內(nèi)蒙古自治區(qū)2024-2025學年高三數(shù)學上學期10月月考理科含解析

Page22內(nèi)蒙古自治區(qū)2024-2025學年高三數(shù)學上學期10月月考（理科）（試卷總分：150分考試時間：120分鐘）第I卷選擇題（共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則的取值為（）A.-3 B.3 C.-1 D.1【答案】C【解析】【分析】由題意可得：，進而得到且，即得解.【詳解】∵，∴且，∴．故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，若·a=2+bi，其中a，b均為實數(shù)，則b的值為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)和復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為，所以，因此，所以且則.故選：A3.已知向量，均為單位向量，且，則（）A.-7 B.7 C.-13 D.13【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意可得，再依據(jù)數(shù)量積運算律即可得解.【詳解】解：因為向量，均為單位向量，且，所以，則.故選：A.4.視察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】1=12，

2+3+4=32，

3+4+5+6+7=52，

4+5+6+7+8+9+10=72，

…，

由上述式子可以歸納：

左邊每一個式子均有2n-1項，且第一項為n，則最終一項為3n-2

右邊均為2n-1的平方

故選C點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過視察個別狀況發(fā)覺某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．5.拋物線上的一點到其焦點的距離等于（）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】C【解析】【分析】首先由點求出拋物線方程，即可得到拋物線的準線方程，再依據(jù)拋物線的定義計算可得；【詳解】解：因為點在拋物線上，所以，解得，所以拋物線方程為，所以準線為，所以，故選：C6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A.2 B.1 C. D.-1【答案】A【解析】【分析】由循環(huán)結(jié)構(gòu)中值的改變可知，值呈周期形式，利用周期，求出輸出的值.【詳解】由循環(huán)結(jié)構(gòu)可知，，；，；，；，；…所以S的值以-1，，2的形式循環(huán)（），當時，，輸出的.故選：A7.在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點.點P為線段EF上的動點.則下面結(jié)論中錯誤的是（）A. B.平面C. D.是銳角【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量解決問題.【詳解】以D為坐標原點，分別以DA，DC，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，則，，，，所以，A正確；因為，平面，平面，所以平面，B正確；，所以，所以，C正確；，當時，，此時為鈍角，故D錯誤.故選：D8.已知等比數(shù)列的公比，且前4項和為40，，則（）A.9 B.18 C.81 D.36【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列通項公式、前項和公式的基本量運算求解．【詳解】∵，∴，即，∴．又∵，∴．由，解得．則．故選：C．9.若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解法一：設(shè)圓錐底面半徑為，高為，依據(jù)∽可得，即，利用錐體的體積公式，然后利用基本不等式求最值；解法二：同解法一，利用導數(shù)求最值；解法三：設(shè)，可得，，即，設(shè)，利用二次函數(shù)配方即可求解.【詳解】解法一：如圖，設(shè)圓錐底面半徑為，高為.由∽可得，即，則，所以，因為，所以，當且僅當，即時取等號，此時圓錐體積最小，最小值為.因為該球的體積為，所以該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為.解法二：如圖，設(shè)圓錐底面半徑為，高為.由∽可得，即，則，所以令，則，當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即時，該圓錐體積最小，最小值為.又其內(nèi)切球體積為.所以該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為，解法三：設(shè)，則，所以，又，所以，所以，令，因為，當且僅當時取得最大值，從而圓錐體積最小，最小值為.因為該球的體積為，所以該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為，故選：D.【點睛】本小題考查圓錐的內(nèi)切球、幾何體的體積、基本不等式等基礎(chǔ)學問，考查空間想象實力、推理論證實力、運算求解實力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、考查數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.10.某市某校在秋季運動會中，支配了籃球投籃競賽.現(xiàn)有20名同學參與籃球投籃競賽，已知每名同學投進的概率均為0.4，每名同學有2次投籃機會，且各同學投籃之間沒有影響.現(xiàn)規(guī)定：投進兩個得4分，投進一個得2分，一個未進得0分，則其中一名同學得2分的概率為A.0.5 B.0.48 C.0.4 D.0.32【答案】B【解析】【分析】事務(wù)“第一次投進球”和“其次次投進球”是相互獨立的，利用對立事務(wù)和相互獨立事務(wù)可求“其中一名同學得2分”的概率.【詳解】設(shè)“第一次投進球”為事務(wù)，“其次次投進球”為事務(wù)，則得2分的概率為.故選B.【點睛】本題考查對立事務(wù)、相互獨立事務(wù)，留意互斥事務(wù)、對立事務(wù)和獨立事務(wù)三者之間的區(qū)分，互斥事務(wù)指不同時發(fā)生的事務(wù)，對立事務(wù)指不同時發(fā)生的事務(wù)且必有一個發(fā)生的兩個事務(wù)，而獨立事務(wù)指一個事務(wù)的發(fā)生與否與另一個事務(wù)沒有關(guān)系.11.設(shè)，為雙曲線的上，下兩個焦點，過的直線l交該雙曲線的下支于A，B兩點，且滿意，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，表示出，由勾股定理列式計算得，然后在，再由勾股定理列式，計算離心率.【詳解】由題意得，，且，如圖所示，設(shè)，由雙曲線的定義可得，，因為，所以，得，所以，在中，，即.故選：A【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；②只須要依據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)．12.已知函數(shù)，若對于隨意的、、，以、、為長度的線段都可以圍成三角形，則的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，可得，設(shè)，由對隨意的求得，進而可求得函數(shù)在區(qū)間的值域，由題意可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，，則，令，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當時，，則，，則，，構(gòu)造函數(shù)，其中，由，可得，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，可得.二次函數(shù)的對稱軸為直線，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，即.由于以、、為長度的線段都可以圍成三角形，所以，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了參數(shù)取值范圍的求解，以及構(gòu)成三角形的條件和利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域，屬于難題.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.同時擲兩枚骰子，則點數(shù)和為7的概率是__________.【答案】【解析】【分析】利用古典概型概率計算公式即得.【詳解】依題意，記拋擲兩顆骰子向上的點數(shù)分別為，，則可得到數(shù)組共有組，其中滿意的組數(shù)共有6組，分別為，，，，，，因此所求的概率等于.故答案為：.14.若的三個頂點的坐標分別為，，，則該三角形的外接圓的一般方程是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入三點坐標解方程組可得．【詳解】設(shè)的外接圓的一般方程為．∵的三個頂點的坐標分別為，，，∴可得方程組解得∴的外接圓的一般方程為．故答案為：．15.設(shè)函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為_______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)單調(diào)性、對稱性來求得的最小正周期.【詳解】在區(qū)間上具有單調(diào)性，區(qū)間的長度為，區(qū)間的長度為，由于，所以的一條對稱軸為，其相鄰一個對稱中心為，即，所以.故答案為：16.已知函數(shù)，，若對于，恒成立，則實數(shù)的取值集合是_______．【答案】##【解析】【分析】分類探討的符號，結(jié)合導數(shù)推斷的單調(diào)性，并題意探討與的符號，分析運算.【詳解】易知函數(shù)和函數(shù)的圖象均過點．①當時，，明顯成立；②當時，由可得：當時，則；當時，則；當時，則；∵，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，，∴，則；當時，則有：若，則，故成立；若，則，故成立；若，則，當時，，當時，，∴當時，，故成立；故符合題意；③當時，，即，∴不符合題意綜上所述：的取值集合是.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．17.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿意．（1）求A；（2）若為銳角三角形，且，求的面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊角，然后由三角恒等變換求得；（2）由銳角三角形求得的范圍，利用正弦定理把用表示，利用三角函數(shù)的恒等變換及正切函數(shù)性質(zhì)得的范圍，從而可得三角形面積范圍．【小問1詳解】∵，∴結(jié)合正弦定理有．∵，∴，∴，即，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即．【小問2詳解】∵為銳角三角形，∴，，∴，．．由正弦定理，得．∵，∴，∴，∴，故的面積的取值范圍是．18.如圖1，已知直四棱柱，側(cè)棱且垂直于底面，光線沿方向投影得到的主視圖是直角梯形（如圖2），E，F(xiàn)分別是棱，上的動點，且．（1）證明：無論點運動到BC的哪個位置，四邊形都為矩形；（2）當直線與平面所成角的正弦值為時，求CE的長．【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】（1）結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理、直棱柱的性質(zhì)證得四邊形都為矩形.（2）利用等體積法求得點到平面的距離，依據(jù)線與平面所成角的正弦值求得的長.【小問1詳解】在直四棱柱中，．又∵，∴．∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴四邊形為平行四邊形．∵側(cè)棱底面，平面，∴，∴平行四邊形為矩形．【小問2詳解】設(shè)點到平面的距離為，，則．∵，，，∴，∴．設(shè)直線與平面所成的角為．∵，∴，化簡得，∴，即CE長為1.19.隨著人民生活水平的日益提高，汽車普遍進入千家萬戶，尤其在近幾年，新能源汽車涌入市場，越來越受到人們喜愛．某新能源汽車銷售企業(yè)在2017年至2024年的銷售量y（單位：萬輛）數(shù)據(jù)如下表：年份2017年2024年2024年2024年2024年年份代號x12345銷售量y（萬輛）1718202223（1）依據(jù)數(shù)據(jù)資料，可用線性回來模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）求出y關(guān)于x的線性回來方程，并預(yù)料2024年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為多少萬輛？附注：參考數(shù)據(jù)：，，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，線性回來方程中，，其中為樣本平均值．【答案】（1）見解析（2）24.8【解析】【分析】（1）由參考公式及參考數(shù)據(jù)干脆計算即可；（2）先計算出線性回來方程，再代入即可.【小問1詳解】由參考公式和參考數(shù)據(jù)可得：，明顯接近1，故y與x有很好的擬合關(guān)系；【小問2詳解】由參考公式得，由表中數(shù)據(jù)可得：，，故，∴回來直線方程為，又2024年對應(yīng)的代號為6，故，由此預(yù)料2024年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為24.8萬輛.20.已知橢圓經(jīng)過點，橢圓的左、右焦點分別是，，經(jīng)過的動直線交橢圓于P，Q兩點，且當時，．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線，直線AP，AQ分別與直線交于不同的兩點D，E，證明：以線段DE為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點，并求出全部的定點坐標．【答案】（1）（2）證明見解析；定點坐標為，【解析】【分析】（1）依據(jù)條件用a，b，c表示P點的坐標，再依據(jù)橢圓的定義即可求出a，b，c；（2）設(shè)直線PQ的方程為，以及P，Q點的坐標，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理求出P，Q點坐標之間的關(guān)系，再設(shè)定以DE為直徑的圓與x軸的交點為M，則有，據(jù)此即可求出M點的坐標.【小問1詳解】設(shè)，，則當時，點的橫坐標為，將代入橢圓方程，得，整理得．故此時，∵橢圓經(jīng)過點，∴，由橢圓的定義，得，∴，∴，∴，∴橢圓的方程為；【小問2詳解】由（1）可知，故．由于直線AP，AQ分別與直線交于不同的兩點D，E，故直線PQ的斜率不為零．設(shè)直線PQ的方程為，，，聯(lián)立得，∴，∴，∴，而直線AP的方程為，令，得D點縱坐標，故；直線AQ的方程為，同理，得，設(shè)以線段DE為直徑的圓與軸的交點為，則，即，則，∴，即或，因此以線段DE為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個定點，并且定點坐標為，；綜上，橢圓方程C為，定點坐標為，.【點睛】本題計算量比較大，這是圓錐曲線習題的特點，其中運用DE是直徑，則有，并運用向量的數(shù)量積表達是奇妙的地方，值得學習.21.已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，證明：．【答案】（1）答案不唯一，詳細見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，然后在時，恒成立，時，求出的根，然后確定的正負得單調(diào)性；（2）由（1）知當時，存在兩個極值點，同時得出，，，不妨設(shè)，變形，然后對不等式分析只要證和．兩個不等式轉(zhuǎn)化時都是多元函數(shù)化為一元函數(shù)，然后引入新函數(shù)，利用導數(shù)進行證明．【小問1詳解】∵，當且僅當時等號成立．當時，恒有，則在上單調(diào)遞增；當時，，令，．∵，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，，明顯，∴當和時，；當時，．∴當和時，，∴在和上單調(diào)遞增；當時，，∴在上單調(diào)遞減．綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】證明：由（1）知，當時，存在兩個極值點，∴，，∴，，∴．設(shè)，由（1）易知，∴．要證明，只要證明．設(shè)，則，∴當時，單調(diào)遞增，從而，即，∴成立，從而成立．要證明，只要證明．由（1）知，，，只要證明．設(shè)，則，，則當時，單調(diào)遞增，從而；則當時，單調(diào)遞減，從而，即成立，從而．綜上，得．【點睛】本題考查用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，用導數(shù)證明不等式，解題關(guān)鍵是利用變量的關(guān)系多元化一元，然后引