簡單的三角恒等變換課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.5.2簡單的三角恒等變換第五章三角函數(shù)人教A版

數(shù)學(xué)

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能運用和差角的正弦、余弦公式及二倍角公式等進行簡單的恒等變換.(邏輯推理)2.能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值和證明.(數(shù)學(xué)運算)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點一:半角公式

角度是一半的關(guān)系

名師點睛(1)若沒有給出決定符號的條件,則在根號前保留正負兩個符號;(2)若給出了角α的具體范圍,則先求

所在范圍,再根據(jù)

所在范圍確定符號;微思考α是某一象限的角,則

具體落在第幾象限的規(guī)律,能否證明?知識點二:輔助角公式輔助角公式,φ所在的象限由a,b的符號決定.名師點睛

微思考輔助角公式也稱“合一公式”,能否給出證明?重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1對于三角恒等變換,除了掌握基本的變換公式外,更重要的是能夠在此過程中學(xué)會對變換對象、變換目標(biāo)進行對比分析,選擇合適公式解決問題,并提高對換元、逆向思維等思想方法的認識.探究點一半角公式的應(yīng)用問題2倍角與半角是一個相對的關(guān)系,若A是B的倍角,則B是A的半角.根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式,可否推出三角函數(shù)的半角公式?問題3從結(jié)構(gòu)上分析倍角公式,可以選擇哪個來嘗試推導(dǎo)半角公式?問題4公式的應(yīng)用之一就是求值,半角公式也是如此.三角函數(shù)公式求值經(jīng)常會遇到正負號取舍的問題,需要形成怎樣的運算規(guī)范?規(guī)律方法

已知θ的某個三角函數(shù)值,求

的三角函數(shù)值的步驟是:(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得θ的其他三角函數(shù)值;(2)代入半角公式計算.探究點二積化和差、和差化積公式的應(yīng)用問題5由式子sin

αcos

β,可以聯(lián)系什么公式?可否求出sin

αcos

β的值?問題6從運算角度來分析,以上求解實際是把三角函數(shù)的積用三角函數(shù)的和來表示.這種過程,我們又稱作積化和差.問題7對于積化和差的過程,逆向思考,可否據(jù)此構(gòu)建和差化積?問題8對于式子的化簡或證明,一般可以采取什么策略?延伸探究在例2中,若不利用積化和差公式,如何求解?規(guī)律方法

1.當(dāng)條件或結(jié)論式比較復(fù)雜時,往往先將它們化為最簡形式,再求解.2.當(dāng)要證明的不等式一邊復(fù)雜,另一邊非常簡單時,往往從復(fù)雜的一邊入手證明,類似于化簡.探究點三輔助角公式的應(yīng)用問題9和差化積,是兩個同名函數(shù)的和差化成積的形式.若是兩個不同名函數(shù)的和與差,該如何化簡?問題10思考三個式子的化簡:

的化簡,可否對asin

α+bcos

α進行化簡?【例3】

將下列各式化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式:(1)y=3sinx-cosx;(2)y=cos2x(sin2x+cos2x);延伸探究

規(guī)律方法

將三角函數(shù)y=f(x)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+m的步驟(1)將sin

xcos

x運用二倍角公式化為

sin

2x,對sin2x,cos2x運用降冪公式,對sin(x±α),cos(x±α)運用兩角和與差的公式展開.(2)將(1)中得到的式子利用asin

α+bcos

α=·sin(α+φ)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+m的形式.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)123456789101112A級必備知識基礎(chǔ)練B123456789101112C123456789101112A.4 B.2 C.tan20° D.sin20°A123456789101112D1234567891011125.已知f(x)=sinx+cosx,且銳角θ滿足f(θ)=2,則θ=

.

1234567891011126.已知sinx+3cosx=2sin(x+φ),φ∈(0,π),則sin2φ=

.

1234567891011127123456789101112123456789101112B級關(guān)鍵能力提升練9.[2024新高考Ⅰ,4]已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,則cos(α-β)=(

)A解析∵tan

αtan

β=2,∴sin

αsin

β=2cos

αcos

β.∵cos(α+β)=m,即cos

αcos

β-sin

αsin

β=cos

αcos

β-2cos

αcos

β=m,∴cos

αcos

β=-m,sin

αsin

β=-2m.∴cos(α-β)=cos

αcos

β+sin

αsin

β=-m-2m=-3m.12345678910111210.(多選題)有以下四個關(guān)于三角函數(shù)的命題,其中是真命題的是(

)BC12345678910111212345678910111211.(多選題)如果若干