2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)-提升版第八章第1講含答案

2025-高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案-數(shù)學(xué)-提升版第八章第1講基本立體圖形及其直觀圖[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合)的直觀圖．1．多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義(1)由若干個(gè)eq\x(\s\up1(01))平面多邊形圍成的幾何體叫多面體．(2)一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的eq\x(\s\up1(02))一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做eq\x(\s\up1(03))旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體．2．棱柱的概念及其分類(1)棱柱的概念有兩個(gè)面eq\x(\s\up1(04))互相平行，其余各面都是eq\x(\s\up1(05))四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都eq\x(\s\up1(06))互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．(2)棱柱的分類①按底面多邊形邊數(shù)來(lái)分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……②按側(cè)棱是否與底面垂直側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做eq\x(\s\up1(07))直棱柱，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做eq\x(\s\up1(08))斜棱柱．底面是正多邊形的直棱柱叫做eq\x(\s\up1(09))正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱也叫做eq\x(\s\up1(10))平行六面體．3．棱錐的概念及其分類(1)棱錐的概念有一個(gè)面是eq\x(\s\up1(11))多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的eq\x(\s\up1(12))三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．(2)棱錐的分類①按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……②底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做eq\x(\s\up1(13))正棱錐．4．棱臺(tái)的概念及其分類(1)棱臺(tái)的概念用一個(gè)eq\x(\s\up1(14))平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái)．(2)棱臺(tái)的分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……5．圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的概念及表示定義圖形及表示圓柱以eq\x(\s\up1(15))矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱，如圖中圓柱表示為圓柱O′O圓錐以eq\x(\s\up1(16))直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體，如圖中圓錐表示為圓錐SO圓臺(tái)用eq\x(\s\up1(17))平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)，如圖中圓臺(tái)表示為圓臺(tái)O′O球eq\x(\s\up1(18))半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球，如圖中的球表示為球O6．簡(jiǎn)單組合體(1)概念由eq\x(\s\up1(19))簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體．(2)兩種構(gòu)成形式①由簡(jiǎn)單幾何體eq\x(\s\up1(20))拼接而成；②由簡(jiǎn)單幾何體eq\x(\s\up1(21))截去或挖去一部分而成．7．直觀圖(1)畫法：常用eq\x(\s\up1(22))斜二測(cè)畫法．(2)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟1．斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半,圖形改變))“三不變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(平行性不改變,與x，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變,相對(duì)位置不改變)))2．直觀圖與原圖形面積的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形(或S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖)．1．下列結(jié)論正確的是()A．側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．六條棱長(zhǎng)均相等的四面體是正四面體C．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺(tái)答案B解析底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，A錯(cuò)誤；斜四棱柱也可能有兩個(gè)側(cè)面是矩形，C錯(cuò)誤；截面平行于底面時(shí)，底面與截面之間的部分才叫圓臺(tái)，D錯(cuò)誤．故選B.2.如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是()A．AB B．ADC．BC D．AC答案D解析△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，則AC>AB，AC>AD，AC>BC.故選D.3．(人教B必修第四冊(cè)11.1.1練習(xí)AT4改編)以下利用斜二測(cè)畫法得到的結(jié)論中，正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍相等B．相等的線段在直觀圖中仍相等C．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形D．菱形的直觀圖是菱形答案C解析根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知，平行于坐標(biāo)軸的直線平行性不變，平行于x軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，故A，B，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)平行性不變?cè)瓌t，平行四邊形的直觀圖仍然是平行四邊形，C正確．故選C.4.(多選)(人教B必修第四冊(cè)11.1.1練習(xí)AT1(3)改編)如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，將其復(fù)原為正方體后，互相重合的點(diǎn)是()A．A與B B．D與EC．B與D D．C與F答案ABD解析將平面展開圖還原成正方體如圖所示，所以互相重合的點(diǎn)是A與B，D與E，C與F.故選ABD.5.(人教A必修第二冊(cè)習(xí)題8.1T8改編)如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′被截去一小部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()A．棱臺(tái) B．四棱柱C．五棱柱 D．簡(jiǎn)單組合體答案C解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．故選C.考向一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1下列說法正確的是()A．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)答案B解析A錯(cuò)誤，如圖1；B正確，如圖2，其中PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以證明∠PAB，∠PCB都是直角，這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；C錯(cuò)誤，如圖3；D錯(cuò)誤，由棱臺(tái)的定義知，其側(cè)棱延長(zhǎng)后必相交于同一點(diǎn)．故選B.識(shí)別空間幾何體的兩種方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進(jìn)行判定反例法通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可1.下列結(jié)論正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C．若正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線答案D解析由圖1知，A錯(cuò)誤；如圖2，當(dāng)兩個(gè)平行平面與底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，B錯(cuò)誤；若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，C錯(cuò)誤；由母線的概念知，D正確．故選D.2.(多選)如圖，將裝有半槽水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體可以是()A．四棱柱 B．四棱臺(tái)C．三棱柱 D．三棱錐答案AC解析根據(jù)題圖，因?yàn)橛兴牟糠质冀K有兩個(gè)平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因此形成的幾何體是四棱柱或三棱柱．故選AC.考向二平面圖形與其直觀圖的關(guān)系例2(多選)(2023·朝陽(yáng)建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，則以下說法正確的是()A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC的面積是△A′B′C′的面積的2倍C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC的周長(zhǎng)是4＋4eq\r(2)答案CD解析根據(jù)斜二測(cè)畫法可知，在原圖形中，O為CA的中點(diǎn)，AC⊥OB，因?yàn)镺′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2，則△ABC是斜邊為4的等腰直角三角形，如圖所示，所以△ABC的周長(zhǎng)是4＋4eq\r(2)，面積是4，故A錯(cuò)誤，C，D正確；由斜二測(cè)畫法可知，△ABC的面積是△A′B′C′的面積的2eq\r(2)倍，故B錯(cuò)誤．故選CD.在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半．注意：直觀圖面積是原圖形面積的eq\f(\r(2),4)倍．用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y′軸，BC，AD平行于x′軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為________cm2.答案8解析解法一：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上、下底的長(zhǎng)分別與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.解法二：依題意可知，S直觀圖＝2eq\r(2)(cm2)，故S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖＝8(cm2)．多角度探究突破考向三空間幾何體的展開圖和截面圖角度空間幾何體的展開圖問題例3某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，M，N分別是圓柱上、下底面圓周上的兩點(diǎn)，O為下底面圓的圓心，ME是圓柱的母線，OE⊥ON，如圖所示，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2答案B解析圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為EP的四等分點(diǎn))如圖所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．EN＝eq\f(1,4)×16＝4，EM＝2，∴MN＝eq\r(EM2＋EN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.角度空間幾何體的截面問題例4某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為4eq\r(3)的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)，若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為4π，則該球的半徑是()A．2 B．4C．2eq\r(6) D．4eq\r(6)答案B解析設(shè)截面圓的半徑為r，球的半徑為R，則球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半，即2eq\r(3)，根據(jù)截面圓的周長(zhǎng)可得4π＝2πr，得r＝2，故由題意知R2＝r2＋(2eq\r(3))2，即R2＝22＋(2eq\r(3))2＝16，所以R＝4.故選B.(1)通常利用空間幾何體的表面展開圖解決以下問題：①求幾何體的表面積或側(cè)面積；②求幾何體表面上任意兩個(gè)點(diǎn)的最短表面距離．(2)求解與截面有關(guān)的問題的關(guān)鍵是確定截面的形狀，并從幾何體中獲取相關(guān)的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算．(3)作多面體截面的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連接成截線，從而得到截面．1.如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1cm，高為5cm，若一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)最短路線的長(zhǎng)為()A．12cm B．13cmC.eq\r(61)cm D．15cm答案C解析如圖所示，把側(cè)面展開兩周可得對(duì)角線最短，AA′1＝eq\r(62＋52)＝eq\r(61)(cm)．故選C.2．(多選)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，AC1⊥平面α.平面α截此正方體所得的截面有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()A．截面形狀可能是正三角形B．截面的形狀可能是正方形C．截面形狀可能是正五邊形D．截面面積的最大值為3eq\r(3)答案AD解析對(duì)于A，當(dāng)α截此正方體所得截面為B1CD1時(shí)滿足，故A正確；對(duì)于B，由對(duì)稱性得截面形狀不可能為正方形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由對(duì)稱性得截面形狀不可能是正五邊形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)截面為正六邊形時(shí)面積最大，為6×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝3eq\r(3)，故D正確．故選AD.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．將一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括()A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱C．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái) D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐答案D解析從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，如圖所示．故選D.2．(2024·衡水模擬)將12根長(zhǎng)度相同的小木棍通過黏合端點(diǎn)的方式(不可折斷)，不可能拼成()A．正三棱柱 B．正四棱錐C．正四棱柱 D．正六棱錐答案D解析A，B，C中的圖形均可由12根長(zhǎng)度相同的小木棍通過黏合端點(diǎn)的方式得到；對(duì)于D，因?yàn)檎呅蔚闹行牡搅鶄€(gè)頂點(diǎn)的距離都等于邊長(zhǎng)，所以正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)總比底邊長(zhǎng)，故D不成立．故選D.3．(2023·濟(jì)南一模)已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，用斜二測(cè)畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(6),4)C．2eq\r(2) D．2eq\r(6)答案B解析S原圖＝eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝eq\r(3)，由斜二測(cè)畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系eq\f(S直觀圖,S原圖)＝eq\f(\r(2),4)，得S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)×eq\r(3)＝eq\f(\r(6),4).故選B.4．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個(gè)問題：“今有木長(zhǎng)二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏木兩周，上與木齊，問葛長(zhǎng)幾何？”意思是“圓木長(zhǎng)2丈4尺，圓周長(zhǎng)為5尺，葛藤?gòu)膱A木的底部開始向上生長(zhǎng)，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長(zhǎng)多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個(gè)問題中，葛藤長(zhǎng)的最小值為()A．2丈4尺 B．2丈5尺C．2丈6尺 D．2丈8尺答案C解析由題意，圓柱的側(cè)面展開兩次后是一條直角邊(即圓木的高)長(zhǎng)24尺，另一條直角邊長(zhǎng)5×2＝10尺的矩形，因此葛藤長(zhǎng)的最小值為eq\r(242＋102)＝26(尺)，即為2丈6尺．故選C.5.通用技術(shù)老師指導(dǎo)學(xué)生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺(tái)形容器，用如圖所示的圓環(huán)沿虛線剪開得到的一個(gè)半圓環(huán)(其中小圓和大圓的半徑分別是1cm和4cm)制作該容器的側(cè)面，則該圓臺(tái)形容器的高為()A.eq\f(\r(3),2)cm B．1cmC.eq\r(3)cm D.eq\f(3\r(3),2)cm答案D解析由已知圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，不妨設(shè)上、下底面圓的半徑分別為rcm，Rcm(r<R)，則2πr＝π×1，2πR＝π×4，解得r＝eq\f(1,2)，R＝2.所以圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，其上、下底邊的長(zhǎng)分別為1cm和4cm，腰長(zhǎng)為3cm，即AD＝1cm，BC＝4cm，AB＝3cm，過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，所以BH＝eq\f(3,2)cm，AH＝eq\f(3\r(3),2)cm，該圓臺(tái)形容器的高為eq\f(3\r(3),2)cm.故選D.6．過棱長(zhǎng)為1的正方體的一條體對(duì)角線作截面，則截得正方體的截面面積的最小值是()A．1 B.eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(6),2)答案D解析取AA1的中點(diǎn)E，CC1的中點(diǎn)F，連接BE，ED1，D1F，F(xiàn)B，如圖所示．四邊形BED1F為過棱長(zhǎng)為1的正方體的一條體對(duì)角線BD1所作截面的面積最小的截面，且四邊形BED1F是菱形，其截面面積為eq\f(1,2)BD1·EF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).故選D.7.如圖所示，在單位正方體ABCD－A1B1C1D1的面對(duì)角線A1B上存在一點(diǎn)P，使得AP＋D1P取得最小值，則此最小值為()A．2 B.eq\f(\r(2)＋\r(6),2)C．2＋eq\r(2) D.eq\r(2＋\r(2))答案D解析如圖所示，把對(duì)角面A1C繞A1B旋轉(zhuǎn)至A1BC′D1′，使其與△AA1B在同一平面上，連接AD1′，則AD1′＝eq\r(1＋1－2×1×1×cos135°)＝eq\r(2＋\r(2))為所求的最小值．故選D.8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4) D.eq\f(\r(5)＋1,2)答案C解析如圖，O為正方形ABCD的中心，E為CD的中點(diǎn)．設(shè)CD＝a，PE＝b，則PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4))，由題意，得PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化簡(jiǎn)得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4)(負(fù)值舍去)．故選C.二、多項(xiàng)選擇題9.(2023·池州期中)如圖，我們常見的足球是由若干個(gè)正五邊形和正六邊形皮革縫合而成．如果我們把足球抽象成一個(gè)多面體，它有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的棱有3條，設(shè)其頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F與棱數(shù)E滿足V＋F－E＝2，據(jù)此判斷，關(guān)于這個(gè)多面體的說法正確的是()A．共有20個(gè)六邊形 B．共有10個(gè)五邊形C．共有90條棱 D．共有32個(gè)面答案ACD解析由題意，設(shè)共有m個(gè)正五邊形，n個(gè)正六邊形，即eq\f(5m＋6n,3)＋(m＋n)－eq\f(5m＋6n,2)＝2，解得m＝12，故B錯(cuò)誤；∵頂點(diǎn)數(shù)V＝eq\f(5m＋6n,3)＝60，解得n＝20，故A正確；棱數(shù)E＝eq\f(5m＋6n,2)＝90，故C正確；面數(shù)F＝m＋n＝32，故D正確．故選ACD.10．(2024·成都模擬)如圖是由斜二測(cè)畫法得到的水平放置的△ABC的直觀圖△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1邊上的中線，則由圖形可知下列結(jié)論中正確的是()A．AB＝BC＝AC B．AD⊥BCC．AB⊥BC D．AC>AD>AB>BC答案CD解析由直觀圖知△ABC為直角三角形，AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，D為BC的中點(diǎn)，如圖所示，又A1B1＝B1C1，故A，B錯(cuò)誤，C，D正確．11.在通用技術(shù)課上，某小組將一個(gè)直三棱柱ABC－A1B1C1展開，得到的平面圖如圖所示，其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1上的點(diǎn)，則()A．AM與A1C1是異面直線B．AC⊥A1MC．平面AB1C將三棱柱截成兩個(gè)四面體D．A1M＋MC的最小值是eq\r(106)答案ABD解析由題設(shè)，得如圖1所示直三棱柱，由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，AM與A1C1是異面直線，A正確；因?yàn)锳A1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，則AC⊥平面AA1B1B，又A1M?平面AA1B1B，故AC⊥A1M，B正確；由圖1知，平面AB1C將三棱柱截成四棱錐B1－ACC1A1和三棱錐B1－ABC，一個(gè)五面體和一個(gè)四面體，C錯(cuò)誤；將平面AA1B1B和平面CC1B1B展開到一個(gè)平面內(nèi)，如圖2，當(dāng)A1，M，C共線時(shí)，A1M＋MC最小，為eq\r(106)，D正確．故選ABD.三、填空題12．若已知△ABC的直觀圖△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，則△ABC的面積為_________．答案eq\f(\r(6),2)a2解析如圖所示是△ABC的直觀圖△A′B′C′.作C′D′∥y′軸交x′軸于點(diǎn)D′，則C′D′對(duì)應(yīng)△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2×eq\r(2)×C′O′＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\r(6)a.而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)a·eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.13．過年了，小張準(zhǔn)備去探望奶奶，到商店買了一盒點(diǎn)心．為了美觀，售貨員用彩繩對(duì)點(diǎn)心盒做了一個(gè)捆扎(如圖1所示)，并在角上配了一個(gè)花結(jié)．彩繩與長(zhǎng)方體點(diǎn)心盒均相交于棱的四等分點(diǎn)處．設(shè)這種捆扎方法所用繩長(zhǎng)為l1，一般的十字捆扎(如圖2所示)所用繩長(zhǎng)為l2.若點(diǎn)心盒的長(zhǎng)、寬、高之比為2∶2∶1，則eq\f(l1,l2)的值為________．答案eq\f(\r(2),2)解析設(shè)點(diǎn)心盒的長(zhǎng)為2a(a>0)，因?yàn)辄c(diǎn)心盒的長(zhǎng)、寬、高之比為2∶2∶1，所以點(diǎn)心盒的寬、高分別為2a，a.如題圖1，繩長(zhǎng)l1＝4×eq\f(\r(2),2)a＋4×eq\r(2)a＝6eq\r(2)a，如題圖2，繩長(zhǎng)l2＝4×2a＋4a＝12a，所以eq\f(l1,l2)＝eq\f(6\r(2)a,12a)＝eq\f(\r(2),2).14．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為________．答案26eq\r(2)－1解析先求面數(shù)，有如下兩種解法．解法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分有9個(gè)面，共有2×9＋8＝26個(gè)面．解法二：一般地，對(duì)于凸多面體，頂點(diǎn)數(shù)(V)＋面數(shù)(F)－棱數(shù)(E)＝2.(歐拉公式)由題圖知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24.故由V＋F－E＝2，得面數(shù)F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱長(zhǎng)．作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，則正八邊形的邊長(zhǎng)即為棱長(zhǎng)．連接AF，過H，G分別作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分別為M，N，則AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f(\r(2),2)x.又AM＋MN＋NF＝1，∴eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1，∴x＝eq\r(2)－1，即半正多面體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)－1.四、解答題15．一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4πcm2，25πcm2，求：(1)圓臺(tái)的高；(2)將圓臺(tái)還原為圓錐后，圓錐的母線長(zhǎng)．解(1)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm.又由題意知腰長(zhǎng)AB＝12cm，所以圓臺(tái)的高AM＝eq\r(122－（5－2）2)＝3eq\r(15)(cm)．(2)如圖所示，延長(zhǎng)