福建省福州市六校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市六校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由題意，對應(yīng)點為，在第一象限．故選：A2.設(shè)空間中的平面及兩條直線a，b滿足且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時，因為且，所以與可能相交；當(dāng)時，因為且，所以；即“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.若復(fù)數(shù)z是的根，則（）A.1 B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗∵，∴由求根公式得：，即：，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜述：.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故.故選：C.5.袋子中有紅、黃、黑、白共四個小球，有放回地從中任取一個小球，直到紅、黃兩個小球都取到才停止，用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個小球，利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：341332341144221132243331112342241244342142431233214344由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗18組隨機數(shù)中，滿足條件的有221，132，112，241，142，這5組數(shù)據(jù)滿足條件，所以估計恰好抽取三次就停止的概率.故選：D.6.廈門地鐵1號線從鎮(zhèn)海路站到文灶站有5個站點．甲、乙同時從鎮(zhèn)海路站上車，假設(shè)每一個人自第二站開始在每個站點下車是等可能的，則甲乙在不同站點下車的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件為甲乙在相同站點下車，則，則甲乙在不同站點下車的概率為.故選：C.7.已知所在平面上的動點滿足，則點的軌跡過的（）A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心〖答案〗B〖解析〗，，，，即，即，在邊的垂直平分線上，由三角形外心的定義知，點的軌跡過的外心.故選：B．8.九章算術(shù)中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖）．現(xiàn)提供一種計算“牟合方蓋”體積的方法．顯然，正方體的內(nèi)切球同時也是“牟合方蓋”的內(nèi)切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，該平面截內(nèi)切球得到的是上述正方形截面的內(nèi)切圓．結(jié)合祖暅原理，兩個同高的立方體，如在等高處的截面積相等，則體積相等．若正方體的棱長為6，則“牟合方蓋”的體積為（）A.144 B. C.72 D.〖答案〗A〖解析〗正方體的棱長，則其內(nèi)切球的半徑，內(nèi)切球的體積，由于截面正方形與其內(nèi)切圓的面積之比為，設(shè)牟合方蓋的體積為，則，從而牟合方蓋的體積．故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知事件A，B，且，，如果，那么，B.對于單峰的頻率分布直方圖而言，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)C.若A，B是兩個互斥事件，則D.若事件A，B，C兩兩獨立，則〖答案〗BC〖解析〗對于A，如果，則，故，，故，故A錯誤；對于B，對于單峰的頻率分布直方圖而言，如果左右對稱，則中位數(shù)和平均數(shù)大致相等，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數(shù)將變大，更遠離峰值處，中位數(shù)位于單峰附近，故平均數(shù)大于中位數(shù)，B正確；對于C，因為是兩個互斥事件，故，所以，故C正確；對于D，舉例如從1、2、3、4四個數(shù)字中隨機取一個，即事件A=“取出的數(shù)字為1或2”，事件B=“取出的數(shù)字為1或3”，事件C=“取出的數(shù)字為1或4”，AB=BC=AC=ABC=“取出的數(shù)字為1”，則，，滿足，，，即事件兩兩獨立，但，故D錯誤.故選：BC.10.如圖，棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是棱AD，，CD的中點，則（）A.直線，為異面直線B.二面角余弦值為C.直線與平面所成角的正切值為D.過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9〖答案〗BC〖解析〗對于A，連接，則為矩形，則，而點E，G分別是棱AD，CD的中點，故，則四點共面，故直線，不是異面直線，A錯誤；對于B，連接交于點O，連接，平面平面，故，又平面，故平面，即為二面角的平面角，又，故，B正確；對于C，由于平面，故即為直線與平面所成角，而，故，C正確；對于D，連接，則，則梯形即為過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，而，故等腰梯形的高為，故等腰梯形的面積為，即過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為，D錯誤.故選：BC.11.如圖所示，四邊形是由斜二測畫法得到的平面四邊形ABCD水平放置的直觀圖，其中，，，點在線段上，對應(yīng)原圖中的點P，則在原圖中下列說法正確的是（）A.四邊形ABCD的面積為18B.與同向的單位向量的坐標(biāo)為C.在向量上的投影向量的坐標(biāo)為D.的最小值為17〖答案〗BD〖解析〗由直觀圖可得，四邊形為直角梯形，且，則四邊形的面積為，故A錯誤；如圖，以點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，所以與同向的單位向量的坐標(biāo)為，故B正確；，則在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，故C錯誤；設(shè)，則，則，，當(dāng)時，取得最小值，故D正確.故選：BD.12.如圖，平面四邊形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE組成的直角梯形，AD＝1，，現(xiàn)將沿斜邊AC翻折成（不在平面ABC內(nèi)），若P為BC的中點，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（）A.與BC可能垂直B.三棱錐體積的最大值為C.若A，C，E，都在同一球面上，則該球的表面積是D.直線與EP所成角的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項：由，則，當(dāng)時，且，此時滿足平面，因此，故A正確；對于B，取的中點，連接，則，且，因為，當(dāng)平面平面時，三棱錐體積的最大值，在中，，則，此時，所以三棱錐體積的最大值為，故B錯誤；對于C，因為，所以都在同一球面上，且球的半徑為，所以該球的表面積是，故C正確；對于D，作，因為為的中點，所有，，所以，所以，所以，可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，所以與夾角為，與夾角為，又不在平面內(nèi)，，，所以與所成角的取值范圍，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在題中的橫線上．13.函數(shù)的零點所在區(qū)間為，，則______．〖答案〗2〖解析〗由題意知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由，故函數(shù)的零點所在區(qū)間為，故.故〖答案〗為：2.14.若10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，標(biāo)準(zhǔn)差是2，則這10個數(shù)據(jù)的平方和是______．〖答案〗80〖解析〗由題意可設(shè)這10個數(shù)據(jù)為，其方差為，則，故.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則______．〖答案〗〖解析〗依題意函數(shù)是一個奇函數(shù)，又，所以，所以定義域為，因為的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，所以，解得，又，所以，所以，即，所以，所以.故〖答案〗為：.16.如圖，的棱長為2，點P在正方形的邊界及其內(nèi)部運動，則四面體的體積的最大值是______；記所有滿足的點P組成的平面區(qū)域為W，則W的面積是______．〖答案〗〖解析〗空1：在正方體中，平面，所以平面，則是四面體以為底面時的高，由，所以當(dāng)最大時，四面體的體積的最大，因為點P在正方形的邊界及其內(nèi)部運動，所以當(dāng)P在線段上時，最大，其最大值為，所以四面體的體積的最大值為；空2：連接，則，由，則，所以點在以為圓心1為半徑的圓外的區(qū)域和以為圓心為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域與正方形的公共部分，如圖（2）陰影部分扇環(huán)部分，所以W的面積.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為．（1）求函數(shù)的圖象的對稱軸；（2）若函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，求m的取值范圍及的值．解：（1）由函數(shù)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，可得函數(shù)最小正周期為，故，令，則，即函數(shù)的圖象的對稱軸為.（2）由可知，則，函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，則的圖象與直線有2個交點，結(jié)合在時的圖象可知需滿足，令，則，故兩個零點關(guān)于對稱，則，故.18.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．（1）求的面積；（2）若，求b．解：（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則.（2）由正弦定理得：，則，則，.19.我校近幾年加大了對學(xué)生奧賽的培訓(xùn)，為了選擇培訓(xùn)的對象，今年5月我校進行一次數(shù)學(xué)競賽，從參加競賽的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）利用組中值估計本次考試成績平均數(shù)；（2）從頻率分布直方圖中，估計第三四分位數(shù)是多少；（精確到0.1）（3）已知學(xué)生成績評定等級有優(yōu)秀、良好、一般三個等級，其中成績不小于90分時為優(yōu)秀等級，若從第5組和第6組兩組學(xué)生中，隨機抽取2人，求所抽取2人中至少1人成績優(yōu)秀的概率．解：（1）本次考試成績的平均數(shù)約為，所以本次考試成績的平均數(shù).（2）因為，，所以第三四分位數(shù)，即第75百分數(shù)在內(nèi)，所以第三四分位數(shù)，所以估計第三四分位數(shù)約為.（3）第5組人數(shù)為，第6組人數(shù)為，被抽取的成績在內(nèi)的4人，分別記為，，，；成績在內(nèi)的3人，分別記為，，；則從這7人中隨機抽取2人的情況為：，，，，共21種；其中被抽到2人中至少有1人成績優(yōu)秀的情況為：，，，，共15種，故抽到2人中至少有1人成績優(yōu)秀的概率為.20.如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，，M為邊PC的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積．解：（1）證明：取的中點為N，連接，因為M為邊PC的中點，故，且，由底面是梯形，，，則，即四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面.（2）證明：取的中點為E，連接，因為，所以，由底面是梯形，，，作，垂足為F，則四邊形為矩形，則，可得，且，由，故，而，故，，故，平面，故平面，又平面，故平面平面.（3）因為M為邊PC的中點，故，而，由平面，，故，故三棱錐的體積為.21.某貨輪勻速行駛在相距300海里的甲、乙兩地間運輸貨物，運輸成本由燃料費用和其他費用組成．已知該貨輪每小時的燃料費用w與其航行速度x的平方成正比（即：w=kx2，其中k為比例系數(shù)）；當(dāng)航行速度為30海里/小時時，每小時的燃料費用為450元，其他費用為每小時800元，且該貨輪的最大航行速度為50海里/小時．（1）請將從甲地到乙地的運輸成本y（元）表示為航行速度x（海里/小時）的函數(shù)；（2）要使從甲地到乙地的運輸成本最少，該貨輪應(yīng)以多大的航行速度行駛？．解：（1）由題意，每小時的燃料費用為w=kx2，當(dāng)x=30時，900k=450，解得k=0.5，從甲地到乙地所用的時間為小時，則從甲地到乙地的運輸成本：y=0.5x2+800（0＜x≤50），=150，故所求的函數(shù)為y=f(x)=150．（2）法一：f′(x)=150，令f′(x)=0，解得x=40，0＜x＜40時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；40＜x≤50時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，因此當(dāng)x=40時，y取得極小值，也是最小值，故當(dāng)貨輪航行速度為40海里/小時時，能使該貨輪運輸成本最少．22.甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為的方框表示第場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手，第場比賽的勝者稱為“勝者”，負者稱為“負者”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙、丙、丁相互之間勝負的可能性相同.（1）求乙僅參加兩場比賽且連負兩場的概率；（2）求甲獲得冠軍的概率；（3）求乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.解：（1）乙僅參加兩場比賽且，即乙在第1場、第4場均負，∴乙連負兩場的概率為.（2）甲獲得冠軍，則甲參加