高中理科數(shù)學(xué)高考解答題解法總結(jié)及專項(xiàng)訓(xùn)練資料

高中理科數(shù)學(xué)高考解答題解法總結(jié)

數(shù)學(xué)解答題是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類重要題型，通常是高考的把關(guān)題和壓軸題，具有較好的

區(qū)分層次和選拔功能.目前的高考解答題已經(jīng)由單純的知識(shí)綜合型轉(zhuǎn)化為知識(shí)、方法和能力

的綜合型解答題.在高考考場(chǎng)上，能否做好解答題，是高考成敗的關(guān)鍵，因此，在高考備考

中學(xué)會(huì)怎樣解題，是一項(xiàng)重要的內(nèi)容.從歷年高考看這些題型的命制都呈現(xiàn)出顯著的特點(diǎn)和

解題規(guī)律，從閱卷中發(fā)現(xiàn)考生“會(huì)而得不全分”的大有人在，針對(duì)以上情況，本節(jié)就具體的

題目類型，來(lái)談一談解答數(shù)學(xué)解答題的一般思維過(guò)程、解題程序和答題格式，即所謂的“答

題模板”.

“答題模板”就是首先把高考試題納入某一類型，把數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程劃分為一個(gè)個(gè)小題,

按照一定的解題程序和答題格式分步解答，即化整為零.強(qiáng)調(diào)解題程序化，答題格式化，在

最短的時(shí)間內(nèi)擬定解決問(wèn)題的最佳方案，實(shí)現(xiàn)答題效率的最優(yōu)化.

【常見(jiàn)答題模板展示】

模板一三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

試題特點(diǎn)：通過(guò)升、降暴等恒等變形，將所給三角函數(shù)化為只含一種函數(shù)名的三角函數(shù)(一般

化為y=Asin(5+0)+&(A00,/#0),然后再研究三角函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶

性、周期性、對(duì)稱性、最值等.

求解策略：觀察三角函數(shù)中函數(shù)名稱、角與結(jié)構(gòu)上的差異，確定三角化簡(jiǎn)的方向.

U-J31

例11河北省冀州市高三一輪復(fù)習(xí)檢測(cè)一】已知向量加=(cos2x,>—sinx--cosx),

22

?=(1,—sinx--cosx),設(shè)函數(shù)/(x)=/n邯.

(I)求函數(shù)/(x)取得最大值時(shí)x取值的集合：

31

(II)設(shè)A,B,C為銳角三角形A8C的三個(gè)內(nèi)角.若cosB=g,/(C)=--,求sinA

的值。

思路分析：(I)首先運(yùn)用三角恒等變換(如倍角公式、兩角和與差的正弦余弦公式)對(duì)其進(jìn)

行化簡(jiǎn)，然后運(yùn)用三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)即可得出/(x)取得最大值所滿足的無(wú)取值的集合;

(II)由題意可得sin(3-2C)=-且.然后運(yùn)用已知條件可得出角C的大小，再由同角三角

32

函數(shù)的基本關(guān)系可得sin8,最后由兩角和的正弦公式即可得出所求的結(jié)果.

解析：(I)f(x)=cos2x+sinx--cosx)2

C,3.212V3.、1,3c.3.c、

=cos2x+(—sinx+—cosx----sinxcosx)=——(——cos2x-\----sin2x)

442244

=g-告sin(2x-1).要使/(x)取得最大值，須滿足sin(2x—取得最小值.

TTTTTT

2x--=2kn--,keZ.x=kTi-—,keZ..?.當(dāng)/(x)取得最大值時(shí)，x取值的集合為

兀

{x\x=kn----,kGZ}.

（II）由題意，得4口（^—2（7）=--^「「‘€（0,；）,_二々一2,€（—專,々）

.4...413石_4+3后

sin￡=y...sin/=疝(3+C)=sin8cosc+cos8sinC爹+丁

210

點(diǎn)評(píng)：高考對(duì)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的考查主要圍繞三角函數(shù)解析式的確定以及三角函數(shù)的

周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性的展開，本題在三角函數(shù)解析式的確定上呈現(xiàn)的非常好.

【規(guī)律總結(jié)】答題模板

第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成y=/sin（。矛+。）十方的形式或尸/fcos（3x+。）+力

的形式.

71

如：/(x)=2sin(2x+—)+1.

第二步：根據(jù)/Xx）的表達(dá)式求其周期、最值.

第三步：由sin腔cosx的單調(diào)性，將"3葉看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題.

第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論.

第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.

【舉一反三】

1.【湖北】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（5+e）（。＞0,|?|＜/在某一個(gè)周期內(nèi)的

圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

n3兀

（wc+（p0n271

2T

Tl571

X

3~6

Asin(s+e)05-50

（I）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)/（x）的解析式；

（H）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)夕（。＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象.若

y=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(正，0),求。的最小值.

【解析】(I)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=5,切=2,夕=-四.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表:

713兀

CDX+（p0712兀

2T

n717兀5兀13

X—71

12T71~612

Asin（69x+°）

050-50

且函數(shù)表達(dá)式為/(%)=5sin(2%--).

(II)由(I)知/(x)=5sin(2x-與，得式乃=5sin(2x+20-).因?yàn)閥=曲工的對(duì)稱中心為M0),

O0

keZ.

令2x+29一空f(shuō)or,解得“=萼+[-%keZ.由于函數(shù)尸g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)蔡，0)成中心對(duì)稱，

o21212

令與+言-"*解得尢eZ.由"0可知，當(dāng)k=l時(shí),B取得最小值9

2121223O

模板二三角變換與解三角形

試題特點(diǎn)：題中出現(xiàn)邊與角的關(guān)系或者給定向量的關(guān)系式，利用正、余弦定理或利用向量的

運(yùn)算，將向量式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再進(jìn)行有關(guān)的三角恒等變換解三角形.

求解策略：(1)利用數(shù)量積公式、垂直與平行的主要條件轉(zhuǎn)化向量關(guān)系為三角問(wèn)題來(lái)解決.(2)

利用正、余弦定理進(jìn)行三角形邊與角的互化.

例2【河北省武邑中學(xué)高三上學(xué)期期末考試】已知A鉆C的面積為S,且荏?ZZ'=S.

(1)求tan2A的值;

(2)若8=2,CB-CA=3,求AABC的面積S.

4

思路分析：(1)利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及面積公式化簡(jiǎn)已知等式，求出tanA的值即

可；(2)由tanA與tanB的值，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式求出tanC的值，進(jìn)而求出

sinC的值，利用正弦定理求出分的值，再利用三角形面積公式即可求出S.

------1

解析：(1)設(shè)&OC的角4夙C所對(duì)應(yīng)的邊分別為0,瓦c,,.?45/C=S,.?.從8sx=—治而/,

2

t3n

.".COSJ4=—sinA,tanA=2.tan24=2..=_f.

2l-tau2J3

(2)無(wú)一而=3,即|羽=c=3,?.?tanA=2,0<A<W，,sinA=^-,cosA=—.

2A/5V2V5V23M

/.sinC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB-j------由正弦

525210

定理知：一--=nb=——-sinB=V5,S=—bcsinA=—y/5-3=3.

sinCsinBsinC225

點(diǎn)評(píng)：解三角形的兩條思路要牢記：邊角互化與使用三角恒等變換公式，其中正、余弦定理

是常使用的，其作用就是邊角互化，用一句話概括：“化邊化角整體待，三角變換用起來(lái)”

【規(guī)律總結(jié)】答題模板

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)注出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.

第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.

第三步：求結(jié)果.

第四步：回顧反思，在實(shí)施邊角互化的時(shí)候應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的方向，一般有兩種思路：一是全部

轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系；二是全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進(jìn)行恒等變形.

【舉一反三】

【湖南】設(shè)A4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=btanA,且8為鈍角.

7t

(1)證明：B-A=-；

2

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

解析：(1)由0二匕由/及正弦定理，得絲且=2=2吆，,5k3=85/,即4。5=向(9+K),

cosAbsinB2

TT"'li'll7T

又5為鈍角，因此，+4e(」■㈤，故8=上+4,即劣-4=2?:(2)由(1)知，C=萬(wàn)一(4+3)

2222

'Ji7/_7/

7T-(2A+-)=--2A>Qf于是sinN+sinC=sinZ+sin(，-2⑷

2242

=sinZ+8s2Z=—2sin，X+sin/+1=-2(sin4—I)"+?,<0<X<2>「?0<sinZ<,因此

4842

FyioaPya

^-<-2(siDX--)2+-<-,由此可知sinJ+sinC的取值范圍是(一,/?

24o828

模板三離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差

試題特點(diǎn)：主要考查古典概型、幾何概型，等可能事件的概率計(jì)算公式，互斥事件的概率加

法公式，對(duì)立事件的概率減法公式，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，事件在〃次獨(dú)立重復(fù)試

驗(yàn)中恰好發(fā)生人次的概率計(jì)算公式等五個(gè)基本公式的應(yīng)用及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)

期望、方差等內(nèi)容.

求解策略：(1)搞清各類事件類型，并溝通所求事件與已知事件的聯(lián)系.(2)涉及“至多”、

“至少”問(wèn)題時(shí)要考慮是否可通過(guò)計(jì)算對(duì)立事件的概率求解.(3)注意識(shí)別特殊的二項(xiàng)分布.(4)

在概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題中，能利用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)提取相關(guān)信息用于解題.

例3【江西省吉安市第一中學(xué)高三上學(xué)期第四次周考數(shù)學(xué)理試題】某校校慶，各屆校友紛至沓

來(lái)，某班共來(lái)了〃位校友(〃>8,且〃？N*),其中女校友6位，組委會(huì)對(duì)這〃位校友登記制

作了一份校友名單，現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為

“最佳組合”..

(1)若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于;，求〃的最大值；

(2)當(dāng)〃=12時(shí)，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)

學(xué)期望E(X).

思路分析：(1)由題可知，所選兩人為“最佳組合”的概率2=。："RzL

〃(〃一1)2

由此能求出〃的最大值.(2)由題意得，X的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率，

由此能求出X的分布列和均值.

解析：由題意可知，所選2人為“最佳組合”的概率為冬g=畢二，則號(hào)“二?>i

鞏萬(wàn)一1Jj2

化簡(jiǎn)得25“+14440,解得9OM16,故”的最大值為16；

(2)由題意可得，X的可能取值為0,b2

貝UP(X=O)=*=(,P(X=1)=等=《j(X=2)=景=(,

X的分布列為

X012

565

P

227722

E")=L

點(diǎn)評(píng)：解決概率問(wèn)題首先要考慮是考查哪種概率類型；其次要弄清互斥事件、相互獨(dú)立事件

的概率計(jì)算；再次在研究概率的前提下找出隨機(jī)變量的所有可能取值、列出分布列、求解期

望，注意特殊分布的公式的運(yùn)用.

【規(guī)律總結(jié)】答題模板

第一步：確定離散型隨機(jī)變量的所有可能值.

第二步：求出每個(gè)可能值的概率.

第三步：畫出隨機(jī)變量的分布列.

第四步：求期望和方差.

第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.如本題可重點(diǎn)查看隨機(jī)變量的所有可

能值是否正確；根據(jù)分布列性質(zhì)檢查概率是否正確.

【舉一反三】

【湖南】某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4

個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的

2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng).

（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；

（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

【解析】《1）記事件4=（從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝,4=｛從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球）

4=（顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)）,4=（顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)）,C=｛顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)）,由題意，

4與4相互獨(dú)立，44與44互斥，4與與互斥，且4=44，4=44+44,0=用+%,

，,汽4）=H，汽4）=記=g,，尸區(qū)人尸（44）=尸（4）尸（4>=,x[=:，

玳+尸尸尸（》尸（

P（B2）=W值+44）=（44）=^（4）（1-（4））+Q-44）

=W*1—g）+Q一令xg=￡,故所求概率為尸（。=尸（4+4）=尸（用）+玳品）=：+2=正：（2）顧

客抽獎(jiǎng)3次獨(dú)立重復(fù)試臉，由（1）知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為:，?5（3,；）,

于是P（X=0）=C共）。令3=黑,"=1）=展）守=展,

P(X=2)=*呷喧，

141

p(X=3)=C^(-)3(-)0=—,故X的分布列為

X0123

P6448121

125125125125

13

X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3x-=~.

模板四立體幾何中位置關(guān)系的證明及空間角的計(jì)算問(wèn)題

試題特點(diǎn)：立體幾何解答題主要分兩類：一類是空間線面關(guān)系的判定和推理證明，主要是證

明平行和垂直；另一類是空間幾何量（空間角、空間距離、幾何體體積與面積）的計(jì)算.

求解策略：（1）利用“線線=線面=面面”三者之間的相互轉(zhuǎn)化證明有關(guān)位置關(guān)系問(wèn)題：①

由已知想未知，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合來(lái)找證題思路；②利用題設(shè)條件的

性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一.（2）空間幾何量的計(jì)算，常用方法是依

據(jù)公理、定理以及性質(zhì)等經(jīng)過(guò)推理論證，作出所求幾何量并求之.一般解題步驟是“作、證、

求”.

例4【江西省吉安市第一中學(xué)高三上學(xué)期第四次周考】如圖，是圓。的直徑，C是圓。

上異于A,8的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DC垂直于圓。所在的平面，DC//EB,DC=EB=l,AB=4.

（1）求證：QEA平面ACO；

思路分析：（1）由線面垂直得DC1BC,由圓周角性質(zhì)得AC1BC,從而BC±平面ACD,

由此能證明DEL平面ACO.（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，C。為z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面ABE所成的銳二面角的余弦值.

解析：（1）;6J■面d5c，二DC_L5C,又是圓。的直徑，二ACr>DC=C,AC,DC

面/CD,二5cl_面ZCD,又,.?。。〃郎刀。=邱:四邊形3CDE是平行四邊形，

二DE/ABC二DEJL平面ACD

A(2在0,0),D(0,0,1),B(0,2&,0),E(0,2⑸)

AD=(-2&,0』)，OE=(0,2j5,0),設(shè)平面AOE的一個(gè)法向量為勺=(x,y,z),則

jnt?AD-2V2x+z=0

1

|nx?DE2y/2y=0'令"=1,得〃|=(1,0,2血),設(shè)平面48E的一個(gè)法向量為

&=(x,y,z),則

j〃]?A8-l'Jlx+2\[2y=0

jn,?5Ez=0，令％=1，得巧=。,1,0卜

1V2

cos(Hj,n“x〃2

2NIMI，，平面AE。與平面ABE所成的銳二面角的余弦值為

?

6

點(diǎn)評(píng)：尋找立體幾何的解題思路重點(diǎn)把握好以下幾點(diǎn)：一是要有轉(zhuǎn)化與化歸的意識(shí)，即將線

線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系之間的問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化；二是要有平面化的思想，即將空間問(wèn)題

轉(zhuǎn)化到某一平面處理；三是割補(bǔ)的意識(shí)，即將原幾何體分割或補(bǔ)形，使之成為新的、更方便

處理的幾何體；四是要用好向量這個(gè)強(qiáng)有力的工具.

【規(guī)律總結(jié)】答題模板

第一步：根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化.

第二步：寫出推證平行或垂直所需的條件，條件要充分.

第三步：寫出所證明的結(jié)論.

第四步：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出特殊點(diǎn)坐標(biāo).

第五步：求（或找）兩個(gè)半平面的法向量.

第六步：求法向量m的夾角或COS〈功，〃2〉（若為銳二面角則求Icos〈〃1,功〉）.

第七步：將法向量的夾角轉(zhuǎn)化為二面角的夾角.

第八步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.

【舉一反三】

【北京】如圖，在四棱錐A-EFCB中，為等邊三角形，平面的，平面EFCB,

EF//BC,8c=4,EF=2a,ZEBC=ZFCB=60°,。為的中點(diǎn).

（I）求證：AOIBE；

（ID求二面角廣—他一8的余弦值;

(Ill)若8EJ_平面AOC,求a的值.

【解析】

(I)由于平面的_L平面EFCB,△田為等邊三角形，。為m的中點(diǎn)，則±EF,

根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以4。，平面EFCB,又BEu平面EPCB,則AO_L8E.

(II)取CB的中點(diǎn)D,連接0D,以0為原點(diǎn)，分別以困0從QA為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

X0,0弧)，虱a,0,0),M2,2依-扃0),茄=(a,0,-^a),EB=(2-a,2函-扁0),由

于平面物1與y軸垂直，則設(shè)平面血的法向量為q=(0,1,0),設(shè)平面陋的法向量弓=(矛,y,1),

zjj_LAE,ax=0,x=-Jz,弓A.EB,(2—a)x+(26—&a)y=0,y=—1,則

%=(6,-LI),二面角尸的余弦值cos〈q,q)=3=」=-*,由二面角

同佃加5

F-AE-B為鈍二面角，所以二面角H-AE-B的余弦值為一.

5

(III)有(1)知4。_L平面EFCB,則AO1BE,若3EJ_平面AOC,只需應(yīng)1I0C,

旗=(2-a,2囪—島,0),又0C=(-2,273-舊a,0),

BE-0C=-2(2-a)+(2囪-6a￥=0,解得a=2或a=由于a<2,則

3

4

a--

3

模板五數(shù)列通項(xiàng)公式及求和問(wèn)題

試題特點(diǎn)：數(shù)列解答題一般設(shè)兩到三問(wèn)，前面兩間一般為容易題，主要考查數(shù)列的基本運(yùn)算,

最后一問(wèn)為中等題或較難題，一般考查數(shù)列的通項(xiàng)和前〃項(xiàng)和的求法、最值等問(wèn)題.如果涉

及遞推數(shù)列，且與不等式證明相結(jié)合，那么試題難度大大加強(qiáng).

求解策略：(1)利用數(shù)列的有關(guān)概念求特殊數(shù)列的通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和.(2)利用轉(zhuǎn)化與化歸思

想（配湊、變形）將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列（主要解決遞推數(shù)列問(wèn)題）.（3）利用錯(cuò)位

相減、裂項(xiàng)相消等方法解決數(shù)列求和.（4）利用函數(shù)與不等式處理范圍和最值問(wèn)題.

例5【江西省吉安市第一中學(xué)高三上學(xué)期第四次周考】已知數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為5“，且

2sN）.

（1）求數(shù)列｛qj的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)/=——,C?求數(shù)列｛c,J的前〃項(xiàng)和北.

1嗎an+V/7

3

an-\

v即可求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可

思路分析:（1）根據(jù)an=<

S「S“T，〃N2

得勿=」，，可得C”^=4=-7^，然后再采用裂項(xiàng)相消即可求出結(jié)果?

n、n（〃+1）品J〃+l

【解析】（1）當(dāng)"=1時(shí)，由2E=l-a“，得：q=g.由2s,=l-a”①

2以=1—-22）②上面兩式相減，得：4=；*（">2）所以數(shù)列｛&｝是以首項(xiàng)為；，

公比為g的等比數(shù)列，得：4=去（冊(cè)"）

⑵b=，=1c與-?

“jog,4iog/1'jn''7w（n+1）gv?+i

WM!喘〉（旨好…+（左-就卜一高

點(diǎn)評(píng)：高考數(shù)列大題常常以等差和等比數(shù)列為背景進(jìn)行設(shè)置，以遞推式為載體，與相關(guān)知識(shí)

交匯的力度在加大，總體上難度有所上升.重點(diǎn)考查仍然是數(shù)列的通項(xiàng)、求和、累加法、累乘

法、錯(cuò)位相減法、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系、數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、不等式的放縮等.

【規(guī)律總結(jié)】答題模板

第一步：令〃=1,由S=f（a“）求出國(guó).

第二步：令〃》2,構(gòu)造a0=S,-用a“代換S—ST（或用￡—ST代換&,這要結(jié)合題目

特點(diǎn)），由遞推關(guān)系求通項(xiàng).

第三步：驗(yàn)證當(dāng)〃=1時(shí)的結(jié)論是否適合當(dāng)〃》2時(shí)的結(jié)論.

如果適合，則統(tǒng)一“合寫”；如果不適合，則應(yīng)分段表示.

第四步：寫出明確規(guī)范的答案.

第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.本題的易錯(cuò)點(diǎn)，易忽略對(duì)〃=1和

分兩類進(jìn)行討論，同時(shí)忽視結(jié)論中對(duì)二者的合并.

【舉一反三】

【新課標(biāo)1】S”為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.已知。“>0,a：+a“=4S”+3.

(I)求｛%｝的通項(xiàng)公式;

(II)設(shè)d=」一，求數(shù)列電｝的前n項(xiàng)和.

q4小

【解析】(I)當(dāng)〃=1時(shí)，d+勿[=4S]+3=4q+3,因?yàn)?>0,所以。1=3,當(dāng)〃22時(shí)，

a+a

nn--*=4S”+3-4S”_]-3=4應(yīng)，即(a?+an_^(an-%)=2(a?+%)，因?yàn)?/p>

%>0,所以4=2,所以數(shù)列｛勺｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，所以為=2〃+1；

(H)由(I)知,-------------=—(-------------)所以數(shù)列｛4｝前n項(xiàng)和為

(2n+1)(2〃+3)22〃+12〃+3

,,,_lrJkJL「I1」1

g++2可(??？+(]■++(五TT赤？'=1而不

模板六圓錐曲線中的探索性問(wèn)題

試題特點(diǎn)：主要考查圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)

系，涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、軌跡、范圍、定值、最值等問(wèn)題與探索存在性問(wèn)題.本模板就探索性

問(wèn)題加以總結(jié)

求解策略：突破解答題，應(yīng)重點(diǎn)研究直線與曲線的位置關(guān)系，要充分運(yùn)用一元二次方程根的

判別式和韋達(dá)定理，注意運(yùn)用“設(shè)而不求”的思想方法，靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”解題，要善于

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)具體特征選擇相應(yīng)方法.

廠V

例7【山西省康杰中學(xué)等四校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓C：F+==1(Q>8>0)的離心

ab~

率為手，以原點(diǎn)0為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線2x—J^y+6=0相切.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)A,B為動(dòng)直線y=A(x-2)供#0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，問(wèn)：在X軸上是否存在定

--*2.--*

點(diǎn)￡使得EA+EAAB為定值?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路分析：(1)確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方法為待定系數(shù)法，即列出兩個(gè)獨(dú)立條件即可：橢

圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓心到切線的距離，a=I26「屈,又e=Y5,因此c=2,

b2=a2-c2=2（2）存在性問(wèn)題，一般從假設(shè)存在出發(fā)，以算代求：假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)

E（m,0）,貝I」血？+應(yīng).而=（豆+而）.血=豆.市，而

EA.EB=（X1-風(fēng)％）?色-辦》2）=（石-㈤&-向+0%=0+1）砧-俾+加）（5+幻+（42+*），到此，

聯(lián)立直線方程與橢圓方程方程組，利用韋達(dá)定理代入求解得（3"-⑵〃+10）K+（--6）,要

1+3公

使上式為定值，即與k無(wú)關(guān),須滿足3m2-12^+10=3（/n2一6）,解得根=彳.

解析：（1）由6=逅得工=逅，即°=逅。①又以原點(diǎn)0為圓心，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)

3。33

為半徑的圓為d+y2=/,且與直線2x—J]y+6=0相切，所以△=J22+（五丫="

r2V2

代入①得c=2,所以〃=/_,2=2.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+2L=1

62

（2）由|不+5■一1得（1+3/）儲(chǔ)一12*4+1爐一6=0，設(shè)A（xl,yl）、B（x2,y2）,所以

[y=A（x-2）

天+巧=」嗎.不改=攔二，根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E（m,0）,使得

121+3/*1+3/

元/+麗.冠=（血+萬(wàn)）.麗=麗.麗為定值.則

EA-EB=（x]一八必）?（％2—機(jī)％）=（玉一㈤（乙一機(jī)）十'1%=

（左2+1卜/2-Q左2++*2）+（4左2+/〃？）=6、-lZ:+lg+（加-6）要使上式

7

為定值，即與k無(wú)關(guān)，3帆2-12m+10=3（加2-6）,得〃?=§.此時(shí)，

—1,9—?—?57

EA+石4-/3=機(jī)2-6=-§,所以在*軸上存在定點(diǎn)￡（彳，0）使得請(qǐng)+應(yīng).Q為定值,

且定值為-

點(diǎn)評(píng)：解答存在性問(wèn)題時(shí)可以考慮特殊化方法和逆推法，此類問(wèn)題對(duì)運(yùn)算能力要求較高，在

運(yùn)算過(guò)程中對(duì)式子的整理與變形尤為重要，滲透了函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化

與化歸思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想.

【規(guī)律總結(jié)】答題模板

第一步：假設(shè)結(jié)論存在.

第二步：以存在為條件，進(jìn)行推理求解.

第三步：明確規(guī)范表述結(jié)論.若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定正確；若推出矛盾，

即否定假設(shè).

第四步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.常常容易忽略A>0這一隱含條件以

及忽略直線AB與X軸垂直的情況.

【舉一反三】

【北京】已知橢圓C：三+2=1(〃>6>0)的離心率為冷，點(diǎn)P(0,1)和點(diǎn)A(m,”)(機(jī)關(guān)0)

都在橢圓C上，直線24交x軸于點(diǎn)

(I)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用加，〃表示)；

(H)設(shè)。為原點(diǎn)，點(diǎn)3與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線依交x軸于點(diǎn)N.問(wèn)：y軸上是否存在

點(diǎn)2，使得NOQM=NONQ?若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】(I)由于橢圓C：「+P佃>?>0)過(guò)點(diǎn)P(0,1)目離心率為孝，1=1,〃=1,

3瞪—心I1y2

/=[==1—4=』，/=2,橢圓C的方程為j+/=1.戶(0,DU,n),

a2a2a222

直線用的方程為：y=區(qū)」*+1,令y=0,*=二四一，：.3(J—,0)；

m1—z?1-z?

(II)-0,1),8(加,一加，直線外的方程為：y="3*+1,直線PB與X軸交于

m

點(diǎn)N'令了=。/=己，則以竹1，0).設(shè)。(0,幾),

m

-,tan乙ONQ=」-%（1+〃）

tanAOQM=

兀（1-n）y0mm

1+n

m兀（1+n）

AOQM=Z.ONQ,/.tan/OQM=tanZ.ONQ,則,所以

（1-〃）九m

22

九2-----7=—7=2,（注：點(diǎn)A（m,〃）（加WO）在橢圓C上,1）,則

1-77m2

2

y0=土收，存在點(diǎn)Q(0,±揚(yáng)使得NOQM=NONQ.

模板七函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問(wèn)題

試題特點(diǎn)：給定函數(shù)含有參數(shù)，常見(jiàn)的類型有/(x)=a?+法2+%+。，

f(x)=ax2+bx+c+d\nx,f(x)=(ax2+bx+c)-ex,根據(jù)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，按參數(shù)進(jìn)行

分類討論，求出單調(diào)性、極值、最值.

求解策略：(1)求解定義域；(2)求導(dǎo)(含二次函數(shù)形式的導(dǎo)函數(shù))；(3)對(duì)二次函數(shù)的二次

項(xiàng)系數(shù)、△判別式、根的大小進(jìn)行討論.

例7【湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三月考試卷(三)】已知函數(shù)/(力=[^-(其中a為常數(shù)).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)當(dāng)0＜水1時(shí)，設(shè)函數(shù)/'(X)的3個(gè)極值點(diǎn)為%,工2,知且％大式3.證明：石+七＞7=.

思路分析：(1)/(力=邛芋二令尸(x)=O,可得x=JL然后列表即可求出結(jié)果;

(2)利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)/(x)的3個(gè)極值點(diǎn)為“泡，毛，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性去判斷.

解析：⑴/(力=.(21門―1),令/(月=0,可得犬=&.列表如下：

Inx

X(0>1)(1.軻10(舊+00)

f'(x)--0+

f(X)誠(chéng)減極小值增

單調(diào)減區(qū)間為(0,1),(1,；增區(qū)間為(五,+8).

（x—21ux+——1j

⑵由題，尸（X）=----J——，對(duì)于函數(shù)Mx）=2Ex+2-l,有方?）=等0,??.函數(shù)

1DXXX

Mx）在（°目上單調(diào)遞減，在（|，+8）上單調(diào)遞增，.:函數(shù)〃X）有3個(gè)極值點(diǎn)%<%（馮，從而

町m（x）=&（g）=21ng+l<0,所以a<j,當(dāng)0<a<l時(shí)，/i（a）=21D?<0,/i（l）=o—1<0,.'.?

數(shù)〃x）的遞增區(qū)間有（4a）和（孫Xo）,遞減區(qū)間有（0烏），名），此時(shí)，函數(shù)〃x）有3個(gè)極

21n^+--1=0

值點(diǎn)，且巧“；..?當(dāng)0<。<1時(shí),與馮是函數(shù)Mx）=21nx+3-l的兩個(gè)零點(diǎn)，即有1不,

21D馮+——1=0

當(dāng)

令g（x）=2xlnx-x在（0,^■）上遞減，在

消去a有2玉InXj-x］=2&ln毛一七

(」,+00］上遞增，要證明玉+&>-言=芻>—苞=g（*3）>g一玉），工

g(%)>g(W),即證

g(xj>g(j_xj=g(x)_g(；%-%）>（）,構(gòu)造函數(shù)F（x）=g（尤）-gj-q,

???尸(十］=0,只需要證明xe0,-k單調(diào)遞減即可.而

2^-2x1

F'(%)=21n%+21n|-n=3—|+2,1叫”=今（—g>0,.?.尸（x）在0,；上單

r=~X

e

調(diào)遞增，.../（另〈/（十］=0,.?.當(dāng)0<a<l時(shí)2

,百+￡>"7=■.

、Ve

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的極值、最值問(wèn)題常常以含參形式出現(xiàn)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，要熟練掌握函數(shù)求

導(dǎo)公式、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具研究單調(diào)性的方法.

【規(guī)律總結(jié)】答題模板

第一步：確定函數(shù)的定義域.

第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)/（X）.

第三步：求方程f'(x)=0的根.

第四步：利用f(x)=0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開區(qū)

間，并列出表格.

第五步：由f(x)在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷/Xx)在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值.

第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論.

第七步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.常常容易易忽視定義域，對(duì)a不能正

確分類討論.

【舉一反三】【山東省日照市高三12月校際聯(lián)合檢測(cè)】已知二次函數(shù)

r(x)=av2-C2a-l)x+h(a,。為常數(shù)，a)的一個(gè)零點(diǎn)是2-L函數(shù)

a

g(x)=lnx,設(shè)函數(shù)/(x)=r(x)—g(x).

(1)求b的值，當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間：

(2)當(dāng)。<0時(shí)，求函數(shù)/(x)在區(qū)間1,1上的最小值；

(3)記函數(shù)y=/(x)圖象為曲線C,設(shè)點(diǎn)4(石,乂)，3(9,斗)是曲線C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)

M為線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作X軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N.判斷曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平

行于直線AB?并說(shuō)明理由.

【解析】(1)由2-,是函數(shù)/")=以2—(2l)x+Z?的零點(diǎn)可求得6=0.

a

"，/、/八-、12ax2+(l-26r)x-l(2ax+l)(x-l)「一八八

r(x)=2ax+(l-2a)--二--------------——=--------——因?yàn)椤?gt;0,x>0,

XXX

所以2女+1>0,解r(x)>(),得x>l,所以/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+8)

(2)當(dāng)。<0時(shí)，由/(力=0,得%=1,①當(dāng)一工>1,即一：<.<0時(shí)，/(x)l±(0,l)

2a2a2

上是減函數(shù)，所以/(X)在曰,1］上的最小值為〃D=l-a.②當(dāng)!二一二二1,即-細(xì)，

222a2

y(x)在［L—上是減函數(shù)，在』上是增函數(shù),所以y3的最小值為=.

22a2a2a4a

③當(dāng)即0<T時(shí)，/(x)在4」上是增函數(shù)，所以/(x)的最小值為巨°+山2.

2a22224

———。+1口2.a<—1

24

綜上，函數(shù)/(X)在4』］上的最小值［f(x)］噸=1-+皿-2或

24a2

1-42,——<a<0

(3)設(shè)MO。,%),則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為飛=正上，直線A8的斜率用=&"二'

2x.-x.

2

--------[a（x^—X2）+（1-2（7）（X1—x2）+lnx2—InxJ

x1—x2

=?(X,+X2)+(1-2?)+.玉%,曲線C在點(diǎn)N處的切線斜率

玉一9

k）=于,（x。）=2av（）+（1—2。）----

=a(玉+々)+(1-2。)一——,假設(shè)曲線C在點(diǎn)N處的切線平行于直線AB,則匕=6，

I

2(空—1)

即y&二嶼=一_g_,所以］nX=2(J.!)=-，不妨設(shè)$<寇=，>1,

%一九2%+9%%+/［|X2%

大

則ln/=^^，令g(/)=ln-^^(f>l)，^(0=--—=所以

14-Z1+/t(1+/)Z(14~Z)

g(/)在(l,+8)上是增函數(shù)，又g(l)=0,所以g(/)>0,即1必=竺』不成立，所以曲線

1+r

C在點(diǎn)N處的切線不平行于直線AB.

模板八含參不等式的恒成立問(wèn)題

試題特點(diǎn)：主要包括等式恒成立問(wèn)題和不等式恒成立問(wèn)題.

求解策略：(1)對(duì)于可化為二次函數(shù)型的等式與不等式恒成立問(wèn)題，可借助圖象列不等式(組)

求解.(2)通過(guò)移項(xiàng)，等式或不等式左右兩邊的函數(shù)圖象易畫，可畫圖求解.(3)將等式或不

等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的值域或最值問(wèn)題求解.

例8【河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期七調(diào)考試】已知函數(shù)4x)