專題08 因式分解壓軸題的四種考法（解析版）-2024年?？級狠S題攻略（8年級上冊人教版）

專題08因式分解壓軸題的四種考法類型一、整體法例．如果因式分解的結果為．【答案】【分析】把當成一個整體，再因式分解即可．【詳解】原式故答案為：．【點睛】題目主要考查利用整體法及公式法進行因式分解，理解題中的整體思想是解題關鍵．【變式訓練1】因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先將和分別看作一個整體，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；（2）原式是關于x、y、z的輪換式，若將原式視為關于x的多項式，則當x=y時，原式=0，故原式含有因子，又因為原式是關于x，y，z的輪換對稱式，故原式還含因子，，又因為原式為x，y，z的五次式，因此可以設，利用待定系數(shù)法即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：當時，原式等于0，故原式含有因子，又因為原式是關于x，y，z的輪換對稱式，故原式還含因子，，又因為原式為x，y，z的五次式，故可設令，，得，令，，得，解得，，所以．【點睛】本題主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系數(shù)法，熟練掌握和運用這些方法因式分解是解題的關鍵．【變式訓練2】．因式分解：(1)；(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解；（2）先用平方差公式進行因式分解，再利用完全平方公式進行因式分解；（3）先把看成一個整體，利用完全平方公式進行因式分解，再利用平方差公式進行分解．【詳解】（1）；（2）；（3）．【點睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握提公因式法和公式法分解因式，整體思想，是解決本題的關鍵．【變式訓練3】．若是完全平方式，則的值為多少？【答案】.【分析】首先把分類整理為，再進一步利用多項式乘法計算展開，把看作整體，在配方成完全平方式，進一步探討即可得出答案．【詳解】∴，即.【點睛】此題考查完全平方式的運用，注意常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．類型二、添、拆項例．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______．【答案】（x﹣4）（x﹣1）（x+2）【詳解】解：x3﹣3x2﹣6x+8======（x﹣4）（x﹣1）（x+2），故答案為：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）．【變式訓練1】把多項式分解因式：x3﹣2x2+1＝_________________．【答案】(x﹣1)(x2﹣x﹣1)【詳解】解：原式＝x3﹣x2﹣x2+1＝x2(x﹣1)﹣(x+1)(x﹣1)＝(x﹣1)(x2﹣x﹣1)故答案為：(x﹣1)(x2﹣x﹣1)【變式訓練2】因式分解：【答案】【詳解】原式．故答案為：【變式訓練3】添項、拆項是因式分解中常用的方法，比如分解多項式可以用如下方法分解因式：①；又比如多項式可以這樣分解：②；仿照以上方法，分解多項式的結果是______．【答案】【詳解】解：，故答案為：類型三、化簡求值例．已知，且，則-的值為（）A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044【答案】A【分析】先將式子整理變形得，進而得出，即，再將展開，最后整理代入即可得出答案．【詳解】因為，所以，整理，得，則，即．因為，所以，即．由，得，所以．故選：A．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，掌握整體代入思想是解題的關鍵．【變式訓練1】．已知，，那么，．【答案】-10【分析】由條件可以變形為，因式分解從而可以求出其值；，可以得出，．所以從而得出結論．【詳解】解：∵，，∴∴，∴，∴∴∵m≠2n，∴∴m＋2n＝?1；∵，∴，∴．∵，∴，∴．∴．故答案是：?1；0．【點睛】本題考查了因式分解在整式計算求值中運用和技巧，將原式進行適當?shù)淖冃?，靈活運用因式分解是解題的關鍵．【變式訓練2】已知，且互不相等，則．【答案】【分析】通過已知條件，找到的關系：，，，即可獲得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，，∵，∴，∴，∴，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值以及因式分解等知識，利用已知條件找到是解題關鍵．【變式訓練3】．若，，那么式子的值為．【答案】【分析】把兩個等式相減化簡后可得，再把中的拆成，再分別與前后兩項重新組合，提公因式后把兩個已知等式代入，即可解決．【詳解】∵，∴即∵∴故答案為：?2020【點睛】本題考查了因式分解的應用，用到了一種變形：拆項，這也是本題的難點所在．類型四、新定義問題例．材料一：若一個兩位數(shù)滿足這個兩位數(shù)等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則稱這個兩位數(shù)為“寧靜數(shù)”．例如：12是“寧靜數(shù)”，，12是“寧靜數(shù)”；34不是“寧靜數(shù)”，，34不是“寧靜數(shù)”．材料二：一個四位自然數(shù)，將其千位數(shù)字與十位數(shù)字組成的兩位數(shù)記作，將其百位數(shù)字與個位數(shù)字組成的兩位數(shù)記作，若和都均為“寧靜數(shù)”，則稱為“致遠數(shù)”，將千位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置，百位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置，得到一個新的四位數(shù)，記．(1)判斷12是否為“寧靜數(shù)”，3469是否是“致遠數(shù)”？并說明理由；(2)若一個四位自然數(shù)是“致遠數(shù)”，且與9的和能被4整除，請求出所有符合條件的“致遠數(shù)”．【答案】(1)12是“寧靜數(shù)”，3469不是“致遠數(shù)”，理由見解析(2)1122，3162，2346，4386【分析】（1）根據(jù)“寧靜數(shù)”和“致遠數(shù)”的定義判斷即可；（2）根據(jù)新定義，求出，由題意可得出，的取值，即可求解．【詳解】（1）解：12是“寧靜數(shù)”，3469不是“致遠數(shù)”，理由如下：，12是“寧靜數(shù)”；在3469中，，，，，，，3469不是“致遠數(shù)”；（2）解：設四位自然數(shù)，且，，，不為0，則，是“致遠數(shù)”，，，，，，“寧靜數(shù)”必為4的倍數(shù)且是兩位數(shù)，“寧靜數(shù)”有12，24，36，48，、可以是1，2，3，4，又與9的和能被4整除，即是偶數(shù)，或3，①當時，或3，對應的致遠數(shù)有：1122，3162，②當時，或4，對應的致遠數(shù)為：2346，4386，綜上所述，符合條件的“致遠數(shù)”有：1122，3162，2346，4386．【點睛】本題考查了新定義，因式分解的應用，解題的關鍵是正確理解新定義．【變式訓練1】．閱讀：證明命題“一個三位數(shù)各位數(shù)字之和可以被3整除，則這個數(shù)就可以被3整除”．設表示一個三位數(shù)，則因為能被3整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除．(1)①一個四位數(shù)，如果能被9整除，證明能被9整除；②若一個五位數(shù)能被9整除，則______；(2)若一個三位數(shù)的各位數(shù)字是任意三個連續(xù)的正整數(shù)，則的最小正因數(shù)一定是______（數(shù)字“1”除外）；(3)由數(shù)字1至9組成的一個九位數(shù)，這個數(shù)的第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)能被2整除，前三位組成的三位數(shù)能被3整除，以此類推，一直到整個九位數(shù)能被9整除，寫出這個九位數(shù)是______．【答案】(1)①見解析；②1(2)3(3)381654729【分析】（1）①首先把四位數(shù)改寫成，由能被9整除，能被9整除，即可得出結論；②首先把五位數(shù)改寫成，然后根據(jù)這個五位數(shù)能被9整除得能被9整除，即可求得答案；（2）假設，則三位數(shù)，據(jù)此可得出答案；（3）由能被1整除，可得為質(zhì)數(shù)，由四位數(shù)能被4整除，可得兩位數(shù)能被4整除，則，由九位數(shù)中已有7，9，可得，由五位數(shù)能被5整除，可得末尾數(shù)字，從而得到，由八位數(shù)能被8整除，可得三位數(shù)能被8整除，從而得到，從而得到對應，由為質(zhì)數(shù)可得，由能被2整除可得，從而得到，即可得到答案．【詳解】（1）①證明：∵是一個四位數(shù)，能被9整除，能被9整除，四位數(shù)能被9整除；②解：是一個五位數(shù)，，五位數(shù)能被9整除，能被9整除，，故答案為：1；（2）解：三位數(shù)的各位數(shù)字是任意三個連續(xù)的正整數(shù)，不妨假設，，三位數(shù)的最小正因數(shù)一定是3，故答案為：3；（3）解：均為0至9之間的整數(shù)由能被1整除，可得為質(zhì)數(shù)，由四位數(shù)能被4整除，可得兩位數(shù)能被4整除，則，由九位數(shù)中已有7，9，可得，由五位數(shù)能被5整除，可得末尾數(shù)字，從而得到，由八位數(shù)能被8整除，可得三位數(shù)能被8整除，從而得到，這時的九位數(shù)為：，對應，為質(zhì)數(shù)，，兩位數(shù)能被2整除，且，，，這個九位數(shù)時：381654729，故答案為：381654729．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，數(shù)的整除特征，熟練掌握因式分解的方法，理解整除數(shù)的特征是解答此題的關鍵．【變式訓練3】．在平面直角坐標系中，我們稱橫縱坐標都是整數(shù)的點為整點，若坐標系內(nèi)兩個整點、滿足關于的多項式能夠因式分解為，則稱點是的分解點．例如、滿足，所以是的分解點．(1)在點、、中，請找出不存在分解點的點：______．(2)點、在縱軸上在的上方，點在橫軸上，且點、、都存在分解點，若面積為，請直接寫出滿足條件的的個數(shù)及每個三角形的頂點坐標．【答案】(1)(2)的個數(shù)為，，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，【分析】（1）根據(jù)題意分別求解，，的分解點即可；（2）首先表示出，的縱坐標，和的長度，由面積為推出，根據(jù)在的上方，得到，，同法可求其余的點．【詳解】（1）解：對于，，故是的分解點；對于，，故是的分解點；無法分解，點不存在分解點，故答案為：；（2），在縱軸上，、的橫坐標為，，都存在分解點，兩點坐標滿足關于的多項式能夠因式分解為，，的縱坐標只能負數(shù)，而且能分解（可用平方差公式分解），的面積為，且點在橫軸上，，，的長度可能為，，，，，，的長度可能為，，，，，，當?shù)拈L度為，時，的長度為或，此時不存在有分解點的，，，的縱坐標只能是，，，，的長度可能為，，，，當時，，在的上方，，，同法當時，可得，，當時，可得，；當時，可得，；當時，可得，；當時，可得，；當時，可得，；當時，可得，，綜上所述，的個數(shù)為．【點睛】本題考查了新定義，坐標與圖形，因式分解，三角形面積的求解，理解題意，分情況討論是解答本題的關鍵．課后訓練1．因式分解：．【答案】【分析】根據(jù)多項式特點，進行分組，兩次運用公式法分解因式即可.【詳解】解：故答案為：【點睛】本題無法直接提公因式或運用乘法公式進行分解因式，結合式子特點，對多項式分組，兩次運用公式法進行分解，要注意符號問題，正確分組是解題關鍵.2．如果為完全平方數(shù)，則正整數(shù)n為．【答案】2或14或11【分析】分情況討論，分別設為首項的平方，末項的平方，中間項，則可得出n的值即可．【詳解】設為首項的平方，則末項為，中間項為乘積兩倍為=2×，∴首項為2，首項平方為，∴n=2；設為末項的平方，則首項為，乘積兩倍為=2××，∴末項為，末項平方為，∴n=14；設為中間項，則=2××=，∴n=11，綜上所述，正整數(shù)n的值為2或14或11，故答案為：2或14或11．【點睛】本題考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解題的關鍵．3．分解因式：．【答案】【分析】先分組，然后再運用提取公因式法和公式法進行因式分解即可．【詳解】解：====．故答案為．【點睛】本題考查了運用分組法、提取公因式法、公式法因式分解，對原式正確的分組是正確解答本題的關鍵．4．分解因式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；（2）先利用、湊出完全平方公式，然后利用平方差公式對其進行因式分解即可；（3）首先去括號，再移項湊出完全平方公式，然后利用提公因式法分解因式即可；（4）首先通過移項湊出完全平方公式，然后提公因式，得出，再把分解為，得出，然后把看作整體，利用完全平方公式變形，得出，然后再利用平方差公式因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了因式分解，解本題的關鍵在熟練掌握因式分解的方法．5．已知三次四項式分解因式后有一個因式是，試求的值及另一個因式．【答案】，【分析】根據(jù)題意，當時，代數(shù)式的值為0，進而求得的值，然后因式分解即可求解．【詳解】解：依題意，三次四項式分解因式后有一個因式是，∴時，原式∴，∵∴另一個因式為【點睛】本題考查了因式分解的意義，解題時要根據(jù)分組分解法、提公因式法、公式法分解因式，難點是采用兩兩分組還是三一分組，要考慮分組后還能進行下一步分解，注意分解因式要徹底，直到不能再分解為止．6．對任意一個三位數(shù)m，如果其個位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之和等于十位上的數(shù)字，則稱m為“開心數(shù)”．現(xiàn)將m的個位作為十位，十位作為百位，百位作為個位，得到一個新數(shù)，并規(guī)定．例如：143是一個“開心數(shù)”，將其個位作為十位，十位作為百位，百位作為個位，得到一個新數(shù)，所以．(1)，；(2)若是8的倍數(shù)，則稱這樣的m為“幸運開心數(shù)”，求出所有的“幸運開心數(shù)”．【答案】(1)21，18(2)143或286或341或