第11講 線段垂直平分線、角平分線及軌跡（4大考點）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期考試滿分全攻略滬教版（解析版）

第11講線段垂直平分線、角平分線及軌跡（4大考點）

逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命

題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題；若其中一個命題為原命題，則另一個叫它的逆命題；

逆定理：若一個定理的逆命題經(jīng)過證明是也是定理，那么這兩個定理叫互逆定理，其中一個是另一個的逆

定理；

2.線段的垂直平分線

.線段垂直平分線的性質(zhì)定理.：線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩端點的距離相等；

［線段垂直平分線的判定定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

3.角的平分線

'角的平分線的性質(zhì)定理：在角的平分線上的點到這個角兩邊的距離相等；

〈角的平分線的性質(zhì)定理：在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角兩邊距離相等的點，

在這個角的平分線上.

4.軌跡

'①定義：符合某些條件的所有點的集合；

［和線段兩個端點距離相等的點的軌跡：這條線段的垂直平分線；

<②基本軌跡在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角兩邊的距離相等的點軌跡：這個角的平分線；

［到定點的距離等于定長的點的軌跡：以這個定點為圓心，定長為半:徑的圓；

.③作圖：交軌法.

U考點精講

一.四種命題及其關(guān)系（共2小題）

1.（2011秋?徐匯區(qū)校級期中）命題：“如果a=8,那么/=店”的逆命題是如果江=必，那么父=%,

該命題是假命題（填真或假）.

【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再判斷命題的真假即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：命題“如果。=江那么/=/?”的條件是如果。=從結(jié)論是故逆命

題是如果/=/,那么“=/>,該命題是假命題.

故答案為：如果。2=反，那么4=6；假.

【點評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一

個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題的逆

命題.

2.（2006秋?靜安區(qū)期末）命題“如果?=&，那么的逆命題是：如果那么。=人.

【分析】將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換，得到逆命題.

【解答】解：命題“如果4=&，那么的逆命題是：如果。=從那么小

故答案為：如果。=匕，那么?=企.

【點評】本題考查了逆命題的概念.關(guān)鍵是明確交換原命題的題設(shè)和結(jié)論，得到逆命題.

二.角平分線的性質(zhì)（共5小題）

3.（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，AO是△ABC的角平分線，若△ABC的面積是48,且AC=16,AB

=8,則點。到48的距離是4

【分析】過。點作DEVAB于E,DFLAC于F,如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到S“BD+S"CD=S〃1BC，

再利用三角形面積公式得到工X8X￡>E+JLXOEX16=48,然后求出OE即可.

22

【解答】解：過。點作。EL48于E,DFLACF,如圖，

,：AD是△ABC的角平分線，

：.DE=DF,

,**SAABQ+SAACQ=SAA5C，

^AB'DE+^AC-DF=4S,

22

即JLX8XZ)E+_1XZ)EX16=48,

22

：.DE=4,

即點。到AB的距離為4

故答案為:4.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也考查了三角形面積.

4.（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，點P是NAOB的角平分線上的一點，過點P作尸C〃OA交OB于

點C,PD±OA,若/AOB=60°,0C=2,則尸￡>=_我.

【分析】過P點作PHLOB于H,如圖，先利用角平分線的性質(zhì)得到/PO￡>=NPOC,PD=PH,再利用

平行線的性質(zhì)證明/CPO=/POC得到PC=OC=2,然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

【解答】解：過P點作于"，如圖，

TOP平分NAOB,PD1,OA,PHA.OB,

:.NP0D=4P0C,PD=PH,

'：PC//OA,

:.NPOD=NCPO,ZPCH^ZAOB=60°,

：.ZCPO=ZPOC,

：.PC=OC=2,

在RtZ\PCH中，?.?NPCH=60°,

CH=LC=1,

2

:.PH=MCH=M，

:.PD=M.

故答案為：Vs.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也考查了含30度的直角

三角形三邊的關(guān)系.

5.(2021秋?奉賢區(qū)校級期中)已知：如圖，AM//BN,AC平分NAMB,BC平分NNB4.過點C作直線

DE,分別交AM、BN于D、E.

(1)求證：△ABC是直角三角形.

(2)求證：CD=CE.

5

fE

AB

【分析】(1)由兩直線平行同旁內(nèi)角互補，及角平分線定義不難得出/ABC+NCAB=90°,再由三角形內(nèi)

角和等于180°,即可得出/AC8是直角；

(2)過C點作C/〃AM,交AB于凡由平行線的性質(zhì)可得出各角之間的關(guān)系，進一步求出邊之間的關(guān)系.

【解答】證明:(1),.,AM//BN,

：.ZMAB+ZABN=\S0°,

又：AC平分/MAB,BC平分NNBA,

：.ZABC+ZCAB=^.QABN+NMAB)=90°,

2

AZACB=180°-(ZABC+ZCAB)=90°,

.?.△4CB是直角三角形；

(2)過C點作CF〃AM,交AB于F.

'：AM//BN,CF//AM,

：.CF//AD//BE,

：./ACF=ZDAC,NBCF=NCBE,

'：ZFAC=ZDAC,NFBC=NCBE,

：.ZACF=ZFAC,NBCF=NFBC,

:.AF=CF=FB,

二廠為AB的中點，

又CF//ADHBE,

根據(jù)平行線等分線段定理得到C為。E中點,

：.CD=CE.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，及梯形中位線等基礎(chǔ)知識,

準(zhǔn)確作出輔助線得出戶為4B的中點是解題的關(guān)鍵.

6.（2020秋?長寧區(qū)期末）如圖，是NABC的平分線，點。是BM上一點，點P為直線BC上的一個動

點.若△48。的面積為9,AB=6,則線段。尸的長不可能是（）

【分析】根據(jù)三角形的面積得出。E的長，進而利用角平分線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：過點D作DEA.AB于E,DFLBC于F,

.?"=竺=3，

63

?..8M是NA8C的平分線，

.'.DF=DE=3,

；.DP23,

故選：A.

【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與三角形的面積計算公式.作出輔助線是正確解答本題的關(guān)鍵.

7.（2020秋?奉賢區(qū)期末）如圖，OP平分NAOB,PALOA,PBLOB,在04上取一點C,連接PC,使PC

=OC,BP=^PC.

2

（1）求證：PC//OB；

（2）求/CPO的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出N40P=NCP。，根據(jù)角平分線的定義得出NAOP=NBOP,求出

ZBOP=ZCPO即可;

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出AP=8P,求出AP=JLPC,求出NAC尸=30°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NAO8

2

=ZACP=30°,即可求出答案.

【解答】（1）證明：???PC=OC,

:.4Aop=/CPO,

*/OP平分NAOB,

，ZAOP=ZBOPf

：.ZBOP=ZCPO,

：.PC//OB；

（2）W：?.?0尸平分/4。8,PA-LOA,PB.LOB,

；?AP=BP,

?；BP=LPC,

2

：.AP=1-PC,

2

VB41OA,

AZOAP=90°,

AZACP=30°,

?:PC"OB、

???NAO8=NACP=30°,

,?ZAOP=NBOP=NCPO,

AZCPO=J^x30°=15°.

2

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線

的性質(zhì)等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵.

三.線段垂直平分線的性質(zhì)（共10小題）

8.（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，在RtZ\A8C中，ZC=90°,斜邊A8的垂直平分線拉￡交AB于點。,

交BC于點、E,且AE平分N8AC,下列關(guān)系式不成立的是（）

A

CEB

A.AC=2,ECB.ZB=ZCAEC.ZDEA=ZCEAD.BC=3CE

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得根據(jù)等邊對等角可得

NB,然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出/CAE=/8AE=/B=30°,根據(jù)直角三角形30°角所對

的直角邊等于斜邊的一半可得AE^ICE,BE=2DE,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE

=EC,然后對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：???QE是A8的垂直平分線，

：.AE=BE,

:.NBAE=NB,

平分NBAC,

:.NCAE=NBAE,

VZC=90°,

.../C4E=/54E=/B=30°,

A、在RtZXACE中，AE=2CE,故本選項正確；

B、N8=NCAE正確，故本選項錯誤；

C、'：ZDEA=90°-30°=60°,2/8=2X30°=60°,

：.ZDEA=2ZB,故本選項錯誤；

D、在中，BE=2DE,

平分NBAC,ZC=90°,DELAB,

：.DE=EC,

：.BC=EC+BE=EC+2EC=3EC,故本選項錯誤.

故選:A.

【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊

的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2020秋?長寧區(qū)期末）如圖，在△A8C中，A8的垂直平分線交A8于點。，交BC于點E.△A8C的周

長為19,ZXACE的周長為13,則AB的長為（）

EB

A.3B.6C.12D.16

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：???AB的垂直平分線交AB于點O,

：.AE=BE,

"：AAC￡的周K=AC+AE+CE=AC+BC=13,/\ABC的周長=AC+BC+AB=19,

：.AB=/\ABC的周長-XACE的周長=19-13=6,

故選：B.

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點，

到線段兩端點的距離相等.

10.（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，QE垂直平分AB,FG垂直平分AC,若/BAC=110°,則NZMF=40

度.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NB+NC=70°,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=O8,根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)得到進而求出ND4B+N%C,結(jié)合圖形計算即可.

【解答】解：：NBAC=110°,

AZB+ZC=1800-ZfiAC=180°-110°=70°,

垂直平分AB,

：.DA=DB,

:.NDAB=NB,

同理可得：ZP4C-ZC,

AZDAB+ZPAC=ZH+ZC=10°,

：.ZDAF=\\00-70°=40°,

故答案為：40.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離

相等是解題的關(guān)鍵.

11.（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點A（4,-1）、8（1,2）,作線段A8的垂直平分

線交y軸于點C.則C點的坐標(biāo)為（0,-2）.

【分析】利用勾股定理用y表示出BC、AC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BC=AC,列出方程，解方程

得到答案.

【解答】解：設(shè)C點的坐標(biāo)為(0,y),

由勾股定理得:Bd=F+(2-y)2,AC2=42+(-1-y)2,

?.?點C在線段AB的垂直平分線上，

：.BC=AC,

12+(2-y)2=42+(-1-1y)2,

解得：尸-2,

.?.C點的坐標(biāo)為(0,-2),

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)

得出BC^AC是解題的關(guān)鍵.

12.(2020秋?閔行區(qū)期末)如圖，小明畫線段A8的垂直平分線/,垂足為點C,然后以點8為圓心，線段

AB為半徑畫弧，與直線/相交于點D,聯(lián)結(jié)BD,那么NCDB的度數(shù)是30°.

【分析】連接4,由線段垂直平分線性的性質(zhì)結(jié)合作圖可證明△ABO為等邊三角形，即可得N8=60°,

金額認(rèn)可求解NCQ2的度數(shù).

【解答】解：連接A。，

：.AD=BD,NBCD=90°,

,:BA=BD,

/\ABD為等邊三角形，

/.ZB=60°,

AZCDfi=30°.

故答案為：30°.

【點評】本題主要考查尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，證明△ABO為等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

13.（2020秋?普陀區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點尸是邊43、AC的中垂線的交點，聯(lián)結(jié)BF、CF,如果

ZBFC=110°,那么/A=55°.

【分析】連接AF并延長至點。，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到以=FB,FA=FC,根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)得到/布8=/尸區(qū)4,NEC=NFC4,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案.

【解答】解：連接4尸并延長至點。，

?.?點尸是邊AB、AC的中垂線的交點，

：.FA=FB,FA=FC,

:.NFAB=NFBA,ZFAC=ZFCA,

;.NBAD=LNBFD,ZCAF=XZCFD,

22

AZB/4C=AzBFC=Ax110°=55°,

22

故答案為：55.

A

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段

的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

14.（2020秋?松江區(qū)期末）如圖，在AABC中，己知/C=90°,AB的垂直平分線交BC、A8于點。、E,

NCAB=50°,那么NC4D=10°.

【分析】由直角三角形兩銳角的關(guān)系求得由OE垂直平分AB,推出根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

求出/D4B,進而求得NC4D.

【解答】解：NC=90°,ZCAB=50",

AZB=90°-50°=40°,

垂直平分48,

：.DA=DB,

/.ZDAB=ZB=40°,

：.ZCAD^ZCAB-ZDAB=50°-40°=10°,

故答案為：10°.

【點評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì).

15.（2021秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在aABC中，NC=37°,邊BC的垂直平分線分別與AC、BC交于點￡＞、

E,AB=CD,那么/A=74°.

A

【分析】連接。B,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到QB=QC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的

性質(zhì)得到/8D4=2/C,證明8A=8￡）,得到/A=/3D4,只要證明NA=2/C即可解決問題.

【解答】解：連接OB,

?.?OE是邊8c的垂直平分線，

：.DB=DC,

：.NDBC=NC,

：.ZBDA=2ZC,

'：AB=CD,DB=DC,

；.BA=BD,

：.ZA^ZBDA,

：./A=2NC,

VZC=37°,

；.NA=74°,

故答案為74.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離

相等是解題的關(guān)鍵.

16.（2021秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E,AC的垂直平分線交

8c邊于點N,若NBAC=70°,則/E4N的度數(shù)為（）

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求/B+/C,根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，EA=EB,NA=NC,則

ZNAC=ZC,從而可得NBAC=NBAE+NNAC-NEAN=NB+NC-NEAN,即可得到NE4N=NB+NC

-ABAC,即可得解.

【解答】解：；/BAC=70°,

AZB+ZC=180°-70°=110°,

???A3的垂直平分線交BC邊于點E,AC的垂直平分線交BC邊于點N,

:?EA=EB,NA=NC,

：.4EAB=/B,NNAC=NC,

:?NBAC=NBAE+NNAC-NEAN=NB+NC-NEAN,

：.ZEAN=ZB+ZC-ABAC,

=110°-70°

=40°.

故選：B.

【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，線段垂直平分線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，能得到求NE4N的關(guān)

系式是關(guān)鍵.

17.（2021秋?虹口區(qū)校級期末）銳角△ABC中，ZA=68°,A3的垂直平分線與AC的垂直平分線交于。

點,則N30C=136。.

【分析】過。作射線AM根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出OA=O8=。。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NO4B

=N48O,NACO=NOAC,求出NA8O+/ACO=NQ48+NOAC=68°,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出

即可.

【解答】解：過O作射線AN,

TAB的垂直平分線與AC的垂直平分線交于O點,

：?OA=OB,OA=OC,

：.OA=OB=OC,

:?NOAB=NABO,NACO=NOAC,

VZOAB+ZOAC=ZBAC=68°,

，ZABO+ZACO=NQA8+NOAC=68°,

???ZBOC=/BON+/CON

=ZABO+ZBAO+ZACO+ZOAC

=(NA80+NAC0)+(N8AO+NC4O)

=68°+68°

=136°,

故答案為：136°.

【點評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識點，能熟記線段垂

直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解此題的關(guān)鍵.

四.軌跡（共6小題）

18.（2021秋?浦東新區(qū)期末）到點A的距離等于6cm的點的軌跡是以點4為圓心，6c7〃為半徑的圓.

【分析】根據(jù)圓的定義直接得出答案即可.

【解答】解：由題知，到點A的距離等于6aw的點的軌跡是以點A為圓心，6c機為半徑的圓，

故答案為：以點A為圓心，6c7*為半徑的圓.

【點評】本題主要考查圓的定義，熟練掌握圓的定義是解題的關(guān)鍵.

19.（2021秋?松江區(qū)期末）已知兩個定點4、8的距離為4厘米，到點A、8的距離之和為4厘米的點的軌

跡是線段A8.

【分析】定點A、8的距離為4厘米，到點A、8的距離之和為4厘米，通過這兩個數(shù)據(jù)不能聯(lián)想到這個點

恰好在線段48上.

【解答】解：不妨設(shè)這個點為P,由取等號的條件是P在線段A8上

故答案為：線段

【點評】本題考查了三邊關(guān)系中，取等號的條件，難度不大，答案書寫要規(guī)范.

20.（2020秋?虹口區(qū)期末）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的

角平分線.

【分析】根據(jù)角平分線的判定可知.

【解答】解：根據(jù)角平分線的判定可知：平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點的軌

跡是這個角的角平分線，

故答案為：角平分線.

【點評】本題主要考查了角平分線的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.

21.（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）經(jīng)過A、8兩點的圓的圓心的軌跡是線段45的垂直平分線.

【分析】要求作經(jīng)過已知點A和點B的圓的圓心，則圓心應(yīng)滿足到點A和點8的距離相等，從而根據(jù)線段

的垂直平分線性質(zhì)即可求解.

【解答】解：根據(jù)同圓的半徑相等，則圓心應(yīng)滿足到點A和點B的距離相等，即經(jīng)過己知點4和點8的圓

的圓心的軌跡是線段AB的垂直平分線.

故答案為：線段AB的垂直平分線.

【點評】此題考查了點的軌跡問題，熟悉線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

22.（2020秋?寶山區(qū)校級期末）以線段為底邊的等腰三角形的頂點A的軌跡是：線段的垂直平分

線，不包括8C的中點O.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得答案.

以線段BC為底邊的等腰三角形的頂點A的軌跡是：線段BC的垂直平分線，不包括BC的中點。，

故答案為：線段的垂直平分線，不包括3c的中點O.

【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，注意點。的軌跡不包括BC

的中點.

23.（2021秋?徐匯區(qū)期末）以線段A8為底邊的等腰三角形，它的兩底角平分線交點的軌跡是線段

的垂直平分線（AB中點除外）.

【分析】根據(jù)NC4B和/CBA的平分線交于點P,則ZPBA=^ZCBA,說明

22

NPBA,得弘=PB,從而得出答案.

【解答】解：如圖，CA=CB,NCAB和NCBA的平分線交于點P,

22

"：CA=CB,

：.ZCAB=ZCBA,

：.ZPAB=ZPBA,

：.PA=PB,

...點P在線段AB的垂直平分線上（AB中點除外），

故答案為：線段A8的垂直平分線（A8的中點除外）.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，線段垂直平分線的判定等知識，證明以=

PB是解題的關(guān)鍵.

J鞏固提升

一、單選題

1.（2019?全國?八年級課時練習(xí)）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要

使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）

A.一AfiC的三條中線的交點

B.ABC三邊的垂直平分線的交點

C.’43C三條角平分線的交點

D.43c三條高所在直線的交點

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，想到角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以要選角平分線的交

點.

【詳解】I?要使涼亭到草坪三邊的距離相等，

.?.涼亭應(yīng)在三條角平分線的交點處.

故選：C.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，需要注意區(qū)分三角形中線的交點、高的交點、垂直平分線的交點以

及角平分線的交點之間的區(qū)別.

2.（2022?上海?八年級期末）下列命題的逆命題正確的是（）

A.對頂角相等B.直角三角形兩銳角互余

C.全等三角形的對應(yīng)角相等D.全等三角形的面積相等

【答案】B

【分析】先分別寫出第個選項的逆命題，再判斷其是否正確.

【詳解】解：A的逆命題是：相等的角是對頂角，假命題；

B的逆命題是：兩銳角互余的三角形是直角三角形，真命題；

C的逆命題是：對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形，假命題；

D的逆命題是：面積相等的三角形是全等三角形，假命題；

故選：B.

【點睛】本題主要考查了學(xué)生對逆命題以及真假命題的定義的理解，要求學(xué)生對常用的基礎(chǔ)知識牢固掌握,

比較簡單.

3.（2022?上海市羅星中學(xué)八年級期末）如圖，已知AO垂直平分線段3C,ZBAD25°,那么NC的度數(shù)為

（）

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直平分線可得AB=AC,即可得到N3=NC.

【詳解】垂直平分線段BC,ZBAD=25°

：.AB^AC,ZADB=9O°

,ZB=ZC=90°-25°=65°

故選：C.

【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到等腰三角形.

4.（2021?上海?八年級專題練習(xí)）如圖，已知.ABC,求作一點P,使尸到NA的兩邊的距離相等，且以=P8,

下列確定P點的方法正確的是（）

c

A.P為久兩角平分線的交點B.P為4C、A8兩邊上的高的交點

C.P為AC、A8兩邊的垂直平分線的交點D.P為NA的角平分線與AB的垂直平分線的交點

【答案】D

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：???尸到/A的兩邊的距離相等，

在N4的角平分線上；

'：PA=PB,

，尸在AB的垂直平分線上，

.?.P為/A的角平分線與AB的垂直平分線的交點.

故選：D.

【點睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

5.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）如圖，在AAfiC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=1.將AABC繞直

角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得4A6C；則點B轉(zhuǎn)過的路徑長為（）

"TB-T。?冬…

【答案】c

【分析】根據(jù)直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半求出A8的長，再根據(jù)勾股定理求出8c的

長，即為88所在的圓的半徑，由旋轉(zhuǎn)可知N8CBJ60。，求出赤，的長即為點8轉(zhuǎn)過的路徑長.

【詳解】解：在AABC中,

ZACB=90°,ZABC=30°,AC=\.

AB=2AC=2,

/.BC=y/AB2-AC2=>/22-l2=百，

將AABC繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得4A,^C,

.?.々8=60°,

.j60rr石乃

??I=------兀=----,

BB1803

???點B轉(zhuǎn)過的路徑長為歷，

3

故選：C.

【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、有關(guān)點的運動軌跡問題的求解等知識與方

法，正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并且由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?上海?八年級專題練習(xí)）下列定理中，沒有逆定理的是（）.

A.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

B.線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等

C.等腰三角形兩個底角相等

D.同角的余角相等

【答案】D

【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題.再分析逆命題是否為真命題.

【詳解】解：A、逆命題是：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，是真命題，故本選項不符合題意；

B、逆命題是：到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，是真命題，故本選項不符合題

意；

C、逆命題是：如果三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形，是真命題，故本選項不符合題意;

D、逆命題是：如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的余角，是假命題，故本選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了互逆定理的知識，如果一個定理的逆命題是假命題，那這個定理就沒有逆定理.

7.（2022?上海徐匯?八年級期末）下列命題中，其逆命題是真命題的命題個數(shù)有（）

（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等；（2）對頂角相等；

（3）等角對等邊；（4）全等三角形的面積相等.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】首先寫出各個命題的逆命題，再進一步判斷真假.

【詳解】(1)逆命題是：對應(yīng)邊相等的兩個三角形全等，正確；

(2)逆命題是：相等的角是對頂角，錯誤；

(3)逆命題是：等邊對等角，正確；

(4)逆命題是：面積相等，兩三角形全等，錯誤.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了逆命題的定義及真假性，學(xué)生易出現(xiàn)只判斷原命題的真假，也就是審題不認(rèn)真，

難度適中.

8.(2022?上海?八年級專題練習(xí))如圖，點A,8分別在x軸，丁軸正半軸上(含坐標(biāo)原點)滑動，且滿足

04+08=6,點C為線段48的中點，將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段A。，當(dāng)A由點。向右移

【答案】C

【分析】由C點坐標(biāo)(華,與)，得出C點在直線y+x=3(0<x<3)上，分別討論A在。點和時C,D

的坐標(biāo)，結(jié)合圖形求解，從而確定。點的軌跡為線段.

【詳解】解：如圖，OA+OB=6,點C為線段A3的中點

.?.C點坐標(biāo)(與，竽，華+與=3,即C點在直線y+%=3(0<A<3)上

設(shè)A(3,0),則B(0,3)

...當(dāng)A點在O點處時:C(0,3),此時。(3,0)

二ZBAO=45°

當(dāng)A點在(6,0)處時即4處，C(3,0),此時。(6,3)

AA'=A'D'=3

：.ZD'AA'=45°

二△AADf為等腰直角三角形

二AD'=3>/2

VZBAO=45°,ZD'AA'=45°

：.ZBAD'=90°

線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD

...當(dāng)C點由8到4時，。點由4到O

.?.點。移動的路徑長為3&

故選：C

【點睛】本題考查點的運動軌跡，旋轉(zhuǎn)的特征，直線上坐標(biāo)的特征，由C點的坐標(biāo)關(guān)系得出C點的軌跡再

結(jié)合圖形得出。點的軌跡是解題關(guān)鍵.

9.（2022?上海?八年級專題練習(xí)）如圖，AABC是邊長為2的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，以BM

為邊向上作等邊在點M從點C到點。的運動過程中，點N所經(jīng)過的路徑長是（）

■22

【答案】D

【分析】取8c的中點H,連接證明ADBMgA/汨N（S4S）,進而得到〃N=ZW,再計算出C。即可

求出點N所經(jīng)過的路徑長.

【詳解】解：如圖，取BC的中點“，連接

BH=-BC=-AB,

22

CDYAB,BD^-AB,

2

:.BH=BD,

AABC和ABMN是等邊三角形，

:.BM=BN,ZABC=ZMBN=60°,

ZDBM+ZMBH=ZHBN+AMBH,

ADBM=ZHBN,

^DBM^^HBN(SAS),

.-.HN=DM,NBHN=ZBDM=90°,

NH1.BC,

又點“在C處時，HN=CD=—AB=—x2=43,

22

點〃在。處時，點N與點，重合，

點N所經(jīng)過的路徑的長為用從C點運動到D點運動的路徑長小.

故選：D.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形全等的判定方法，本題的關(guān)鍵是求出點N的運動軌跡的路

徑長等于線段。M的長.

10.（2022?上海市南洋模范中學(xué)八年級期末）如圖，在心A8C中，ZC=90°,斜邊A3的垂直平分線交A8

于點。，交于點E,AE平分ZB4C,那么下列關(guān)系中不成立的是（）

c

C.BE=2ECD.AC=2EC

【答案】D

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，AE=BE,則N3=NC4E,再由AE平分㈤C,得/BAE=NCAE.從

而得出答案.

【詳解】解：A、EDLAB,且皮）=4）,

:.ZB=ZDAE，

又,??AE平分ZBAC,

:.ZCAE=ZDAE,

故NB=NC4E.正確，不符合題意；

B、在A4QE與AACE中，NC4￡=NZM￡；,ZC=ZA￡>E=90°,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理"E4=NCE4.正確，不符合題意：

C、E￡>_L/W,且8￡>=4）,

：.EB=EA

：.ZB=ABAE,正確，不符合題意；

。、AC=2EC不一定成立，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點

到線段的兩個端點的距離相等.

11.（2022?上海.八年級專題練習(xí)）如圖1,矩形的一條邊長為x,周長的一半為y,定義（x,y）為這個矩

形的坐標(biāo).如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，直線x=l,y=3將第一象限劃分成4個區(qū)域，已知矩形1的坐標(biāo)

的對應(yīng)點A落在如圖所示的雙曲線上，矩形2的坐標(biāo)的對應(yīng)點落在區(qū)域④中，則下面敘述中正確的是（）

A.點A的橫坐標(biāo)有可能大于3

B.矩形1是正方形時，點A位于區(qū)域②

C.當(dāng)點A沿雙曲線向上移動時，矩形1的面積減小

D.當(dāng)點A位于區(qū)域①時，矩形1可能和矩形2全等

【答案】D

【分析】A、根據(jù)反比例函數(shù)k一定，并根據(jù)圖形得：當(dāng)x=l時，y<3,得k=xy<3,因為y是矩形周長的

一半，即y>x,可判斷點A的橫坐標(biāo)不可能大于3；

B、根據(jù)正方形邊長相等得：y=2x,得點A是直線y=2x與雙曲線的交點，畫圖，如圖2,交點A在區(qū)域③,

可作判斷；

C、先表示矩形面積S=x(y-x)=xy-x2=k-x2,當(dāng)點A沿雙曲線向上移動時，x的值會越來越小，矩形1的面

積會越來越大，可作判斷；

D、當(dāng)點A位于區(qū)域①，得x<l,另一邊為：y-x>2,矩形2的坐標(biāo)的對應(yīng)點落在區(qū)域④中得：x>l,y>

人設(shè)反比例函數(shù)解析式為：(麗,

由圖形可知：當(dāng)x=l時，y<3,

/.k=xy<3,

*/y>x,

.,.x<3,即點A的橫坐標(biāo)不可能大于3,

故選項A不正確；

B、當(dāng)矩形1為正方形時，邊長為x,y=2x,

則點A是直線y=2x與雙曲線的交點，如圖2,交點A在區(qū)域③，

故選項B不正確；

C、當(dāng)一邊為x,則另一?邊為y-x,S=x(y-x)=xy-x2=k-x2,

?；當(dāng)點A沿雙曲線向上移動時，x的值會越來越小，

...矩形1的面積會越來越大，

故選項C不正確；

D、當(dāng)點A位于區(qū)域①時，

?.?點A(x,y),

.,.x<1,y>3,即另一邊為：y-x>2,

矩形2落在區(qū)域④中，x>l,y>3,即另一邊y-x>0,

當(dāng)點A位于區(qū)域①時，矩形1可能和矩形2全等；

故選項④正確；

故選D.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象和新定義，有難度，理解x和y的意義是關(guān)鍵，并注意數(shù)形結(jié)合的思想解決

問題.

二、填空題

12.(2022?上海?八年級期末)“對頂角相等”這個命題的逆命題是.

【答案】相等的角是對頂角

【分析】對頂角相等的題設(shè)是：兩個角是對頂角，結(jié)論是這兩個角相等，把條件與結(jié)論互換就可以得到逆

命題.

【詳解】解：“對頂角相等”的逆命題是：相等的兩個角是對頂角.

故答案為：相等的兩個角是對頂角.

【點睛】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一

個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題的逆

命題.

13.（2021?上海市南匯第四中學(xué)八年級期末）命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是.

【答案】有兩個角相等的三角形是等腰三角形；

【分析】先找到原命題的題設(shè)和結(jié)論，在將題設(shè)和結(jié)論互換，即可得到答案.

【詳解】解：原命題的題設(shè)是：“一個三角形是等腰三角形”，結(jié)論是：“這個三角形兩底角相等”，

所以命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”.

【點睛】本題考查命題的轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確找到命題的題設(shè)和結(jié)論進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?上海市南匯第四中學(xué)八年級期末）平面上經(jīng)過A、B兩點的圓的圓心的軌跡是.

【答案】線段AB的垂直平分線

【分析】要求作經(jīng)過已知點A和點8的圓的圓心，則圓心應(yīng)滿足到點A和點8的距離相等，從而根據(jù)線段

的垂直平分線性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)同圓的半徑相等，則圓心應(yīng)滿足到點A和點8的距離相等，即經(jīng)過已知點A和點8的圓

的圓心的軌跡是線段的垂直平分線.

故答案為：線段A8的垂直平分線.

【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì).掌握線段垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等是解題

關(guān)鍵.

15.（2021?上海市建平實驗中學(xué)八年級期末）命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為.

【答案】兩個銳角互余的三角形是直角三角形

【分析】把原命題的題設(shè)與結(jié)論部分交換即可得到其逆命題.

【詳解】解：命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為“兩個銳角互余的三角形是直角三角形”.

故答案為：兩個銳角互余的三角形是直角三角形.

【點睛】本題考查了命題與逆命題，解題的關(guān)鍵在于找出原命題的條件和結(jié)論.

16.（2022?上海徐匯?八年級期末）如圖，在△ABC中，4c=37",邊BC的垂直平分線分別與AC、BC交于

點。、E,AB=CD,那么NA=°,

【分析】連接3D,由題意易得BD=CZ）=48,然后可得/。3C=NC=37。，進而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等

腰三角形的性質(zhì)可求解.

?；￡）￡：垂直平分BC,AB=CD,

:.BD=CD=AB,

"：ZC=37°,

/Z）BC=/C=37°,

?.NADB=2NC=74。,

'：AB=BD,

：./A=NAOB=74。，

故答案為74.

【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握線

段垂直平分線的性質(zhì)定理、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.（2022?上海?八年級期末）如圖，在AAfiC中，ZACB=a,ZACB的平分線與ZABC的外角平分線交于

點E,則AAEB的度數(shù)為.（用含a的式子表示）

R

a

【答案】90°-y

【分析】如圖，過點E作AABC三邊的垂線，垂足分別為。，F(xiàn),G,先根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得

然后根據(jù)角平分線的判定證得44E=NEW,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求得

ry-4-//?/!「c/4Fif"'

NEBA=r-,4AE=一^,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求解.

【詳解】解：過點E作互）于點D,EFLAC于點F,￡6,3。于點6,

：CE平分/ACB,8E平分乙42c的外角,

:.EF=FG=ED,

???AE也是NB4C外角的平分線，

/.NABG=2ZABE,ZBAE=2ZBAE

ZABG=ZACB+ABAC,ZBAF=ZACB+ZABC

a+NBACa+ZABC

：.ZEBA=,ZBAE=

22

ZBAC+ZABC1800+a

：.ZEBA+ZBAE=a+

22

故答案為：90°-1.

【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和判

定，正確理解三角形的有關(guān)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

18.（2021?上海普陀?八年級期末）如圖，在△A8C中，點尸是邊A3、AC的中垂線的交點，聯(lián)結(jié)BF、CF,

如果N3FC=110。，那么NA=

A

【答案】55

【分析】連接■并延長至點。，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到=FA=FC，根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)得到=ZE4C=ZFC4,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案.

【詳解】解：連接"1并延長至點。，

點廠是邊AB、AC的中垂線的交點，

:.FA=FB,FA=FC,

:.NFAB=NFBA,ZFAC=ZFCA,

:.NBAD=LNBFD,NCAF’NCFD,

22

ABAC=-NBFC=4x110。=55。，

22

故答案為：55.

【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線

上的點到線段的兩個端點的距離相等.

19.（2022?上海?上外附中八年級期末）銳角3ABe中，NA=68,AB的垂直平分線與AC的垂直平分線交

于。點，則/8OC=

【答案】136##136度

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得ZA8O=N8AO,ZACO=NC4O,由三角形內(nèi)角和定理可求出

ZOBC+ZOCB=44°,從而可求出NBOC

【詳解】解：如圖，

B

根據(jù)直平分線的性質(zhì)可得NAB。=NBAO,ZACO=ZCAO,

ZBAO+ZCAO=ABAC=68°

,ZABO+ZBAO+ZACO+ZCAO=2ZBAC=2x68°=136°

/.NOBC+ZOCB=180°-(ZABO+ZBAO+ZACO+ZC4O)=180°-l36°=44°

，NBOC=180°-(NOBC+NOCB)=180°-44°=l36°

故答案為：136。

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點,

到線段兩端點的距離相等.解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理.

20.(2022?上海浦東新?八年級期末)已知：如圖，在一中，AB=AC,線段AB的垂直平分線分別交

AB、AC于點。、E,如果NE3C=42。，那么NA=.

BC.

【答案】32。##32度

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NABC=NACB,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出N4與NABE的

關(guān)系，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程解答即可.

【詳解】解：：ZVIBC中，AB=AC,

：.ZABC^ZACB,

???■DE是線段A8的垂直平分線，

,ZA=ZABE,

設(shè)NA=x°,則NABC=NACB=x°+42°,

二/A+ZABC+ZACB=\80°,

即x°+x°+42°+x°+42°=180°，

解得,x=32°.

故NA=32°.

故答案為:32。.

【點睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識.①線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端

點的距離相等；②可得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知識解答.

21.（2022?上海徐匯?八年級期末）以線段AB為底邊的等腰三角形，它的兩底角平分線交點的軌跡是.

【答案】線段的垂直平分線（AB中點除外）

【分析】根據(jù)等邊對等角，得到兩個底角相等，兩個底角的一半也是相等的，利用等角對等邊，交點到4

B的距離相等，得到結(jié)論.

【詳解】如圖，,：CA=CB,

：.NCAB=/CBA,

"：AD,8。分別是NC4B,NCBA的平分線，

ZCBA,

：.ZDAB=ZDBA,

二。在AB的垂直平分線上，

故答案為：線段AB的垂直平分線（AB中點除外）.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的逆定理，

熟練等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的逆定理是解題的關(guān)鍵.

22.（2021?上海?八年級專題練習(xí)）如圖，在AABC中，平分ZA8C,BC的中垂線交3C于點E,交.BD

于點F,連接CF,NA8D=24°.若。尸=8為等腰三角形，則NA的度數(shù)為；

D

BEC

【答案】60°.

【分析】根據(jù)角