適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測十三余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例-距離問題新人教A版必修第二冊

PAGE十三余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——距離問題(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．若測得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，則AB的長為()A．200mB．200eq\r(3)mC．200eq\r(7)mD．500m【解析】選C.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，所以AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000，所以AB＝200eq\r(7)(m)，即A，B兩點(diǎn)間的距離為200eq\r(7)m.2．(2024·徐州高一檢測)甲船在湖中B島的正南A處，AB＝12km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船從B島動(dòng)身，以8km/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)?，則行駛半小時(shí)，兩船的距離是()A．4eq\r(5－2\r(3))km B．4eq\r(3)kmC．4eq\r(7)km D．4eq\r(5＋2\r(3))km【解析】選C.如圖，行駛半小時(shí)后，設(shè)甲船到達(dá)C，乙船到達(dá)D，依題意可知BC＝12－4＝8(km)，BD＝4km，且∠CBD＝120°，在△CBD中，由余弦定理得：CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD＝82＋42－2×8×4×cos120°＝112，所以CD＝4eq\r(7)km，即半小時(shí)后，兩船的距離是4eq\r(7)km.3．輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港O，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h，15nmile/h，則14時(shí)兩船之間的距離是()A．50nmile B．70nmileC．90nmile D．110nmile【解析】選B.到14時(shí)，輪船A和輪船B分別走了50nmile，30nmile，由余弦定理得兩船之間的距離為l＝eq\r(502＋302－2×50×30×cos120°)＝70nmile.4．已知兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離都等于akm，燈塔A在視察站C的北偏東20°，燈塔B在視察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)km B．eq\r(3)akmC．eq\r(2)akm D．2akm【解析】選B.如圖，在△ABC中，AC＝BC＝akm，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°，所以AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BCcos120°)＝eq\r(a2＋a2－2a2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)a(km).二、填空題(每小題5分，共10分)5．如圖，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對岸標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度為________．【解析】在△ABC中，AB＝120m，A＝30°，B＝75°，則C＝180°－A－B＝75°，所以AC＝AB＝120m，則河的寬度為ACsin30°＝60m.答案：60m6．(2024·西安高一檢測)三國(220年～280年)是上承東漢下啟西晉的一段歷史時(shí)期，分為曹魏、蜀漢、東吳三個(gè)政權(quán)．元末明初的小說家羅貫中依據(jù)這段歷史創(chuàng)作了《三國演義》全名為《三國志通俗演義》，小說中記載孫劉聯(lián)盟共同打擊曹魏，蜀吳兩國為了達(dá)成合作常常派使臣往來，古代出行以騎馬為主，假如一匹馬每個(gè)時(shí)辰能走30公里，一天最多能跑10個(gè)小時(shí)，十天能到達(dá)．假如吳國都城位于蜀國都城正東，魏國的都城在蜀國都城的北偏東30°，相距約1000公里，那么吳國都城一叛徒要向魏國都城告密大約須要________(填整數(shù))天能達(dá)到魏國都城．(eq\r(7)≈2.65)【解析】將魏、蜀、吳三國的都城分別記為A，B，C，由題意可知，AB＝1000公里，BC＝1500公里，∠ABC＝60°，由余弦定理可得，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC)＝500eq\r(7)≈1325(公里)，因?yàn)閑q\f(1325,15×10)≈8.8(天)，故叛徒大約須要9天才能到達(dá)目的地．答案：9三、解答題(每小題10分，共20分)7．要測量對岸兩點(diǎn)A，B之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C，D兩點(diǎn)，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之間的距離．【解析】在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝eq\r(3)(km).在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.所以BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km).△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，所以AB＝eq\r(5)(km).所以A，B之間的距離為eq\r(5)km.8．如圖所示，甲船以每小時(shí)30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10eq\r(2)海里．乙船每小時(shí)航行多少海里？【解析】連接A1B2，如下簡圖，由題意知，A1B1＝20，A2B2＝10eq\r(2)，A1A2＝eq\f(20,60)×30eq\r(2)＝10eq\r(2)＝A2B2，又因?yàn)椤螧2A2A1＝180°－120°＝60°，所以△A1A2B2是等邊三角形，故∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，A1B2＝10eq\r(2)，在△A1B2B1中，由余弦定理得，B1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－2A1B2×A1B1×cos45°＝(10eq\r(2))2＋202－2×10eq\r(2)×20×eq\f(\r(2),2)＝200，故B1B2＝10eq\r(2)，時(shí)間為eq\f(20,60)＝eq\f(1,3)，因此乙船的速度大小為eq\f(10\r(2),\f(1,3))＝30eq\r(2)(海里/小時(shí)).即乙船每小時(shí)航行30eq\r(2)海里．(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.如圖，貨輪在海上以36nmile/h的速度沿方位角(從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為152°的方向航行．為了確定船位，在B點(diǎn)處觀測到燈塔A的方位角為122°.半小時(shí)后，貨輪到達(dá)C點(diǎn)處，觀測到燈塔A的方位角為32°.則此時(shí)貨輪與燈塔之間的距離為()A．7nmile B．8nmileC．9nmile D．10nmile【解析】選C.在△ABC中，∠B＝152°－122°＝30°，∠C＝180°－152°＋32°＝60°，∠A＝180°－30°－60°＝90°，BC＝eq\f(36,2)＝18，所以AC＝18sin30°＝9(nmile).2．已知甲船位于小島A的南偏西30°的B處，乙船位于小島A處，AB＝20千米，甲船沿eq\o(BA,\s\up6(→))的方向以每小時(shí)6千米的速度行駛，同時(shí)乙船以每小時(shí)8千米的速度沿正東方向行駛，當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，他們行駛的時(shí)間為()A．eq\f(20,13)小時(shí) B．eq\f(50,37)小時(shí)C．eq\f(10,13)小時(shí) D．eq\f(100,37)小時(shí)【解析】選C.設(shè)當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，他們行駛的時(shí)間為t小時(shí)，此時(shí)甲船位于C處，乙船位于D處，則AC＝20－6t，AD＝8t，由余弦定理可得，CD2＝(20－6t)2＋(8t)2－2(20－6t)8tcos120°＝52t2－80t＋400，故當(dāng)CD取最小值時(shí)，t＝eq\f(10,13).3．(2024·阜陽高一檢測)一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它接著沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，此船的航速是()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí) B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時(shí)C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí) D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時(shí)【解析】選D.由題意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))，因此此船的航速為eq\f(8（\r(6)－\r(2)）,\f(1,2))＝16(eq\r(6)－eq\r(2))(海里/小時(shí)).4．如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖．支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的貨物與岸的距離AD為()A.30mB．eq\f(15,2)eq\r(3)mC．15eq\r(3)mD．45m【解析】選B.在△ABC中，AC＝15m，AB＝5eq\r(19)m，BC＝10m，由余弦定理得cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2×AC×BC)＝eq\f(152＋102－（5\r(19)）2,2×15×10)＝－eq\f(1,2)，所以sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).又∠ACB＋∠ACD＝180°，所以sin∠ACD＝sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).在Rt△ACD中，AD＝ACsin∠ACD＝15×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),2)(m).二、填空題(每小題5分，共10分)5．一條形“標(biāo)語”掛在墻上，把“標(biāo)語”看作線段AB，射線AB與地面交點(diǎn)為D，且AB與地面垂直，AD＝17米，BD＝10米，某人直立看“標(biāo)語”AB，眼睛C距離地面1米，當(dāng)∠ACB最大時(shí)，此人的腳到D點(diǎn)的距離為________米．【解析】由題設(shè)，可得如下示意圖：AB＝7，BD＝10，CE＝DF＝1，且∠ACB＝∠ACF-∠BCF，所以tan∠ACB＝tan(∠ACF-∠BCF)＝eq\f(tan∠ACF-tan∠BCF,1＋tan∠ACF·tan∠BCF)，若設(shè)DE＝CF＝x米，則tan∠ACF＝eq\f(AF,CF)＝eq\f(16,x)，tan∠BCF＝eq\f(BF,CF)＝eq\f(9,x)，所以tan∠ACB＝eq\f(\f(7,x),1＋\f(144,x2))＝eq\f(7,x＋\f(144,x))，而x>0，所以tan∠ACB＝eq\f(7,x＋\f(144,x))≤eq\f(7,2\r(x·\f(144,x)))＝eq\f(7,24)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝12時(shí)等號成立．所以由題意，∠ACB∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))最大時(shí)，有tan∠ACB＝eq\f(7,24)，此時(shí)人的腳到D點(diǎn)的距離為12米．答案：126．海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙隱私的最終遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞．若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為________．【解析】由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2)).在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2)).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4eq\r(3))＋1600×(8－4eq\r(3))＋2×1600×(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80eq\r(5).故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80eq\r(5).答案：80eq\r(5)三、解答題(每小題10分，共20分)7．在南海伏季漁期中，我漁政船在A處觀測到一外國偷漁船在我船北偏東60°的方向，相距a海里，偷漁船正在向北行駛，若我船速度是漁船速度的eq\r(3)倍，問我船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能追上漁船？此時(shí)漁船已行駛多少海里？【解析】設(shè)漁船沿B點(diǎn)向北行駛的速度大小為v，則我船行駛的速度大小為eq\r(3)v，兩船相遇的時(shí)間為t，則BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝a，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋vat，所以2v2t2－vat－a2＝0.解得t1＝eq\f(a,v)，t2＝－eq\f(a,2v)(舍去)，所以BC＝a，所以∠CAB＝30°.即我船應(yīng)沿北偏東30°的方向去追逐漁船，在漁船行駛a海里處相遇．8．如圖，某城市有一條馬路從正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向北偏東eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))角方向的OB.位于該市的某醫(yī)院M與市中心O的距離OM＝3eq\r(13)km，且∠AOM＝β.新冠肺炎疫情期間，為了更快地將患者送到醫(yī)院救治，要修筑一條馬路L，在OA上設(shè)一中轉(zhuǎn)站A，在OB上設(shè)一中轉(zhuǎn)站B，馬路在AB部分為直線段，且經(jīng)過醫(yī)院M．其中tanα＝2，cosβ＝eq\f(3,\r(13))，AO＝15km.(1)求醫(yī)院M與中轉(zhuǎn)站A的距離AM；(2)求馬路AB段的長度．【解析】(1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β且cosβ