2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)含解析選修2

PAGEPAGE15基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.能依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2．駕馭基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．(重點(diǎn))3．利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式解決有關(guān)問題．(難點(diǎn))1.數(shù)學(xué)抽象；2．邏輯推理；3．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算情境導(dǎo)學(xué)高鐵是目前特別受歡迎的交通工具，既低碳又快捷．設(shè)一高鐵走過的路程s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為s＝f(t)，求它的瞬時(shí)速度，即f(t)的導(dǎo)數(shù)．依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，運(yùn)算比較困難，是否有更好的求導(dǎo)方法呢？1．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)用定義法求導(dǎo)數(shù)y＝f(x)＝cy′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(c－c,Δx)＝0y＝f(x)＝xy′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x＋Δx－x,Δx)＝1y＝f(x)＝x2y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2x＋Δx)＝2xy＝f(x)＝x3y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2y＝f(x)＝eq\f(1,x)y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2＋x·Δx)))＝－eq\f(1,x2)y＝f(x)＝eq\r(x)y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(\r(x＋Δx)－\r(x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))＝eq\f(1,2\r(x))推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．(1)若f(x)＝2，則f′(x)＝2.()×提示：f′(x)＝0.(2)若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x2.()×提示：f′(x)＝2x.(3)若f(x)＝x－1，則f′(x)＝－eq\f(1,x2).(√)2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)若f(x)＝c(c是常數(shù))，則f′(x)＝0；(2)若f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，則f′(x)＝αxα－1；(3)若f(x)＝sinx，則f′(x)＝cosx；(4)若f(x)＝cosx，則f′(x)＝－sinx；(5)若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝axln_a；特殊地，f(x)＝ex，則f′(x)＝ex；(6)若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝eq\f(1,xlna)；特殊地，f(x)＝lnx，則f′(x)＝eq\f(1,x).推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3).()×提示：∵sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)(常數(shù))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝0.(2)(2x)′＝x2x－1.()×提示：(2x)′＝2xln2.(3)(lnx)′＝eq\f(1,x).(√)1．函數(shù)f(x)＝0的導(dǎo)數(shù)是(A)A．0 B．1C．不存在 D．不確定2．若函數(shù)f(x)＝x，則f′(2)＝()A．0 B．1C．2 D．不存在B解析：f′(x)＝1，∴f′(2)＝1.3．若函數(shù)f(x)＝x2，則曲線y＝f(x)在x＝eq\f(1,2)處的切線斜率為()A．0 B．1C．eq\f(1,2) D．不存在B解析：∵f′(x)＝2x，∴k＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×eq\f(1,2)＝1.4．若函數(shù)y＝10x，則y′|x＝1等于()A．eq\f(1,10) B．10C．10ln10 D．eq\f(1,10ln10)C解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.5．給出下列命題：①若y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)；②若y＝eq\f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③若y＝2x，則y′＝2xln2；④若y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2).其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4C解析：對于①，y′＝0，故①錯(cuò)；對于②，∵y′＝－eq\f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq\f(2,27)，故②正確；明顯③④正確，故選C．【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x12；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝eq\r(5,x3)；(4)y＝7x；(5)y＝log5x.解：(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)y′＝(eq\r(5,x3))′＝(xeq\f(3,5))′＝eq\f(3,5)x－eq\f(2,5).(4)y′＝(7x)′＝7xln7.(5)y′＝(log5x)′＝eq\f(1,xln5).1．若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則干脆利用公式求解，公式法最簡捷．2．對于不能干脆利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導(dǎo)”的基本原則，避開不必要的運(yùn)算失誤．比如對帶根號的函數(shù)，一般先將其轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再利用公式(xα)′＝αxα－1進(jìn)行求導(dǎo)．3．要特殊留意“eq\f(1,x)與lnx”，“ax與logax”，“sinx與cosx”的導(dǎo)數(shù)區(qū)分．若g(x)＝log3x,則g′(x)＝eq\f(1,xln3).【例2】已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s＝sint.(1)求質(zhì)點(diǎn)在t＝eq\f(π,3)時(shí)的速度；(2)求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度．解：(1)∵v(t)＝s′(t)＝cost，∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即質(zhì)點(diǎn)在t＝eq\f(π,3)時(shí)的速度為eq\f(1,2).(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，加速度是速度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)．2．求函數(shù)在某定點(diǎn)(點(diǎn)在函數(shù)曲線上)的導(dǎo)數(shù)的步驟：(1)先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；(2)把對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值．1．求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(3,x))在(1,1)處的導(dǎo)數(shù)．解：∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))′＝(x－eq\f(1,3))′＝－eq\f(1,3)x－eq\f(4,3)＝－eq\f(1,3\r(3,x4))，∴f′(1)＝－eq\f(1,3\r(3,1))＝－eq\f(1,3).2．求函數(shù)f(x)＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))處的導(dǎo)數(shù)．解：∵f′(x)＝－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).探究題1求過曲線f(x)＝cosx上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))且與曲線在這點(diǎn)的切線垂直的直線方程．解：因?yàn)閒(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx.則曲線f(x)＝cosx在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))的切線斜率為f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以所求直線的斜率為eq\f(2\r(3),3)，所求直線方程為y－eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即y＝eq\f(2\r(3),3)x－eq\f(2\r(3),9)π＋eq\f(1,2).探究題2分別求雙曲線y＝eq\f(1,x)與拋物線y＝x2的交點(diǎn)處的切線方程．解：易求得雙曲線y＝eq\f(1,x)與拋物線y＝x2的交點(diǎn)為(1,1)．雙曲線y＝eq\f(1,x)在交點(diǎn)處的切線的斜率為y′|x＝1＝－1，故切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.拋物線y＝x2在交點(diǎn)處的切線的斜率為y′|x＝1＝2，故切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.求曲線方程或切線方程時(shí)，應(yīng)留意：(1)切點(diǎn)是曲線與切線的公共點(diǎn)，切點(diǎn)坐標(biāo)既滿意曲線方程也滿意切線方程；(2)曲線在切點(diǎn)處的切線的斜率，即對應(yīng)函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(3)必需明確已知點(diǎn)是不是切點(diǎn)，假如不是，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)．已知函數(shù)y＝kx是曲線y＝lnx的一條切線，則k＝________.eq\f(1,e)解析：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，∵y′＝eq\f(1,x)，∴k＝eq\f(1,x0)，∴y＝eq\f(1,x0)·x.又點(diǎn)(x0，y0)在曲線y＝lnx上，∴y0＝lnx0，∴l(xiāng)nx0＝eq\f(x0,x0)，∴x0＝e，∴k＝eq\f(1,e).1．函數(shù)y＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3C解析：易得y′＝2x，故函數(shù)y＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是2×1＝2.故選C．2．已知f(x)＝lnx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))的值為()A．1 B．－1C．e D．eq\f(1,e)C解析：由f(x)＝lnx，則f′(x)＝eq\f(1,x).所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,\f(1,e))＝e.故選C．3．函數(shù)f(x)＝x3，f′(x0)＝6，則x0＝()A．eq\r(2) B．－eq\r(2)C．±1 D．±eq\r(2)D解析：∵f′(x)＝3x2，∴3xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝±eq\r(2).故選D．4．(多選)下列結(jié)論正確的是()A．若f(x)＝0，則f′(x)＝0B．若f(x)＝cosx，則f′(x)＝sinxC．若f(x)＝eq\f(1,x)，則f′(x)＝－eq\f(1,x2)D．若f(x)＝lnx，則f′(x)＝eq\f(1,x)ACD解析：對A，f(x)為常數(shù)，明顯成立；對B，f′(x)＝－sinx，故B錯(cuò)誤；對C，D，明顯都成立．故選ACD．5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\r(x3)；(2)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))；(3)y＝(eq\r(3))x.解：(1)y′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)x.(2)∵y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(3)y′＝[(eq\r(3))x]′＝(eq\r(3))xlneq\r(3)＝eq\f(1,2)(eq\r(3))xln3.

1．由定義求出的常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可作為公式干脆運(yùn)用．2．熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．3．留意區(qū)分f(x)＝ax(a>0，且a≠1)及f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的導(dǎo)數(shù)：(ax)′＝axlna，(logax)′＝eq\f(1,xlna).課時(shí)分層作業(yè)(十四)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(60分鐘100分)eq\f(基礎(chǔ)對點(diǎn)練,基礎(chǔ)考點(diǎn)分組訓(xùn)練)學(xué)問點(diǎn)1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用1．(5分)已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，則α等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,4)D解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝eq\f(1,4).2．(5分)給出下列結(jié)論：①若f(x)＝eq\f(1,x3)，則f′(x)＝－eq\f(3,x4)；②若f(x)＝eq\r(3,x)，則f′(x)＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若f(x)＝3，則f′(1)＝0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．03．(5分)(多選)在曲線f(x)＝eq\f(1,x)上切線的傾斜角為eq\f(3,4)π的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1,1) B．(－1，－1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))AB解析：切線的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,x\o\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)或(－1，－1)．故選AB．4.(5分)已知拋物線C：y＝x2，過第一象限的點(diǎn)(a，a2)作拋物線C的切線l，則直線l與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為________．(0，－a2)解析：明顯點(diǎn)(a，a2)為拋物線C：y＝x2上的點(diǎn)，∵y′＝2x，∴直線l的方程為y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直線l與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－a2)．學(xué)問點(diǎn)2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5．(5分)若函數(shù)f(x)＝cosx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝()A．0 B．1C．－1 D．eq\f(π,2)C解析：∵f′(x)＝－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－sineq\f(π,2)＝－1.6．(5分)已知函數(shù)f(x)＝2－x，則f′(x)＝()A．－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlog2eD．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xeq\f(1,ln2)A解析：∵f(x)＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，∴f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2.7．(5分)給出下列結(jié)論：①(cosx)′＝sinx；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3)；③若y＝eq\f(1,x2)，則y′＝－eq\f(1,x)；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝eq\f(1,2x\r(x)).其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3B解析：因?yàn)?cosx)′＝－sinx，所以①錯(cuò)誤．sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))′＝0，所以②錯(cuò)誤.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝(x－2)′＝eq\f(－2,x3)，所以③錯(cuò)誤.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,\r(x))))′＝＝eq\f(1,2x\r(x))，所以④正確.8.(5分)已知直線y＝kx是曲線y＝3x的切線，則k的值為________．eln3解析：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)．因?yàn)閥′＝3xln3，①所以k＝3x0ln3，所以y＝3x0ln3·x.又因?yàn)?x0，y0)在曲線y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，②所以x0＝eq\f(1,ln3)＝log3e.所以k＝eln3.9.(5分)已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，則x＝________.1解析：因?yàn)閒(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去)．故x＝1.10.(5分)直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x＞0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝________.ln2－1解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，∴x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.eq\f(實(shí)力提升練,實(shí)力考點(diǎn)適度提升)11．(5分)設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2020(x)＝()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosxC解析：f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f′3(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4為最小正周期，故f2020(x)＝f4(x)＝cosx.A．64 B．32C．16 D．813.(5分)點(diǎn)P是f(x)＝x2上隨意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－1的最短距離是________．eq\f(3\r(2),8)解析：與直線y＝x－1平行的f(x)＝x2的切線的切點(diǎn)到直線y＝x－1的距離最?。O(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4).即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))到直線y＝x－1的距離最短．∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(12＋12))＝eq\f(3\r(2),8).14.(5分)下列結(jié)論正確的有________．①若f(x)＝x4，則f′(2)＝32；②若f(x)＝eq\f(1,\r(x))，則f′(2)＝－eq\f(\r(2),2)；③若f(x)＝eq\f(1,x2·\r(x))，則f′(1)＝－eq\