當數(shù)學遇到計算機

策劃/本刊編輯部文/何銳叮當貓繪/春光

20必25智?皎學1猊indd42019/5/61837:32

‘計算機”這個名稱就能看出來，它與

數(shù)學有著不解的淵源。

計算機的發(fā)明者約翰諾依曼是著名

的數(shù)學家，它的發(fā)明最初也是為了滿足計算的

需要。不過呢，計算機誕生之后，不斷地演進

和發(fā)展，被人們開發(fā)出了更多、更廣的用途。

計算機改變了整個世界，讓人類進入信息

社會。

本期特別策劃給大家講述了一些計算機背后的

奧秘，我們平常使用計算機時可能從未考慮過這些

數(shù)學問題。

那么，古老的數(shù)學與現(xiàn)代的計算機到底碰撞出

了什么樣的火花呢？就讓我們一起去探究吧。

智”學l04ndd52019/5/61837:55

第1講二進制和十進制

計算機中的數(shù)據(jù)存儲模式和數(shù)學密切相關，

采用的是二進制。小到我們在記事本中輸入的一

個字母，大到整個操作系統(tǒng)，雖然它們的呈現(xiàn)形

我們每天打開電

式各異，但是其本質(zhì)都是一串由0和1組成的二進

腦、手機，就能看到五

制碼。

彩繽紛的網(wǎng)頁、炫酷的

。和1這兩個數(shù)字，就如同人身體中的細胞一

視頻，還有各種各樣的樣，在計算中組成了一個龐大的機體。

功能性軟件、游戲、聊

天工具……你有沒有想

過，這些花花綠綠的東

西在計算機中是以什么

樣的形式存在的？它們

又是怎樣在計算機中展

示出來的呢？

十進制

同學們現(xiàn)在在數(shù)學課上接觸

到的數(shù)字，都是十進制。

所謂十進制數(shù)字，就是用十

進制計數(shù)法表示的數(shù)字，0、1、

2、3、4、5、6、7、8、9這10個

數(shù)字分別表示不同的含義，每個

數(shù)中不同的數(shù)位表示的含義也不

比如一個十進制的五位數(shù)

12345,含義如圖1所示。

2019,s世總教學IS.indd6■e201WS/6

萬位，表示千位，表示百位，表前什位，表示］（個位，栽示'

該數(shù)中包含該數(shù)中包含該數(shù)中包含該數(shù)中包含該數(shù)中包含1

10000的個數(shù)1000的個數(shù)100的個數(shù)10的個數(shù)〔的個數(shù)

圖1

因此十進制數(shù)字12345的含義就是：該數(shù)中包含1個10000,2個1000,3個100,

4個10和5個1,即：

12345=1x104+2x103+3x102+4x10,+5x10°

十進制計數(shù)法的含義大家從小就很熟悉，很容易理解。

二進制

有了十進制的基礎，大家再來理解二進制計數(shù)法就不難了。

在二進制計數(shù)法中，所有的數(shù)都用0和1這兩個數(shù)字來表示。換句話說，。和1在不同

數(shù)位上表示的含義是不同的。例如一個二進制數(shù)11001,含義如圖2。

表示7的個數(shù)表示T的個數(shù)表示2s的個數(shù)表示21的個數(shù)表示2°的個數(shù)

圖2

二進制數(shù)11001的含義就是：該數(shù)中包含1個2、1個23,0個22,0個2,和1個2°。因

432

此該數(shù)等于：11001（2）=1x2+1x2+0x2+0x2'+lx2°0

@在11001這個數(shù)字的右下方有個括號，里面寫個小小的“2”，就代表這個數(shù)字

是二進制。下標如果是（6）,代表六進制，以此類推。

在計算機中，一個0和1的二進制位簡稱位，又稱比

特；每8位稱為一個字節(jié)，都是計算機里常用的單位。讓科學記數(shù)法是一種記數(shù)的方

聶北個數(shù)表示帆與篇鬻

十進制數(shù)和二進制數(shù)15大的區(qū)別是：十進制數(shù)“逢

十進一”，二進制數(shù)則是"逢二進一-o有人說，古代鬻乘的形式（1wa<10,盛

荔:暮指的某個數(shù)和自己:

的數(shù)學之所以選擇使用十進制計數(shù)法，是因為人長有10

個手指頭，逢十進一來計數(shù)比較方便。形式，叫面的舄?？蓪懗伞愕?/p>

201sVM*I-?9.indd72019/3/6IBJ7:40

i第2講從二進制到十進制!

那么，當我們在計算機中看到一串二進制數(shù)1001010001100001101000時，怎么才能

把它變短一些？或者說，怎么把它改寫成十進制呢？

八進制和十六進制

二進制在計算機內(nèi)部的使用是暢通無阻的，但人機交流時，二進制就表現(xiàn)出一個致命

的弱點——數(shù)字的書寫特別冗長，人們一不小心就會看漏、看錯。

例如，十進位制的100000寫成二進制會變成11000011010100000。為了解決這個問

題，人們又采用了兩種輔助的進位缶!I—八進制和十六進制。

二進制的三個數(shù)位正好記為八進制的一個數(shù)位，這樣，數(shù)字長度就變成二進制的三

分之一，與十進位制數(shù)字的長度相差不多了。例如，十進位制的100000寫成八進制就是

303240(8)o

和前面講過的規(guī)則相同，八進制只使用從。到7這8個數(shù)字，逢八進一。

543211

比如：303240(8)=3X8+0X8+3X8+2X8+4X8+4X8

十六進制的一個數(shù)位可以代表二進制的四個數(shù)位，這樣，一個字節(jié)正好是十六進制的

兩個數(shù)位。十六進制要使用16個不同的符號，而數(shù)字只有0到9十個，所以又引入了6個字

母A、B、C、D、E、F來代表十進位制中的10、11、12、13、14、15。這樣，十進位制

的100000寫成十六進制就是186Ao(⑹o

八進制和十六進制避免了數(shù)字冗長帶來的不便，所以這兩種計數(shù)法在人機交流中很常

用。

‘。/〃0二進制和十進制的換算

,0100二進制、八進制、十進制和十六

進制之間的換算并沒有大家想象中那么

難，我們一起來試試。

首先，我們來看一個十進制數(shù)字

371541：

371541=3x105+7x104+1xW3

+5x102+4x10l+1X10°

J

2019-76WWItTl-69.LnddB2019/5后1837:45

場別忠

數(shù)字中的乘數(shù)1。5、10\103被稱為方法是這樣：將十進制的數(shù)字除以

權值，最低位權值為1。因為十進制中逢2,對得到的商再除以2,反復進行這個過

十進一，所以每提高一位，權值就乘10。程，直到商為0。這時第每次除以2所得到

要知道一個數(shù)有多大，只要將各位數(shù)字和的余數(shù)倒著排列起來，就是該數(shù)對應的二

相應的權值的乘積都加起來就好了。進制形式。

推廣到二進制也一樣，從最低位開將十進制數(shù)90(⑶轉化為二進

始，權值為2°,21,22,23……這樣就可制。

以求出一串二進制0、1所對應的十進制分析我們對90不斷除2,有:

數(shù)。2囂O

21第一個余數(shù)

OB求二進制數(shù)MOIio”的十進制第二個余數(shù)

2窿O

第三個余數(shù)

21倒著抄

值。第四個余數(shù)

21這些數(shù)

［分析2O第五個余數(shù)

2第六個余數(shù)

1x24+1x23+1x2+1=2191

(l0)0fe:F:第七個余數(shù)

反過來，當你需要把一個十進制數(shù)字

輸入計算機，怎么找到它對應的二進制形則十進制數(shù)90的二進制形式為

式呢9可以采用“除余法”o1011010(2)。

J

八進制和十進制的換算

八進制和十六進制轉為十進制的換算原理，和二進制類似，同樣可以采用除余法。

O1將十進制數(shù)725,192轉換為八進制數(shù)。

分析利用除余法，有:

余8

8I725

余8

抄

抄

倒著

倒著

8I90余

些

些

數(shù)

數(shù)

這

這8

8I11余

8LJ_

0

所以，轉換結果是：725(10)=1325(8),(192)10=(300)8O

類似地，一個十進制數(shù)轉換成十六進制數(shù),可按除16取余的方法進行。

將十進制數(shù)725轉換為十六進制數(shù)。

分析)利用除余法，有:

數(shù)

余5

著抄

倒_史

數(shù)

16I725余還出現(xiàn)過三進制計算

這

些數(shù)

數(shù)

16I45余13

16I212方進法數(shù)字系統(tǒng)為基

0二進制就是“逢三進

十六進制中，13是用字母D表示，所以，轉換結果是:一，退一還三”的進扇?

725?0)=2D5(16)。

e

2019，.8智融教學1glndd92019/5/618)7:48

T

常用的門電路

電路和計算

計算機是機器，它沒有意識。二邏輯門電路邏輯符號輸入和輸出值

進制是對人而言的，如果我們拆開電與門（AND門）ABAB

它具有兩個

腦來看，只能看到許許多多的設備和輸入端，一個輸出A000

芯片，井不能看到0和1這些數(shù)字。如始，其邏輯關系是口010

全部的輸入都為1

果我們拿著設備去檢查電腦芯片，則時，輸出才為1,否

則為0?！觥觥?/p>

會檢測到有高高低低的電流從芯片里

流過——正是這些電流，呈現(xiàn)出。和

1或門（OR門）ABA+B

這樣的數(shù)字。具有兩個輸入

端，一個輸出端，000

A

在大多數(shù)計算機芯片中，對0和1其逐輯關系是全部■■■

的輸入都為。時，B

是這樣定義的：輸出才為0,否則為■■■

1o■■■

高電平有電流1

低電平無電流0非門（NOTH）

具有一個輸入

A■

就，一個輸出端，

計算機的運算過程，是讓電流輸

其邏抨關系是輸入10

為0時，輸出為1,

入的狀態(tài)變成一個新的狀態(tài)，從而給01

輸入為1時，輸出為

人一種計算機會"計算.的假象。

芯片中電流的改變是通過電路來

實現(xiàn)的。一些電子元器，如三極管、與非門（NAND門）ABAB

“與”和

電容、電阻等組成開關，這些開關“非”的復合運算001

稱為“馬非”運

必須在滿足某些規(guī)定的條件時才能接算，與非門相當于■■■

通，不滿足條件就不能接通，就好像在與門的基礎上加■■■

了一個非門。

滿足一定條件時才會自動打開的門一■

樣，所以數(shù)字電路中把這種特殊的電

異或門（XOR門）AB磁

子開關稱為門電路。有兩個輸入

端、一個榆出端。A000

門電路通常有多個輸入端，但是若兩個輸入的電平A+B

B■■■

不同，則輸出1;若

僅僅會產(chǎn)生一個輸出。兩個輸入的電平相■■■

同，則輸出為0?！觥觥?/p>

20!9*7-sV*!tt^]49Jndd102019/5/6IBJ7:5l

集成電路和加法器

當多個門電路組合在一起的時候，就成為集成電路。我們平時說的芯片，就是集成電路的

簡稱，手機和電腦使用的CPU（中央處理器）就是一塊大的集成電路。根據(jù)芯片里門電路的數(shù)

量，集成電路可以分為以下幾類：

小規(guī)模集成電路，集成的門電路的數(shù)量不超過10個；

中規(guī)模集成電路：集成的門電路的數(shù)量通常在10-100個；

大規(guī)模集成電路：集成的門電路的數(shù)量通常在100~1000個；

超大規(guī)模集成電路：集成的門電路的數(shù)量通常在1000個以上。

我們以加法器為例，來看一看它是如何實現(xiàn)運算的。

下圖是一個2位的半加法器，由一個異或門和一個與門組成，有兩個輸入端A和B,一個輸

出端S和一個進位端C。這個加法器可以實現(xiàn)二進制的一位數(shù)加法運算。

AO?AA腕入B冶出進位代表的二進制的加法

BO低電平（0）低電平（0）低電平（0）高電平（010+0=0

高電平（1）低電平（0）高電平（1）低電平（0）1+0=1

高電平（0）低電平（1）高電平（1）低電平（0）0+1=1

高電平（1）高電平（1）低電平（0）高電平（1）1+1=10

這個加法器只能計算不超過2位的二進制數(shù)據(jù)。如果想要計算更大的數(shù)據(jù)，就要把多個2

位加法器組合起來，變成8位、16位、32位……或者更大規(guī)模的加法器。下圖是一個8位的

加法器，由8個2位加法器組成，可計算八位二進制數(shù)相加。

回回回回回回回回

?兩位…兩位

加法蜴加法需加法需’加法鶻加法播加法㈱加法㈱

___I11I||I11I

...土…土……土…?土一…吐…?士…?士?…土...?

201978智總教學1楞Indd1!2019/5/61837:57

動動腦---

進制數(shù)的應用

桌子上一共有3類藥，每類藥的

每一粒分別重1克、2克、3克。把藥

放到若干個瓶子中，現(xiàn)在能確定每

個瓶子中只有其中一類藥，且每瓶

中的藥片足夠多。你能只稱一次就

判斷出各個瓶子中分別裝的是哪類

藥嗎？如果有4類藥呢＜?5類藥呢？

百萬富

哈里是一個百萬富翁，他有很多很多

錢，不過他生活得很不快樂。于是，他決定送一筆

峭一些貧窮但快樂的朋友。

他準備拿出100萬美元分給他們。但是他又是

一個有點強迫癥和迷信的人，對他來講送錢的金額

有個不能被破壞的規(guī)矩，不是1美元或者7美元相關

的不能送。比如數(shù)字7,49,343,2401,

盡這些數(shù)字都是7的倍數(shù)。另外一個規(guī)矩是他

吩絕對不會給超過6個人同樣多的錢。現(xiàn)在，

他應該怎樣來分這100萬美

1元？要求你在滿足以上條件的

情況下把錢分給更多的人，最

多為多少人？

201978智*效狗心9.indd122019國618:38:10

.小魔術

於3

將5張有數(shù)字的卡片交給你的小伙

第1張卡片A

第2張卡片B伴，讓小伙伴心里牢記卡

3-

9片上的某一個數(shù)，比如

111□314211

17□m,然后請他把含有數(shù)字

25191315232622

TH的幾張卡片退還給你，

237312721

627183110你將幾張卡片重柱在一

29□15□5

30719起，再把沒有數(shù)字的第

張卡片放在最上面（注

第張卡片6

3C第4張卡片D

意，卡片上的小方塊是小

1213□5

11□9□12孔），你向小孔一瞧，就

23304立刻能猜出小伙伴心中想

28142913□1528

203121的數(shù)字。你知道其中的契

15222526271024

7□29□秘嗎？

631814□30

第5張卡片E

19□21□31

2718□2520

2430172926

22□231628

2019/5/61138:19

同學們是不是經(jīng)常纏著爸爸媽媽想玩他們的手

機呀？那你有沒有發(fā)現(xiàn)，手機上網(wǎng)速度越來越快？

移動網(wǎng)絡從3G到4G,馬上5G也要來了。家里的網(wǎng)

絡從寬帶變成了光纖，同樣越來越快了。各種信

息，包括你們玩的游戲，就在這些電纜、電線或是

無線網(wǎng)絡中流通，到達地球的各個地方。

如果我說，所有這一切都依托于數(shù)學規(guī)則，你

相信嗎？當你看完了這期特別策劃之后，一定會恍=

然大悟一這個你本來以為很神奇的虛擬世界，其

實一點都不復雜。

%/niiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiin^

i第1講入網(wǎng)依據(jù)?IP地址

網(wǎng)絡長什么樣子？當你開始了解網(wǎng)絡時，首先就要明白這一點：網(wǎng)絡猶如各式大大

小小的“蜘蛛網(wǎng)”，交織在你我的四周。

這個網(wǎng)絡四通八達，你的手機、電腦都位于它的某一點上，通過網(wǎng)絡上一些“有

形”或“無形”的線與全世界的人或機構發(fā)生關聯(lián)。這些有形無形的線，可能埋在地底

下，放在深海中，或是通過衛(wèi)星連接起來。

不夠用的IPv4地址

每一個設備想要進入網(wǎng)絡，首先都要有一個IP地址。IP

地址相當于手機和電腦的入網(wǎng)證明，有它才能上網(wǎng)，沒有就

不行，因此非常重要。

IP地址是由服務器自動分配的，當設備通過網(wǎng)絡信號連

接到運營商（比如聯(lián)通、移動、電信）的服務器，就會隨機

獲得一個IP。

20I978智?教學［由.InddI42019/5/61838:31

毛那么因特網(wǎng)上到底有多少個IP呢？

我們先來看看P的表示法。IP地址是用32位二進制

數(shù)值表示的，分成4個字節(jié)，所以又被稱為IPv4地址。

IPv4地址的表示法

十進制192.168.I1I.I34

二進制11000000101010000000000100100010

8位8位8位8位

32位（4x8）

理論上說，IPv4地址的個數(shù)有：

2x2x2x...x2x2=256x256x256x256=4294967296

7------

32個2相乘

近43億個IPv4地址，確實很多！但是具體使用中沒有這么多，如127.0.0.1,

255.255.255.255等IPv4地址無法使用，能夠同時使用的僅40億個左右。隨著因特網(wǎng)的

迅速擴張，這些IPv4早在2011年就已經(jīng)分配完畢了。

這40億個IPv4地址并不是平均分給全世界，北美地區(qū)占用了年，約30億個。而人

口最多的亞洲只有不到4億個，僅尢。這其中，中國的IPv4才2.5億個1

可是，現(xiàn)在需要上網(wǎng)的人越來越多，比如同學們也開始加入網(wǎng)民行列。我國現(xiàn)在可

以上網(wǎng)的設備（如手機、電腦等）早已遠遠超出了2.5億，那么人們怎么解決上網(wǎng)問題

呢？

現(xiàn)在，人們上網(wǎng)依靠的是一個很神奇的技術——NAT（英文全稱是NelworkAddress

Translation）,中文含義是“網(wǎng)絡地址轉換”或“網(wǎng)絡地址翻譯”。

NAT技術就是在同一個IPv4地址內(nèi)，再用端口號區(qū)分每臺設備?？梢允褂玫亩丝诜?/p>

圍為1024~65535,理論上，一個公網(wǎng)IPv4可以讓65000臺設備上網(wǎng)。

?假設某個小區(qū)有2000臺設備（手機、電腦）同時上網(wǎng)，但只有1個IPv4,那應

該怎么讓它們同時上網(wǎng)呢？

分析讓它們使用同一個IPv4,再給每個設備分配一個端口。

當然，這只是理論上，因為路由器等設備的限制，一個公網(wǎng)IPv4通常只能供幾千臺設

備上網(wǎng)。這樣TR,通過NAT技術，IPv4支撐的設備也能從原有的的班展到幾百萬億。

201978智?教學1elndd152019/5/61838:40

讓每一顆沙子都上網(wǎng)的IPv6地址

即便有了NAT技術，IPv4地址依然局限著網(wǎng)絡的發(fā)展。現(xiàn)在同學

們家里的智能家居設備越來越多，如冰箱、微波爐，艮至電燈泡、窗

簾等都能自動控制。也就是說，它們也需要上網(wǎng)，需要用到IP地址。

IPv4數(shù)量已經(jīng)很緊張了，所以聰明的人們又發(fā)明了IPv6技術。有

一句流傳很廣的話——"IPv6可以讓每一粒沙子都上網(wǎng)”，真的

哪倒嗎？

IPv4是用32位的二進制數(shù)值表示，IPv6則是用128位

的二進制數(shù)值表示，其基本格式是：

x:x:x:x:x:x:x:x

其中X是一個4位十六進制整數(shù)，每個地址包括8個這

樣的整數(shù)，如2001:1410:130F：A0B2:21DA:09C0:

876A:130B就是一個典型的IPv6地址。

IPv6地址的表示法

16位16位16位16位

/----------------------------N/----------N~/--------A--------------X/----------2_

00100001000010011000011100010011

11011010110000000110101000001011

21D^

十六進制2001:1410:130F:A0B2

'10100000

二進制001000000001010000010011

000000010001000000001111」10110010J

v\________Z\_________Z

~、—'V

16位16位16位16位

128位(16x8)

顯然，IPv6中IP地址的長度為128,即IPv6最大地址個數(shù)為:

2x2x2x??x2x2x2=2128sa3.4x1這是一個極其

誨遍相乘巨大的數(shù)字！

地球的半徑是6371千米，假設整個地球全都由沙子組成，是一個“沙球”，每粒

沙子的大小是1立方亳米。根據(jù)球的體積公式曠=271，，可以算出這顆“沙球”共有

1.098x1030粒沙子。

3.4X1O38>1.O98X1O30,所以“IPv6可以讓每一粒沙子都上網(wǎng)”酶不假！

2019—7.8智尊教學149g￡1(1162019/5/6IBM:47

i第2講流量和網(wǎng)速j

大家有沒有注意到，每到月底的時候，爸爸■媽媽可能就會抱怨：“我的流量用完

了！”這是什么意思呢？

所謂的流量，是指手機、電腦上網(wǎng)產(chǎn)生的流量數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)流量有大有小，還有著

不同的單位，常見的單位有b（比特）、B（字節(jié)）、KB（千字節(jié)）、MB（兆字節(jié)）、

GB（吉字節(jié)）等，類似描述長度的毫米、厘米、米。

上網(wǎng)的速度

和生活中感受到的速度一樣，網(wǎng)速是指單位時間內(nèi)，電腦或手機用于上網(wǎng)時，上傳和下

載數(shù)據(jù)的流量。所以，網(wǎng)速的計算公式是：

網(wǎng)速=上網(wǎng)花掉的流量+時間

有計算公式就有