【真題】2024年常州市中考數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

常州市2024年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)，全卷滿分120分，考試時(shí)間為120分鐘，考生應(yīng)將答案全部填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。考試時(shí)不允許使用計(jì)算器。2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)填寫(xiě)在試卷上，并填寫(xiě)好答題卡上的考生信息。3．作圖必須用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫(xiě)清楚。一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的）1．-2024的絕對(duì)值是（）A． B． C．2024 D．-20242．若二次根式有意義，則x可取的值是（

）A．-1 B．0 C．1 D．23．計(jì)算的結(jié)果是（

）A．2 B． C． D．4．下列圖形中，為四棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖的是（

）A．B．C．D．5．如圖，在紙上畫(huà)有，將兩把直尺按圖示擺放，直尺邊緣的交點(diǎn)P在的平分線上，則（

）A．與一定相等 B．與一定不相等C．與一定相等 D．與一定不相等6．2024年5月10日，記者從中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)獲悉，“中國(guó)天眼”FAST近期發(fā)現(xiàn)了6個(gè)距離地球約50億光年的中性氫星系，這是人類(lèi)迄今直接探測(cè)到的最遠(yuǎn)的一批中性氫星系．50億光年用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．光年 B．光年 C．光年 D．光年7．如圖，推動(dòng)水桶，以點(diǎn)O為支點(diǎn)，使其向右傾斜．若在點(diǎn)A處分別施加推力、，則的力臂大于的力臂．這一判斷過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（

）A．垂線段最短B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直C．兩點(diǎn)確定一條直線D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行8．在馬拉松、公路自行車(chē)等耐力運(yùn)動(dòng)的訓(xùn)練或比賽中，為合理分配體能，運(yùn)動(dòng)員通常會(huì)記錄每行進(jìn)所用的時(shí)間，即“配速”（單位：）．小華參加的騎行比賽，他騎行的“配速”如圖所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．第所用的時(shí)間最長(zhǎng)B．第的平均速度最大C．第和第的平均速度相同D．前的平均速度大于最后的平均速度二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)將答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）9．16的算術(shù)平方根是．10．分解因式:=．11．計(jì)算：．12．若等腰三角形的周長(zhǎng)是10，則底邊長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x的函數(shù)表達(dá)式為．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的對(duì)角線相交于原點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．14．如圖，是的直徑，是的弦，連接．若，則．15．如圖，在矩形中，對(duì)角線的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)E、F．若，，則．16．如圖，在中，，，，D是邊的中點(diǎn)，E是邊上一點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)F處，則．17．小麗進(jìn)行投擲標(biāo)槍訓(xùn)練，總共投擲10次，前9次標(biāo)槍的落點(diǎn)如圖所示，記錄成績(jī)（單位：m），此時(shí)這組成績(jī)的平均數(shù)是，方差是．若第10次投擲標(biāo)槍的落點(diǎn)恰好在線上，且投擲結(jié)束后這組成績(jī)的方差是，則（填“”、“”或“”）．18．“綠波”，是車(chē)輛到達(dá)前方各路口時(shí)，均遇上綠燈，提高通行效率．小亮爸爸行駛在最高限速的路段上，某時(shí)刻的導(dǎo)航界面如圖所示，前方第一個(gè)路口顯示綠燈倒計(jì)時(shí)32s，第二個(gè)路口顯示紅燈倒計(jì)時(shí)44s，此時(shí)車(chē)輛分別距離兩個(gè)路口480m和880m．已知第一個(gè)路口紅、綠燈設(shè)定時(shí)間分別是30s、50s，第二個(gè)路口紅、綠燈設(shè)定時(shí)間分別是45s、60s．若不考慮其他因素，小亮爸爸以不低于的車(chē)速全程勻速“綠波”通過(guò)這兩個(gè)路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過(guò)），則車(chē)速v（）的取值范圍是．三、解答題（本大題共10小題，共84分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，如無(wú)特殊說(shuō)明，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）19．解方程組和不等式組：（1）（2）20．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．21．某企業(yè)生產(chǎn)了2000個(gè)充電寶，為了解這批充電寶的使用壽命（完全充放電次數(shù)），從中隨機(jī)抽取了20個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，數(shù)據(jù)整理如下：完全充放電次數(shù)t充電寶數(shù)量/個(gè)23105（1）本次檢測(cè)采用的是抽樣調(diào)查，試說(shuō)明沒(méi)有采用普查的理由；（2）根據(jù)上述信息，下列說(shuō)法中正確的是________（寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）；①這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)都不低于300次；②這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)t的中位數(shù)滿足；③這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)t的平均數(shù)滿足．（3）估計(jì)這批充電寶中完全充放電次數(shù)在600次及以上的數(shù)量．22．在3張相同的小紙條上分別寫(xiě)有“石頭”、“剪子”、“布”．將這3張小紙條做成3支簽，放在不透明的盒子中攪勻．（1）從盒子中任意抽出1支簽，抽到“石頭”的概率是________；（2）甲、乙兩人通過(guò)抽簽分勝負(fù)，規(guī)定：“石頭”勝“剪子”，“剪子”勝“布”，“布”勝“石頭”．甲先從盒子中任意抽出1支簽（不放回），乙再?gòu)挠嘞碌?支簽中任意抽出1支簽，求甲取勝的概率．23．如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，相交于點(diǎn)G，，，．（1）求證：是等腰三角形；（2）連接，則與l的位置關(guān)系是________．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)、．（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接，求的面積．25．書(shū)畫(huà)裝裱，是指為書(shū)畫(huà)配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國(guó)具有民族傳統(tǒng)的一門(mén)特殊藝術(shù)．如圖，一幅書(shū)畫(huà)在裝裱前的大小是，裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是am、bm、cm、dm．若裝裱后與的比是，且，，，求四周邊襯的寬度．26．對(duì)于平面內(nèi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形，若將其中一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離d后與另一個(gè)圖形重合，則稱這兩個(gè)圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個(gè)圖形叫做另一個(gè)圖形的“平移關(guān)聯(lián)圖形”．（1）如圖1，B、C、D是線段AE的四等分點(diǎn)．若，則在圖中，線段AC的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是________，________（寫(xiě)出符合條件的一種情況即可）；（2）如圖2，等邊三角形的邊長(zhǎng)是2．用直尺和圓規(guī)作出的一個(gè)“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D、E、G的坐標(biāo)分別是、、，以點(diǎn)G為圓心，r為半徑畫(huà)圓．若對(duì)上的任意點(diǎn)F，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足，直接寫(xiě)出r的取值范圍．27．將邊長(zhǎng)均為的等邊三角形紙片疊放在一起，使點(diǎn)E、B分別在邊上（端點(diǎn)除外），邊相交于點(diǎn)G，邊相交于點(diǎn)H．（1）如圖1，當(dāng)E是邊的中點(diǎn)時(shí)，兩張紙片重疊部分的形狀是________；（2）如圖2，若，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說(shuō)明理由．28．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．（1）________；（2）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是．①當(dāng)，且時(shí)，y的最大值和最小值分別是s、t，，求m的值；②連接，P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為D．作，射線交y軸于點(diǎn)Q，連接．若，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．參考答案1．C【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，根據(jù)正數(shù)和0的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)進(jìn)行求解即可?！驹斀狻拷猓?2024的絕對(duì)值是|-2024|=2024，故選：C．2．D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出x的取值范圍，繼而得出答案?！驹斀狻拷猓喝舳胃接幸饬x，則x-2≥0，解得x≥2，在四個(gè)選項(xiàng)中符合x(chóng)≥2的是2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)。3．B【分析】本題主要考查同類(lèi)項(xiàng)的計(jì)算，熟練掌握合并同類(lèi)項(xiàng)法則是解題的關(guān)鍵。根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻拷猓?，故選：B．4．B【分析】本題主要考查幾何體的展開(kāi)圖，熟練掌握幾何體的展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖的特征即可得到答案．【詳解】解：棱錐的側(cè)面是三角形，故四棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖的是故選：B．5．A【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)P分別作的垂線，垂足分別為E、F，由角平分線的性質(zhì)得到，由平行線間間距相等可知，則，而和的長(zhǎng)度未知，故二者不一定相等，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P分別作的垂線，垂足分別為E、F∵點(diǎn)P在的平分線上，∴，由平行線間間距相等可知，∴，由于和的長(zhǎng)度未知，故二者不一定相等，故選：A，6．C【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法為整數(shù)，進(jìn)行表示即可．關(guān)鍵是確定a與n的值．【詳解】解：50億光年光年；故選C．7．A【分析】本題考查了力臂，平行公理，垂直的性質(zhì)，直線特點(diǎn)，垂線段最短，根據(jù)圖形分析得到過(guò)點(diǎn)有，進(jìn)而利用垂線段最短得到即可解題．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)有，，即得到的力臂大于的力臂，其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，故選：A．8．D【分析】本題主要考查從圖像中獲取信息，理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)配速的定義依次進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：“配速”是每行進(jìn)所用的時(shí)間，故從圖中可知，第所用的時(shí)間最長(zhǎng)，故選項(xiàng)A不符合題意；平均速度是指在這一段路程中所用的平均值，是路程時(shí)間，由圖可知，配速最小，故第所用時(shí)間最短，故第的平均速度最大，故選項(xiàng)B不符合題意；第所用的時(shí)間與第所用的時(shí)間一致，故第的和第的平均速度相同，故選項(xiàng)C不符合題意；由于前的的時(shí)間大于最后的時(shí)間，故前的平均速度小于最后的平均速度，故選項(xiàng)D符合題意；故選D．9．4【詳解】解：∵∴16的平方根為4和-4，∴16的算術(shù)平方根為4，故答案為：410．【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式,叫分解因式．【詳解】11．【分析】本題主要考查了同分母分式加法計(jì)算，直接根據(jù)同分母分式加法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．12．【分析】本題考查列函數(shù)解析式，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)等于三邊之和，等腰三角形的兩腰相等，列出函數(shù)關(guān)系式，即可．【詳解】解：由題意，得：；故答案為：．13．【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分，得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵正方形的對(duì)角線相交于原點(diǎn)O，∴，∴關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是；故答案為：．14．【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵是的直徑，，，∴，∴；故答案為：．15．【分析】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)與相交于點(diǎn)，證明，根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】解：的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)E、F．，，，，，，，，，，，，令，，解得或（舍去），．故答案為：．16．【分析】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題，勾股定理求出的長(zhǎng)，折疊得到，，設(shè)，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵將沿翻折，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)F處，∴，，∴，設(shè)，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：；∴；故答案為：．17．【分析】本題主要考查方差，熟練掌握方差的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方差的意義即可得到答案．【詳解】解：設(shè)這組數(shù)據(jù)為前9個(gè)數(shù)分別為，由題意可知，，；根據(jù)方差越小越穩(wěn)定，即前九次波動(dòng)較大，，故答案為：．18．【分析】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．利用路程速度時(shí)間，結(jié)合小亮爸爸以不低于的車(chē)速全程勻速“綠波”通過(guò)這兩個(gè)路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過(guò)），可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出車(chē)速的取值范圍．【詳解】解：．根據(jù)題意得：，解得：，車(chē)速的取值范圍是．故答案為：．19．（1）；（2）【分析】本題考查解方程組和一元一次不等式組：（1）加減法解方程組即可；（2）先求出每一個(gè)不等式的解集，找到它們的公共部分，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．【詳解】（1）解：，得：，解得：；把代入①，得：，解得：；∴方程組的解為：．（2）解：，由①，得：；由②，得：；∴不等式組的解集為：．20．，【分析】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．21．（1）見(jiàn)解析；（2）①②；（3）500個(gè)【分析】本題考查調(diào)查方式，求中位數(shù)，眾數(shù)，利用樣本估計(jì)總體：（1）根據(jù)調(diào)查方式的選擇，進(jìn)行說(shuō)明即可；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)，中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算方法，逐一進(jìn)行判斷即可；（3）利用樣本估計(jì)總體的思想進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：對(duì)充電寶的使用壽命進(jìn)行調(diào)查，對(duì)充電寶具有破壞性，故不能采用普查的方式．（2）解：由統(tǒng)計(jì)表可知：這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)都不低于300次；故①正確；將數(shù)據(jù)排序后，第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)據(jù)均位于，故這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)t的中位數(shù)滿足；故②正確；由統(tǒng)計(jì)表的中的數(shù)據(jù)可知，的數(shù)據(jù)只有2個(gè)，故平均數(shù)一定大于400，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②；（3）解：（個(gè)）．22．（1）（2）【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，樹(shù)狀圖法或列表法求解概率：（1）直接根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；（2）先列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到甲獲勝的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】（1）解：∵一共有3支簽，寫(xiě)有“石頭”的簽有1支，且每支簽被抽到的概率相同，∴從盒子中任意抽出1支簽，抽到“石頭”的概率是，故答案為：；（2）解：設(shè)分別用A、B、C表示“石頭”、“剪子”、“布”，列表如下：甲乙由表格可知，一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中甲獲勝的結(jié)果數(shù)有，，，共3種，∴甲獲勝的概率為．23．（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的判定：（1）證明，得到，即可得證；（2）根據(jù)線段的和差關(guān)系，易得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在和中，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴．24．（1），；（2）【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，分割法求出的面積即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)、，∴，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：，，∴，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為：；（2）解：設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴的面積．25．上、下、左、右邊襯的寬度分別是【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分別表示出的長(zhǎng)，列出分式方程，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，，∵與的比是，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．∴上、下、左、右邊襯的寬度分別是．26．（1），（2）圖見(jiàn)解析（答案不唯一）（3）或【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可；（2）延長(zhǎng)，在射線上截取線段，分別以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，即為所求；（3）分在圓內(nèi)和圓外兩種情況，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵B、C、D是線段AE的四等分點(diǎn)．，∴，∴，∴線段的平移圖形是，；故答案為：，；（2）解：如圖：即為所求；由作圖可知：，∴四邊形為菱形，∴，∵，∴四邊形為菱形，∴，∴即為所求；（3）∵點(diǎn)D、E、G的坐標(biāo)分別是、、，∴，∴，∵對(duì)上的任意點(diǎn)F，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足，且，∴，當(dāng)在圓外時(shí)，∵，，∴，∴，∴．當(dāng)在圓內(nèi)時(shí)，則：，∴，∴；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的平移，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，菱形的判定，尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，理解新定義，是解題的關(guān)鍵．27．（1）菱形（2）（3），理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接，由等邊三角形的性質(zhì)可得，則四點(diǎn)共圓，由三線合一定理得到，則為過(guò)的圓的直徑，再由，得到為過(guò)的圓的直徑，則點(diǎn)H為圓心，據(jù)此可證明，推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可證明四邊形是菱形，即兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；（2）由等邊三角形的性質(zhì)得到，，則由平行線的性質(zhì)可推出，進(jìn)而可證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，則可設(shè)，則，，由勾股定理得到，可得，則當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）過(guò)點(diǎn)B作于M，過(guò)點(diǎn)E作于N，連接，則，，，證明，進(jìn)而可證明，得到，則，即．【詳解】（1）解：如圖所示，連接∵都是等邊三角形，∴，∴四點(diǎn)共圓，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴為過(guò)的圓的直徑，又∵，∴為過(guò)的圓的直徑，∴點(diǎn)H為圓心，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形，∴兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；（2）解：∵都是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作，∴設(shè)，則，，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）解：，理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于M，過(guò)點(diǎn)E作于N，連接，∵都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴，，∴由勾股定