2020年第一章事件與概率案例版概率與統(tǒng)計學習導引

實用文檔用心整理1-千里之行始于足下第一章事件與概率案例案例1某人有5把鑰匙，其中有2把房門鑰匙，但忘記了開門的是哪二把，只好逐把試開，問此人在三次內(nèi)能打開房門的概率是多少？分析第一次開時可以從5把中任取一把，有種取法，第二次在剩下的4把中任取一把，有種取法，第三次又在剩下的3把中任取一把有種取法，共有種取法，即Ω含有6個基本事件。解答設(shè)A={三次內(nèi)打開房門}，則三次都打不開房門共有種開法，所以A包含個基本事件。于是。案例2袋中有a+b張彩票，其中a張有獎b張無獎，現(xiàn)在把彩票隨機地一張張摸出來，求第k次摸出的彩票中獎的概率(1≤k≤a+b).分析如果把a+b張彩票看成是各不相同的，可采用無重復的排列方法求解，則有解法1；如果構(gòu)造的樣本空間只考慮前k次摸彩票或第k次摸彩票，則可得解法2與解法3。解答1設(shè)A={第k次摸出的彩票中獎}.把a+b張彩票隨機地一個個摸出來進行全排列，樣本空間Ω含有(a+b)!個基本事件。A包含的基本事件數(shù)可以這樣考慮從a張有獎彩票中任取一張排在第k個位置，有a種取法，其余a+b-1位置上相當于a+b-1張彩票進行全排列，有(a+b-1)!種排法。于是解答2把a張有獎的和b張無獎的彩票看作是各不相同的，樣本空間只考慮前k次摸摸彩票，基本事件總數(shù)為，其中第k個位置上排有獎彩票的種數(shù)為從a張有獎彩票中任取一個排在第k個位置上，再從余下的a+b-1張任取k-1張排在前面k-1個位置上，共有種排法。于是解答3樣本空間只考慮第k次摸彩票?；臼录倲?shù)是從a+b張彩票中任取一張排在第k個位置上，有a+b種排法。而第k個位置排有獎彩票的種數(shù)是從a張有獎彩票中任取一張排在第k個位置上，有a種排法。于是評注（1）顯然所求事件的概率與k無關(guān)，即每一次摸到有獎彩票的概率相同。這是抽簽問題的模型，即抽簽時各人機會均等，與先后順序無關(guān)；（2）本例的三種解法，來自對樣本空間的不同構(gòu)造。在計算n，k時必須在已經(jīng)確定的樣本空間中進行，否則就會導致錯誤的結(jié)果；（3）本例也可作為條件概率問題，用全概率公式求解，讀者不妨一試。案例3甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設(shè)擊中的概率分別為.4，.5，.7。如果只有一人擊中，飛機被擊落的概率為.2；如果有兩人擊中，飛機被擊落的概率為.6；如果三人都擊中，飛機一定被擊落，求飛機被擊落的概率。分析要考慮飛機被擊落，必須先考慮有幾個人擊中飛機，然后利用全概公式計算其概率。解答設(shè)Ai分別表示甲、乙、丙擊中飛機，(i=1,2,3)，則由已知P(A1)=.4，P(A2)=.5，P(A3)=.若Bi={有i個人擊中飛機}，(i=,1,2,3)，A={飛機被擊落}，則由已知且注意到A1，A2，A3相互獨立，有=（1－.4）(1－.5)(1－.7)=.9,=.4×.5×.3+.6×.5×.3+.6×.5×.7=.3P(B2)=.41,P(B3)=.14,于是，由全概率公式得=.9×+.36×.2+.41×.6+.14×1=.45案例4已知產(chǎn)品中96%是合格品，現(xiàn)用一種簡化的質(zhì)量檢查方法，它把真正的合格品判為合格品的概率為98%，而把廢品誤判為合格品的概率為5%.求被判為合格品的一個產(chǎn)品確實是合格品的概率。分析本例為已知試驗的結(jié)果，即一個產(chǎn)品被判為合格品，尋找導致該結(jié)果的某種原因發(fā)生的可能性，即計算這個合格品來自合格品的可能性.可用逆概公式求解。解答設(shè)A={一產(chǎn)品確為合格品}，B={檢驗后被判為合格品}，則={一產(chǎn)品為廢品}.由題設(shè)可知于是，由逆概公式得評注（1）該案例屬于全概和逆概問題，一般這類問題所涉及的試驗可分成兩步第一步的試驗結(jié)果可構(gòu)成樣本空間的一個劃分，（或者說可構(gòu)成一個完備事件組），在這些結(jié)果的基礎(chǔ)上再進行第二步實驗。（2）如果要求的是與第二步試驗結(jié)果有關(guān)的某事件的概率，則利用全概公式。如果已知與第二步試驗結(jié)果有關(guān)的某事件已經(jīng)發(fā)生，要求該事件發(fā)生的某種原因的概率，則利用逆概公式。案例5若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為.4%，混合1個人的血清，求混合血清中含有肝炎病毒的概率。分析每個人血清中含有肝炎病毒的事件是相互獨立的，且混合血清中含有病毒當且僅當1個人中至少一個人血清中含有病毒。解答設(shè)Ai={第i個人的血清中含有肝炎病毒}，(i=1,2,3,…,1)，則所求概率的事件可表示為于是評注(1)這類問題,要根據(jù)實際意義由試驗的獨立性判斷事件的獨立性；(2)利用事