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文檔簡介

拓展拔高4極值點偏移問題【高考考情】極值點偏移是指函數在極值點左右的增減速度不一樣,導致函數圖象不具有對稱性.極值點偏移問題常常出現在高考數學的壓軸題中,這類題往往對思維要求較高,過程較為煩瑣,計算量較大,難度大.【研究對象】一般地,證明兩數x1,x2之和(之積)的不等式問題,常涉及函數的極值點偏移.解決極值點偏移問題的關鍵是消元,有時待證的結論需要利用不等式轉化變形.

視角一

極值點偏移問題之消參減元、比值代換[例1]已知函數f(x)=lnx-ax(x>0),a為常數,若函數f(x)有兩個零點x1,x2(x1≠x2).證明:x1x2>e2.

視角二

極值點偏移問題之消參減元、差值代換[例2]若函數f(x)=x-aex+b(a>0,b∈R)有兩個不同的零點x1,x2,證明:x1+x2<-2lna.

思維升華差值換元法的解題策略(1)取差構元:記s=t2-t1,則t2=t1+s,利用該式消掉t2.(2)巧解消參:利用g(t1)=g(t2),構造方程,解之,利用s表示t1.(3)構造函數:依據消參之后所得不等式的形式,構造關于s的函數G(s).(4)轉化求解:利用導數研究函數G(s)的單調性和最值,從而證得結論.

x(-∞,1)1(1,+∞)h'(x)+0-h(x)單調遞增單調遞減

所以F'(x)≥0,所以F(x)在[1,+∞)上單調遞增,又因為F(1)=0,所以x>1時,F(x)>F(1)=0,即當x>1時,h(x)>h(2-x),則h(x1)>h(2-x1),又h(x1)=h(x2),所以h(x2)>h(2-x1),因為x1>1,所以2-x1<1,所以x2,2-x1∈(-∞,1),因為h(x)在(-∞,1)上單調遞增,所以x2>2-x1,所以x1+x2>2得證.思維升華對稱構造法,主要用來解決與兩個極值點之和(積)相關的不等式問題.其解題要點如下:(1)定函數極值點:利用導函數符號的變化判斷函數的單調性,進而確定函數的極值點x0;(2)構造函數:根據極值點構造對稱函數F(x)=f(x)-f(2x0-x);(3)判斷單調性:利用導數討論F(x)的單調性;(4)比較大小:判斷函數F(x)在某段區(qū)間上的正負,并得出f(x)與f(2x0-x)的大小關系;(5)轉化:利用函數f(x)的單調性,將f(x)與f

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