第六章平面向量及其應(yīng)用課件

第六章「平直向量及其座用

DILIUZHANG

6.1平面向量的概念

6.1.1向量的實(shí)際背景與概念

6.1.2向量的幾何表示

6.1.3相等向量與共線向量

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

1.向量是一個(gè)既有大小又有方向的量，方向和

1.通過對(duì)力、速度、位移等物理量的分析，了大小是向量的兩個(gè)要素，這一點(diǎn)必須注意.

解平面向量的實(shí)際背景.2.在向量的表示法中，字母表示向量要注意書

2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.寫規(guī)范，等長(zhǎng)且同向的有向線段表示同一個(gè)

3.了解平面向量共線和向量相等的含義.向量.

3.注意向量共線與線段共線的不同.

共同基礎(chǔ)?系統(tǒng)落實(shí)課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

GONGTONGJICHUXITONGLUOSHI

［思考發(fā)現(xiàn)1

1.有下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.

其中，不是向量的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C質(zhì)量、路程、功只有大小，沒有方向不是向量，而速度、力、加速度均是

既有大小又有方向的物理量.故選C.

2.已知向量a如圖所示，下列說法不正確的是（）

a

MN

A.也可以用而Z表示

B.方向是由M指向N

C.起點(diǎn)是M

D.終點(diǎn)是例

解析：選D由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確.故選D.3.下列說法正確

的個(gè)數(shù)為（）

①零向量沒有方向；

②向量的模一定是正數(shù)；

③與非零向量a共線的單位向量是唯一的.

A.0B.1

C.2D.3

解析：選A①錯(cuò)誤.零向量有方向，它的方向是任意的；②錯(cuò)誤.|0|=0;③錯(cuò)誤.與

非零向量a共線的單位向量有兩個(gè)，一個(gè)與a同向，一個(gè)與a反向.故選A.

4.設(shè)。為AABC外接圓的圓心，則下方，后0’,司是（）

A.相等向量B.平行向量

C.模相等的向量D.起點(diǎn)相同的向量

解析：選C根據(jù)圓的性質(zhì)可知法*,B0>,言是模相等的向量.故選C.

5.已知4,B,C是不共線的三點(diǎn)，向量m與向量飛8,是平行向量，與不5是共線向量,

則m=.

解析：因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線，所以7亍與而不共線，又因?yàn)閙”/且m〃束，

所以m=0.

答案：0

［系統(tǒng)歸納］

1.對(duì)向量概念的認(rèn)識(shí)

向量是既有大小又有方向的一種量,因此，在學(xué)習(xí)時(shí)要注意思維方式的改變，既要考慮

數(shù)量的大小，又要考慮方向的影響.

2.有向線段與向量的區(qū)別和聯(lián)系

從定義上看，向量有大小和方向兩個(gè)要素,而有何線段有起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度三個(gè)要

區(qū)別素.因此,這是兩個(gè)不同的量.在空間中，有向線段是固定的線段,而向量是可以

自由至移的

有向線段是向量的表示，并不是說向量就是有向線段，每一條有向線段對(duì)應(yīng)著一個(gè)

聯(lián)系

向量,但每一個(gè)向量對(duì)應(yīng)著無數(shù)多條有向線段

3.關(guān)注兩個(gè)“特殊”向量

定義中的零向量和單位向量都是只限制大小,沒有確定方向.我們規(guī)定零向量的方向是

任意的;單位向量有無數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同.

4.對(duì)相等向量與共線向量的理解

(1)理解平行向量的概念時(shí)，需注意平行向量和平行直線是有區(qū)別的，平行直線不包括重

合的情況，而平行向量是可以重合的.

(2)共線向量就是平行向量,其中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義?實(shí)際

上，共線向量(平行向量)有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相

反且模相等；方向相反且模不等.這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向

量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量.

(3)向量祖笠縣有傳遞性,即a=b,b=c,則a=c.而向量的受食不具有傳遞性,若a〃

b,b〃c,未必有a〃c.因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄?

關(guān)鍵能力?重點(diǎn)培優(yōu)課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

GUANJIANNENGLIZHONGDIANPEIYOU

□□□31向量的有關(guān)概念

［例1］下列說法中正確的有()

①單位向量的長(zhǎng)度大于零向量的長(zhǎng)度；

②零向量與任一單位向量平行；

③因?yàn)槠叫邢蛄恳步凶鞴簿€向量，所以平行向量所在的直線也一定共線；

④因?yàn)橄嗟认蛄康南嗟汝P(guān)系具有傳遞性，所以平行向量的平行關(guān)系也具有傳遞性；

⑤因?yàn)橄嗟认蛄恳欢ㄊ瞧叫邢蛄?，所以平行向量也一定是相等向?

A.①②B.①②④

C.①③⑤D.①②③

［解析］①正確，因?yàn)閱挝幌蛄康拈L(zhǎng)度為1,零向量的長(zhǎng)度為0.②正確.③錯(cuò)誤，平行

向量所在的直線可能不共線.④錯(cuò)誤，平行向量的平行關(guān)系不具有傳遞性.⑤錯(cuò)誤，平行向

量不一定是相等向量.

［答案］A

000?

解決與向量概念有關(guān)問題的方法

解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長(zhǎng)度，如:

共線向量的核心是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒有限制；

相等向量的核心是方向相同且長(zhǎng)度相等；

單位向量的核心是方向沒有限制，但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度；

零向量的核心是方向沒有限制，長(zhǎng)度是0;

規(guī)定零向量與任一向量平行.

只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題.

［變式訓(xùn)練］

下列說法正確的是()

A.若a與b平行，b與c平行，則a與c一定平行

B.共線向量一定在同一直線上

C.若|a|>|b|,則a>b

D.單位向量的長(zhǎng)度為1

解析：選DA中，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行，若b=0,則a與c不一定平行.B中，

共線向量不一定在同一直線上.C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比較大小.顯

然D正確.故選D.

EI*0向量的表示

［例2］⑴如圖，B,C是線段AZ)的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，可以寫

出個(gè)向量.

ABCD

(2)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:

北fTTTTTTTTTTT1

0東

①出了，使|肉|=46，點(diǎn)A在點(diǎn)。北偏東45。；

②使|3>|=4,點(diǎn)8在點(diǎn)A正東；

@BC,使C^|=6,點(diǎn)C在點(diǎn)8北偏東30。.

［解析］⑴由向量的幾何表示可知，可以寫出12個(gè)向量，它們分另“是劉*,~AC,^AD,

^BC,TBZT,~CD,TaT,~CA,~DA,~CB,1)B,~DC.

(2)①由于點(diǎn)A在點(diǎn)。北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向

小方格數(shù)相等.又|畫|=4也，小方格邊長(zhǎng)為1,所以點(diǎn)4距點(diǎn)。的橫向小方格數(shù)與縱向小

方格數(shù)都為4,于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量OA如圖所示.

②由于點(diǎn)8在點(diǎn)A正東方向處，且|AB|=4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)2距點(diǎn)A的橫向小方格

數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)2位置可以確定，畫出向量A8如圖所示.

③由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30。處，且|國(guó)3|=6,依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距

點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為33X5.2,于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量及＞

如圖所示.

［答案］(1)12(2)圖見解析

向量的兩種表示方法

(1)幾何表示法：先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量

的終點(diǎn).

(2)字母表示法：為了便于運(yùn)算可用字母a,b,c表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，

可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示向量，如「AB'，F(xiàn),看等.

［變式訓(xùn)練］

在如圖的方格紙上，已知向量a,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.

(1)試以8為起點(diǎn)畫一個(gè)向量b,使b=a；

(2)在圖中畫一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c,使e=小，并說出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么.

解：(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長(zhǎng)度相等.如圖中的b即為所

作向量.

(2)由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以4為圓心，半徑為小的圓(作

圖略).

rrra相等向量與共線向量

［例3］如圖所示，。是正六邊形ABCDE尸的中心，且萬丁=a,

OB=b,OC=c.

(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)與a共線的向量有哪些？

(3)請(qǐng)---列出與a,b,c相等的向量.

［解］(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有為記，~A0,~FE.

(2)與a共線的向量有后，~BC,~0D,~FE,~CB,~D0,~A0,^DA,~AD.

(3)與a相等的向量有甘，~D0,~CB與b相等的向量有衣:~EO,~FA與c相

等的向量有質(zhì)"，~ED,AB.

尋找共線向量或相等向量的方法

(D尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反

向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

(2)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是與已

知向量方向相同的向量.

［變式訓(xùn)練］

1.［變?cè)O(shè)問］本例條件不變，試寫出與向量鋌相等的向量.

解：與向量下不相等的向量有ar,~AO,~FE.

2.［變條件，變?cè)O(shè)問］在本例中，若間=1,則正六邊形的邊長(zhǎng)如何？

解：由正六邊形性質(zhì)知，△"四為等邊三角形，所以邊長(zhǎng)4尸=回=1.

夯基提能?落實(shí)素養(yǎng)課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力

HANGJITINENGLUOSHISUYANG

A級(jí)——學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練

1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()

①身高是一個(gè)向量；②NAOB的兩條邊都是向量；③溫度含零上和零下溫度，所以溫度

是向量；④物理學(xué)中的加速度是向量.

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B身高只有大小，沒有方向，故①不是向量，同理③不是向量；對(duì)②，ZAOB

的兩條邊只有方向，沒有大小，不是向量；④是向量.故選B.

2.下列說法正確的是（）

A.若|a|=|b|,則a=±b

B.零向量的長(zhǎng)度是0

C.長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量

D.共線向量是在同一條直線上的向量

解析：選B對(duì)A,當(dāng)|a|=|b|時(shí)，由于a,b方向是任意的，a=±b未必成立，所以A錯(cuò)

誤；對(duì)B,零向量的長(zhǎng)度是0,正確；對(duì)C,長(zhǎng)度相等的向量方向不一定相同，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,共線向量不一定在同一條直線上，故D錯(cuò)誤.故選B.

3.汽車以120km/h的速度向西走了2h,摩托車以45km/h的速度向東北方向走了2h,

則下列命題中正確的是（）

A.汽車的速度大于摩托車的速度

B.汽車的位移大于摩托車的位移

C.汽車走的路程大于摩托車走的路程

D.以上都不對(duì)

解析：選C速度和位移是向量，由向量不能比較大小可知A、B錯(cuò)：汽車走的路程為

240km,摩托車走的路程為90km,故C正確.故選C.

4.如圖，在矩形ABCD中，可以用同一條有向線段表示的向量是（）

A.石T和釬B^DC和予萬

C.^DC和下不D.7DC和次-----------'B

解析：選BOC和AB方向相同且長(zhǎng)度相等，是相等向量，故可以用同一條有向線段

表示.故選B.

5.若38>|=|1萬|且％4'=~CD,則四邊形A8C。的形狀為（）

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

解析：選C'：~BA=~CD,四邊形4BC。為平行四邊形.又=|三殖，

平行四邊形ABCD相鄰兩邊相等，故四邊形ABCD為菱形.故選C.

6.下列敘述：

（1）單位向量都相等；

（2）若一個(gè)向量的模為0,則該向量的方向不確定；

（3）共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；

(4)方向不同的兩個(gè)向量一定不平行.

其中正確的有.(填所有正確的序號(hào))

解析：(1)錯(cuò)誤.單位向量模都相等，但是方向不一定相同.

(2)正確.若一個(gè)向量的模為0,則該向量是零向量，其方向不確定，是任意的.

(3)錯(cuò)誤.共線的向量，若起點(diǎn)不同，但終點(diǎn)有可能相同.

(4)錯(cuò)誤.方向相反的兩個(gè)向量一定平行.

答案：⑵

7.若a為任一非零向量，b為單位向量，下列各式：

(l)|a|>|b|；(2)a〃b；(3)|a|>0；(4)|b|=±l；

(5)若an是與a同向的單位向量，則a0=b.

其中正確的是.(填序號(hào))

解析：對(duì)(1),不一定有|a|>|b|；對(duì)(2),a與b方向不一定相同或相反；對(duì)(3),非零向量

的模必大于0,即|a|>0;對(duì)(4),向量的模非負(fù)；對(duì)(5),刖與b方向不一定相同.綜上可知(3)

正確.

答案：(3)

8.己知|商|=1,|京|=2,若/4BC=90。，則|云|=.

解析：由勾股定理可知，BC=、AC2-AB2=小,所以|面1=小.

答案：y[3

9.如圖是4X3的矩形(每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都是1),在起點(diǎn)和終?

點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，與向量常平行且模為限的向量LJzj__

共有幾個(gè)？與向量7萬方向相同且模為3啦的向量共有幾個(gè)？

解：(1)依題意，每個(gè)小方格的兩條對(duì)角線中，有一條對(duì)角線對(duì)

應(yīng)的向量及其相反向量都和AB平行且模為也.

因?yàn)楣灿?2個(gè)小方格，所以滿足條件的向量共有24個(gè).

(2)易知與向量H方向相同且模為35的向量共有2個(gè).

10.已知四邊形A8CD中，滴=戲且|商|=|7?|,tanO=W，判斷四邊形ABCD

的形狀.

解：?在四邊形A8CO中，"X?=~DC,

二四邊形A8CZ)是平行四邊形.

VtanD=V3,：.B=D=60°.

5^|AB|=|ACI,.,.△ABC是等邊三角形.

：.AB=BC,，四邊形A8CQ是菱形.

B級(jí)——面向全國(guó)卷高考高分練

1.已知在平面內(nèi)點(diǎn)。固定，且|萬4"|=2,則A點(diǎn)構(gòu)成的圖形是（）

A.一個(gè)點(diǎn)B.一條直線

C.一個(gè)圓D.不能確定

解析：選C由于|畫|=2,所以4點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以。為圓心，半徑為2的圓.故選C.

2.已知。為平行四邊形ABPC兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則1^的值為（）

\AD\

A.；

C.1D.2

解析：選C因?yàn)樗倪呅蜛8PC是平行四邊形，。為對(duì)角線8c與AP的交點(diǎn)，所以。

為PA的中點(diǎn)，所以］?的值為1.故選C.

\AD\

3.侈選］如圖，在菱形488中，ZDAB=\20°,則以下說法正確的是（

A.與滴相等的向量只有一個(gè)（不含1萬）

B.與二F的模相等的向量有9個(gè)（不含7?。?/p>

C.BD的模恰好為DA的模的小倍

D.CB與DA不共線

>>L15

解析：選ABC與AB相等的向量只有。C,A正確；由已知條件/V一

可得|商|=|尚|=|正|=|7不|=|雇|=|/|=|錠|=|7‘萬|=|萬4>|/i

D從'E

=\AD\9B正確；如圖，過點(diǎn)3作DA的垂線交。A的延長(zhǎng)線于E,因?yàn)?/p>

ND4B=120。，四邊形A5CQ為菱形，所以N3QE=NABE=30。，在RtZXBE。中，|吊H|=

3——>

IDEI----->1----->1----->----->?-------->

墨漆，在RtZkA破中，|AE|=］|AB|=g|AQ|,所以||=飛一=小|04C正確；

2

CB與D4方向相同，大小相等，故CB=DAfCB與DA共線，D錯(cuò)誤.故選A、B、

C.

4.給出下列命題：①若間=0,則a=0；②若|a|=|b|,則a=b；③若a〃b,則同=|b|.

其中，正確的命題有()

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

解析：選A①忽略了0與0的區(qū)別，a=0：②混淆了兩個(gè)向量的模相等和與兩個(gè)向量

相等的概念，|a|=|b|只能說明它們的長(zhǎng)度相等，它們的方向并不確定；③兩個(gè)向量平行，可

以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等.故選A.

5.四邊形ABCD滿足其=錠，且|/則四邊形ABC。是(填四

邊形A8CO的形狀).

解析：'：~AD=~BC,...AOaBC且f7H|=r^|,...四邊形ABC。是平行四邊形.

又小W|=|M|知該平行四邊形對(duì)角線相等，故四邊形ABCD是矩形.

答案：矩形

6.如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，在這6個(gè)向量中：

解析：結(jié)合圖形可知，(1)1C4|=|AE|=皿.

(2)涕與萬P共線，|笳|=26，］汴|=3也，故|而|+|萬P|=5，l

答案：⑴面，~AEV10(2)~DG,~HF5^2

7.如圖，D,E,尸分別是正三角形ABC各邊的中點(diǎn).

(1)寫出圖中所示與向量石F長(zhǎng)度相等的向量；/

(2)寫出圖中所示與向量不方相等的向量；/

BEC

(3)分別寫出圖中所示向量與向量/，？?萬共線的向量.

解：(1)與聲長(zhǎng)度相等的向量是萬萬，7?,~AF,~FC,詬，~DA,F,~EB.

(2)與不力＞相等的向量是苕，~EB.

(3)與碇共線的向量是~AF,~FC;與竊共線的向量是七聲，竊，~CB.

C級(jí)——拓展探索性題目應(yīng)用練

在直角坐標(biāo)系中畫出下列向量，使它們的起點(diǎn)都是原點(diǎn)O,并求終點(diǎn)的坐標(biāo).

(l)|a|=2,a的方向與x軸正方向的夾角為60。，與y軸正方向的夾角為30。；

⑵|a|=4,a的方向與x軸正方向的夾角為30。，與y軸正方向的夾角為120。；

（3）|a|=4、/La的方向與x軸正方向、），軸正方向的夾角都是135。.

解：如圖所示.

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

向量的加法運(yùn)算可類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，以

借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面

位移合成、力的合成兩個(gè)物理模型為背景引

向量加法運(yùn)算，理解其幾何意義.

入來理解.

共同基礎(chǔ)?系統(tǒng)落實(shí)課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

GONQTONGJICHUXITONGLUOSHI

［思考發(fā)現(xiàn)J

1.在△ABC中，「反'"=b,則a+b等于（）

A.~CAB.

C7~ABD.^C"

解析：選D7萬+而=瓦曰故選D.

2.下列等式中不正確的是（）

A.a+0=aB.a+b=b+a

C.|a+b|=|a|+|b|D.^4?="5c+^AB+liD

解析：選C當(dāng)a與b方向不同時(shí)，|a+b|#|a|+|b|.故選C.

3.已知正方形月BCD的邊長(zhǎng)等于1,則|商+寶+為日+"5心等于（）

A.1B.2啦

C.3D.yf2

解析：選B原式=2|又不|=26.故選B.

O>+BC+~CD=.

解析：+~CD=~AC+~CD=~AD.

答案：AD

5.在矩形ABC。中，AB+AD=

解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，AB+AD=AC.

答案：AC

［系統(tǒng)歸納I

1.對(duì)向量加法的三角形法則的兩點(diǎn)說明

(1)適用范圍：任意向量..

(2)注意事項(xiàng)：

①兩個(gè)向量一定首尾相連;

②和向量的始點(diǎn)是第一個(gè)向量的始點(diǎn)，終點(diǎn)是第二個(gè)向量的終點(diǎn);

③當(dāng)多個(gè)向量相加時(shí),可以使用三角形法則.

2.對(duì)向量加法的平行四邊形法則的三點(diǎn)說明

(1)適用范圍：任意兩個(gè)非零向量,且不共線.

(2)注意事項(xiàng)：

①兩個(gè)非零向量一定要有相同的始點(diǎn);

②平行四邊形中的一個(gè)對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量為和向量；

③方法與步驟：

第一步：先把兩個(gè)已知向量a與b的始點(diǎn)平移到同一點(diǎn);

第二步：以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形.

3.向量加法交換律的運(yùn)用

向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任

意的組合去進(jìn)行.

關(guān)鍵能力?重點(diǎn)培優(yōu)課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

GUANJIANNENGLIZHONGDIANPEIYOU

求作向量的和

［例1］(1)如圖①，利用向量加法的三角形法則作出a+b；

(2)如圖②，利用向量加法的平行四邊形法則作出a+b.

［解］(1)如圖a所示，設(shè)"5l=a,與b有公共點(diǎn)A,故過A點(diǎn)作78?=b,連接

即為a+b.

(2)如圖b,設(shè)OA=a,過。點(diǎn)作OB=b,則以O(shè)A,0B為鄰邊作口0AC8,連接0C,

則/>=~0A+1)B=a+b.

應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則應(yīng)注意的問題

(1)三角形法則可以推廣到〃個(gè)向量求和，作圖時(shí)要求“首尾相連”，即〃個(gè)首尾相連的

向量的和對(duì)應(yīng)的向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第"個(gè)向量的終點(diǎn)的向量.

(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時(shí)要求兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合.

(3)求作三個(gè)或三個(gè)以上的向量的和時(shí)，用三角形法則更簡(jiǎn)單.

［變式訓(xùn)練］

如圖所示，已知向量a,b,c不共線，作向量a+b+c.

解：法一(三角形法則)：如圖(1),在平面內(nèi)作為K=a,1f=b,則

OB=a+b；再作BC=c,則0c=a+b+c.

法二(平行四邊形法則)：如圖(2),在平面內(nèi)作。4=a,OB=b,以。4與08為鄰邊

作平行四邊形0ADB,則萬-a+b；再作/=c,以。。與OC為鄰邊作平行四邊形0DEC,

則0E=a+b+c.

向量加法及運(yùn)算律的應(yīng)用

［例2］化簡(jiǎn)：(1)(AB+DB)+(CD+BC)；

⑵AB+DF+CD+BC+FA.

［解］⑴法一：(AB+DB)+(CD+BC)=(AB+BC)+(CD+DB)=AC+

CB=AB.

法二：(封+~DB)+(CD+CBC+~CD+^DB+O^~AB.

(2)~7B+~DF+~CD+^BC+^FA=C\B+^C)+CCD+~DF+~FA)=~AC+~CA

=0.

向量加法運(yùn)算的幾個(gè)注意點(diǎn)

(1)解決該類題目要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算律，注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字

母排列順序，特別注意勿將0寫成0.

(2)運(yùn)用多邊形法則進(jìn)行向量加法求和時(shí)，在圖中表示“首尾相接”時(shí)，其和向量是從第

一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn).

［變式訓(xùn)練］

1.在平行四邊形A8CC中，78'+飛彳+「3。’等于()

\7ABB.TRT

C^BCD.CD

解析：選D原式=七t+常+下江=茍.故選口.

2.如圖，在正六邊形A8CQE尸中，。是其中心.E

貝ij：①ZB>+WET=；F/\

L②AB+一AF一+8c=；/—

③"51+~OD+WZ=.

解析：①儲(chǔ)+司=飛萬+京=/5\

QTAB+1^F+1BC=7\O+^C=AO+~OD="AD.

③+~OD+~EF=~OC+~OD+~OA=~OC.

答案：①②而③陽

rrrai向量加法的實(shí)際應(yīng)用

(例3］一架執(zhí)行任務(wù)的飛機(jī)從A地按北偏西30。的方向飛行300km后到達(dá)B地，然后

向C地飛行，已知C地在4地東偏北30。的方向處，且A,C兩地相距300km,求飛機(jī)從8

地到C地飛行的方向及B,C間的距離.

［解］如圖所示，13C=~BA+~AC,N8AC=90°,|尚|=|就|

=300km,所以|B5|=3()Mkm.

又因?yàn)镹A8C=45°,且A地在B地的東偏南60°的方向處，可知C

地在B地的東偏南15。的方向處.

故飛機(jī)從B地向C地飛行的方向是東偏南15°,B,C兩地間的距離為30Mkm.

利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟

［變式訓(xùn)練］

1.若a表示“向東走8km"，b表示“向北走8km"，則|a+b|=,a+b的方

向是.

解析：如圖所示，設(shè)AB=a,BC=b,則AC=a+b,且AABCc

為等腰直角三角形，則|京|=8啦km,NB4C=45°./

a+了b

答案：8啦km北偏東45。/

2.某人在靜水中游泳，速度為4小km/h.如要他向垂直于河對(duì)人"三一

岸的方向游向河對(duì)岸，水的流速為4km/h,他實(shí)際沿方向前進(jìn)，速度為

解析：；OB=4小,0A=4,.，.OC=8,NCOA=60。.即他實(shí)際沿與水流方向成60。的

方向前進(jìn)，速度為8km/h.

答案：與水流方向成60。的(答案不唯一)8km/h

夯基提能?落實(shí)素養(yǎng)課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力

HANGJITINENGLUOSHISUYANG

A級(jí)——學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練

1.在四邊形ABCD中，AB+AD=AC,則四邊形ABC。是（）

A.梯形B.矩形

C.正方形D.平行四邊形

解析：選D由平行四邊形法則可得，四邊形A8CQ是以為鄰邊的平行四邊形.故

選D.

2.已知a,b,c是非零向量，則(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b

+a）中，與向量a+b+c相等的向量的個(gè)數(shù)為（）

A.5B.4

C.3D.2

解析：選A向量加法滿足交換律，所以五個(gè)向量均等于a+b+c.故選A.

3.向量1范)+(^5*+~^)+商1=()

A.BCB.AB

C.ACD.AM

解析:選cCAB+~MB)+CBO+~BC)+~OM=(AB+~BO)+CMB+^BC)+1)M=

~A0+MC+1)M=CAO+~OM)+~MC+MC=/.故選c.

4如.圖，正六邊形ABCDEF中，而+■+7濟(jì)=（）

A.oBTBE

C.布D."CF

解析：選B連接BE,取BE中點(diǎn)、0,連接OF,BF」.；=

~AF,則M+另+元=（封+京）+7^=,.故選B.

5.已知向量a〃向且|a|>|b|>0,則向量a+b的方向（）

A,與向量a的方向相同

B.與向量a的方向相反

C.與向量b的方向相同

D.不確定

解析：選A若a和b方向相同，則它們的和的方向應(yīng)該與a（或b）的方向相同；若它們

的方向相反，而a的模大于b的模，則它們的和的方向與a的方向相同.故選A.

6.如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD//BC,則04+BC+

AB—

解析：0A+BC+AB=OA+AB+BC=0C.

答案:oc

7.在菱形ABC。中，ZDAB=60°,|7/T|=1,則|就^+碇尸.

解析：如圖，「B5+EI|=|飛5|,在RtZ\AO8中，A8=l,40AB%----方產(chǎn)

=30°,4c=24O=248-cos30°=小.//鼠/

答案：小J?

8.若|a|=|b|=2,則|a+b|的取值范圍為,當(dāng)|a+b|取得最大值時(shí)，向量a?b的方

向?

解析：由||a|一|b||W|a+b|W|a|+|b|知0W|a+b|W4,當(dāng)|a+b|取得最大值時(shí)，向量a,b的

方向相同.

答案：［0,4］相同

9.如圖所示，求：

久e”C

(l)a+d；(2)c+b；(3)e+c+b；

(4)c+f+b.

解：⑴a+d=d+a=而+/=蘇*;

(2)c+b="C0+OB=~CB:

(3)e+c+b=e+(c+b)=e+,=~~DC+~CB=~DB;

(4)c+f+b=~CO+OB+BA=~CA.

10.如圖，點(diǎn)。，E,F分別為△ABC的三邊AB,BC,CA的中點(diǎn).求

證：A

---->>>>F幺—/--SE

(1)AB+BE=AC+CE；

>>>

(2)EA+FB+DC=0.0

證明：(1)由向量加法的三角形法則，

'：^AB+^BE=~AE,~AC+~CE=^\E,

：.^AB+7BE=~AC+~CE.

(2)由向量加法的平行四邊形法則，

,-,TEA>=~^F+~ED,~TB=~TE+~7D,~DC=^F+~DE,

：.~EA+~FB+-DC=7EF-\-~ED+7FE+7FD+笳+~DE

=CEF+~FE)+CED+n5E)+CFD+15F)

=0+0+0=0.

B級(jí)——面向全國(guó)卷高考高分練

1.如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O,P,Q,E,F,G,H,則。P+0Q=()

A.OHB.0G

C.F0D.E0

解析：選c"5萬+^5]=下o>.故選c.

2.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)4,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足為'+*亍=隹，則下列結(jié)

論中正確的是()

A.P在△ABC的內(nèi)部

B.P在△ABC的邊AB上

C.P在AB邊所在的直線上

D.P在aABC的外部

解析：選D~PA+7PF=~PC,根據(jù)平行四邊形法則，如圖，則點(diǎn)

尸在△ABC外.故選D.

3.若在△A8C中，苗=a,1BC=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=，L則△ABC的形狀是()

A.正三角形B.銳角三角形

C.斜三角形D.等腰直角三角形

解析：選D由于3>=|a|=l,|蔗|=問=1,|京|=|a+b|=啦，所以△ABC為等腰

直角三角形.故選D.

4.已知l|A8|=10,|AC|=7,貝U|8cl的取值范圍是()

A.[3,17]B.(3/7)

C.(3,10)D.[3,10]

解析：選A利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)及苗與京

共線時(shí)的情況求解.即萬|一|虎河|鋌氏|京|+|7萬|,故3《r^|W17.故選A.

5.在菱形ABCD中，/D4B=60。，向量|商|=1,則方尸.

解析：在中，AD=AB=1,ND4B=60。，ZXABC是等邊三角形，則80=1,則

答案：1

6.如圖，已知電線A。與天花板的夾角為60。，電線AO所受拉力

|用|=24N.繩8。與墻壁垂直，所受拉力|F2|=12N,則R與F2的合

力大小為，方向?yàn)?

解析：以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形BOAC,則FI+F2=F,

OA+OB=OC,則NO4C=60°,|OA|=24,

(AC\=\OB\=n,：.ZACO=90°,：.\~dc\=nyf3.

；.Fi與F2的合力大小為12小N,方向?yàn)樨Q直向上.

答案：12小N豎直向上

7.如圖所示，ZAOB=ZBOC=120°,\OA\=\OB\=\OC\,求百

+~OB+~OC.

解：如圖所示，以04,OB為鄰邊作平行四邊形。4OB,由向量加

法的平行四邊形法則知

--->--->--->

OA+OB=OD.

^\OA\=\OB|,NAOB=120。，

知NBOD=60°,萬方|.

又NCOB=120°,S.\OB\=\OC\-

：.OD+OC=0,故OA+OB+OC=0.

c級(jí)——拓展探索性題目應(yīng)用練

如圖，已知向量a,b,c,d.

(1)求作a+b+c+d.

(2)設(shè)|a|=2,e為單位向量，試探索|a+e|的最大值.

解：(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作OA=a,AB=b,BC=c,CD

=d,則OD=a+b+c+d.

(2)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,

作OA—a,AB=e,

則a+e=OA+AB=OB,

因?yàn)閑為單位向量，

所以點(diǎn)B在以A為圓心的單位圓上(如圖所示),

由圖可知當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)與時(shí)，即。，A,田三點(diǎn)共線時(shí),

|a+e|最大，最大值是3.

6.2.2向量的減法運(yùn)算

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

向量的減法運(yùn)算是通過類比實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算

借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面

來引入的，可依物理上力的分解為背景來理

向量減法運(yùn)算，理解其幾何意義.

解把握.

共同基礎(chǔ)?系統(tǒng)落實(shí)課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

GONQTONGJICHUXITONGLUOSHI

［思考發(fā)現(xiàn)］

1.下列等式：

①0—a=-a；②一(—a)=a；③a+(—a)=0；④a—0=a；⑤a—b=a+(—b)；⑥a+(一

a)=0.

正確的個(gè)數(shù)是()

A.3B.4

C.5D.6

解析：選C根據(jù)向量的加減運(yùn)算易知①②③④⑤均正確.⑥錯(cuò)誤.故選C.

2.在△ABC中，若三羨=a,=b,則七＞=()

A.aB.a+b

C.b—aD.a-b

解析：選D~CA=~BA-~BC=a-b.故選D.

3.化簡(jiǎn)一下短+訴所得的結(jié)果是()

A.~MPB.而

C.0D.MN

解析：選CPM—PN+MN=NM+MN=0.故選C.

4.在平行四邊形ABC。中，^C~~CD+~BA=()

A.TS?B^AD

CTXBD.^AC,

解析：選A在平行四邊形ABC。中，鋌=/3,所以EF-W5+石甲=7亍一7萬

+^BA=~BA+~AD-~CD=~BD~~CD=鋌.故選A.

5.在四邊形ABC。中，若AB=DC,JS|AB+AD|=|AB-AD\,則四邊形ABC。

的形狀是()

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

解析：選B如圖，：7萬=衣"

...四