工程力學(xué)復(fù)習(xí)知識點

一、靜力學(xué)

1.靜力學(xué)基本概念

（1）剛體

剛體：形狀大小都要考慮的，在任何受力情況下體內(nèi)任意兩點之間的距離始

終保持不變的物體。在靜力學(xué)中，所研究的物體都是指剛體。所以，靜力學(xué)也叫

剛體靜力學(xué)。

（2）力

力是物體之間的相互機械作用，這種作用使物體的運動狀態(tài)改變（外效應(yīng)）

和形狀發(fā)生改變（內(nèi)效應(yīng)）。在理論力學(xué)中僅討論力的外效應(yīng)，不討論力的內(nèi)效

應(yīng)。力對物體的作用效果取決于力的大小、方向和作用點，因此力是定位矢量，

它符合矢量運算法則。

力系：作用在研究對象上的一群力。

等效力系：兩個力系作用于同一物體，若作用效應(yīng)相同，則此兩個力系互為

等效力系。

（3）平衡

物體相對于慣性參考系保持靜止或作勻速直線運動。

（4）靜力學(xué)公理

公理1（二力平衡公理）作用在同一剛體上的兩個力成平衡的必要與充分條

件為等大、反向、共線。

公理2（加減平衡力系公理）在任一力系中加上或減去一個或多個平衡力系，不

改變原力系對剛體的外效應(yīng)。

推論（力的可傳性原理）作用于剛體的力可沿其作用線移至桿體內(nèi)任意點，

而不改變它對剛體的效應(yīng)。

在理論力學(xué)中的力是滑移矢量，仍符合矢量運算法則。因此，力對剛體的

作用效應(yīng)取決于力的作用線、方向和大小。

公理3（力的平行四邊形法則）作用于同一作用點的兩個力，可以按平行四

邊形法則合成。

推論（三力平衡匯交定理）當(dāng)剛體受三個力作用而平衡時，若其中任何兩個

力的作用線相交于一點，則其余一個力的作用線必交于同一點，且三個力的作用

線在同一個平面內(nèi)。

公理4（作用與反作用定律）兩個物體間相互作用力同時存在，且等大、反

向、共線，分別作用在這兩個物體上。

公理5（剛化原理）如變形物體在已知力系作用下處于平衡狀態(tài)，則將此物

體轉(zhuǎn)換成剛體，其平衡狀態(tài)不變?？梢姡瑒傮w靜力學(xué)的平衡條件對變形體成平衡

是必要的，但不一定是充分的。

（5）約束和約束力

1）約束：阻礙物體自由運動的限制條件。約束是以物體相互接觸的方式構(gòu)

成的。

2）約束力：約束對物體的作用。約束力的方向總與約束限制物體的運動方

向相反。表4.1-1列出了工程中常見的幾種約束類型、簡圖及其對應(yīng)的約束力的

表示法。其中前7種多見于平面問題中，后4種則多見于空間問題中。

表4.1-1工程中常見約束類型、簡圖及其對應(yīng)約束力的表示

約束類約束簡圖約束力矢量圖約束力描述

型

作用點：物體接觸點

方位：沿柔索

x

[方向：背離被約束物體

柔索類大?。捍?/p>

A______——A__

這類約束為被約束物體提供拉力。

G%

單面約束：

作用點：物體接觸點

土方位：垂直支撐公切面

方向：指向被約束物體

大小：待求

,這類約束為物體提供壓力。

光滑面葭

接觸

雙面約束：假設(shè)其中一個約束面與物體接觸，繪制約束力，

N

a不能同時假設(shè)兩個約束面與物體同時接觸。

：作用點：物體接觸點

方位：垂直共切面

方向：指向被約束物體

大小：待求

這類約束為物體提供壓力。

作用點：物體接觸點

短鏈桿47方位：沿鏈桿兩較點的連線

（鏈桿）廣A方向：不定

大小：待求

作用點：物體接觸點，過較中心

方位：不定

中間較

方向：不定

（連接'

大?。捍?/p>

較）)4

用兩個方位互相垂直，方向任意假設(shè)的分力，

表示該約束處的約束力

作用點：物體接觸點，過較中心

A二方位：不定

固定較1方向：不定

大?。捍?/p>

用兩個方位互相垂直，方向任意假設(shè)的分力，表示該約束處的約束力

輻軸支J-t作用點：物體接觸點，過錢中心

座（活動方位：垂直支撐面

錢）方向：不定

大小：待求

在約束面內(nèi)既不能移動也不能轉(zhuǎn)動，用兩個

方位互相垂直、方向任意假設(shè)的兩個分力表

.J____________J

固定端45nCT

'1'示限制移動的力，用作用面與物體在同一平

面內(nèi)的、轉(zhuǎn)向任意假設(shè)的集中力偶表示限制

轉(zhuǎn)動的力偶。

-X_Y向可微小移動，用方位互相垂直、方向任

向心軸意假設(shè)的兩個分力，表示限制徑向的移動

4CJ_______I

承4

三個方向都不允許移動，用三個互相垂直的

I

J力表示限制的移動。

止推軸

承卜

Xy

Z*空間任意方向都不允許移動，用方位相互垂

直，方向任意的三個分力來代替這個約束力

球形較必

X.

三個軸向都不允許移動和轉(zhuǎn)動，用三個方位

空間固Z,、相互垂直的分力來代替限制空間移動的約束

4

定端X憶,力，并用三個矢量方位相互垂直，轉(zhuǎn)向任意

X的力偶代替限制轉(zhuǎn)動的約束力偶

（6）受力分析圖

受力分析圖是分析研究對象全部受力情況的簡圖。其步驟是：

1）明確研究對象，解除約束，取分離體；

2）把作用在分離體上所有的主動力和約束力全部畫在分離體上。

（7）注意事項

畫約束力時，一定按約束性質(zhì)和它們所提供的約束力的特點畫，并在研究對

象與施力物體的接觸處畫出約束力；會判斷二力構(gòu)件和三力構(gòu)件，并根據(jù)二力平

衡條件和三力匯交定理確定約束力的方位；對于方向不能確定的約束力，有時可

利用平衡條件來判定；若取整體為分離體時，只畫外力，不畫內(nèi)力，當(dāng)需拆開取

分離體時，內(nèi)力則成為外力，必須畫上；一定注意作用力與反作用力的畫法，這

些力的箭頭要符合作用與反作用定律；在畫受力分析圖時，不要多畫或漏畫力，

要如實反映物體受力情況；畫受力分析圖時，應(yīng)注意復(fù)校（鏈接兩個或兩個以上

物體的較）、作用于錢處的集中力和作用于相鄰剛體上的線分布力等情況的處理

方法。

2.力的分解、力的投影、力對點之矩與力對軸之矩

（1）力沿直角坐標(biāo)軸的分解和力在軸上的投影

F=F；+F；+F；=Fj+Fyj+F:k

式中：7、無分別是沿直角坐標(biāo)軸x、y、z軸的基矢量；底、耳、豆分

別為聲沿直角坐標(biāo)軸的分力；以、G、工分別為聲在直角坐標(biāo)軸X、y、Z軸

上的投影，且分別為（如圖4.1-1）

Fx=Fcosa=Fxycos<4=Fsinycos0

Fy=FcosP=F“sin°=Fsin7sin°

F,-Fcos/

式中：a、夕、/分別為F與各軸正向間的夾角；網(wǎng)則為尸在。到平面上的投

影，如圖4.1-1所示。

（2）力對點之矩（簡稱力矩）

在平面問題中，力聲對矩心。的矩是個代數(shù)量，即

Mo（F）=±Fa

式中。為矩心點至力戶作用線的距離，稱為力臂。通常規(guī)定力使物體繞矩心轉(zhuǎn)動

為逆時針方向時，上式取正號，反之則取負(fù)號。

在空間問題中，力對點之矩是個定位矢量，如圖4.1-2,其表達式為

圖4.1-2

z=M

^o^)o=rxF=(yF2-zFy)'i+(zFx-xFz)j+(<xFy-yFx)k

力矩的單位為N?加或利?加。

(3)力對軸之矩

力F對任一z軸之矩為力F在垂直z軸的平面上的投影對該平面與z軸交點。之

矩,即

M1{F）=Mo[F^=±Fxya=±2AOA'B'

其大小等于二倍三角形04所的面積，正負(fù)號依右手螺旋法則確定，即四指與力

聲的方向一致，掌心面向軸，拇指指向與z軸的指向一致，上式取正號，反之取

負(fù)號。顯然，當(dāng)力聲與矩軸共面（即平行或相交）時，力對軸之矩等于零。其單

位與力矩的單位相同。

從圖4.1-3中可見，夕的面積等于△。鉆面積在049平面（即。xy面）

上的投影。由此可見，力戶對z軸之矩“二（國等于力聲對z軸上任一點。的矩

Mo（F）在z軸上的投影，或力F對點0的矩（邛在經(jīng)過。點的任一軸上的投

影等于力聲對該軸之矩。這就是力對點之矩與對通過該點的軸之矩之間的關(guān)系。

即

"仍）=["。㈤]=俎-ZF,

"㈤=["。伍）]=密-組

（4）合力矩定理

當(dāng)任意力系合成為一個合力盤時，則其合力對于任一點之矩（或矩矢）或任

一軸之矩等于原力系中各力對同點之矩（或矩矢）或同軸之矩的代數(shù)和（或矢量

和）。

"（蜃）=Z底'（瓦）力對點之矩矢

“（外）=?&＞（耳）力對點之矩

以（耳）=?"（4）力對軸之矩

3.匯交力系的合成與平衡

（1）匯交力系:諸力作用線交于一點的力系。

（2）J「交力系合成結(jié)果

根據(jù)力的平行四邊形法則，可知匯交力系合成結(jié)果有兩種可能：其一，作用

線通過匯交點的一個合力耳，為耳=工6；其二，作用線通過匯交點的一個合力

可等于零，即耳=Z4=0,這是匯交力系平衡的充要條件。

（3）匯交力系的求解

求解匯交力系的合成與平衡問題各有兩種方法，即幾何法與解析法，如表

4.1-2所示。對于空間匯交力系，由于作圖不方便一般采用解析法。

表4.1-2求解匯交力系的兩種方法

合力耳平衡條件耳=（）

幾何法按力的多邊形法則，得匯交力系的力的多邊形示意力的多邊形自行封閉

圖，其開口邊決定了合力的大小和方位及指向，指向

是首力的始端至末力的終端

解析平面匯交力瓦=(Z&A+(ZG)7

法系2X=o

*，—(外)E%=o

cos(%,=^/cos(%1/)=^/X、y軸不相互平行；有兩個

獨立方程，可解兩個未知量

空間匯交力

系IX=0

3*+")2+孚)2

cos(外,'=之cos(與,/)=￥/

x、y、z軸不共面；有三個

COS(FR?=3Z

獨立方程，可解三個未知量

4.力偶理論

（1）力偶與力偶矩

1）力偶（冗聲）：等量、反向、不共線的兩平行力組成的力系。

2）力偶的性質(zhì)：力偶沒有合力，即不能用一個力等效，也不能與一個力平衡。

力偶對物體只有旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，沒有移動效應(yīng)。力偶在任一軸上的投影為零。力偶只

能與力偶等效或平衡。

3）力偶矩：力偶的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)決定于力偶矩，其計算如表4.1-3所述。

表4.1-3力偶矩的計算

平面力偶矩空間力偶矩矢

m=±Fd大?。篎d

逆時針轉(zhuǎn)向取正號；反之取負(fù)號方位：依右手螺旋法則，即四指與力的方向一致，掌

心面向矩心，拇指指向為力偶矩矢的矢量方向。

代數(shù)量自由矢量

力偶矩的單位：N?加或A7V?根

力偶的等效條件：

等效的力偶矩矢相等

推論1：只要力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動或移動，或從剛體的一個平面移

到另一個相互平行的平面上，而不改變其對剛體的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。

推論2：在力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可任意改變力偶的力的大小和力偶臂的長短，

而不改變其對剛體的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。

力偶矩與力對點之矩的區(qū)別：力偶矩與矩心位置無關(guān)，而力對點之矩與矩心位置有關(guān)

表中，尸為組成力偶的力的大小，。為力偶中兩個力作用線間的垂直距離，稱為

力偶臂。

（2）力偶系的合成與平衡

力偶系合成結(jié)果有兩種可能，即一個合力偶或平衡。具體計算時，通常采用

解析法，如表4.1-4所述。

表4.1-4力偶的合成與平衡的解析法

平面力偶系空間力偶系

合成合力

MM=Z"=Z組7+

偶

平衡

M=￡仍=0M=￡網(wǎng)=￡”/+￡%j+EM=o

平衡方程

Z叫=oZ2y=oE叫『0

可求解一個未知量

X、y、z軸不共面；可求解三個未知量

表中，加女、小小、，既分別為力偶矩矢班在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影。

注意，力偶中兩個力聲和下，對任一X軸之矩的和等于該力偶矩矢記在同一軸

上的投影，即

機＜（/^+團、=叫=mcosa

式中，a為質(zhì)矢量與x軸的夾角。

（3）匯交力系和力偶系的平衡問題

首先選取分離體；然后畫分離體受力分析圖，在分析約束力方向時，注意利

用力偶只能與力偶相平衡的概念來確定約束力的方向；接下來，列寫平衡方程，

對于力的投影方程，盡量選取與未知力垂直的坐標(biāo)軸，使參與計算的未知量的個

數(shù)越少越好，盡量使一個方程求解一個未知量，而力偶系的平衡方程與矩心的選

取沒有關(guān)系，注意區(qū)分力偶的矢量方向或是轉(zhuǎn)向，確定好投影的正方向；最后求

出結(jié)果，結(jié)果的絕對值表示大小，正負(fù)號表示假設(shè)方向是否與實際的指向一致，

正號代表一致，負(fù)號則表示相反。

5.一般力系的簡化與平衡

（1）力線平移定理

作用在剛體上的力，若其向剛體上某點平移時，不改變原力對剛體的外效應(yīng),

必須對平移點附加一個力偶，該附加力偶矩等于原力對平移點之矩。

同理，根據(jù)力的平移定理可得：共面的一個力尸和一個力偶〃?可合成為一個

合力尸，合力廠的大小、方向與原力相等，其作用線離原力作用線的距離為

〃=|%。

（2）任意力系的簡化

1）簡化的一般結(jié)果

根據(jù)力線平移定理，可將作用在剛體上的任意力系向任一點0（稱為簡化中

心）簡化，得到一個作用在簡化中心的共點力系和一個附加力偶系，進而可以合

成為一個力和一個力偶。該力等于原力系向簡化中心簡化的主矢，該力偶的力偶

矩等于原力系對簡化中心的主矩。

主矢耳=z左作用線通過簡化中心。

［空間:皈立而閭

主矩/一、

1［平面：

注：主矢的方向和大小與簡化中心無關(guān)，只與原力系中各個分力相關(guān)，其作用線

仍通過簡化中心；主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。

2）簡化的最后結(jié)果

任意力系向一點簡化后的最后結(jié)果，見表4.1-5。

表4.1-5任意力系向一點的簡化的最后結(jié)果

主矢主矩最后結(jié)說明

果

平衡任意力系的平衡條件

耳=27，=。皈=0或乩=0

合力偶此主矩與簡化中心無關(guān)

西,0或此w0

合力合力的作用線過簡化中心

耳=工瓦。。皈=0或

皈HO用

合力的作用線離簡化中心的距離為d=

力螺旋力螺旋中心軸（力的作用線）過簡化中心

皈,0耳〃豆

力螺旋中心軸（力的作用線）離簡化中心的距離為

FR與Mo成a

角

Msina/|

d=o

3）平行分布的線載荷的合成

①平行分布線載荷和線載荷集度

平行分布線載荷：沿物體中心線分布的平行力，簡稱線載荷。

線載荷集度：沿單位長度分布的線載荷，以q表示，其單位為%或

②同向線荷載合成結(jié)果

同向線荷載合成結(jié)果為一個合力耳，該合力的大小和作用線位置依據(jù)合力

投影定理和合力矩定理求得。

均勻分布和線性分布的線載荷合成結(jié)果如表4.1-6所述。

表4.1-6線載荷合成結(jié)果

均勻分布的線載荷線性分布的線載荷

火中R

力學(xué)簡R

*

圖

I

一

合成結(jié)作用在分布線長度中點的一個合力，其作用線的作用在距離線載荷集度為零的分布長度的2

果方向與線載荷的方向一致3

處，也就是距離線載荷集度最大的分布長度的

工處，其作用線的方向與線載荷的方向一致

3

大小

R—qlR=-ql

2

（3）力系的平衡條件與平衡方程

任意力系平衡條件：力系向任一點簡化的主矢和主矩都等于零，即

1匹=2匹（耳）=0

表4.1-7列出了各力系的平衡方程。但應(yīng)當(dāng)指出，在空間力系和空間平行力系的

平衡方程組中，其投影方程亦可用對軸的力矩方程來替代。當(dāng)然，該力矩方程必

須是獨立的平衡方程，即可用它來求解未知量的平衡方程。

表4.1-7力系的平衡方程

力系名■

平衡方程的表示形式

稱的數(shù)目

標(biāo)準(zhǔn)式一力矩式二力矩式2

"=0IX閭=0

IX闖=0

4YFiy=0

說（X、y軸不平行，不重合）（A點和匯交點0的（A、8連線不能通過匯交點。）

明連線不能垂克X軸）

Jj

Z/=01

偶

系

平

標(biāo)準(zhǔn)式二力矩式2

行

力2X=。2>/月)=。

系

ZX(K)=°1X(耳)=。

說（Z軸不能垂直各力）

（A、8連線不能和各力平行）

明

任標(biāo)準(zhǔn)式二力矩式三力矩式3

-x*r.

忌2X=。SX(K)=oZX(K)=o

力

系

2X=°2X(號)=?！?(耳)力

1X(E)=°F=oZX(E)=o

Y—ix

說

（X、y軸不平行，不重合）（A、5連線不（4、8、C三點不共線）

明

能垂直x軸）

匯

空標(biāo)準(zhǔn)式一力矩式二力矩式三力矩式3

交

間

力2X=。zx=。2>閭=02X(司=0

力

系

系

%=。=02X(K)=o2X(K)=o

-YFiy

%=。1X(耳)=0YF=o1X(耳)旬

說（任意兩根軸不能平行、重（Z軸不能通過匯（y、z軸不能通過（X、）、Z三軸沒有共同交點：如有一直線經(jīng)過

匯交點：不能在y、

明合）交點：Z軸不能垂匯交點且和x、y兩軸有交點，則此宜線不能為z

直8軸和y軸所Z軸上軸；z軸也不能和繹過匯交點且和*,y兩軸有交

組成的平面；z軸找到兩點A、6,使點的直線平行或相交；從匯交點不能引一直線

和匯交點所組成和x、y,z三軸相交）

A,B和匯交點°

的平面不能垂直

%軸和y軸組成共線：如y、z軸有

的平面）交點，則》軸不能垂

直此交點和匯交點的

連線）

力

標(biāo)準(zhǔn)式

偶3

系

=0

2X(習(xí)

=。

閭

IX

6)=°

1X(

平

矩式

三力

標(biāo)準(zhǔn)式

行3

力

)=o

2X(K

。

(訃

2X

耳)=o

2X(

)=0

系1X(耳

耳)=0

1X(

）

直z軸

,面垂

行各力

（Z軸平

說

x

和

軸不能

.則z

為L

直線

力的

行各

點平

過°

°，經(jīng)

交點