2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中+期末高效復習課期中模擬試卷新高考題型提高卷1含解析選擇性必修第二冊

Page1期中模擬試卷（新高考版提高卷1）考試范圍：人教A版2024選擇性必修第一冊（全冊）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2024·江蘇·高二課時練習）已知直線與直線相互平行，則實數(shù)的值為(

)A． B．2或 C．2 D．【答案】D【詳解】直線斜率必存在，故兩直線平行，則，即，解得，當時，兩直線重合，∴．故選：D．2．（2024·全國·高二專題練習）如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在平行六面體中，.故選：B3．（2024·全國·高二課時練習）天文學家開普勒的行星運動定律可表述為：繞同一中心天體的全部行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即，，其中為中心天體質(zhì)量，為引力常量，已知地球繞以太陽為中心天體的橢圓軌道的半長軸長約為1.5億千米，地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，距離太陽最遠的冥王星繞以太陽為中心天體的橢圓軌道的半長軸長約為60億千米，取，則冥王星的公轉(zhuǎn)周期約為（

）A．157年 B．220年 C．248年 D．256年【答案】C【詳解】設地球橢圓軌道的半長軸為，公轉(zhuǎn)周期.設冥王星橢圓軌道的半長軸為，公轉(zhuǎn)周期.則，兩式相除并化簡得，所以年.故選：C4．（2024·全國·高二課時練習）設，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當時，面積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵雙曲線，∴，又點P在雙曲線C的右支上，，所以，，即，又，∴面積為.故選：B.5．（2024·全國·高二課時練習）若圓關(guān)于直線對稱，由點向圓C作切線，切點為A，則的最小值是（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【詳解】由題意知，直線過圓心，即，化簡得在上，如圖，為使最小，只需圓心與直線上的點的距離最小，如圖所示：所以的最小值為，故選：B6．（2024·四川省內(nèi)江市第六中學高二開學考試（理））如圖，在正方體中，M為線段的中點，N為線段上的動點，則直線與直線所成角的正弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則，，，設(0≤λ≤1)得：，，，由，∴，則.故選：C.7．（2024·全國·高二課時練習）在一個半圓中有兩個互切的內(nèi)切半圓，由三個半圓弧圍成“曲線三角形”，作兩個內(nèi)切半圓的公切線把“曲線三角形”分隔成兩塊，且被分隔的這兩塊中的內(nèi)切圓是同樣大小的，如圖，若，則陰影部分與最大半圓的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設，則，，以C為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，則C（0，0），，，．設，，則（圓，外切與勾股定理結(jié)合），得，所以．由圓O與圓內(nèi)切，得，解得．同理（圓，外切與勾股定理結(jié)合），得，由圓O與圓內(nèi)切，得，解得．設陰影部分的面積為，最大半圓的面積為，，所以．故選：B.8．（2024·全國·高二課時練習）在矩形中，，AB＝6，把邊AB分成n等份，在的延長線上，以的n分之一為單位長度連續(xù)取點．過邊AB上各分點和點作直線，過延長線上的對應分點和點A作直線，這兩條直線的交點為P，如圖建立平面直角坐標系，則點P的坐標滿意的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：設，則，，據(jù)題意，易得直線，直線．由，令，得，因此邊AB上各分點的坐標為，由，令，得，因此延長線上的對應分點的坐標為，結(jié)合題意，可知，化簡得．因此點P的坐標滿意的方程為．故選：C．二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2024·江蘇·連云港中學高二開學考試）下列的值中，不能使三條直線和構(gòu)成三角形的有（

）A．4 B． C． D．【答案】ACD【詳解】由題意，當三條直線和，若時，可得；當時，可得；當時，則滿意，無解；當三條直線經(jīng)過一個點時，把和的交點為，代入直線中，可得，解得或，綜上可得，滿意條件的為或或或.故選：ACD.10．（2024·全國·高二專題練習）（多選）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為M，且，雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個公共點．若，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】因為，且，所以為等腰直角三角形．設橢圓的半焦距為，則，所以，則．在中，，設，，雙曲線的實半軸長為，則（在中，由余弦定理可得），故，故，又，所以，即，故，，，，選BD．故選：BD11．（2024·福建福州·高二期末）如圖，已知正方體的棱長為2，點，在平面內(nèi)，若，，則下述結(jié)論正確的是（

）A．到直線的最大距離為 B．點的軌跡是一個圓C．的最小值為 D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】CD【詳解】對于A:，即，所以，即點E為在面內(nèi)，以為圓心、半徑為1的圓上,所以，當位于中點時，到直線的距離最大，為，故A錯誤；對于B:正方體中，，又，且，所以平面，所以點F在上，即的軌跡為線段，故B錯誤；對于C:在平面內(nèi)，到直線的距離為當點，落在上時，；故C正確；對于D:建立如圖示的坐標系，則,由B選項的證明過程可知：的軌跡為線段，所以設，則，則，而設平面的法向量，則有，不妨令，則，設與平面所成角為，則：當時，有最大值，故D正確；故選：CD12．（2024·全國·高三專題練習）法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)覺與橢圓相切的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則（

）A．橢圓的離心率為B．面積的最大值為C．到的左焦點的距離的最小值為D．若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則【答案】ABD【詳解】依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；因為點，，都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B正確；設，的左焦點為，連接，因為，所以，又，所以，則到的左焦點的距離的最小值為，故C不正確；由直線經(jīng)過坐標原點，易得點，關(guān)于原點對稱，設，，則，，，又，所以，所以，所以，故D正確故選：ABD．三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，其次空3分.）13．（2024·全國·高二課時練習）已知直線l的兩點式方程為，則l的斜率為______．【答案】【詳解】易得直線過，故l的斜率為.故答案為：14．（2024·全國·高三專題練習）棱長為1的正方體，在正方體的12條棱上運動，則的取值范圍是___________.【答案】【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，，，設（且只在正方體的條棱上運動），則，，由于，所以.當時，取最小值；當時，取最大值.故答案為：15．（2024·全國·高二課時練習）已知點P在雙曲線上，若P，Q兩點關(guān)于原點O對稱，直線與圓相切于點M且，其中，分別為雙曲線C的左、右焦點，則的面積為______．【答案】12【詳解】如圖，連接，因為P，Q兩點關(guān)于原點O對稱，所以的面積等于的面積．直線與圓相切于點M，則．因為，所以M為的中點，又O為的中點，所以，則．由雙曲線得：，．，，則．因為，所以，所以，所以，故的面積等于，即的面積為12．故答案為：12.16．（2024·江蘇南通·高二開學考試）過直線上一點作圓的切線，切點為，則直線過定點___________，若的中點為，則點的軌跡方程為___________【答案】

【詳解】設，圓的圓心為，半徑，則，故以為圓心，半徑為的圓的方程為：，即，①，圓②，②-①并化簡得直線的方程為：，也即，所以，所以定點坐標為.設，由于是弦的中點，所以，設定點為，則，即，化簡得，所以點的軌跡方程為.故答案為：；四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2024·全國·高二課時練習）已知直線與圓相交于A、B不同兩點．(1)求m的取值范圍；(2)設以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或．（1）由，得，直線與圓有兩個交點，所以，即，解得（2）設、，則，．由于以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，所以,故，即，所以，所以，解得或．直線l的方程為或．18．（2024·全國·高二課時練習）如圖，某野生愛護區(qū)監(jiān)測中心設置在點O處，正西、正東、正北處有3個監(jiān)測點A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生動物視察員在愛護區(qū)遇險，發(fā)出求救信號，3個監(jiān)測點均收到求救信號，A點接收到信號的時間比B點接收到信號的時間早（注：信號每秒傳播）(1)求視察員全部可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程；(2)若C點信號失靈，現(xiàn)馬上以C為圓心進行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑r至少是多少千米？【答案】(1)(2)．（1）設視察員可能出現(xiàn)的位置為點，由題意，得，故點的軌跡為雙曲線的左支，設雙曲線方程為，又，，所以，故點的軌跡方程為；（2）設軌跡上一點為，則，又，所以，所以|，當且僅當時，取得最小值，故掃描半徑r至少是．19．（2024·江蘇·高二專題練習）已知直線及點，，．(1)試在上求一點，使最小，并求這個最小值；(2)試在上求一點，使最大，并求這個最大值．【答案】(1)，，最小值為(2)，最大值為（1）設關(guān)于直線的對稱點的坐標，則，解得，即，則的直線方程為：，聯(lián)立，解得，即交點為，，此時最小，最小為；（2）設關(guān)于直線的對稱點的坐標，則，解得，得，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，即，由對稱性知，，（當且僅當、、三點共線時取“”，上的點，是使最大的點．此時最大值為；20．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四邊形是正方形．(1)指出棱與平面的交點E的位置（無需證明），并在圖中將平面截該四棱柱所得的截面補充完整；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)E為的中點，答案見解析(2)（1）E為的中點．作圖如下：如圖，取的中點E，連接DE，．（2）設在平面內(nèi)的射影為O，點F在AB上，且．以O為坐標原點，OF，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．設，則，，，，，所以，，，，所以，，．設平面的法向量為，則，?。O平面的法向量為，則，?。?，由圖可知二面角為銳角，故其余弦值為．21．（2024·福建省福州第八中學高二期末）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點，.(1)證明：；(2)求當面與面所成的二面角的正弦值最小時，三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).(1)因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，底面，所以，因為，所以，又，平面，所以平面.所以兩兩垂直.以B為坐標原點，分別以所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖.所以.由題設.（1）因為，所以，所以；(2)設平面的法向量為，因為，所以，即.令，則.因為平面的法向量為，設平面與平面的二面角的平面角為，則.當時，取最小值為，此時取最大值為，所以，此時，三棱錐的體積.22．（2024·江蘇·金沙中學高二階段練習）已知拋物線與橢圓有公共的焦點，的左?右焦點分別為，該橢圓的離心率為.(1)求橢