江蘇省揚(yáng)中市第二某中學(xué)2021-2022第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)周練

江蘇省揚(yáng)中市第二高級中學(xué)2021-2022第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)周練5

姓名

一、選擇題.請把答案直接填涂在答題卡相應(yīng)位置

1.過三點41,3),8(4,2),。(1,—7)的圓交丁軸于用”兩點，則|MN|=()

A.2A/6B.8C.4>/6D.1O

2.過點(1,3)作圓f+(y—1)2=1的兩條切線，切點分別為AB,則直線AB的方程為()

A.無一2y+3=()B.x+2y-3=0C.%-4y+3=()D.x+4y-3=()

3.已知(無一l)2+y2=i與圓。一2)2+(>一1)2=「(r>0)無公切線，則r的取值范圍是()

A.(0,1)B.(V2-l,+oo)C.(0,V2+1)D.(72+l,+oo)

4.已知直線x-y+a=0與圓心為。的圓x2+y2+2x—4y—4=0相交于A,8兩點，且ACJ.BC,則

實數(shù)。的值為()

A.0B.0或6C.6D.0或3

5.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個

有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回

到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為Y+y2wl,若將軍從點

42,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=4,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將

軍飲馬”的最短總路程為()

A.V10-1B.2亞-1C.275D.而

6.若圓。：》2+/+2%-4丫+3=0關(guān)于直線2ar+〃y+6=0對稱，則由點(a,b)向圓作切線，所作切線

長的最小值是()

A.2B.4C.3D.6

7.過直線/:y=2x+a上的點作圓。：工,+丁=1的切線，若在直線/上存在一點M,使得過點”的圓C

的切線為切點)滿足NPMQ=90°,則a的取值范圍是()

A.[-io,io]B.[-Vio,Vi()j

C.(-oo-10]u[10,+oo)D.(-oo-Vw]u[V10,+oo)

8.在直角坐標(biāo)平面上，點P(X,y)的坐標(biāo)滿足2x+y2=(),點Q(a,3的坐標(biāo)滿足方程

/+〃+6a-助+24=0，則、二的取值范圍是()

x-a

A.[-2,2]B.

C.D.[守，？

二、多選題：(每小題給出的四個選項中，不止一項是符合題目要求的，請把正確的所有選項

填涂在答題卡相應(yīng)的位置上)

9.已知直線數(shù)+力+1=()圓V+y=i相切，則3a+力的值可以為()

A.372B.20C.VlOD.V13

10.點P是直線x+y-4=0上的動點，由點P向圓。：/+丁2=4引切線P&A為切點)，則下列關(guān)于

切線長24的說法中，正確的為()

A.切線長度沒有最大值B.切線長的可能值為4

C.切線長有最小值_____D.切線長不可能短

11.已知曲線C：x=j4-y2,直線/:y=x+雙。w/?),點尸(%,%)在曲線。上，則下列結(jié)論正確的是

()

A.曲線C是一個半圓B.(%+1產(chǎn)+(%+1)2的最小值是2

C.曲線C與直線/有兩個交點，則人的取值范圍是(-2&,2)

D.曲線C與直線/有一個交點，則匕的取值范圍是(-2,2]

12.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A、3的距離

之比為定值2(2。1)的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯

pA1

圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(—2,0)、8(4,0),點P滿足——=一，設(shè)點P所構(gòu)

成的曲線為C,下列結(jié)論正確的是()

A.。的方程為(x+4p+y2=i6B.在。上存在點￡>,使得。到點。,1)的距離為3

C.在C上存在點M，使得|MO|=2|M4|D.在C上存在點N,使得加。「+|網(wǎng)2=4

三、填空題.請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.在平面直角坐標(biāo)系x0yxOy中，過點M(0,-3)的直線/與圓％2+9=3交于A,B兩點，S.MB=2MA,

則直線I的方程為.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓G：/+：/=1與圓。2：/+》2+2x+y-a=0相交于A3兩

點，若圓C|上存在點p,使得八鉆尸為等腰直角三角形，則實數(shù)。的值組成的集合為.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,3),圓C:(x—。尸+⑶―2。+4尸=1,若圓C上存在點

使M4=2MO,則a的取值范圍是.

16.已知點P為圓0:F+y=l上一個動點，O為坐標(biāo)原點，過P點作圓O的切線與圓Q:5+)，2_2?8)，=19

pA

相交于兩點A,B,則一的最大值為.

PB

四、解答題.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x+3y-29=0相切.

(I)求圓的方程；(H)設(shè)直線以-y+5=0(a>0)與圓相交于4,B兩點，求實數(shù)〃的取值范圍；

(III)在(II)的條件下，是否存在實數(shù)a,使得弦AB的垂直平分線/過點尸(-2,4),若存在，求出

實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由.

18.如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，A4OB和△C8為兩等腰直角三角形，4-2,0),C(“,0)(a>0).設(shè)A4OB

和AC8的外接圓圓心分別為M,N.(1)若0M與直線CD相切，求直線CD的方程；

(2)若直線AB截ON所得弦長為4,求。N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)是否存在這樣的。N,使得ON上有且只有

三個點到直線AB的距離為夜，若存在，求此時。N的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存

在，說明理由.

2

19.已知圓M的方程V+(y—2)2=1,直線/的方程為x—2y=0,點P雀偷錢我苣：遹曲讖陶硼林兩

切線PA,PB,切點為AB(1)若NAPB=60°,試求點P的坐標(biāo)；(2)若P點的坐標(biāo)為(2,1),過P作直

線與圓M交于C,D兩點，當(dāng)CD=后時，求直線CD的方程；(3)求證：經(jīng)過A三點的圓必過

定點，并求出所有定點的坐標(biāo).

20.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，己知圓C1:3+1尸+:/=1,圓C?:(x—3尸+(y—4>=1.

(1)若過C4-1,0)在直線/被圓C?截得的弦長為求直線/的方程：(2)設(shè)動圓C同時平分圓C「圓

C2的周長：①證明：動圓圓心C在一條定直線上運(yùn)動；②動圓C是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的

坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由.

3

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線I：x—y+4=0和圓。：x2+y2次晦堀盾聶/高：中毅學(xué)聯(lián)卷

作圓C的兩條切線，切點分別為M,N.(1)求證：直線MN經(jīng)過定點；

(2)若圓。上存在點A,B,使得/APB=60。，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍;

(3)設(shè)線段MN的中點為Q,/與x軸的交點為T,求線段TQ長的最大值.

22.已知圓O:/+/=i和點M(1,4).(1)過點M向圓。引切線，求切線的方程；

(2)求以點M為圓心，且被直線y=2x-8截得的弦長為8的圓M的方程；

(3)設(shè)P為(2)中圓M上任意一點，過點P向圓。引切線，切點為Q,試探究：平面內(nèi)是否存在一定

點R，使得絲為定值？若存在，請求出定點R的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由.

PR

4

江蘇省揚(yáng)中市第二高級中學(xué)2021-2022第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)周練5

姓名

一、選擇題.請把答案直接填涂在答題卡相應(yīng)詼E一

1.過三點A(l,3),B(4,2),C(l,-7)的圓交V軸于M,N兩點，則|MN|=

(C)

A.276B.8C.476D.1O

2.過點(1,3)作圓尤2+()，-1)2=1的兩條切線，切點分別為AB,則直線A8的方程為

(B)

A.x-2y+3=0B.x+2y-3=()C.x-4y+3=0D.

x+4y-3=0

3.已知(龍一1)2+V=i與圓(x-2)2+(y-l)2=?r>o)無公切線，則r的取值范圍是

(D)

A.(0,l)B.(V2-l,+oo)C.(0,V2+1)D.

(加+l,+8)

4.己知直線x—y+a=0與圓心為C的圓/+y2+2x-4y-4=0相交于A,B兩點，且

ACA.BC,則

實數(shù)4的值為

(B)

A.0B.0或6C.6D.0或3

5.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩

中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處

出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍

營所在區(qū)域為/+>2<1,若將軍從點A(2,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=4,

并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為

(B)

A.V10-1B.275-1C.2石D.回

6.若圓C:f+y2+2x—4y+3=0關(guān)于直線2依+勿+6=0對稱，則由點(。力)向圓作

切線，所作切線長的最小值是

(B)

A.2B.4C.3D.6

7.過直線2:y=2x+”上的點作圓C:/+y2=i的切線，若在直線/上存在一點使得

過點M的圓C的切線為切點)滿足/PMQ=90°,則a的取值范圍是

(B)

A.[-10,10]B.[-Vw.VlO]

C.(-^o-10]<j[10,+oo)D.(-oo-V101u[Vi0,+oo)

8.在直角坐標(biāo)平面上，點「(無,用的坐標(biāo)滿足/一2犬+丁=0,點。3/)的坐標(biāo)滿足方

程+從+6。一8b+24=0,則上心的取值范圍是

x-a

(B)

rcc、-布-4+折、

A.[-2,2]B.

5

C㈠3D他咨電也;數(shù)學(xué)測試卷

二、多選題：(每小題給出的四個選項中，不止一項是符合題目要求的，請把正

確的所有選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上)

9.已知直線方+勿+1=0圓光丁=i相切，則3a+28的值可以為

(BCD)

A.3A/2B.2及C.MD.

V13

10.點P是直線x+y-4=()上的動點，由點p向圓O：/+y2=4引切線尸4A為切點),

則下列關(guān)于切線長Q4的說法中，正確的為

(ABC)

A.切線長度沒有最大值B.切線長的可能值為4

C.切線長有最小值_____D.切線長不可能為3

11.已知曲線C：x=j4—/，直線/:y=x+》SeR),點尸(%,%)在曲線。上，則下列

結(jié)

論

正

確

的

是

I

A

B

C

A.曲線C是一個半圓B.(x°+l)2+(%+l)2的最小值

是2

C.曲線C與直線/有兩個交點，則b的取值范圍是(-2上,2)

D.曲線。與直線/有一個交點，則人的取值范圍是(-2,2]

12.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點

A、8的距離

之比為定值4(2^1)的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱

為阿波羅尼斯

pA1

圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4(-2,0)、3(4,0),點p滿足——=—,

PB2

設(shè)點尸所構(gòu)

成的曲線為C,下列結(jié)論正確的是

(ABD)

A.C的方程為(x+4『+y2=i6B.在。上存在點￡),使得￡＞到點(1,1)

的距離為3

C.在C上存在點Af,使得|MO|=2|M4|D.在C上存在點N,使得

|N0『+M「=4

三、填空題.請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，過點M(0,-3)的直線/與圓Y+丁=3交于A,B兩點，

6

且荻=2必，則直線/的方程為y=±JIx-3

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓G'-X2+y2=1與圓。2：/+V+2x+y-a=0相

交于兩點，若圓G上存在點P，使得AABP為等腰直角三角形，則實數(shù)。的值組成的

集合為一、+孚?孚|一

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點40,3),圓C:(x—ay+(y—2a+4)2=1,若圓C上

12

存在點M,使M4=2MO,則。的取值范圍是0<o<y.

16.已知點P為圓0:f+y2=l上一個動點，O為坐標(biāo)原點，過P點作圓O的切線與圓

pA

Oi：f+y2-2x-8y=19相交于兩點A,B,貝U而的最大值為_3+2a-.

四、解答題.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

17.已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x+3y-29=0相

切.

(I)求圓的方程；(II)設(shè)直線ar-y+5=0(a>0)與圓相交于A,B兩點,求實數(shù)。的

取值范圍；

(III)在(II)的條件下，是否存在實數(shù)a,使得弦48的垂直平分線/過點尸(-2,4),

若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由.

17.解：(I)設(shè)圓心為M(m,0)(mSZ).由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為

5,

所以四三=5,即|4〃L29|=25.

因為，"為整數(shù)，故，“=1.故所求圓的方程為(x-1)2+y2=25....

(H)把直線ar-y+5=0,即y=ar+5,代入圓的方程，消去y,

整理，得(“2+1)/+2(5a-1)x+l=0,由于直線ax-y+5=0交圓于4,8兩點,

故△=4(5a-1)2-4(a2+l)>0,即12a2-5a>0,由于a>0,解得工

12

所以實數(shù)。的取值范圍是(三，+8).

12

(III)設(shè)符合條件的實數(shù)a存在，則直線/的斜率為一三，

a

I的方程為y=-：(x+2)+4,即x+ay+2-4?=0

由于/垂直平分弦A8,故圓心M(l,0)必在/上，所以1+0+2-4“=0,解得a=；.

353

由于二G(二,+8),故存在實數(shù)。=一使得過點尸(-2,4)的

4124

直線/垂直平分弦A8.

18.如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，A4OB和ACOD為兩等腰直角三角形,

4(一2,0),C(a,0)(a>0).設(shè)A4OB和ACOD的外接圓圓心分別為(1)

若。W與直線CO相切，求直線C￡>的方程；

(2)若直線A3截ON所得弦長為4,求。N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)是否存在

這樣的。M使得。N上有且只有三個點到直線AB的距離為標(biāo)給清R,霰山詢福潮徜春

準(zhǔn)方程；若不存在，說明理由.

18.解：(1)?.?△AO8為等腰直角三角形，A點坐標(biāo)為(一2,0),

圓心M的坐標(biāo)為(-1,1),

OM的方程為(x+Ip+(y—Ip=2,

又△CO。為等腰直角三角形，C點的坐標(biāo)為(a,0),

直線CD的方程為x+y—a=0,

.?.(DM與直線CO相切，

圓心M到直線CD的距離4=匕@=及,=。=2(-2舍),

V2

直線CD的方程為x+y—2=0；

(2)由己知得，直線A8的方程為x-y+2=0,圓心N的坐標(biāo)為(],■!),

圓心N到直線AB的距離為金=J5,

直線截0N所得的弦長為4,

2

22+(揚(yáng)2=幺,a=26(-26舍)，

2

QN的方程為(x-V3)2+(>-Gy=6；

(3)存在，由(2)知，0N到直線AB的距離恒為亞，

且AB_LCD始終成立，

當(dāng)且僅當(dāng)QN半徑4=20,即a=4時，0N上有且只有三點到直線AB

2

的距離為J2,

此時0N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-2『+(y—2)2=8.

19.已知圓M的方程/+(y-2>=1,直線/的方程為x-2y=0,點P在直線/上，過

P點作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.(1)若NAPB=60°,試求點P的坐標(biāo)；(2)若P

點的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點，當(dāng)CD=后時，求直線CD的方

程；(3)求證：經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標(biāo).

19.解：(1)設(shè)P(2〃?,〃z),由題可知MP=2,所以(2m)2+(加一2)2=4,

484

解之得：加=。,加=工故所求點尸的坐標(biāo)為P(O,O)或pq，M)；

(2)設(shè)直線CO的方程為：y-l=Jt(x-2),易知女存在，

由題知圓心用到直線。。的距離為二一，

2

所以正=單0,解得，左=一1或左=—_1,

2V17F7

故所求直線的方程為：x+y—3=0或x+7y—9=0.

(3)設(shè)P(2〃?,〃?)，MP的中點Q(機(jī),5+1),因為PA是圓M的切線

所以經(jīng)過A,P,M三點的圓是以。為圓心，以MQ為半徑的圓，

8

坨甘卡WV/、2,m八22，加八

故其方程為：(x-m)-+(y_5_l)z=w+(y-l)

化簡得：x2+y2-2y-m(x+y-2)=0,此式是關(guān)于加的恒等式，

4

X--

,+/一2尸。，解得|x二0一5

故,或＜

2x+y-2=0,[y=22

42

所以經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點(0,2)或(1,1).

20.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知圓C1:(x+l>+y2=1,圓C2:(x—3產(chǎn)+(丁—4>=1.

(1)若過C《-1,0)在直線/被圓C2截得的弦長為(，求直線/的方程；(2)設(shè)動圓C同時

平分圓C1、圓C?的周長：①證明：動圓圓心C在一條定直線上運(yùn)動；②動圓C是否經(jīng)

過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由.

20.解：(1)1。當(dāng)直線斜率不存在時，直線/的方程為：x=-l,

顯然直線x=-i與圓c?相離，不合題意，

1°當(dāng)直線/相離存在時，設(shè)直線/的方程為：y=A:(x+l),即依-y+Z=0,

因為直線/被圓G截得的弦長為勺，于是有空二幺=>一己)2,化簡得：

5yJk2+\V5

43

12k2-25k+12=0,解得:=一或左=一,

34

所以直線為的方程4x-3y+4=0或3x—4y+3=0；

(2)①設(shè)圓心C(x,y),由題意得C￡=Cg,

即J(x+l)2+y2=近_3)2+(尸4)2,化簡得x+y—3=0

即動圓圓心。在定直線x+y-3=0上運(yùn)動；

②設(shè)圓心。(，〃,3-⑷，則動圓的半徑為

2222

7(CC()+1=71+(/?+l)+(3-m),于是圓C的方程為：

(x-m)2+(y-3+m)2=l+(w+l)2+(3-w)2,整理得：

x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0,

(22xccX=1H—\f2x=1——-^2

由卜+'-6T=°n:或2

I(X7+1)=Oy=2+，&y=2_*C

I2r2

所以動圓c經(jīng)過定點，其坐標(biāo)為(1+30,2+3夜)或(1一3血,2-3起).

2222

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/：x—y+4=0和圓。：/+,2=4,尸是直線/

上一點，過點P

作圓C的兩條切線，切點分別為例，M(1)求證：直線MN經(jīng)過定點；

(2)若圓。上存在點4,B,使得NAPB=60。，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍;

(3)設(shè)線段MN的中點為Q,/與x軸的交點為T,求線段TQ長的最大值.

21.解：⑴設(shè)點P(a,a+4),由P,M,O,N共圓，其方程為

(x-a,y-a-4)(x,y)=0,即/一℃+;/一(。+軟伍先眾號：高中教學(xué)測試卷

又因為％2+卜2=4,，奴+(。+4)>；=4為直線的7的方程，

x+y=0fx=-l

它可化為：a(x+y)+4(y-l)=0n<'=><,,

y—1=0[y=1

所以直線MN經(jīng)過定點(—1,1):

(2)設(shè)P(x,x+4),若圓。上存在點A5,使得NAPB=60。，

過P作圓的切線PC,PD，AZCP￡>>60°,：.ZCPO>30°,

在直角三角形ACP。中，：30°WNCPO<90°,

112

/.-<sinZCPO<1,即一W——<1,：.2<OP<4,

22OP

；?2<7%2+U+4)244，解得-4<x<0，??.點P橫坐標(biāo)的取值范圍為：［T,。］；

(3)設(shè)尸(毛,毛+4),則以O(shè)P為直徑的圓的方程為

(x%丫飛+4丫一片+("。+4)2

廣句+口-丁卜一一

化簡得￥一%彳一國+田丁+尸=0,與Y+y2=4聯(lián)立，

可得MN所在直線方程：飛x+(%+4)y=4,

聯(lián)立<個：(：1丁丁=4,得(片+4/+8產(chǎn)―4x0x-8x^-64x0-120=0,

Q的坐標(biāo)為―-rA|；+8—"l，可得。點的軌跡為：

、XQ+4XQ+8尤0+4XQ+8,

1

x+一

27

玄.其中原點(0,0)為極限點(也可以去掉).

由題意可知T(-4,0),；.|TC|=卜+；J+「J=孚

\TQ\?\TC\+R=3^2.

二線段丁。的最大值為3&.

22.已知圓。：d+V=1和點〃(1,4).(1)過點M向圓。引切線，求切線的方程；

(2)求以點M為圓心，且被直線y=2x—8