北師版八上數(shù)學(xué)7.5 三角形內(nèi)角和定理（第二課時(shí)）（課件）

第七章平行線的證明5三角形內(nèi)角和定理（第二課時(shí)）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊BS版01課前預(yù)習(xí)

1.

三角形外角.如圖1，三角形內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的

角，稱為三角形的外角.圖1圖2注：如圖2，三角形每一個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂

角，因此三角形共有六個(gè)外角，通常每一個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角.2.

三角形內(nèi)角和定理的推論.（1）推論1：三角形的一個(gè)外角等于和它

的

?

的和；（2）推論2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和

?

的內(nèi)角.3.

由一個(gè)

或

直接推出的定理，叫做這個(gè)

基本事實(shí)或定理的推論.推論可以當(dāng)作定理使用.不相鄰

兩個(gè)

內(nèi)角

它不相鄰

基本事實(shí)

定理

數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊BS版02典例講練

（1）若將一副三角尺按如圖所示的方式疊放，則∠1的度數(shù)

是

?.105°

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意求出∠2，利用三角形的外角的性質(zhì)得

∠1＝60°＋∠2，從而得到結(jié)果.【解析】∵∠2＝90°－45°＝45°，∠1＝60°＋∠2，∴∠1

＝60°＋45°＝105°.故答案為105°.【點(diǎn)撥】利用三角形的外角定理求角的度數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是要找準(zhǔn)

要求的角是哪個(gè)三角形的外角.（2）如圖，直線

AB

，

CD

被直線

BC

所截.若

AB

∥

CD

，∠

B

＝

45°，∠

D

＝35°，則∠1＝

?.【思路導(dǎo)航】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)計(jì)算

即可.80°

【解析】∵

AB

∥

CD

，∠

B

＝45°，∴∠

C

＝∠

B

＝45°.又

∵∠

D

＝35°，∴∠1＝∠

C

＋∠

D

＝45°＋35°＝80°.故答

案為80°.【點(diǎn)撥】在三角形中，求一個(gè)角時(shí)，不僅要用三角形內(nèi)角、外

角的關(guān)系，還常結(jié)合角平分線、補(bǔ)（余）角、對(duì)頂角及平行線

的“三線八角”的關(guān)系來計(jì)算.

1.

如圖，下列判斷不正確的有

（填序號(hào)）.①③

①∠

EFD

是△

BFC

的一個(gè)外角；②∠

DFC

是△

BFC

的一個(gè)外角；③∠

DCF

是△

BFC

的一個(gè)外角；④∠

EFD

＋∠

FBC

＋∠

FCB

＝180°；⑤∠

CDF

＝∠

A

＋∠

ABD

.

2.

如圖，把一副三角板按此方法疊放在一起，則∠α的度數(shù)

是

?.165°

（1）如圖，已知∠

BDC

＝100°，∠

C

＝35°，∠

A

＝28°，

則∠

B

的度數(shù)是

?.【思路導(dǎo)航】延長

BD

或

CD

，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)計(jì)算即可.37°

【解析】如圖，延長

BD

交

AC

于點(diǎn)

E

.

∵∠

BDC

＝∠

C

＋∠

BEC

，∠

BEC

＝∠

A

＋∠

B

，∴∠

BDC

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

.

∵∠

BDC

＝100°，∠

A

＝28°，∠

C

＝35°，∴∠

B

＝100°

－28°－35°＝37°.故答案為37°.【點(diǎn)撥】此題還可以連接

BC

，由三角形內(nèi)角和定理求解.解決

不規(guī)則四邊形中的角度問題時(shí)，一般作輔助線，構(gòu)造三角形，

利用三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)解決問題.（2）如圖，在△

ABC

中，已知∠

BAC

＝90°，

AD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，點(diǎn)

E

在線段

AD

上.求證：∠

BED

＞∠

C

.

【思路導(dǎo)航】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠

BAD

＝∠

C

，再

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠

BED

＞∠

BAD

，等量代換后

即可得證.證明：∵∠

BAC

＝90°，∴∠

BAD

＋∠

DAC

＝90°.∵

AD

⊥

BC

，∴∠

ADC

＝90°.∴∠

C

＋∠

DAC

＝90°.∴∠

BAD

＝∠

C

.

∵∠

BED

是△

ABE

的外角，∴∠

BED

＞∠

BAD

.

∴∠

BED

＞∠

C

.

【點(diǎn)撥】解決有關(guān)角的不等關(guān)系問題常常使用“三角形的一個(gè)

外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角”這一定理.

1.

如圖，∠1，∠2，∠3，∠4恒滿足的關(guān)系式是（

D

）A.

∠1＋∠2＝∠3＋∠4B.

∠1＋∠2＝∠4－∠3C.

∠1＋∠4＝∠2＋∠3D.

∠1＋∠4＝∠2－∠3D2.

如圖，已知

CE

為△

ABC

的外角∠

ACD

的平分線，

CE

交

BA

的延長線于點(diǎn)

E

.

解：（1）∵∠

B

＝35°，∠

E

＝20°，∴∠

ECD

＝∠

B

＋∠

E

＝55°.∵

CE

是△

ABC

的外角∠

ACD

的平分線，∴∠

ACD

＝2∠

ECD

＝110°.∴∠

BAC

＝∠

ACD

－∠

B

＝75°.（1）若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度數(shù)；（2）∵

CE

為△

ABC

的外角∠

ACD

的平分線，∴∠

ACE

＝∠

ECD

.

∵∠

BAC

是△

EAC

的外角，∴∠

BAC

＞∠

ACE

.

∴∠

BAC

＞∠

ECD

.

∵∠

ECD

是△

EBC

的外角，∴∠

ECD

＞∠

B

.

∴∠

BAC

＞∠

B

.

（2）試判斷∠BAC與∠B的大小關(guān)系.

如圖，在△

ABC

中，已知點(diǎn)

E

在

AC

上，且∠

AEB

＝∠

ABC

.

（1）如圖1，作∠

BAC

的平分線

AD

，分別交

CB

，

BE

于

D

，

F

兩點(diǎn).求證：∠

EFD

＝∠

ADC

；圖1（2）如圖2，作△

ABC

的外角∠

BAG

的平分線

AD

，直線

AD

分

別交

CB

，

BE

的延長線于

D

，

F

兩點(diǎn).（1）中的結(jié)論是否仍成

立？為什么？圖2【思路導(dǎo)航】（1）在△

AEF

和△

ABD

中，根據(jù)三角形外角定

理即可證得；（2）在△

AEF

和△

ABD

中，根據(jù)三角形外角定

理，結(jié)合已知條件即可解答.（1）證明：∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

DAC

.

∵∠

EFD

＝∠

DAC

＋∠

AEB

，∠

ADC

＝∠

ABC

＋∠

BAD

，且

∠

AEB

＝∠

ABC

，∴∠

EFD

＝∠

ADC

.

（2）解：（1）中的結(jié)論仍成立.理由如下：∵

AD

平分∠

BAG

，∴∠

BAD

＝∠

GAD

.

∵∠

FAE

＝∠

GAD

，∴∠

FAE

＝∠

BAD

.

∵∠

EFD

＝∠

AEB

－∠

FAE

，∠

ADC

＝∠

ABC

－∠

BAD

，∴∠

EFD

＝∠

ADC

.

【點(diǎn)撥】解答此題的關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用“三角形的一個(gè)外角等

于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”這個(gè)定理.

圖2

（2）探究2：如圖2，已知點(diǎn)

O

是外角∠

DBC

與外角∠

EC