滬教版八年級數學下冊期中期末滿分沖刺卷專題04多邊形平行四邊形(重點)(原卷版+解析)

專題04多邊形平行四邊形（重點）一、單選題1．如果一個多邊形的內角和是其外角和的兩倍，那么這個多邊形是（）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形2．一個凸多邊形的內角中最多有幾個銳角(

)A．個 B．個 C．個 D．個3．下列命題中，真命題的是（）A．一組對角相等且一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．一組對邊平行且一組對角互補的四邊形是平行四邊形C．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 D．一組鄰邊相等且一組對邊平行的四邊形是平行四邊形4．如圖，在平行四邊形中，，，，平分，下列結論錯誤的是()A． B． C． D．5．如圖，四邊形是平行四邊形，O是對角線與的交點，，若，，則的長是（）A．20 B．21 C．22 D．236．一個多邊形邊數每增加1條時，其內角和（

）A．增加 B．增加 C．不變 D．不能確定7．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．ABCD，ADCBC．AB＝CD，AD＝CB D．ABCD，AD＝CB8．已知點、點、點，以點A，B，C三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．如圖，在中，將沿折疊后，點恰好落在的延長線上的點處．若，，則的周長為（

）A．4 B．5 C．6 D．710．如圖，分別以的斜邊、直角邊為邊向外作等邊和等邊，為的中點，連接、，與相交于點，若，下列結論：①；②四邊形為平行四邊形；③；④．其中正確結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．一個多邊形的每一個外角都等于，那么這個多邊形的內角和是_____°．12．一個多邊形的內角和是1800°，則這個多邊形的邊數為______．13．在平行四邊形中，，那么___度．14．平行四邊形的對角線與相交于點O，如果那么的周長是_____．15．ABCD的周長為64cm，BC上高AE=6cm，CD上高AF=10cm，則ABCD的面積為_____cm2．16．如圖，平行四邊形中，，垂足分別是E、F，，則平行四邊形的周長為_______．17．如圖，在平行四邊形中，于點，于點，，且，則平行四邊形的周長為______．18．如圖，在?中，點在邊上，以為折痕，將向上翻折，點正好落在上的點處．若的周長為，的周長為，則的長為______．19．如圖，平行四邊形中，，則___________.20．如圖，已知中，垂直平分，且，點E為上一點，連接、，若，，則的長為______．三、解答題21．若一個多邊形的內角和的比一個四邊形的內角和多90°，那么這個多邊形的邊數是多少？22．已知：如圖，中，AE、CF分別是∠BAD和∠BCD的角平分線，分別交邊DC、AB于點E、F，求證：AE＝CF．23．已知：如圖，點E、G在平行四邊形ABCD的邊AD上，EG＝ED，延長CE到點F，使得EF＝EC．求證：AF∥BG．24．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是AD上一點，且BP和CP分別平分和，cm．(1)求平行四邊形ABCD的周長．(2)如果cm，求PC的長．25．如圖，在?ABCD中，AB＝AE．（1）求證：AC＝ED；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACD的度數．26．如圖，平行四邊形的對角線、交于點，，，連接．(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．27．已知：如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在BC邊上，交AC于點F，聯結BE．求證：四邊形BEFC為平行四邊形．28．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E、F分別在CD、BC的延長線上，且，聯結DF，使得，聯結AD、BE交于點G．(1)求證：BE和AD互相平分；(2)求證：EF⊥BF29．已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面積為9．點P為邊AB上動點，過點B作BD∥AC，交CP的延長線于點D．∠ACP的平分線交AB于點E．(1)如圖1，當CD⊥AB時，求PA的長；(2)如圖2，當點E為AB的中點時，請猜想并證明：線段AC、CD、DB的數量關系．30．如圖，OA，OB的長分別是關于x的方程x2-15x+50=0的兩根，且OA＞OB．請一起解決下列問題：(1)求直線AB的函數表達式；(2)如果P為線段AB上一點，而且BP=AB，聯結OP，求OP的函數的表達式；(3)在（2）的條件下，點Q為坐標平面內一點，如果以B、P、O、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標．專題04多邊形平行四邊形（重點）一、單選題1．如果一個多邊形的內角和是其外角和的兩倍，那么這個多邊形是（）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形【答案】A【分析】多邊形的外角和是，則內角和是．設這個多邊形是n邊形，內角和是，這樣就得到一個關于n的方程，從而求出邊數n的值．【解析】解：設這個多邊形是n邊形，根據題意，得，解得：．故這個多邊形是六邊形．故選：A．【點睛】本題考查了多邊形的內角與外角，熟記內角和公式和外角和定理并列出方程是解題的關鍵．根據多邊形的內角和定理，求邊數的問題就可以轉化為解方程的問題來解決．2．一個凸多邊形的內角中最多有幾個銳角(

)A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據任意凸多邊形的外角和是可知它的外角中，最多有個鈍角，則內角中，最多有個銳角．【解析】解：一個凸多邊形的內角中，最多有個銳角．理由是：因為凸多邊形的外角和是度，在外角中最多有個鈍角，如果超過個，則和一定大于度，多邊形的內角與外角互為鄰補角，所以外角中最多有個鈍角，內角中就最多有個銳角．故選：C．【點睛】本題考查多邊形的內角和外角，注意每個內角與其相鄰的外角是鄰補角，由于多邊形的外角和是不變的，所以要分析內角的情況可以借助外角來分析．3．下列命題中，真命題的是（）A．一組對角相等且一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．一組對邊平行且一組對角互補的四邊形是平行四邊形C．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 D．一組鄰邊相等且一組對邊平行的四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】對各個命題逐一判斷后找到正確的即可確定真命題．【解析】解：、一組對角相等且一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，如等腰梯形，原命題是假命題,不符合題意；B、一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題,不符合題意；C、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，原命題是真命題,符合題意；D、一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題,不符合題意；故選：C【點睛】此題主要考查了命題與定理，熟練利用相關定理以及性質進而判定舉出反例即可判定出命題正確性．4．如圖，在平行四邊形中，，，，平分，下列結論錯誤的是()A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平行四邊形的性質逐項分析判斷即可求解，【解析】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，故D正確；平分，，，，故C錯誤；，，故A正確；，，故B正確．故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，角平分線的定義，掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．5．如圖，四邊形是平行四邊形，O是對角線與的交點，，若，，則的長是（）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】A【分析】由四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的對角線互相平分，可得的長，然后由，，，根據勾股定理可求得的長，繼而求得答案．【解析】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．6．一個多邊形邊數每增加1條時，其內角和（

）A．增加 B．增加 C．不變 D．不能確定【答案】A【分析】根據多邊形的內角和公式：（n-2）?180°判斷即可．【解析】解：∵n邊形的內角和=（n-2）×180°，∴多邊形的邊數增加1，其內角和增加180°，故選：A．【點睛】本題考查多邊形的內角和公式，理解多邊形內角和公式是求解本題的關鍵．7．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．ABCD，ADCBC．AB＝CD，AD＝CB D．ABCD，AD＝CB【答案】D【分析】由平行四邊形的判定定理對邊對各個選項進行判斷即可．【解析】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、∵ABCD，ADCB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項B不符合題意；C、∵AB＝CD，AD＝CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、由ABCD，AD＝CB，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟記平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．8．已知點、點、點，以點A，B，C三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】試題分析：根據平行四邊形的邊的性質知，對邊相等．可以知道另一個頂點的坐標可以為：（1，﹣1）或（－3，1）或（3，1），∴不在第三象限．故選C．考點：1．坐標與圖形性質；2．平行四邊形的性質．9．如圖，在中，將沿折疊后，點恰好落在的延長線上的點處．若，，則的周長為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由平行四邊形的性質可得∠B=∠D=60°，AB=CD=1，與折疊的性質可得AE=AD，CD=CE=1，又由∠D=60°，可證△AED是等邊三角形，可得AD=AE=DE=2，即可求得的周長．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D=60°，AB=CD=1，∵將△ADC沿AC折疊后，點D恰好落在DC的延長線上的點E處，∴AE=AD，CD=CE=1，又∵∠D=60°，∴△AED是等邊三角形，∴AD=AE=DE=2，∴的周長=2（AB+AD）=2×(1+2)=6，故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，掌握折疊的性質是本題的關鍵．10．如圖，分別以的斜邊、直角邊為邊向外作等邊和等邊，為的中點，連接、，與相交于點，若，下列結論：①；②四邊形為平行四邊形；③；④．其中正確結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】首先證明Rt△ADF≌Rt△BAC，結合已知得到AE=DF，然后根據內錯角相等兩直線平行得到DFAE，由一組對邊平行且相等可得四邊形ADFE是平行四邊形，故②正確；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正確；由2AG=AF可知③正確；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可證Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正確．【解析】解：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．∵F是AB的中點，∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=AB．∴AD=2AF．∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴BC=AB，∴AF=BF=BC．在Rt△ADF和Rt△BAC中，AD＝BA，AF＝BC，∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），∴DF=AC，∴AE=DF．∵∠BAC=30°，∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，∴∠DFA=∠EAB，∴DFAE，∴四邊形ADFE是平行四邊形，故②正確；∴AD=EF，ADEF，設AC交EF于點H，∴∠DAC=∠AHE．∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，∴∠AHE=90°，∴EF⊥AC．①正確；∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴2GF=2GA=AF．∴AD=4AG．故③正確．在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正確，綜上，①②③④都正確．故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定、等邊三角形的性質、含30度角的直角三角形的性質、平行四邊形的判定及性質等，綜合性較強，熟練掌握上述性質、定理是解題的關鍵．二、填空題11．一個多邊形的每一個外角都等于，那么這個多邊形的內角和是_____°．【答案】1440【分析】由多邊形外角的性質可求解多邊形的邊數，再利用多邊形的內角和定理可求解．【解析】，．即這個多邊形的內角和是，故答案為：1440．【點睛】本題主要考查多邊形的內角與外角，求解多邊形的邊數是解題的關鍵．12．一個多邊形的內角和是1800°，則這個多邊形的邊數為______．【答案】12【分析】設這個多邊形的邊數為，根據多邊形內角和公式列出方程，解方程即可求解．【解析】解：設這個多邊形的邊數為，則，解得．故答案為：12．【點睛】本題考查了多邊形內角和公式，熟練掌握多邊形內角和公式是解題的關鍵．13．在平行四邊形中，，那么___度．【答案】100【分析】根據平行四邊形對角相等，鄰角互補即可求解．【解析】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，．∴．故答案為：100．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形對角相等，鄰角互補是解題的關鍵．14．平行四邊形的對角線與相交于點O，如果那么的周長是_____．【答案】【分析】利用平行四邊形的性質得出從而可得答案．【解析】解：∵是平行四邊形的對角線，，∴，∴的周長是：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質，掌握“平行四邊形的對角線互相平分”是解題關鍵．15．ABCD的周長為64cm，BC上高AE=6cm，CD上高AF=10cm，則ABCD的面積為_____cm2．【答案】120【分析】首先根據ABCD的周長，得出與的和，然后根據面積相等法，得出，然后把代入與的和中，即可算出的長，最后根據平行四邊形面積公式，即可得出ABCD的面積．【解析】解：∵ABCD的周長為64cm，∴cm，即cm，又∵，，∴，∴，把代入，可得：，可得：cm，∴cm2，故答案為：120【點睛】本題考查了平行四邊形的面積，解本題的關鍵在熟練掌握平行四邊形的面積公式．16．如圖，平行四邊形中，，垂足分別是E、F，，則平行四邊形的周長為_______．【答案】20【分析】由平行四邊形的性質得，再證，然后由含角的直角三角形的性質得即可解答．【解析】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴平行四邊形的周長，故答案為：20．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、含30°角的直角三角形的性質等知識點，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．17．如圖，在平行四邊形中，于點，于點，，且，則平行四邊形的周長為______．【答案】【分析】要求平行四邊形的周長就要先求出、的長，利用平行四邊形的性質和勾股定理即可求出結果．【解析】解：，，，則，，設，則，在中，根據勾股定理可得，，同理可得：，則平行四邊形的周長是，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，解題關鍵是利用平行四邊形的性質結合等腰直角三角形的性質、勾股定理來解決有關的計算和證明．18．如圖，在?中，點在邊上，以為折痕，將向上翻折，點正好落在上的點處．若的周長為，的周長為，則的長為______．【答案】6【分析】根據翻折變換的性質、平行四邊形的性質證明，此為解題的關鍵性結論；運用的周長為，求出的長，即可解決問題．【解析】解：如圖，四邊形為平行四邊形，，；由題意得：，；的周長為，的周長為，，，，即，，即；，故答案為：．【點睛】該題主要考查了翻折變換的性質、平行四邊形的性質等幾何知識點及其應用問題，解題的方法是準確找出圖形中隱含的等量關系；解題的關鍵是靈活運用翻折變換的性質、平行四邊形的性質等幾何知識點來分析、判斷、解答．19．如圖，平行四邊形中，，則___________.【答案】##162度【分析】證明△AMG≌△DMC，根據直角三角形中位線性質得出GM=MC=EM，等腰三角形底角相等求出∠EGM=54°，外角和求出∠EMC，平行線的性質求出∠EGM=∠DCM=54°，再求出∠DME．【解析】解：連接CM并延長，交BA延長線于G在△AMG和△DMC中∴△AMG≌△DMC（AAS）∴GM=MC又∵AB⊥EC，∴GM=MC=EM∵∠MEC=36°∴∠GEM=54°∴∠EGM=54°∴∠EMC=108°∵BGDC∴∠EGM=∠DCM=54°∵DM=DC∴∠DMC=54°∴∠DME=∠DMC+∠EMC=162°故答案為：162°．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、直角三角形的性質，解題的關鍵根據相關的性質求出相等的角．20．如圖，已知中，垂直平分，且，點E為上一點，連接、，若，，則的長為______．【答案】【分析】過點B作于M，由平行四邊形的性質得出，，，證明，由全等三角形的性質得出，，證明，由全等三角形的性質得出，設，則，，，由勾股定理列出方程可得出答案．【解析】解：過點B作于M，∵垂直平分，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，設，則，，，在中，，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．三、解答題21．若一個多邊形的內角和的比一個四邊形的內角和多90°，那么這個多邊形的邊數是多少？【答案】見解析【分析】設這個多邊形的邊數是n，再列方程，解方程即可得到答案．【解析】解：設這個多邊形的邊數是n，由題意得：，解得：答：這個多邊形的邊數是12．【點睛】本題考查的是多邊形的內角和定理，掌握利用一元一次方程解決多邊形的內角和問題是解題的關鍵．22．已知：如圖，中，AE、CF分別是∠BAD和∠BCD的角平分線，分別交邊DC、AB于點E、F，求證：AE＝CF．【答案】證明見解析【分析】根據平行四邊形的性質及角平分線的定義，證明△ADE≌△CBF即可判斷AE＝CF．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB＝∠DCB，∠D＝∠B，AD＝BC，∵AE、CF分別是∠BAD和∠BCD的角平分線，∴∠DAE＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質．證明線段相等的技巧一般是找到兩個線段的相關三角形，通過全等求解．23．已知：如圖，點E、G在平行四邊形ABCD的邊AD上，EG＝ED，延長CE到點F，使得EF＝EC．求證：AF∥BG．【答案】見解析【分析】連接FG，FD，GC，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定四邊形FGCD是平行四邊形，然后根據平行四邊形的對邊平行且相等可得FG∥DC，FG=DC，又四邊形ABCD也是平行四邊形，所以AB∥DC，AB=DC，從而得到AB∥FG，AB=FG，然后得到四邊形ABGF是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行即可得證．【解析】證明：連接FG，FD，GC．∵EG=ED，EF=EC，∴四邊形FGCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∴FG∥DC，FG=DC（平行四邊形對邊相等且平行），∵平行四邊形ABCD，∴AB∥DC，AB=DC，∴AB∥FG，AB=FG，∴四邊形ABGF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴AF∥BG．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，主要利用了對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊平行且相等，作出輔助線構造出平行四邊形是解題的關鍵．24．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是AD上一點，且BP和CP分別平分和，cm．(1)求平行四邊形ABCD的周長．(2)如果cm，求PC的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據角平分線可得，，由平行線的性質及等量代換得出，，依據等角對等邊可得cm，cm，即可求出平行四邊形的周長；（2）由（1）可得，，利用平行線的性質得出，結合各角之間的數量關系可得，在直角三角形中利用勾股定理即可得出結果．（1）解：∵BP、CP平分，，∴，，∵，∴，，∴，，∴cm，(cm)，∴(cm)，∴平行四邊形的周長為：(cm)；（2）解：由（1）可得，，∵，∴，∴，∴，∴在中，cm，∴(cm)．【點睛】題目主要考查平行四邊形的性質，等角對等邊及勾股定理解三角形，三角形內角和定理，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．25．如圖，在?ABCD中，AB＝AE．（1）求證：AC＝ED；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACD的度數．【答案】（1）見解析；（2）85°【分析】（1）△ABC和△EAD中已經有一條邊和一個角分別相等，根據平行的性質和等邊對等角得出∠B＝∠DAE即可證明ABC≌EAD（SAS），進而得出答案；（2）先證明ABE為等邊三角形，利用平行四邊形的性質求解即可．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．在△ABC和△AED中，，∴ABC≌EAD（SAS），∴AC＝ED．（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），∴∠DAE＝∠BAE；又∵∠DAE＝∠AEB，∠AEB＝∠B．∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．∴ABE為等邊三角形．∴∠BAE＝60°．∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°．∴∠ACD＝∠BAC＝85°．【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質，等邊三角形的判定與性質，三角形全等的判定與性質，（1）中能根據題意得出△ABC≌△EAD并證明是解題關鍵；（2）中能結合（1）推出△ABE為等邊三角形是解題關鍵．26．如圖，平行四邊形的對角線、交于點，，，連接．(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先證明四邊形是平行四邊形，推出，再證明即可；（2）只要證明，即可．（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．（2）∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查平行四邊形的性質和判定、平行線的性質和判定等知識．解題的關鍵是首先證明四邊形是平行四邊形．27．已知：如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在BC邊上，交AC于點F，聯結BE．求證：四邊形BEFC為平行四邊形．【答案】證明見解析【分析】證△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再證∠EBC+∠BCA＝180°，則BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出結論．【解析】證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠EBA＝∠DCA＝60°，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，∴∠EBC+∠BCA＝180°，∴BE∥CF，又∵EF∥BC，∴四邊形BEFC為平行四邊形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定、等邊三角形的性質、平行線的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的判定，證明△ABE≌△ACD是解題的關鍵．28．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E、F分別在CD、BC的延長線上，且，聯結DF，使得，聯結AD、BE交于點G．(1)求證：BE和AD互相平分；(2)求證：EF⊥BF【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到AB∥DE，從而證明四邊形ABDE是平行四邊形，即可得到結論；（2）根據等邊對等角得到∠DCF=∠DFC，再根據平行四邊形的性質得到AB=CD，AB=DE，推出DF=DE，則有∠DEF=∠DFE，結合三角形內角和求出∠BFE=90°，即可證明．【解析】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∵點E在CD的延長線上，∴AB∥DE，∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴BE和AD互相平分；（2）∵DF=CD，∴∠DCF=∠DFC，在□ABCD和□ABDE中，AB=CD，AB=DE，∴CD=DE，∴DF=DE，∴∠DEF=∠DFE，∴∠DFC+∠DFE=（∠DCF+∠DFC+∠DEF+∠DFE）=90°，即EF⊥BF．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，等邊對等角，熟練掌握性質定理并靈活運用是解題的關鍵．29．已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面積為9．點P為邊AB上動點，過點B作BD∥AC，交CP的延長線于點D．∠ACP的平分線交AB于點E．(1)如圖1，當CD⊥AB時，求PA的長；(2)如圖2，當點E為AB的中點時，請猜想并證明：線段AC、CD、DB的數量關系．【答案】(1)4(2)，證明見解析【分析】（1）根據三角形的面積公式以為底，為高得出，進而利用勾股定理得出即可．（2）延長，過A作，利用平行四邊形的性質可得解答即可．（1）解：（1），的面積為9，，∴，∴，由勾股定理得：，的長為4．（2）（2）線段，，的數量關系為：，延長