高中數(shù)學(xué)-向量的內(nèi)積概念

1、2021/8/141向量的內(nèi)積的概念向量的內(nèi)積的概念向量的長度向量的長度向量的正交性向量的正交性向量空間的正交規(guī)范基的概念向量空間的正交規(guī)范基的概念向量組的正交規(guī)范化向量組的正交規(guī)范化正交陣、正交變換的概念正交陣、正交變換的概念1. 預(yù)備知識：向量的內(nèi)積預(yù)備知識：向量的內(nèi)積 n維向量是空間三維向量的推廣，本節(jié)通過定義向維向量是空間三維向量的推廣，本節(jié)通過定義向量的內(nèi)積，從而引進(jìn)量的內(nèi)積，從而引進(jìn)n維向量的度量概念：向量的長度，維向量的度量概念：向量的長度，夾角及正交。夾角及正交。2021/8/142定義定義1 設(shè)有設(shè)有 n 維向量維向量TnTnyyyyxxxx),(,),(2121 向量內(nèi)積的

2、概念向量內(nèi)積的概念在空間解析幾何中，兩向量的數(shù)量積在空間解析幾何中，兩向量的數(shù)量積 cos|yxyx 在直角坐標(biāo)系中表示為在直角坐標(biāo)系中表示為,),(),(332211321321yxyxyxyyyxxxyx 推廣到推廣到 n 維向量即有：維向量即有：的的與與稱稱為為向向量量令令yxyxyxyxyxyxnn, ,2211 內(nèi)積內(nèi)積。2021/8/143,yxyxyxT 有有均均為為列列向向量量時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng)可可以以用用矩矩陣陣表表示示種種運(yùn)運(yùn)算算向向量量的的內(nèi)內(nèi)積積是是向向量量的的一一內(nèi)積的內(nèi)積的運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律：. 0,0, 0,).(;, :).(;, :).(;, :).(;, :).(2

3、 xxxxxvyyxxyxivzyzxzyxiiiyxyxyxiixyyxi有有時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng)施施瓦瓦茨茨不不等等式式加加法法分分配配律律數(shù)數(shù)乘乘結(jié)結(jié)合合律律交交換換律律 2021/8/144向量的長度向量的長度由向量內(nèi)積的性質(zhì)由向量內(nèi)積的性質(zhì)(v) 自然引入向量的長度。自然引入向量的長度。定義定義1 令令.,22221的的長長度度為為向向量量xxxxxxxn 向量長度的性質(zhì)：向量長度的性質(zhì)：.:).(;:).(;,0, 0:).(yxyxiiixxiixxi 三三角角不不等等式式齊齊次次性性等等式式成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)非非負(fù)負(fù)性性 為為時(shí)時(shí)，稱稱當(dāng)當(dāng)xx1 單位向量單位向量。2021/

4、8/145,0, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx|,arccosyxyx 正交向量組正交向量組：指一組兩兩正交的非零向量。：指一組兩兩正交的非零向量。的的與與維維向向量量稱稱為為yxn向量的正交性向量的正交性 空間解析幾何中兩向量垂直推廣到空間解析幾何中兩向量垂直推廣到 n 維向量，可維向量，可得向量的正交性概念。得向量的正交性概念。.,0.,0,何何向向量量正正交交與與任任時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)正正交交與與稱稱向向量量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxyxyx 夾角夾角。2021/8/146定理定理1.,2121線線性性無無關(guān)關(guān)則則的的非非零零向向量量是是一一組組兩兩兩兩正正交交維維向向量量若若rrn 證證, 0,221121 rrr 使使

5、設(shè)設(shè)有有得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1T , 0111 T, 01 因因, 02111 T故故. 01 從從而而必必有有. 0, 0,2 r 可可證證類類似似地地.,21線線性性無無關(guān)關(guān)于于是是向向量量組組r 2021/8/147 121,11121aa例例1解解 ,12111121 TTaaA記記即即應(yīng)滿足齊次方程應(yīng)滿足齊次方程, 03 xAa,00121111321 xxx已知已知 3 維向量空間維向量空間 R 3 中兩個(gè)向量中兩個(gè)向量.,3213兩兩兩兩正正交交使使試試求求一一個(gè)個(gè)非非零零向向量量正正交交aaaa2021/8/148 ,0231xxx得得.101 從從而而有有基基礎(chǔ)

6、礎(chǔ)解解系系.1013即即可可取取 ,010101030111 由由A2021/8/149 212100,212100,002121,0021214321eeee例例如如就是就是 R 4 的一個(gè)正交規(guī)范基。的一個(gè)正交規(guī)范基。向量空間的規(guī)范正交基向量空間的規(guī)范正交基定義定義3.,)(,212121的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基是是則則稱稱單單位位向向量量且且都都是是兩兩兩兩正正交交如如果果的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間維維向向量量設(shè)設(shè)VeeeeeeRVVeeenrrnr 2021/8/1410,2121線線性性表表示示應(yīng)應(yīng)能能由由任任一一向向量量中中那那么么的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基

7、是是若若rreeeVVeee rreee 2211設(shè)設(shè)表表示示式式為為,), 2 , 1(iiiTiTiieeeri 有有左左乘乘上上式式用用為為求求其其中中的的系系數(shù)數(shù).,iTiiee 即即2021/8/1411向量組的正交規(guī)范化向量組的正交規(guī)范化.,.,.,2121212121基基規(guī)規(guī)范范正正交交化化這這個(gè)個(gè)這這樣樣的的問問題題稱稱為為把把等等價(jià)價(jià)與與使使交交的的單單位位向向量量正正這這也也就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基要要求求的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間設(shè)設(shè)rrrrreeeeeeVV :,21規(guī)范正交化規(guī)范正交化可以用以下辦法把可以用以下辦法把r

8、 2021/8/1412;,1112122bbbabab .,111122221111 rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab;11 b取取.,212121等等價(jià)價(jià)與與且且兩兩兩兩正正交交可可以以證證明明rrrbbbbbb 2021/8/1413,1,1,1222111rrrbbebbebbe 就得就得 V 的一個(gè)正交規(guī)范基。的一個(gè)正交規(guī)范基。然后只要把它們單位化，即取然后只要把它們單位化，即取.)(,2121正正交交化化過過程程的的過過程程稱稱為為施施密密特特組組尋尋出出正正交交向向量量上上述述從從線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組Schimidtbbbrr .,:,21212121

9、等價(jià)等價(jià)與與向量組向量組對任何對任何還滿足還滿足等價(jià)等價(jià)與與它不僅滿足它不僅滿足kkrrbbbkbbb 2021/8/1414,014,131,121321 aaa設(shè)設(shè)試用施密特正交化過程把這組向量正交規(guī)范化。試用施密特正交化過程把這組向量正交規(guī)范化。解解;11ab 取取;1113512164131,1211222 bbbaab例例2 22021/8/1415.10121113512131014,222231211333 bbbabbbaab再把它們單位化，取再把它們單位化，取,12161111 bbe.10121333 bbe,11131222 bbe2021/8/1416,1111 a已已

10、知知.,32132兩兩兩兩正正交交使使求求一一組組非非零零向向量量aaaaa解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT即即應(yīng)應(yīng)滿滿足足方方程程例例 3 3它的基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為.110,10121 2021/8/1417.1212110121110,10132 aa把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求。取把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求。取;12 a 于是得于是得其中其中, 2, 1,1121 .,1112123 a2021/8/1418 由于正交化過程十分繁鎖，因而在求正交向量由于正交化過程十分繁鎖，因而在求正交向量組時(shí)，只要抓住向量正交的本質(zhì)，可以避免正交化組時(shí)，只要抓住向量正交的本質(zhì)，可以避

11、免正交化過程。過程。x1 + x2 + x3 = 0的基礎(chǔ)解系為例，的基礎(chǔ)解系為例，21,011 使得前兩個(gè)分量與使得前兩個(gè)分量與1 的前兩個(gè)分量對應(yīng)的前兩個(gè)分量對應(yīng)乘積之和為零即可，乘積之和為零即可，,2112 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證.21是是正正交交的的與與 要求兩兩正交的基礎(chǔ)解系，只要取要求兩兩正交的基礎(chǔ)解系，只要取從而取從而取以例以例3中求齊次線性方程組中求齊次線性方程組2021/8/1419Ex.1.,422143214321兩兩兩兩正正交交使使求求一一組組非非零零向向量量已已知知aaaaaaaa . 0422, 0,43211432 xxxxxaaaaT即即應(yīng)應(yīng)滿滿足足方方程程向向量量解

12、解其基礎(chǔ)解系可取為其基礎(chǔ)解系可取為.9884,0542,0012321 .,342312321即即可可取取是是兩兩兩兩正正交交的的顯顯然然 aaa2021/8/1420 定義定義4 如果如果 n 階方陣階方陣 A 滿足滿足AT A = E ( 即即 A1 = AT ),那么稱那么稱 A 為為正交陣正交陣。 上式用上式用 A 的列向量表示，即是的列向量表示，即是 ,2121EaaaaaanTnTT ), 2 , 1,(0, 1njijijiaaijjTi 亦亦即即2021/8/1421 2121000021212121212121212121P是正交陣。是正交陣。例例4 解解 P 的每一個(gè)行向量

13、都是單位向量，且兩兩的每一個(gè)行向量都是單位向量，且兩兩正交，所以正交，所以 P 是正交陣。是正交陣。驗(yàn)證矩陣驗(yàn)證矩陣這就說明：方陣這就說明：方陣A 為為正交陣正交陣的充分必要條件是的充分必要條件是A 的列的列( 行行)向量都是單位向量且兩兩正交。從而正交陣向量都是單位向量且兩兩正交。從而正交陣A 的的n 個(gè)列個(gè)列( 行行)向量構(gòu)成向量空間向量構(gòu)成向量空間 R n 的一個(gè)規(guī)范正交基。的一個(gè)規(guī)范正交基。2021/8/1422 定義定義5 若若 P 為正交陣，則線性變換為正交陣，則線性變換 y = P x 稱稱為為正交變換正交變換。 .xxxxPPxyyyTTTT 這就說明：正交變換保持線段長度保持不變。這就說明：正交變換保持線段長度保持不變。從而利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形不會改變二次從而利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形不會改變二次型的幾何特征。型的幾何特征。設(shè)設(shè) y = P x 是正交變換，則有是正交變換，則有2021/8/1423 (i). 正交矩陣正交矩陣A 的行列式的行列式 |A| = 1 或或|A| = 1;