河南省洛陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若隨機(jī)事件，互斥，且，，則（）A.0 B.0.18 C.0.6 D.0.9〖答案〗D〖解析〗隨機(jī)事件，互斥，且，，所以.故選：D.2.下列幾何元素可以確定唯一平面的是（）A.三個點(diǎn) B.圓心和圓上兩點(diǎn)C.梯形的兩條邊 D.一個點(diǎn)和一條直線〖答案〗C〖解析〗對A，三個不共線的點(diǎn)才能確定唯一平面，A錯誤；對B，當(dāng)圓上的兩點(diǎn)和圓心共線時，三個點(diǎn)不能確定唯一平面，B錯誤；對C，梯形的任意兩條邊都能確定梯形所在的平面，所以確定的平面唯一，C正確；對D，當(dāng)點(diǎn)在直線上時，這個點(diǎn)和直線不能確定唯一平面，D錯誤.故選：C.3.若一水平放置的正方形的邊長為2，則其用斜二測畫法得到的直觀圖的面積是（）A. B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗因?yàn)橐凰椒胖玫恼叫蔚倪呴L為2，且，所以其直觀圖的面積是.故選：A.4.某汽車生產(chǎn)廠家用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從，，三個城市中抽取若干汽車進(jìn)行調(diào)查，各城市的汽車銷售總數(shù)和抽取數(shù)量如右表所示，則樣本容量為（）城市銷售總數(shù)抽取數(shù)量42028020700A.60 B.80 C.100 D.120〖答案〗C〖解析〗由題可得，，，三個城市的銷售總數(shù)比為，所以，所以，所以樣本容量為100.故選：C.5.在正四面體中，，分別是，中點(diǎn)，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取中點(diǎn)，連結(jié)，，，，設(shè)正四面體的棱長為2，因?yàn)?，分別是，中點(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角是與所成角，又，是中點(diǎn)，在中，，因?yàn)?，分別是，中點(diǎn)，所以，又，在中，由余弦定理可知，又，所以，與所成角.故選：B.6.甲、乙、丙三人破譯一份密碼，若三人各自獨(dú)立破譯出密碼的概率為，，，且他們是否破譯出密碼互不影響，則這份密碼被破譯出的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)這份密碼被破譯出為事件，所以，所以.故選：D.7.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為5、圓心角為的扇形，過上一點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，相應(yīng)圓柱的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是半徑為5、圓心角為的扇形，所以圓錐的母線長為，即，則，作出圓錐的軸截面如圖所示：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由題意可知，可得，則圓柱的側(cè)面積，所以當(dāng)時，圓柱的側(cè)面積取得最大值，此時圓柱的體積為.故選：C.8.如圖，一個質(zhì)地均勻的正八面體，八個面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，拋擲這個正八面體兩次，記它與地面接觸的面上的數(shù)字分別為，，則的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得，基本事件的總數(shù)為，則事件“”包含的基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，所以事件的概率.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，為空間中兩條不同的直線，，，為空間中三個不同的平面，則（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，若，，則或，故A不正確；對于B，若，，，則（線面平行的性質(zhì)定理），故B正確；對于C，若，，所以，又且，是空間兩個不同的平面，則，故C正確；對于D，因?yàn)?，如下圖，若分別為面、面、面，且為，顯然面，則，故D正確.故選：BCD.10.某學(xué)校對高一學(xué)生選科情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（）A.該校高一學(xué)生總數(shù)為B.該校高一學(xué)生中選考物化政組合的人數(shù)為C.該校高一學(xué)生中選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多80D.用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該校高一學(xué)生抽取人，則生史地組合抽取人〖答案〗AC〖解析〗對于A，選科為政史地的人數(shù)為人，占比為，該校高一學(xué)生共有人，A正確；對于B，選科為物化生的人數(shù)為人，選科為物化政的人數(shù)為，B錯誤；對于C，選考?xì)v史的人數(shù)有人，選考物理的人數(shù)有人，選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多，C正確；對于D，選科為生史地的學(xué)生人數(shù)占比為，采用分層抽樣抽取人，生史地組合應(yīng)抽取人，D錯誤.故選：AC.11.一個袋子中有標(biāo)號分別為、、、的個球，除標(biāo)號外沒有其他差異．從袋中隨機(jī)摸球兩次，每次摸出個球，設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號小于”，事件“第二次摸出球的標(biāo)號小于”，則以下結(jié)論錯誤的有（）A.若摸球方式為有放回摸球，則與互斥B.若摸球方式為有放回摸球，則與相互獨(dú)立C.若摸球方式為不放回摸球，則與互斥D.若摸球方式為不放回摸球，則與相互獨(dú)立〖答案〗ACD〖解析〗以、分別表示第次、第次摸球的編號，以為一個基本事件，對于AB選項(xiàng)，若摸球方式為有放回摸球，則所有的基本事件個數(shù)為個，事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，則事件包含的基本事件有：、、、，則，即與不互斥，A錯；，，即與相互獨(dú)立，B對；對于CD選項(xiàng)，若摸球方式為不放回摸球，則所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、，共種，則，即與不互斥，C錯；，，即與不相互獨(dú)立，D錯.故選：ACD.12.在棱長為1的正方體中，，分別是，中點(diǎn)，，，，分別是線段，，，上的動點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)，，使得B.三棱錐的體積為定值C.的最小值為D.直線與所成角的余弦值的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗如圖以為原點(diǎn)，分別以、、方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，設(shè)，則，設(shè)，則，對于選項(xiàng)A，，，若，則，所以，矛盾，故不存在點(diǎn)，，使得，錯誤；對于選項(xiàng)B，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)M到平面的距離為正方體的棱長1，又，所以為定值，正確；對于選項(xiàng)C，，，所以，記，，，因?yàn)楸硎军c(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，由平面幾何知識，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時距離和最小，所以，又，所以當(dāng)時，有最小值為，所以的最小值為，正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)直線與所成的角為，又，，所以，令，則，又上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以，所以，所以，所以，所以直線與所成角的余弦值的取值范圍為，正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某學(xué)校高一男生、女生的人數(shù)之比為，現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取90人，若樣本中男生的平均身高為171，女生的平均身高為160.2，則該校高一學(xué)生平均身高的估計(jì)值為___________（單位：）．〖答案〗165〖解析〗依題意，設(shè)樣本中高一男生人數(shù)為，則樣本中高一女生人數(shù)為，故，解得，則樣本中高一男生人數(shù)為，高一女生的人數(shù)為，所以樣本中高一學(xué)生平均身高為，故而該校高一學(xué)生平均身高估計(jì)值為.故〖答案〗為：165.14.已知正四棱臺上、下底面邊長分別為2和4，側(cè)棱長為3，則此棱臺的體積為___________．〖答案〗〖解析〗由題意可知此棱臺的上、下底面對角線長、，所以棱臺的高，所以棱臺的體積.故〖答案〗為：.15.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有1個陽爻的概率是___________．〖答案〗〖解析〗由題可知，共有個不同的重卦，恰有1個陽爻的有個，則該重卦恰有1個陽爻的概率是.故〖答案〗為：.16.邊長為2的正三角形中，，分別為，中點(diǎn)，將沿折起，使得，則四棱錐的體積為___________，其外接球的表面積為___________．〖答案〗〖解析〗取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，因?yàn)闉檫呴L為的正三角形，，分別為，中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過作，垂足為，則在的延長線上，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)?，所以，，，，所以，因?yàn)?，所以為四邊形外接圓圓心，設(shè)正三角形外接圓圓心為，四棱錐的外接球球心為，則平面，平面，所以，，則是四邊形的外接圓直徑，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，所以，即四棱錐的外接球半徑為，所以四棱錐的外接球表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.某農(nóng)場在兩塊面積相同的水稻試驗(yàn)田中分別種植甲、乙兩種水稻，已知連續(xù)6季的產(chǎn)量如下：品種第1季第2季第3季第4季第5季第6季甲/550580570570550600乙/540590560580590560現(xiàn)在該農(nóng)場決定選擇其中一種水稻進(jìn)行推廣種植，若你是農(nóng)場經(jīng)營者，你會如何選擇？請使用統(tǒng)計(jì)學(xué)的有關(guān)知識進(jìn)行說明．解：設(shè)甲種水稻產(chǎn)量的平均值和方差分別為，，乙種水稻產(chǎn)量的平均值和方差分別為，，由題中數(shù)據(jù)可得，，，，，因?yàn)?，，所以兩種水稻產(chǎn)量的總體水平相同，但甲種水稻的產(chǎn)量較穩(wěn)定，所以應(yīng)推廣甲種水稻種植．18.如圖，在三棱錐中，底面，．（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）在平面內(nèi)過點(diǎn)作于，連接，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成的角，因?yàn)?，不妨設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，，又因，所以，故，即直線與平面所成角的正弦值為．19.某商場隨機(jī)抽取了100名員工的月銷售額（單位：千元），將的所有取值分成，，，，五組，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求，的值；（2）設(shè)這100名員工月銷售額的第75百分位數(shù)為．為調(diào)動員工的積極性，該商場基于每位員工的月銷售額制定如下獎勵方案：當(dāng)某員工的月銷售額不足5千元時，不予獎勵；當(dāng)時，其月獎勵金額為0.3千元；當(dāng)時，其月獎勵金額為0.8千元；當(dāng)不低于時，其月獎勵金額為1.1千元．根據(jù)頻率分布直方圖，用樣本頻率近似概率，估計(jì)上述獎勵方案下該商場一名員工的月獎勵金額的平均值．解：（1）由已知得，所以，又因?yàn)?，所以，．?）由于，所以員工月銷售額的第75百分位數(shù)為20，所以，當(dāng)時，獎勵金額為0.3千元；當(dāng)時，獎勵金額為0.8千元；當(dāng)時，獎勵金額為1.1千元，所以，該商場一位員工的月獎勵金額的平均值為：（千元）．20.如圖，在正三棱柱中，是中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，求到平面的距離．解：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，又平面，平面，平面.（2）設(shè)，到平面的距離為，，，，又為中點(diǎn)，，又為等邊三角形，，，解得：，，，，解得：，即到平面的距離為.21.如圖，在圓錐中，為頂點(diǎn)，為底面圓的圓心，，為底面圓周上的兩個相異動點(diǎn)，且，．（1）求面積的最大值；（2）已知為圓的內(nèi)接正三角形，為線段上一動點(diǎn)，若二面角的余弦值為，試確定點(diǎn)的位置．解：（1）取中點(diǎn)，連接，，設(shè)，，又，，所以在和中，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以面積的最大值為．（2）因?yàn)闉閳A的內(nèi)接正三角形，由正弦定理得：，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋裕约礊槎娼堑钠矫娼?，連接，設(shè)，，則，，在中，，所以，在中，由余弦定理得：，將，代入上式，解得，所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)．22.已知甲、乙兩個袋子中各裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的3個紅球和3個黑球，現(xiàn)設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)：從甲、乙兩個袋子中各隨機(jī)取出1個球，觀察兩球的顏色，若兩球顏色不同，則將兩球交換后放回袋子中，并繼續(xù)上述摸球過程；若兩球顏色相同，則停止取球，試驗(yàn)結(jié)束．（1）求第1次摸球取出的兩球顏色不同的概率；（2）我們知道，當(dāng)事件與相互獨(dú)立時，有．那么，當(dāng)事件與不獨(dú)立時，如何表示積事件的概率呢？某數(shù)學(xué)小組通過研究性學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)如下命題：，其中表示事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，且對于古典概型中的事件，，有．依據(jù)上述發(fā)現(xiàn)，求“第2次摸球試驗(yàn)即結(jié)束”的概率．解：（1）設(shè)甲袋中的三個紅球?yàn)?，2，3，三個黑球?yàn)椋?，，乙袋中的三個紅球?yàn)?，5，6，三個黑球?yàn)椋?，，設(shè)第1次摸球?qū)?yīng)的樣本空間為，則，設(shè)事件“第1次摸球取出的兩球顏色不同”，則事件，所以，所以