滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷專題03銳角的三角比(重點(diǎn))(原卷版+解析)

專題03銳角的三角比（重點(diǎn)）一、單選題1．在中，，那么銳角的正弦等于（

）A． B． C． D．．2．在中，，，，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．3．如果銳角的正切值為，那么下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．4．如圖，線段OA在第二象限，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，4），OA與y軸的夾角為α，則cosα＝（）A． B． C． D．5．在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cos∠B的值為（）A． B． C． D．6．如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．7．如圖，把兩條寬度都是1的紙條，其中一條對(duì)折后再兩條交錯(cuò)地疊在一起，相交成角α，則重疊部分的面積是（）A．2sinα B．2cosα C． D．8．如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公樓頂端A測(cè)得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i＝1：，則大樓AB的高度為(

)（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.49．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB上一點(diǎn)，過D作DF⊥AB交邊BC于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．1210．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E為AB邊的中點(diǎn)，連接DE交AC于F．若CD＝1，則線段AF的長度為（）A． B． C．1 D．二、填空題11．計(jì)算____．12．在中，，，，那么______．13．沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，這個(gè)斜坡的坡度_______．14．如圖，已知中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，若，，則________．15．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，那么：的值是______．16．小明要測(cè)量公園里一棵古樹的高，被一條小溪擋住去路，采用計(jì)算方法，在點(diǎn)測(cè)得古樹頂?shù)难鼋菫?，向前走?00米到點(diǎn)，測(cè)得古樹頂?shù)难鼋菫椋瑒t古樹的高度為________米．17．如圖，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若，則tan∠DEC的值是________．18．如圖，已知在中，，，，是邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果，那么點(diǎn)與點(diǎn)的距離等于________．三、解答題19．計(jì)算：（1）sin260°-tan30°?cos30°+tan45°；（2）．20．如圖，已知在平行四邊形中，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，．(1)求平行四邊形的面積；(2)連接，求的值．21．如圖，在中，，，，CD⊥AB，垂足為D．(1)求BD的長；(2)設(shè)，，用，表示．22．如圖，在中，，是邊上的中線，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，．(1)求的長；(2)求的正切值．23．已知：如圖在中，是邊上的高，為邊的中點(diǎn)，，，．求：（1）線段的長；（2）的值．24．如圖，某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的長為12米，坡角α為60°．根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，∠α≤39°時(shí)，才能避免滑坡危險(xiǎn)．學(xué)校為了消除安全隱患，決定對(duì)斜坡CD進(jìn)行改造，在保持坡腳C不動(dòng)的情況下，學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動(dòng)多少米才能保證教學(xué)樓的安全？（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）25．如圖，在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，兩名同學(xué)要測(cè)量小河對(duì)岸大樹BC的高度，甲同學(xué)在點(diǎn)A測(cè)得大樹頂端B的仰角為45°，乙同學(xué)從A點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走6米到達(dá)斜坡上點(diǎn)D，在此處測(cè)得樹頂端點(diǎn)B的仰角為26.7°，且斜坡AF的坡度為1：2．(1)求乙同學(xué)從點(diǎn)A到點(diǎn)D的過程中上升的高度；(2)依據(jù)他們測(cè)量的數(shù)據(jù)求出大樹BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）26．如圖，已知等邊中，、分別是邊、上的點(diǎn)，且，以為邊向左作等邊，聯(lián)結(jié)、．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．27．已知中，，、是的兩條高，直線與直線交于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)為銳角時(shí)，①求證：；②如果，求的正切值；(2)如果，，求的面積．28．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F是邊AC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DF、EF，以DF、EF為鄰邊作平行四邊形EFDG．（1）如圖1，如果CD＝2，點(diǎn)G恰好在邊BC上，求∠CDF的余切值；（2）如圖2，如果AF＝AE，點(diǎn)G在△ABC內(nèi)，求線段CD的取值范圍；（3）在第（2）小題的條件下，如果平行四邊形EFDG是矩形，求線段CD的長．專題03銳角的三角比（重點(diǎn)）一、單選題1．在中，，那么銳角的正弦等于（

）A． B． C． D．．【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可直接得出結(jié)果．【解析】在中，，那么銳角的正弦=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，需要熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．2．在中，，，，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理解出AB，再逐項(xiàng)根據(jù)三角函數(shù)的定義判斷即可．【解析】根據(jù)勾股定理可得：，則；；；；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，熟悉基本定義是解題關(guān)鍵．3．如果銳角的正切值為，那么下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用30度角和45度角的正切值與角的正切值比較，即可得到答案．【解析】∵，，而，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查各角的正切值，實(shí)數(shù)的平方運(yùn)算，實(shí)數(shù)的大小比較，熟記各角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．4．如圖，線段OA在第二象限，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，4），OA與y軸的夾角為α，則cosα＝（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出線段OA的長，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【解析】解：∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，4），∴OA＝＝4．∴cosα＝＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、坐標(biāo)與圖形和勾股定理，掌握勾股定理及直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．5．在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cos∠B的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作AD⊥BC，可得AD＝BD＝5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函數(shù)的定義求解可得．【解析】解：如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD＝5，BD＝5，∴AB＝＝＝5，∴cos∠B＝＝＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊．6．如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“正弦值隨著角度的增大而增大”解答即可．【解析】解：∵0°＜25°＜30°∴∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當(dāng)角度在0°~90°間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。虎谟嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅虎壅兄惦S著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）．7．如圖，把兩條寬度都是1的紙條，其中一條對(duì)折后再兩條交錯(cuò)地疊在一起，相交成角α，則重疊部分的面積是（）A．2sinα B．2cosα C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知：所得圖形是菱形，設(shè)菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，過A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的長度，根據(jù)菱形的面積公式即可求出所填答案．【解析】解：由題意可知：重疊部分是菱形，設(shè)菱形ABCD，則∠ABE＝α，過A作AE⊥BC于E，則AE＝1，設(shè)BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝，∴BC＝AB＝，∴重疊部分的面積是：×1＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．8．如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公樓頂端A測(cè)得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i＝1：，則大樓AB的高度為(

)（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.4【答案】C【分析】延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則GH=DE=15米，EG=DH，設(shè)BH=x米，則CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的長度，證明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=（6+20）（米），即可得出大樓AB的高度．【解析】解：如圖，延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則GH＝DE＝15米，EG＝DH，∵梯坎坡度i＝1：，∴BH：CH＝1：，設(shè)BH＝x米，則CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得：x2+（x）2＝122，解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝6米，∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（6+20）（米），∵∠α＝45°，∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG＝EG＝（6+20）（米），∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度、俯角問題；通過作輔助線運(yùn)用勾股定理求出BH，得出EG是解決問題的關(guān)鍵．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB上一點(diǎn)，過D作DF⊥AB交邊BC于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根據(jù)，可得，由∽，可得相似比為，從而得到面積比為，進(jìn)而求出答案．【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵DF⊥AB，

∴∠ADF＝90°，∴∠BAC+∠F＝90°，∴∠B＝∠F，又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，∴△ECF∽△ACB，∴＝tan∠EAC＝，∴，又∵S△ECF＝1，∴S△ABC＝9，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的意義，相似三角形的性質(zhì)和判斷，掌握相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．10．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E為AB邊的中點(diǎn)，連接DE交AC于F．若CD＝1，則線段AF的長度為（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】延長AD、BC交于點(diǎn)G，將圖形補(bǔ)充成等邊三角形，利用△ACD和△ABC都是含30°角的直角三角形得出AC，AD，AB的長度，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出EC的長度，用等邊三角形的性質(zhì)推導(dǎo)ECAD，繼而得出△EFC∽△DFA，，最后結(jié)合CF=AC-AF利用這個(gè)比例式得到關(guān)于AF的方程，解出即可．【解析】∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝30°，∵AD⊥CD，CD＝1，∴AD＝，AC＝2，延長AD、BC交于點(diǎn)G，如圖，∵∠DAB＝∠B＝60°，∴∠G＝60°，∴△ABG為等邊三角形，∵AC平分∠DAB，∴C為GB的中點(diǎn)，且AC⊥GB，∴AB＝，連接EC，∵E為AB邊的中點(diǎn)，AC⊥GB∴EC＝AB＝，∵C為GB的中點(diǎn)，∴ECAD，∴△EFC∽△DFA，∴，即∴∴AF＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用判定△EFC∽△DFA并用其列出關(guān)于AF的方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．計(jì)算____．【答案】【分析】先代入特殊角的三角函數(shù)值，然后再進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．12．在中，，，，那么______．【答案】【分析】直接利用正弦的定義列式求解即可．【解析】解：∵，，∴∵∴，解得：BC=12．故填：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦的定義，正確理解正弦的定義是解答本題的關(guān)鍵．13．沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，這個(gè)斜坡的坡度_______．【答案】2.4【分析】根據(jù)勾股定理求出此人行走的水平距離，根據(jù)坡度的概念計(jì)算即可．【解析】解：由勾股定理得，此人行走的水平距離為：=12，則此斜坡的坡度i=5：12=1：2.4，故答案為：2.4．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．14．如圖，已知中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，若，，則________．【答案】2【分析】由題意易得，進(jìn)而問題可求解．【解析】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及角的正切，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及角的正切是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，那么：的值是______．【答案】7【分析】過點(diǎn)A作于，作的垂直平分線交于點(diǎn)、交于，根據(jù)余弦的定義求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【解析】解：過點(diǎn)A作于，作的垂直平分線交于點(diǎn)、交于，在中，，，則，解得：，由勾股定理得：，在中，，則，∴，是的垂直平分線，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形、平行線分線段成比例定理，根據(jù)余弦的定義求出是解題的關(guān)鍵．16．小明要測(cè)量公園里一棵古樹的高，被一條小溪擋住去路，采用計(jì)算方法，在點(diǎn)測(cè)得古樹頂?shù)难鼋菫?，向前走?00米到點(diǎn)，測(cè)得古樹頂?shù)难鼋菫?，則古樹的高度為________米．【答案】【分析】由正切的定義分別確定的表達(dá)式，進(jìn)而聯(lián)立成方程組，求解方程組即可得到答案．【解析】解：如圖，CD為樹高，點(diǎn)C為樹頂，則，BD=AD-100∴依題意，有由①得將③代入②，解得故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正切的定義，二元一次方程組得應(yīng)用，能依題意根據(jù)正切的定義列出方程組是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若，則tan∠DEC的值是________．【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，易證，從而可求出，，設(shè)AB＝a，則AD＝2a，根據(jù)三角形的面積可求出AE，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，在與中，，，，，，tan∠ADB＝＝，設(shè)AB＝a，則AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD?AE＝AB?AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知在中，，，，是邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果，那么點(diǎn)與點(diǎn)的距離等于________．【答案】【分析】由題意可得如圖所示，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，則有，然后可得，進(jìn)而可得，則有，，最后問題可求解．【解析】解：過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，如圖，∵，，∴，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，∵，∴（AAS），∴，，∴，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、勾股定理及解直角三角形，熟練掌握折疊的性質(zhì)、勾股定理及解直角三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．計(jì)算：（1）sin260°-tan30°?cos30°+tan45°；（2）．【答案】（1）（2）-【分析】根據(jù)特殊的銳角三角函數(shù)值以及基本的四則運(yùn)算法則可直接求解最后結(jié)果．【解析】解：（1）原式==

=．（2）原式===-=-【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)函數(shù)值，熟記特殊的銳角三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．20．如圖，已知在平行四邊形中，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，．(1)求平行四邊形的面積；(2)連接，求的值．【答案】(1)(2)【分析】對(duì)于（1），在中，根據(jù)，求出AE，再根據(jù)勾股定理求出DE，進(jìn)而求出面積即可；對(duì)于（2），作，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，可求出EB，進(jìn)而求出EF，根據(jù)勾股定理求CE，最后根據(jù)得出答案．(1)∵，∴．在中，．又，∴．在中，，∴∴．(2)過E作，與的延長線交于點(diǎn)F．∵，∴．∵，∴．∴．在中，，又，∴．在中，．在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．21．如圖，在中，，，，CD⊥AB，垂足為D．(1)求BD的長；(2)設(shè)，，用，表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)解直角三角形，先求出CD的長度，然后求出AD，由等角的三角函數(shù)值相等，有，即可求出BD的長度；（2）由（1）可求AB的長度，根據(jù)三角形法則，求出，然后求出.（1）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△ACD中，，∴．∴，∴．∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠B=∠A+∠B=90°，∴∠DCB=∠A．∴；（2）解：∵，∴，又∵，

∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，向量的運(yùn)算，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形求三角形的各邊長度.22．如圖，在中，，是邊上的中線，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，．(1)求的長；(2)求的正切值．【答案】(1)7(2)6【分析】（1）由，求得DE的長，再用勾股定理求出CE的長，由求得BE的長，最后求出BC的長；（2）過點(diǎn)為A作，垂足為點(diǎn)H，由在Rt△DEB中，DE=3，可得BD=，在Rt△ABH中，AB=，，再求出CH的長，最后求出的正切值．(1)∵，∴∠DEB=∠DEC=90°∵在Rt△DEC中，，，∴，∴DE=3，∴，∵在Rt△DEB中，，DE=3，∴BE=DE=3，∴BC=BE+CE=3+4=7；(2)如圖，過點(diǎn)為A作，垂足為點(diǎn)H，∵在Rt△DEB中，，DE=3，∴BD=，∵是邊上的中線，∴AB=2BD=，∵在Rt△ABH中，，AB=，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．23．已知：如圖在中，是邊上的高，為邊的中點(diǎn)，，，．求：（1）線段的長；（2）的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直角三角形中求解再利用勾股定理求解從而可得答案；（2）先利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)證明可得再求解從而可得答案.【解析】解：（1）是邊上的高，，，，（2）為邊的中點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，掌握“等角的三角函數(shù)值相等”是解題的關(guān)鍵.24．如圖，某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的長為12米，坡角α為60°．根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，∠α≤39°時(shí)，才能避免滑坡危險(xiǎn)．學(xué)校為了消除安全隱患，決定對(duì)斜坡CD進(jìn)行改造，在保持坡腳C不動(dòng)的情況下，學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動(dòng)多少米才能保證教學(xué)樓的安全？（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）【答案】7【分析】假設(shè)點(diǎn)D移到D′的位置時(shí)，恰好∠α=39°，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作D′E′⊥AC于點(diǎn)E′，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出DE、CE、CE′的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解析】假設(shè)點(diǎn)D移到D’的位置時(shí)，恰好∠α=39°，過D點(diǎn)作DE⊥AC于E點(diǎn)，作D’E⊥AC于E’∵CD=12，∠DCE=60°∴DE=CD·sin60°=6，CE=CD·cos60°=6∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’∴四邊形DEE’D’是矩形∴DE=D’E’=6，∵∠D’CE’=39°∴CE′=≈13∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．即答：學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動(dòng)7米才能保證教學(xué)樓的安全．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．25．如圖，在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，兩名同學(xué)要測(cè)量小河對(duì)岸大樹BC的高度，甲同學(xué)在點(diǎn)A測(cè)得大樹頂端B的仰角為45°，乙同學(xué)從A點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走6米到達(dá)斜坡上點(diǎn)D，在此處測(cè)得樹頂端點(diǎn)B的仰角為26.7°，且斜坡AF的坡度為1：2．(1)求乙同學(xué)從點(diǎn)A到點(diǎn)D的過程中上升的高度；(2)依據(jù)他們測(cè)量的數(shù)據(jù)求出大樹BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）【答案】(1)6米(2)24米【分析】（1）作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH；（2）過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)BC=x米，用x表示出BG、DG，根據(jù)tan∠BDG=列出方程，解方程得到答案．（1）解：作DH⊥AE于H，如圖所示：在Rt△ADH中，∵，∴AH＝2DH，∵AH2+DH2＝AD2，∴（2DH）2+DH2＝（）2，∴DH＝6（米）．答：乙同學(xué)從點(diǎn)A到點(diǎn)D的過程中，他上升的高度為6米；（2）如圖所示：過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)BC＝x米，在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝x，由（1）得AH＝2DH＝12，在矩形DGCH中，DH＝CG＝6，DG＝CH＝AH+AC＝x+12，在Rt△BDG中，BG＝BC﹣CG＝BC﹣DH＝x﹣6，∵tan∠BDG＝，∴，解得：x≈24，答：大樹的高度約為24米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，作輔助線DH和DG構(gòu)造直角三角形ADH和直角三角形BDG是解決本題的關(guān)鍵．26．如圖，已知等邊中，、分別是邊、上的點(diǎn)，且，以為邊向左作等邊，聯(lián)結(jié)、．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)首先可證得△ACD≌△CBF(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠CFB，AD=CF，由等邊三角形的性質(zhì)得出CF=DE，再由等邊三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證得，，據(jù)此即可證得；(2)過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，解直角三角形求出BD，CD，則可得出答案．(1)證明：是等邊三角形，又，AD=CF是等邊三角形四邊形CDEF是平行四邊形(2)解：如圖：過點(diǎn)F作于點(diǎn)G四邊形CDEF是平行四邊形，設(shè)BG=x，則【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．已知中，，、是的兩條高，直線與直線交于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)為銳角時(shí)，①求證：；②如果，求的正切值；(2)如果，，求的面積．【答案】(1)①見解析；②2(2)或【分析】（1）①由題可知，即可證明，之后證明即可；②設(shè)，則，，根據(jù)可得，故在中，可求；（2）設(shè)，即可證得，根據(jù)，可得根據(jù)與，可得到，之后分為銳角與鈍角兩種情況討論即可．（1）（1）①證明：，，，，，且，，，，，；②由題意知：設(shè)，則，，，，，，，在中，；（2）解：設(shè)，，，，，，，且，在Rt△BDQ中根據(jù)勾股定理可得，，，1°當(dāng)為銳角時(shí)，，，解得；∴，，；2°當(dāng)為鈍角時(shí)，，，解得，∴，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的相似的判定與性質(zhì)、解直角三角形，解一元二次方程、三角形的面積，根據(jù)題目條件分類討論是解題的關(guān)鍵．28．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，c