2，12345678910g(t)min＝g(－2a)＝2e－2a＝ln2，123456.(2024·煙臺模擬)已知f(x)為R上的奇函數(shù)，且f(x)＋f(2－x)＝0，當－1<x<0時，f(x)＝2x，則f(2＋log25)的值為_____.67891012345678910由題設，f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，故f(2＋x)＝f(x)，即f(x)的周期為2，所以f(2＋log25)＝

.123457.(2024·杭州模擬)我國古代有一則家喻戶曉的神話故事——后羿射日，在《淮南子·本經(jīng)訓》和《山海經(jīng)·海內(nèi)經(jīng)》都有一定記載.如果被射下來的九個太陽中有一個距離地球約3500光年，如果將“3500光年”的單位“光年”換算成以“米”為單位，所得結果的數(shù)量級是_____(光年是指光在宇宙真空中沿直線經(jīng)過一年時間的距離，光速v＝3×105km/s；通常情況下，數(shù)量級是指一系列10的冪，例如數(shù)字2.6×103的數(shù)量級是3).6789101912345678910根據(jù)題意得，太陽距離地球約3500光年，一年有365×24×3600s，光速v＝3×105km/s，光一年走過的路程為365×24×3600×3×105km，3500光年走過的路程為3500×365×24×3600×3×105×1000＝3.31128×1019(m)，所以數(shù)量級為19.123456789108.已知直線y＝mx與函數(shù)f(x)＝

的圖象恰有3個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是_____________.12345678910作出f(x)的圖象，如圖，當m≤0時，直線y＝mx和函數(shù)f(x)的圖象只有1個交點；1234567891012345(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；67891012345678910函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，當a<0時，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；12345678910綜上，當a<0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，12345(2)若不等式f(x)≥x－1對x∈(0,1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.67891012345678910由f(x)≥x－1對x∈(0,1]恒成立，因為g(1)＝0，所以要使g(x)在x∈(0,1]內(nèi)恒大于等于零，12345678910則g(x)在x∈(0,1]上單調(diào)遞減，所以g′(x)≤0，所以ax－1－x2≤0，所以a≤2且a≠0，所以實數(shù)a的取值范圍(－∞，0)∪(0,2].1234510.已知函數(shù)f(x)＝ex＋sinx－cosx－ax.(1)若函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；678910由題意知，f′(x)＝ex＋cosx＋sinx－a，因為函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)＝ex＋cosx＋sinx－a≥0在x