蘇科版八年級數(shù)學上冊講練專題3.1勾股定理(原卷版+解析)

專題3.1勾股定理【教學目標】1、掌握勾股定理的內(nèi)容；2、會用面積法證明勾股定理，能利用勾股定理求出邊長；【題型目錄】亮題一：用勾股定理解三角形亮題二：利用勾股定理求面積亮題三：勾股定理與折疊問題亮題四：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題【知識亮解】知識點一勾股定理的概念勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用，，分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么．數(shù)學小史：勾股定理是我國最早發(fā)現(xiàn)的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理）。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”的結(jié)論。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時，首先看題目中有沒有具備這個條件，只有具有這個條件，才能利用勾股定理求第三條邊。（2）在應(yīng)用勾股定理時要注意它的訓練：（3）應(yīng)用勾股定理時要分清直角三角形中的直角邊和斜邊，在一些直角三角形中斜邊不一定是用字母表示，只有當時，，若，則。（4）在實際問題中，若圖中無直角，可通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形。知識點二勾股定理的驗證方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．，所以．亮題一：用勾股定理解三角形1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，若BC＝8，BD＝5，則AC的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．132．在中，，垂直平分交于點，交于點，若，，則的長是（）A．8 B．10 C．12 D．13．在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點D是AB的中點，連接CD，則線段CD的長為（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm4．如圖在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分線DE分別交AB、AC于D、E兩點，則BD的長為（

）A． B． C．2 D．5．在中，，若，，則＝______．6．小東和小明要測量校園里的一塊四邊形場地ABCD（如圖所示）的周長，其中邊CD上有水池及建筑遮擋，沒有辦法直接測量其長度．小東經(jīng)測量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°．小明說根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)可以求出CD的長度為_____．7．如圖，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，點A、B分別在邊OM，ON上．當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，△ABC的形狀保持不變，在運動過程中，點C到點O的最大距離為_____．8．如圖，在一個直角三角形ABC紙片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，將其折疊，恰使邊AB落在斜邊AC上，點B落在點E處，折痕交邊BC于點F，則BF的長為________cm．9．為了預(yù)防新冠疫情，某中學在大門口的正上方A處裝著一個紅外線激光測溫儀離地米（如圖所示），當人體進入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會顯示人體體溫．一個身高1.6米的學生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（米），測溫儀自動顯示體溫，則人體頭頂離測溫儀的距離AD等于___米．10．一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風吹來，蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達水面的C處，且C到BD的距離AC＝6米，水的深度（AB）為________米11．如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為，大正方形的面積為，則直角三角形較短的直角邊與較長的直角邊的比的值是______．12．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，作者是我國明代數(shù)學家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾?”譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問繩索有多長?”．根據(jù)題意求出繩索的長為______尺．亮題二：利用勾股定理求面積1．下列各圖是以直角三角形各邊為邊，在三角形外部畫正方形得到的，每個正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的面積．其中S的值恰好等于10的是（

）A． B． C． D．2．如圖，陰影部分表示以Rt△ABC的各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形，面積分別記作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，則△ABC的周長是（

）A．12.5 B．13 C．14 D．153．有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形（如圖①），其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，生出了4個正方形（如圖②），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長”下去，那么它將變得“枝繁葉茂”．在“生長”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20244．如圖是我國數(shù)學家趙爽的股弦圖，它由四個全等的直角三角形和小正方形拼成的一個大正方形．已知大正方形的面積是26，小正方形的面積是2，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么的值為（

）．A．28 B．50 C．26 D．1695．如圖，兩個正方形的面積分別為9和16，則直角三角形的斜邊長為_____．6．在如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四個正方形的面積的和是10cm2，則圖中正方形A的面積為_________cm2．7．用三張正方形紙片，按如圖所示的方式構(gòu)成圖案，已知圍成陰影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，則正方形S2的面積為_____．8．如圖是“勾股樹”的部分圖，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為_____．9．定義：如圖①．如果點D在的邊上且滿足．那么稱點D為的“理根點”，如圖②，在中，，如果點D是的的“理根點”，如圖②，在中，，如果點D是的“理想點”，連接．求的長．10．甲同學在拼圖探索活動中發(fā)現(xiàn)；用4個形狀大小完全相同的直角三角形（直角邊長分別為，a，b，斜邊長為c，可以拼成像圖1那樣的正方形，并由此得出了關(guān)于a2，b2，c2.的一個等式．（1）請你寫出這一結(jié)論：，并給出驗證過程；（2）試用上述結(jié)論解決問題：如圖2如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17，求“丁”的面積．亮題三：勾股定理與折疊問題1．如圖有一塊直角三角形紙片，，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則BD的長為（

）A． B．1.5 C． D．32．在中，，，，點、分別是直角邊和斜邊上的點，把沿著直線折疊，點恰好落在邊的中點上，則線段的長度為（

）A． B． C．3 D．43．如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與AC的交點為E，則AE的長是（

）A． B． C． D．4．如圖，將矩形ABCD沿直線DE折疊，頂點A落在BC邊上F處，已知，，則BF的長為（

）A．5 B．4 C．3 D．25．如圖，折疊直角三角形紙片，使得點與點重合，折痕為．若，，則的長是______．6．如圖，已知ABCD是長方形紙片，，在CD上存在一點E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點F處，且，則的面積是________．7．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為______．8．如圖，在中，．將折疊，使點B恰好落在邊上，與點重合，為折痕，則的周長為__________．9．如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．10．如圖直角三角形紙片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿點B的直線折疊這個三角形，使點C在AB邊上的點E處，折痕為BD．（1）求△ADE的周長；（2）求DE的長．亮題四：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題1．兩只螞蟻在水平地面上從同一地點出發(fā)，一只以每分鐘12cm的速度朝正東方向爬行，一只以每分鐘16cm的速度朝正南方向爬行，10分鐘之后兩只螞蟻相距（

）A．120cm B．160cm C．200cm D．280cm2．（九章算術(shù)）是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．如圖所示是其中記我的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高幾何？“題意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根4尺．則折斷處離地面的高度為（

）A．4.1 B．4.2 C．4.5 D．4.83．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地距離的長為尺，將它向前水平推送尺時，即尺，秋千踏板離地的距離和身高尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”，設(shè)秋千的繩索長為尺，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．4．《九章算術(shù)》第九章有如下題目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？譯文是：今有墻高1丈，倚木桿于墻．使木桿之上端與墻平齊．牽引木桿下端退行1尺，則木桿（從墻上）滑落至地上．間木桿長是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）（

）A．5尺5寸 B．1丈1尺 C．5丈5寸 D．5丈5尺5．為了預(yù)防新冠疫情，某中學在大門口的正上方A處裝著一個紅外線激光測溫儀離地米（如圖所示），當人體進入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會顯示人體體溫．一個身高1.6米的學生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（米），測溫儀自動顯示體溫，則人體頭頂離測溫儀的距離AD等于___米．6．一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風吹來，蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達水面的C處，且C到BD的距離AC＝6米，水的深度（AB）為________米7．如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為，大正方形的面積為，則直角三角形較短的直角邊與較長的直角邊的比的值是______．8．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，作者是我國明代數(shù)學家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾?”譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問繩索有多長?”．根據(jù)題意求出繩索的長為______尺．9．我國明代有一位杰出的數(shù)學家程大位在所著的《直至算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”詩的意思是：當秋千靜止時，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步，這里的每一步合五尺，秋千的踏板與人一樣高，這個人的身高為五尺，當然這時秋千的繩索是呈直線狀態(tài)的，求這個秋千的繩索有多長．40．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”（注：丈、尺是長度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話翻譯成現(xiàn)代漢語，即為：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少米？請你用所學知識解答這個問題．【亮點訓練】訓練一：勾股定理基本計算【訓練1】★在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝__________；【訓練2】★若已知一個直角三角形的周長為30cm，其中一個直角邊長為12cm，則它的斜邊為__________cm．【訓練3】★在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對應(yīng)邊分別是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，則下列等式中成立的是()A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．a(chǎn)2＋c2＝b2C．b2＋c2＝a2 D．c2－a2＝b2【訓練4】★一直角三角形兩邊分別為3和5，則第三邊為（）A.4 B. C.4或 D.2【訓練5】★一個直角三角形，兩直角邊長分別為3和2，則三角形的周長為________．訓練二：利用勾股定理求面積【訓練1】★★如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形的邊長為10，則四個正方形，，，的面積之和為A．24 B．56 C．121 D．100【訓練2】★★如圖，中，，以、為直徑作半圓和，且，則的長為A．16 B．8 C．4 D．2【訓練3】★如圖，其中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形．若，，，和分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且，，，，則等于A．25 B．31 C．32 D．40訓練三：利用勾股定理求長度【訓練1】★★在等腰中，已知，于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長．【訓練2】★★如圖，在中，，是上一點，已知，，，求的長．【訓練3】★★★如圖，在中，，，正方形的面積為，于點，求的長．【訓練4】★★如圖，鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等．求E應(yīng)建立在距A多遠外？【培優(yōu)檢測】一、單選題1．（2022·山東濟寧·八年級期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是(

)A．6，7，8 B．0.6，0.8，1 C．5，12，13 D．2，4，52．（2022·新疆阿克蘇·八年級期中）在平面直角坐標系中，已知點的坐標為，則的長為（

）A．5 B．10 C．6 D．83．（2022·廣東·深圳外國語學校七年級期末）在Rt△ABC中，，．則＝（

）A．8 B．16或64 C．4 D．4或164．（2022·廣東·陸河縣河城中學八年級階段練習）在中，，，，則的值為（

）A．50 B．35 C．34 D．255．（2022·江西贛州·八年級期末）如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3和4，則b的面積為（

）．A．5 B．6 C．7 D．86．（2021·云南曲靖·八年級期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是(

)A． B．3，4，7 C．6，8，10 D．1，，27．（2022·湖北孝感·八年級階段練習）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊為a，較長的直角邊為b，那么的值為（

）A．25 B．16 C．14 D．128．（2022·湖北宜昌·八年級期中）如圖，各小方格的邊長為1，△ABC的各頂點都在個點上，則BC邊上的高等于（

）A．2.5 B．2.6 C．1.7 D．1.69．（2022·廣西柳州·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四邊形ADEC是正方形，則正方形ADEC的面積是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（2022·浙江金華·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點E，F(xiàn)在斜邊AB上，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處，再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD延長線上的點處，則線段的長為（

）A． B． C．1 D．二、填空題11．（2022·福建福州·八年級期中）如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C落在格點上，則的度數(shù)為______°．12．（2022·陜西西安·八年級期中）中，，若，則_______．13．（2022·湖南·株洲縣教學研究室八年級期末）在中，，AD平分交BC于點D．若，，，則點D到AB的距離是_________．14．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級期末）如圖，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點E在AC邊上，EF⊥AB于點F，連接EB，AF＝3，EFB的周長為12，則EB的長為____．15．（2022·廣西·南寧二中八年級期末）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法，該方法運用了祖沖之的出入相補原理．若圖中空白部分的面積是，整個圖形連同空白部分的面積是，則大正方形的邊長是______．16．（2022·寧夏吳忠·八年級期末）在中，，若，則__________．17．（2022·重慶一中七年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D是邊AC上一點，將△BCD沿BD翻折，使點C恰好落在AB邊上的點E處，線段BD上有一動點P，則△PAE周長的最小值為______．18．（2022·四川宜賓·八年級期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC＝90°，D為AC邊上中點，過D點作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若AB的長為4，則四邊形BFDE的面積為___．19．（2022·河北·秦皇島市第七中學八年級期末）如圖，在中，，，，將折疊，使點A落在邊上，對應(yīng)點為D，若折痕與邊交于點E、與邊交于點F，則的取值范圍是________．20．（2021·陜西·西北大學附中七年級期末）如圖，已知、、、都是等腰直角三角形．若陰影部分的面積是20cm2，則、的面積之和是______cm2．三、解答題21．（2022·山東濟南·七年級期末）已知：如圖，在中，于點D，E為AC上一點，且，．(1)求證：；(2)已知，，求AF的長．22．（2021·福建龍巖·八年級階段練習）如圖，英西中學有一塊三角形形狀的花圃，現(xiàn)在測量到∠A＝45°，BC＝5m，AC上的高為4m，請你求出這塊花圃的面積？23．（2022·江蘇·八年級專題練習）勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法，證法如下：把兩個全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如圖1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于點F，點E在邊AB上，現(xiàn)設(shè)Rt△ACB兩直角邊長分別為CB＝b、BA＝a，斜邊長為AC＝c，請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理(1)請根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理；(2)如圖2，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，CD為兩個村莊（看作直線上的兩點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，則兩個村莊的距離為多少千米．24．（2022·廣東潮州·八年級期末）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，若AC=6，BC=8，CD=3．(1)求AB和DE的長；(2)求△ADB的面積．25．（2022·福建福州·八年級期末）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式．(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個正方形和兩個形狀大小完全相同的長方形拼成的．用兩種不同的方法計算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學等式是；(2)如圖2所示的大正方形，是由四個三邊長分別為a、b、c的全等的直角三角形（a、b為直角邊）和一個正方形拼成，試通過兩種不同的方法計算中間正方形的面積，并探究a、b、c之間滿足怎樣的等量關(guān)系．26．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，DE為邊BC的垂直平分線，與邊BC、AB分別交于D、E兩點．求AC和AE的長．27．（2020·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）如圖是某隧道入口的截面示意圖，其上方是一個半圓，下方是一個長方形，現(xiàn)有一輛滿載貨物的卡車，寬3米，高4米，請判斷這輛卡車能否通過該隧道．28．（2022·陜西西安·八年級期中）如圖，在中，，，于．(1)求證：；(2)若，，求的長．29．（2022·湖北孝感·八年級期中）據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括為“勾三、股四、弦五”．(1)觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．計算、與、，并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；(2)根據(jù)（1）的規(guī)律，用n（n為奇數(shù)且）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想他們之間二種相等關(guān)系并對其中一種猜想加以證明；(3)繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)且）的代數(shù)式來表示他們的股和弦．30．（2022·福建·泉州七中八年級期末）數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．請你利用數(shù)形結(jié)合的思想解決以下數(shù)學問題．(1)根據(jù)圖中大正方形面積的兩種不同表示方法，可得出代數(shù)恒等式________；(2)如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為厘米的大正方形，2塊是邊長都為厘米的小正方形，5塊是長為厘米，寬為厘米的全等的小長方形，且．①觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為________；②若陰影部分的面積為20平方厘米，大長方形紙板的周長為24厘米，求圖中空白部分的面積．(3)若，請你構(gòu)造合適的圖形，直接寫出的最小值是_________．專題3.1勾股定理【教學目標】1、掌握勾股定理的內(nèi)容；2、會用面積法證明勾股定理，能利用勾股定理求出邊長；【題型目錄】亮題一：用勾股定理解三角形亮題二：利用勾股定理求面積亮題三：勾股定理與折疊問題亮題四：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題【知識亮解】知識點一勾股定理的概念勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用，，分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么．數(shù)學小史：勾股定理是我國最早發(fā)現(xiàn)的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理）。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”的結(jié)論。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時，首先看題目中有沒有具備這個條件，只有具有這個條件，才能利用勾股定理求第三條邊。（2）在應(yīng)用勾股定理時要注意它的訓練：（3）應(yīng)用勾股定理時要分清直角三角形中的直角邊和斜邊，在一些直角三角形中斜邊不一定是用字母表示，只有當時，，若，則。（4）在實際問題中，若圖中無直角，可通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形。知識點二勾股定理的驗證方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．，所以．亮題一：用勾股定理解三角形1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，若BC＝8，BD＝5，則AC的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．13【答案】B【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)求出AD=BD=5，又因CD=BC-BD=8-5=3，即可由勾股定理求解．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD=BD=5，又∵CD=BC-BD=8-5=3，∠C＝90°，∴AC==4,故選：B．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．在中，，垂直平分交于點，交于點，若，，則的長是（）A．8 B．10 C．12 D．1【答案】C【分析】由垂直平分線可以得到BE=AE，再由勾股定理可以得到答案．【詳解】解：由題意可得，∵垂直平分交于點，∴BE=AE=13，又∵，且，∴在Rt中，AC==12，故選C．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理得應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是讀懂題意并學會正確解答．3．在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點D是AB的中點，連接CD，則線段CD的長為（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CD的長．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，∴，∵∠C=90°，D是斜邊AB的中點，∴CD=AB=5cm，故選：C．【點睛】本題考查勾股定理和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．如圖在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分線DE分別交AB、AC于D、E兩點，則BD的長為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出BC=6，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，設(shè)CD=x，則BD=8-x，在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理求出x的值即可解答．【詳解】解：∵，AB=8，AC=10，∴BC=6，∵DE是AC的垂直平分線，∴CD=AD，∴AB=BD+AD=BD+CD=8，設(shè)CD=x，則BD=8-x，在Rt△BCD中，，即，解得．∴．故選：B．【點睛】本題考查勾股定理和線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．5．在中，，若，，則＝______．【答案】17【分析】根據(jù)直角三角形中，勾股定理：，即可求出的值．【詳解】解：如圖可知，所對應(yīng)的邊為直角三角形的斜邊∵，∴∴∴故答案為：17．【點睛】本題考查勾股定理，熟練掌握勾股定理的運用是解題的關(guān)鍵．6．小東和小明要測量校園里的一塊四邊形場地ABCD（如圖所示）的周長，其中邊CD上有水池及建筑遮擋，沒有辦法直接測量其長度．小東經(jīng)測量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°．小明說根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)可以求出CD的長度為_____．【答案】13米【分析】直接利用等邊三角形的判定方法得出△ABD是等邊三角形，再利用勾股定理得出答案．【詳解】解：連接BD，∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝5m，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝90°，∵BC＝12m，BD＝5m，∴DC13（m），答：CD的長度為13m，故答案為：13m．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及等邊三角形的判定，正確得出△ABD是等邊三角形是解題關(guān)鍵．7．如圖，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，點A、B分別在邊OM，ON上．當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，△ABC的形狀保持不變，在運動過程中，點C到點O的最大距離為_____．【答案】14【分析】作CD⊥AB于D，連接OD，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD=AB=6，再利用勾股定理計算出CD=8，接著根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OD=AB=6，則利用三角形三邊的關(guān)系得到OCCD+OD（當點C、O、D共線時取等號），從而得到OC的最大值．【詳解】作CD⊥AB于D，連接OD，如圖，∵AB＝12，∴AD=BD=AB=6，在Rt△BCD中，CD===8，∵OCCD+OD(當點C．O、D共線時取等號)，∴當O，C，D共線時，OD=BD=6，∴OC的最大值為8+6=14．故答案為14．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、三角形的三邊關(guān)系等知識；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在一個直角三角形ABC紙片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，將其折疊，恰使邊AB落在斜邊AC上，點B落在點E處，折痕交邊BC于點F，則BF的長為________cm．【答案】【分析】先由勾股定理計算AC=10cm，設(shè)BF=xcm，根據(jù)折疊的性質(zhì)表示EF=BF=xcm，再由勾股定理列方程可得答案．【詳解】解：∵∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，∴cm，設(shè)BF=x，則CF=6-x，根據(jù)折疊可知：EF=BF=xcm，AE=AB=8cm，∠AEF=∠B=90°，∴EC=AC-AE=10-8=2（cm），∴∠CEF=180°-90°=90°，∴根據(jù)勾股定理得：（6-x）2=x2+22，解得：，∴BF=cm，故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用翻折不變性解決問題．9．為了預(yù)防新冠疫情，某中學在大門口的正上方A處裝著一個紅外線激光測溫儀離地米（如圖所示），當人體進入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會顯示人體體溫．一個身高1.6米的學生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（米），測溫儀自動顯示體溫，則人體頭頂離測溫儀的距離AD等于___米．【答案】1.5【分析】過點D作，則AE=0.9米，在中，根據(jù)勾股定理即可得．【詳解】解：過點D作，∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，∴（米），在中，根據(jù)勾股定理得，，故答案為：1.5．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．10．一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風吹來，蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達水面的C處，且C到BD的距離AC＝6米，水的深度（AB）為________米【答案】8【分析】先設(shè)水深x米，則AB=x，則有BD=AD+AB=x+2，由題條件有BD=BC=x+2，又根據(jù)蘆節(jié)直立水面可知BD⊥AC，則在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．【詳解】解：設(shè)水深x米，則AB=x，則有：BD=AD+AB=x+2，即有：BD=BC=x+2，根據(jù)蘆節(jié)直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，則在直角△ABC中：，即：，解得x=8，即水深8米，故答案為8．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，從現(xiàn)實圖形中抽象出勾股定理這一模型是解答本題的關(guān)鍵．11．如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為，大正方形的面積為，則直角三角形較短的直角邊與較長的直角邊的比的值是______．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到的值，然后根據(jù)即可求得的值；則可求出答案．【詳解】解：大正方形的面積是，設(shè)邊長為，，，直角三角形的面積是，又直角三角形的面積是，，，．小正方形的面積為，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展開：，還要注意圖形的面積和，之間的關(guān)系．12．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，作者是我國明代數(shù)學家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾?”譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問繩索有多長?”．根據(jù)題意求出繩索的長為______尺．【答案】14.5【分析】設(shè)繩索有x尺長，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果．【詳解】解：延長到地面于，過作地面于，如圖所示：設(shè)繩索有x尺長，根據(jù)題意及所作輔助線，四邊形是矩形，則，在中，，，，則102＋（x＋1?5）2＝x2，解得：x＝14.5，即繩索長14.5尺，故答案為：14.5．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、理解題意能力，關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形，用勾股定理來解．亮題二：利用勾股定理求面積1．下列各圖是以直角三角形各邊為邊，在三角形外部畫正方形得到的，每個正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的面積．其中S的值恰好等于10的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理逐項判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，每個正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的邊長的平方，A、由勾股定理得：S=5+15=20，故選項A不符合題意；B、由勾股定理得：S=8+6=14，故選項B不符合題意；C、由勾股定理得：S=8－6=2，故選項C不符合題意；D、由勾股定理得：S=15－5=10，故選項D符合題意，故選：D．【點睛】本題考查正方形的面積和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答的關(guān)鍵．2．如圖，陰影部分表示以Rt△ABC的各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形，面積分別記作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，則△ABC的周長是（

）A．12.5 B．13 C．14 D．15【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)扇形面積公式、完全平方公式計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∵S1＋S2＝7，∴，∴，∴，∴或-8（舍去），∴△ABC的周長是．故選：C【點睛】本題考查的是勾股定理，熟練掌握如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么是解題的關(guān)鍵．3．有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形（如圖①），其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，生出了4個正方形（如圖②），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長”下去，那么它將變得“枝繁葉茂”．在“生長”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】根據(jù)題目可知“生長”1次后，所有正方形的面積和是2×1=2；“生長”2次后，所有的正方形的面積和是3×1=3，探究規(guī)律求出“生長”2022次后形成圖形中所有正方形的面積之和即可．【詳解】解：由勾股定理知：圖①中生長出的兩個正方形面積和等于原來正方形的面積，所有正方形的面積和為2；同樣圖②中生長出的四個正方形面積和等于圖①中生長出的兩個正方形的面積之和，所有正方形的面積和為3；……，經(jīng)過n次“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和是n+1；經(jīng)過2022次“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和是2023．故選：C．【點睛】本題考查勾股定理，其中能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．4．如圖是我國數(shù)學家趙爽的股弦圖，它由四個全等的直角三角形和小正方形拼成的一個大正方形．已知大正方形的面積是26，小正方形的面積是2，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么的值為（

）．A．28 B．50 C．26 D．169【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到的值，然后根據(jù)即可求解．【詳解】根據(jù)勾股定理可得，四個直角三角形的面積是：，即，則．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理以及完全平方式，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得和的值是關(guān)鍵．5．如圖，兩個正方形的面積分別為9和16，則直角三角形的斜邊長為_____．【答案】5【分析】設(shè)斜邊長為，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)斜邊長為，根據(jù)題意可得，，解得（負值已舍），故答案為：5．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．在如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四個正方形的面積的和是10cm2，則圖中正方形A的面積為_________cm2．【答案】10【分析】先把各個正方形都標上代號，再根據(jù)勾股定理有，，，等量代換即可求最大的正方形面積．【詳解】解：如下圖所示：根據(jù)勾股定理可知，∵，，，∴，故答案為：10．【點睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．用三張正方形紙片，按如圖所示的方式構(gòu)成圖案，已知圍成陰影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，則正方形S2的面積為_____．【答案】9【分析】由題意可得，三個正方形的邊長恰好湊成一個直角三角形，利用勾股定理可得，兩個較小正方形的面積之和等于最大的正方形的面積．即S1+S2=S3．據(jù)此可求S2．【詳解】解：由題意可得，三角形各邊的平方是對應(yīng)的各個正方形的面積，∵所圍成的三角形是直角三角形，∴斜邊對應(yīng)的正方形的面積=兩直角邊對應(yīng)的正方形的面積和，又∵S1=8，S3=17，∴正方形S2的面積=17-8=9，故答案為：9．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確正方形的面積等于邊長的平方．8．如圖是“勾股樹”的部分圖，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為_____．【答案】49【分析】設(shè)正方形A，B，C，D，E，F(xiàn)的邊長分別為：a、b、c、d、e、f，則正方形A，B，C，D的面積之和為：，由勾股定理可得：，，，進一步可得：．【詳解】解：如圖，設(shè)正方形A，B，C，D，E，F(xiàn)的邊長分別為：a、b、c、d、e、f，則：正方形A，B，C，D的面積之和為：，由勾股定理可得：，，，∴．故答案為：49【點睛】本題考查勾股定理以及和弦圖有關(guān)的計算題，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，得到．9．定義：如圖①．如果點D在的邊上且滿足．那么稱點D為的“理根點”，如圖②，在中，，如果點D是的的“理根點”，如圖②，在中，，如果點D是的“理想點”，連接．求的長．【答案】.【分析】只要證明CD⊥AB即可解決問題．【詳解】解：如圖②中，∵點D是△ABC的“理想點”，∴∠ACD=∠B，∵，∴，∴，，在Rt△ABC中，，∴BC=，∵,．【點睛】本解考查了直角三角形判定和性質(zhì)，理解新定義是解本題的關(guān)鍵．10．甲同學在拼圖探索活動中發(fā)現(xiàn)；用4個形狀大小完全相同的直角三角形（直角邊長分別為，a，b，斜邊長為c，可以拼成像圖1那樣的正方形，并由此得出了關(guān)于a2，b2，c2.的一個等式．（1）請你寫出這一結(jié)論：，并給出驗證過程；（2）試用上述結(jié)論解決問題：如圖2如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17，求“丁”的面積．【答案】（1）；（2）29．【分析】（1）用不同的方法表示陰影部分的面積，即可得到關(guān)于，，的一個等式．（2）由（1）得，，進而根據(jù)正方形面積得出等量關(guān)系求出“丁”的面積．【詳解】解：（1）結(jié)論：．驗證：陰影部分的面積，陰影部分的面積=，，即．故答案為：．（2）如圖，連接AC，∵∠B＝∠D＝90°∴，，又∵，，，，∴，又∵甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17∴，∴．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及面積法的運用，在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．亮題三：勾股定理與折疊問題1．如圖有一塊直角三角形紙片，，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則BD的長為（

）A． B．1.5 C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，利用翻折得到AE=AB=5，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴，由翻折得AE=AB=5，DE=BD，∴CE=AE-AC=1，在Rt△CED中，，∴，解得BD=，故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，熟記勾股定理的計算公式是解題的關(guān)鍵．2．在中，，，，點、分別是直角邊和斜邊上的點，把沿著直線折疊，點恰好落在邊的中點上，則線段的長度為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)可得AE＝DE，則DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出BE即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得AE＝DE，∵，，，點是邊的中點，∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，解得：BE＝，故選：B．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理得出關(guān)于BE的方程是解題的關(guān)鍵．3．如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與AC的交點為E，則AE的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，繼而設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折疊紙片，使點C與點D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2=x2，解得即AE=故選A【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，將矩形ABCD沿直線DE折疊，頂點A落在BC邊上F處，已知，，則BF的長為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理求出BF的長即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知：，，在中，，，由勾股定理可得：．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和折疊的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)是解答關(guān)鍵．5．如圖，折疊直角三角形紙片，使得點與點重合，折痕為．若，，則的長是______．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理即可解答．【詳解】解：∵折疊直角三角形紙片，使得點與點重合，∴，又∵，，，∴，∵在中，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理．理解和掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知ABCD是長方形紙片，，在CD上存在一點E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點F處，且，則的面積是________．【答案】【分析】根據(jù)面積求出BF、AF、CF，設(shè)DE為x，列方程求出即可．【詳解】解：ABCD是長方形紙片，∴AB=CD=3，∵，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，設(shè)DE為x，EF=DE=x，EC=3-x，由勾股定理得：，解得：x=，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理與翻折，解題關(guān)鍵是恰當?shù)脑O(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程．7．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為______．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=BE，設(shè)CE=x，則BE=8-x，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：AE=BE，∵AC=8，∴BE+CE=8，設(shè)CE=x，則BE=8-x，在中，，∴，解得：．故答案為：【點睛】本題主要考查了圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握圖形的折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，．將折疊，使點B恰好落在邊上，與點重合，為折痕，則的周長為__________．【答案】6【分析】首先利用勾股定理求出AC=5，根據(jù)折疊得到B’C=2，求出三角形的周長．【詳解】解：Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=,由折疊知AB’=AB=3，∴B’C=AC-AB’=5-3=2，∴△B’EC的周長為B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，故答案為6．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)以及勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是分清折疊前后的對應(yīng)的關(guān)系．9．如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．【答案】(1)16(2)36【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求解即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，設(shè)CD＝x，則，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面積公式求解即可．（1）∵在中，，，，∴，故答案為：16；（2）由折疊可知，∵AC＝12，∴設(shè)CD＝x，則在中，，∴解得x＝6，∴．【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握運用勾股定理及折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．如圖直角三角形紙片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿點B的直線折疊這個三角形，使點C在AB邊上的點E處，折痕為BD．（1）求△ADE的周長；（2）求DE的長．【答案】（1）8；（2）【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE=BC=8，DE=CD，則AE=AB-BE=2，即可得到△ADE的周長=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；（2）設(shè)CD=DE=x，則AD=AC-CD=6-x，由折疊的性質(zhì)可知∠DEB=∠C=90°，則∠DEA=90°，即可得到，則，由此求解即可．【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，BE=BC=8，DE=CD，∴AE=AB-BE=2，∴△ADE的周長=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；（2）設(shè)CD=DE=x，則AD=AC-CD=6-x，由折疊的性質(zhì)可知∠DEB=∠C=90°，∴∠DEA=90°，∴，∴，解得，∴．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握折疊的性質(zhì)．亮題四：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題1．兩只螞蟻在水平地面上從同一地點出發(fā)，一只以每分鐘12cm的速度朝正東方向爬行，一只以每分鐘16cm的速度朝正南方向爬行，10分鐘之后兩只螞蟻相距（

）A．120cm B．160cm C．200cm D．280cm【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，可知兩只螞蟻爬行的路程和兩只螞蟻的距離構(gòu)成了一個直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】12×10=120（cm），16×10=160（cm）由勾股定理可得：兩只螞蟻間的距離=（cm）故選：C【點睛】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．2．（九章算術(shù)）是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．如圖所示是其中記我的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高幾何？“題意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根4尺．則折斷處離地面的高度為（

）A．4.1 B．4.2 C．4.5 D．4.8【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折斷處離地面的長度即可．【詳解】解：設(shè)折斷處離地面x尺，根據(jù)題意可得：，解得．即折斷處離地面尺高．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．3．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地距離的長為尺，將它向前水平推送尺時，即尺，秋千踏板離地的距離和身高尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”，設(shè)秋千的繩索長為尺，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意知：OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：[x-（5-1）]2+102=x2．即．故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．4．《九章算術(shù)》第九章有如下題目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？譯文是：今有墻高1丈，倚木桿于墻．使木桿之上端與墻平齊．牽引木桿下端退行1尺，則木桿（從墻上）滑落至地上．間木桿長是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）（

）A．5尺5寸 B．1丈1尺 C．5丈5寸 D．5丈5尺【答案】C【分析】根據(jù)題意作出示意圖，利用勾股定理求解即可，最后要注意單位的轉(zhuǎn)化，避免錯選．【詳解】解：根據(jù)題意作出如下示意圖：設(shè)木桿下滑前底端距離墻角x尺，則木桿長為（x+1）尺．1丈=10尺，則墻高為10尺由勾股定理可知：解得：木桿的長為（尺）尺=50尺+0.5尺1丈=10尺，1尺=10寸尺=5丈5寸故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，能夠理清題意，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言是解決本題的關(guān)鍵，還要注意最后結(jié)果的不同單位之間的換算，避免出現(xiàn)單位錯誤．5．為了預(yù)防新冠疫情，某中學在大門口的正上方A處裝著一個紅外線激光測溫儀離地米（如圖所示），當人體進入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會顯示人體體溫．一個身高1.6米的學生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（米），測溫儀自動顯示體溫，則人體頭頂離測溫儀的距離AD等于___米．【答案】1.5【分析】過點D作，則AE=0.9米，在中，根據(jù)勾股定理即可得．【詳解】解：過點D作，∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，∴（米），在中，根據(jù)勾股定理得，，故答案為：1.5．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．6．一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風吹來，蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達水面的C處，且C到BD的距離AC＝6米，水的深度（AB）為________米【答案】8【分析】先設(shè)水深x米，則AB=x，則有BD=AD+AB=x+2，由題條件有BD=BC=x+2，又根據(jù)蘆節(jié)直立水面可知BD⊥AC，則在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．【詳解】解：設(shè)水深x米，則AB=x，則有：BD=AD+AB=x+2，即有：BD=BC=x+2，根據(jù)蘆節(jié)直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，則在直角△ABC中：，即：，解得x=8，即水深8米，故答案為8．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，從現(xiàn)實圖形中抽象出勾股定理這一模型是解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為，大正方形的面積為，則直角三角形較短的直角邊與較長的直角邊的比的值是______．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到的值，然后根據(jù)即可求得的值；則可求出答案．【詳解】解：大正方形的面積是，設(shè)邊長為，，，直角三角形的面積是，又直角三角形的面積是，，，．小正方形的面積為，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展開：，還要注意圖形的面積和，之間的關(guān)系．8．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，作者是我國明代數(shù)學家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾?”譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問繩索有多長?”．根據(jù)題意求出繩索的長為______尺．【答案】14.5【分析】設(shè)繩索有x尺長，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果．【詳解】解：延長到地面于，過作地面于，如圖所示：設(shè)繩索有x尺長，根據(jù)題意及所作輔助線，四邊形是矩形，則，在中，，，，則102＋（x＋1?5）2＝x2，解得：x＝14.5，即繩索長14.5尺，故答案為：14.5．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、理解題意能力，關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形，用勾股定理來解．9．我國明代有一位杰出的數(shù)學家程大位在所著的《直至算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”詩的意思是：當秋千靜止時，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步，這里的每一步合五尺，秋千的踏板與人一樣高，這個人的身高為五尺，當然這時秋千的繩索是呈直線狀態(tài)的，求這個秋千的繩索有多長．【答案】14．5尺【分析】設(shè)繩索有x尺長，此時繩索長，向前推出的10尺，和秋千的上端為端點，垂直地面的線可構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．【詳解】解：如圖，不妨設(shè)圖中的OA為秋千的繩索，CD為地平面，BC為身高5尺的人，AE為兩步，即相當于10尺的距離，A處有一塊踏板，EC，AD為踏板離地的距離，它等于一尺．設(shè)OA＝x尺，則OB＝OA＝x尺．FA＝BE=BC－EC＝5－1＝4（尺），BF＝EA＝10尺．在Rt△OBF中，由勾股定理，得OB2＝OF2＋BF2，∴x2＝（x－4）2＋102，解這個方程，得x＝14．5，∴這個秋千的繩索長度為14．5尺．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解．40．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”（注：丈、尺是長度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話翻譯成現(xiàn)代漢語，即為：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少米？請你用所學知識解答這個問題．【答案】水池里水的深度是4米，蘆葦長為米【分析】根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】．解：設(shè)水池里水的深度是x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，由題意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，x+1=13，米，米，答：水池里水的深度是4米，蘆葦長為米【點睛】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，熟練地掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【亮點訓練】訓練一：勾股定理基本計算【訓練1】★在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝__________；【答案】eq\r(7)【解析】c＝.【訓練2】★若已知一個直角三角形的周長為30cm，其中一個直角邊長為12cm，則它的斜邊為__________cm．【答案】13【訓練3】★在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對應(yīng)邊分別是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，則下列等式中成立的是()A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．a(chǎn)2＋c2＝b2C．b2＋c2＝a2 D．c2－a2＝b2【答案】B【訓練4】★一直角三角形兩邊分別為3和5，則第三邊為（）A.4 B. C.4或 D.2【答案】C【解析】①當5是斜邊時，根據(jù)勾股定理，得：第三邊是=4；②當5是直角邊時，根據(jù)勾股定理，得：第三邊是

=，綜上可得三角形第三邊的長為4或，故選C.【訓練5】★一個直角三角形，兩直角邊長分別為3和2，則三角形的周長為________．【答案】5+【解析】根據(jù)勾股定理可知：斜邊==，∴三角形周長=3+2+=5+，故答案是：5+．訓練二：利用勾股定理求面積【訓練1】★★如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形的邊長為10，則四個正方形，，，的面積之和為A．24 B．56 C．121 D．100【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理的幾何意義解答即可．【解析】根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：；即四個正方形，，，的面積之和為100；故選：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的幾何意義，關(guān)鍵是掌握兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．【訓練2】★★如圖，中，，以、為直徑作半圓和，且，則的長為A．16 B．8 C．4 D．2【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)圓的面積公式計算，得到答案．【解析】由勾股定理得，，，解得，，則，解得，，故選：．【點睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．【訓練3】★如圖，其中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形．若，，，和分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且，，，，則等于A．25 B．31 C．32 D．40【分析】如圖，根據(jù)勾股定理分別求出、，進而得到，即可解決問題．【解析】如圖，由題意得：，，，．故選：．【點睛】主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握勾股定理等幾何知識點．訓練三：利用勾股定理求長度【訓練1】★★在等腰中，已知，于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個銳角互余，可以求得的度數(shù)；（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和勾股定理，可以求得的長．【解析】（1）在等腰中，，，，，，，，；（2），，，，，設(shè)，則，，，，解得，，即．【點睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【訓練2】★★如圖，在中，，是上一點，已知，，，求的長．【分析】先設(shè)，則，再運用勾股定理分別在與中表示出，列出方程，求解即可．【解析】設(shè)，則．在中，，，在中，，，，即，解得，，．故的長為8．【點睛】本題主要考查了勾股定理的運用，根據(jù)的長度不變列出方程是解題的關(guān)鍵．【訓練3】★★★如圖，在中，，，正方形的面積為，于點，求的長．【分析】根據(jù)正方形的面積公式求得．然后利用勾股定理求得；則利用面積法來求的長度．【答案】正方形的面積為，，，，．，，．【點睛】本題考查了勾股定理．解答該題時，需要熟記正方形的面積公式．【訓練4】★★如圖，鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等．求E應(yīng)建立在距A多遠外？【解析】設(shè)E建在距A點xkm處，則102＋x2＝152＋(25－x)2，∴x＝15.【培優(yōu)檢測】一、單選題1．（2022·山東濟寧·八年級期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是(

)A．6，7，8 B．0.6，0.8，1 C．5，12，13 D．2，4，5【答案】C【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴6，7，8不是一組勾股數(shù)，本選項不符合題意；B、∵0.6，0.8不是正整數(shù)，∴0.6，0.8，1不是一組勾股數(shù)，本選項不符合題意；C、∵，∴5，12，13是一組勾股數(shù)，本選項符合題意；D、∵，∴2，4，5不是一組勾股數(shù)，本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是勾股數(shù)，滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．2．（2022·新疆阿克蘇·八年級期中）在平面直角坐標系中，已知點的坐標為，則的長為（

）A．5 B．10 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)原點的坐標（0,0）可采用兩點之間的距離公式即可求解．【詳解】解：∵O（0,0），P（6,8）．∴OP=．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理和平面直角坐標系中兩點間的距離，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東·深圳外國語學校七年級期末）在Rt△ABC中，，．則＝（

）A．8 B．16或64 C．4 D．4或16【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理分情況討論求解即可．【詳解】解：當∠C=90°時，；當∠A=90°時，；故選：D．【點睛】題目主要考查勾股定理解三角形，理解題意進行分類討論是解題關(guān)鍵．4．（2022·廣東·陸河縣河城中學八年級階段練習）在中，，，，則的值為（

）A．50 B．35 C．34 D．25【答案】B【分析】在直角三角形中，根據(jù)勾股定理求出邊長即可．【詳解】解：∵，，，∴．故選：B．【點睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．熟練掌握勾股定理，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022·江西贛州·八年級期末）如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3和4，則b的面積為（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得BC=BF，∠CBF=90°，AC2=3，DF2=4，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，則可根據(jù)”AAS“證明△ABC≌△DFB，得到AB=DF，然后根據(jù)勾股定理得到BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=7，則有b的面積為7．【詳解】解：如圖，∵a、b、c都為正方形，∴BC=BF，∠CBF=90°，AC2=3，DF2=4，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABC和△DFB中，∴△ABC≌△DFB，∴AB=DF，在△ABC中，BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=3+4=7，∴b的面積為7．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì)．6．（2021·云南曲靖·八年級期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是(

)A． B．3，4，7 C．6，8，10 D．1，，2【答案】C【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義即可求解．【詳解】A．∵，，均不是整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；B．∵32+42≠72，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；C．∵62+82＝102，∴是勾股數(shù)，符合題意；D．∵不是整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：C．【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)：滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．掌握定義是解題的關(guān)鍵．7．（2022·湖北孝感·八年級階段練習）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊為a，較長的直角邊為b，那么的值為（

）A．25 B．16 C．14 D．12【答案】A【分析】根據(jù)大正方形的面積即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面積即可求得ab的值，根據(jù)（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．【詳解】解：∵大正方形的面積是13，∴c2=13，∴a2+b2=c2=13，∵直角三角形的面積是=3，又∵直角三角形的面積是ab=3，∴ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．8．（2022·湖北宜昌·八年級期中）如圖，各小方格的邊長為1，△ABC的各頂點都在個點上，則BC邊上的高等于（

）A．2.5 B．2.6 C．1.7 D．1.6【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理得出BC的長，進而利用等面積法即可求解．【詳解】解：由勾股定理得：BC＝，∵S△ABC＝4×4?×1×3?×3×4?×1×4＝6.5，∴BC邊上的高＝＝2.6，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出BC的長解答．9．（2022·廣西柳州·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四邊形ADEC是正方形，則正方形ADEC的面積是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】在△ABC中，通過勾股定理得AC2=5，從而解決問題．【詳解】解：在△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=12+22=5，∵四邊形ADEC是正方形，∴S正方形ADEC=AC2=5，故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理，熟記勾股定理內(nèi)容：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，是解題的關(guān)鍵．10．