2021-2022學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)八校聯(lián)考八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)八校聯(lián)考八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列四個(gè)圖案中，不是軸對(duì)稱圖案的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列說法中正確的是（）A．兩個(gè)面積相等的圖形，一定是全等圖形 B．兩個(gè)等邊三角形是全等圖形 C．兩個(gè)全等圖形的面積一定相等 D．若兩個(gè)圖形周長(zhǎng)相等，則它們一定是全等圖形3．（3分）下列幾組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（）A．3，4，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，13 D．9，12，154．（3分）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠1等于（）A．72° B．60° C．50° D．58°5．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，如果CD＝6，那么AB的長(zhǎng)是（）A．3 B．6 C．12 D．246．（3分）如圖，已知△ABC中，∠B＝50°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線MN分別交AB，BC于點(diǎn)M、N．若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，則∠APC的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．120°7．（3分）如圖的方格紙中每一個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，A、B兩點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)（頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，這樣的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）A．8個(gè) B．9個(gè) C．10個(gè) D．11個(gè)8．（3分）已知△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AE＝CF．連接DE、DF、EF得到下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面積的最大值是8；③EF的最小值是4．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）9．（3分）如圖，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加的條件是．（只需寫出一個(gè)條件即可）10．（3分）如圖，∠MON內(nèi)有一點(diǎn)P，P點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱點(diǎn)是G，P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱點(diǎn)是H，GH分別交OM、ON于A、B點(diǎn)，若∠MON＝38°，則∠GOH＝．11．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若AB＝5，DC＝2，則△ABD的面積為．12．（3分）一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和12，則第三邊的長(zhǎng)是．13．（3分）如圖，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC交AC于點(diǎn)F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝135°，則∠EDF＝．14．（3分）如圖，在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．若AB＝5，AC＝4，則△ADE的周長(zhǎng)是．15．（3分）在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為8、15、17，那么△ABC的面積為．16．（3分）如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝BC，E是AC的中點(diǎn)．若AD＝12，DE＝10，則CD的長(zhǎng)等于．17．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，AD＝24，BC＝14，點(diǎn)E、F分別是AD、AB上的任意一點(diǎn)，連接BE、EF，則BE+EF的最小值為．18．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形，∠ADC＝30°，AD＝8，BD＝10，則CD的長(zhǎng)為．三、解答題（共96分，解答應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明）19．（8分）如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1．（1）畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形△A1B1C1；（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使PB+PC值最??；（要求在直線l上標(biāo)出點(diǎn)P的位置）（3）在直線l上找一點(diǎn)Q，使QB＝QC（要求在直線l上標(biāo)出點(diǎn)Q的位置）20．（8分）如圖在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，有下面四個(gè)論斷：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）∠B＝∠D；（4）AD∥BC．請(qǐng)用其中三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，編一道數(shù)學(xué)問題，并寫出解答過程．21．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)，∠B＝30°，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度數(shù)；（2）求證：DC＝AB．22．（8分）如圖，在三角形ABC中，AB＝5，BC＝6，AD為BC邊上的中線，且AD＝4，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：AD⊥BC；（2）求DE的長(zhǎng)．23．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，連接DE交AC于點(diǎn)F．（1）若∠B＝80°，求∠C的度數(shù)；（2）若AE＝AC，DA平分∠BDE是否成立？請(qǐng)說明理由．24．（10分）如圖，△ABC，點(diǎn)E是邊AB上的中點(diǎn)，AD是邊BC上的高，DC＝BE，DG⊥CE，G是垂足，求證：（1）G是CE的中點(diǎn)；（2）∠B＝2∠BCE．25．（10分）如圖，△ABC的外角平分線AD與邊BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分別為F、G．（1）求證：BG＝CF；（2）若AB＝18，AC＝6，求AF的長(zhǎng)度．26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，以AC為腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC＝90°，連接BE，交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G．（1）若∠BAC＝50°，求∠AEB的度數(shù)；（2）求證：∠AEB＝∠ACF；（3）求證：EF2+BF2＝2AC2．27．（12分）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD與BE相交于F．（1）線段AF與BC的數(shù)量關(guān)系是：AFBC（用＞，＜，＝填空）；（2）若∠ABC＝67.5°，試猜想線段AF與BD有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，已知∠BAC＝45°，∠C＝22.5°，AD＝2，求△ABC的面積．28．（12分）如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，（1）試說明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），①若△DMN的邊與BC平行，求t的值；②若點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，問在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

2021-2022學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)八校聯(lián)考八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）下列四個(gè)圖案中，不是軸對(duì)稱圖案的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，不合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，不合題意．故選：C．2．（3分）下列說法中正確的是（）A．兩個(gè)面積相等的圖形，一定是全等圖形 B．兩個(gè)等邊三角形是全等圖形 C．兩個(gè)全等圖形的面積一定相等 D．若兩個(gè)圖形周長(zhǎng)相等，則它們一定是全等圖形【解答】解：全等的兩個(gè)圖形的面積、周長(zhǎng)均相等，但是周長(zhǎng)、面積相等的兩個(gè)圖形不一定全等．故選：C．3．（3分）下列幾組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（）A．3，4，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，13 D．9，12，15【解答】解：A、42+32≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)；B、1.52+22＝2.52，能構(gòu)成直角三角形，不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)；C、62+82≠132，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)；D、92+122＝152，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)．故選：D．4．（3分）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠1等于（）A．72° B．60° C．50° D．58°【解答】解：如圖，由三角形內(nèi)角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．∵圖中的兩個(gè)三角形全等，∴∠1＝∠2＝58°．故選：D．5．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，如果CD＝6，那么AB的長(zhǎng)是（）A．3 B．6 C．12 D．24【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，CD＝6，∴AB＝2CD＝2×6＝12，故選：C．6．（3分）如圖，已知△ABC中，∠B＝50°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線MN分別交AB，BC于點(diǎn)M、N．若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，則∠APC的度數(shù)為（）A．100° B．105° C．115° D．120°【解答】解：∵∠ABC＝50°，∴∠BAC+∠ACB＝130°，∵M(jìn)在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，∴AM＝PM，PN＝CN，∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，∵∠APC＝180°﹣∠APM﹣∠CPN＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP，∴∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP＝×130°＝65°，∴∠APC＝115°，故選：C．7．（3分）如圖的方格紙中每一個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，A、B兩點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)（頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，這樣的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）A．8個(gè) B．9個(gè) C．10個(gè) D．11個(gè)【解答】解：圖中的黑點(diǎn)為C點(diǎn)所在位置，這樣的C點(diǎn)共有9個(gè)．故選：B．8．（3分）已知△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AE＝CF．連接DE、DF、EF得到下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面積的最大值是8；③EF的最小值是4．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【解答】解：①∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，D是AB邊的中點(diǎn)，∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；∴ED＝DF，∠CDF＝∠EDA；∵∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠EDC+∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故①正確；③由于△DEF是等腰直角三角形，因此當(dāng)DF最小時(shí)，EF也最?。患串?dāng)DF⊥BC時(shí)，DF最小，此時(shí)DF＝BC＝4．∴EF＝DF＝4．故③錯(cuò)誤；②∵△ADE≌△CDF，∴S△CDF＝S△ADE，∴S四邊形CEDF＝S△ADC＝S△ABC，當(dāng)△CEF面積最大時(shí)，此時(shí)△DEF的面積最小，∵∠C＝90°，AC＝BC＝8，∴S△ABC＝×8×8＝32，∴S四邊形CEDF＝S△ADC＝16，此時(shí)S△CEF＝S四邊形CEDF﹣S△DEF＝S△ADC﹣S△DEF＝16﹣×4×4＝8．故②正確；故正確的有①②，故選：A．二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）9．（3分）如圖，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加的條件是∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．（只需寫出一個(gè)條件即可）【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴當(dāng)添加∠B＝∠E時(shí)，可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△AED；當(dāng)添加∠C＝∠D時(shí)，可根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△AED；當(dāng)添加AB＝AE時(shí)，可根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△AED．故答案為∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．10．（3分）如圖，∠MON內(nèi)有一點(diǎn)P，P點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱點(diǎn)是G，P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱點(diǎn)是H，GH分別交OM、ON于A、B點(diǎn)，若∠MON＝38°，則∠GOH＝76°．【解答】解：如圖，連接OP，∵P點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱點(diǎn)是G，P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱點(diǎn)是H，∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，∵∠MON＝38°，∴∠GOH＝2×38°＝76°．故答案為：76°．11．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若AB＝5，DC＝2，則△ABD的面積為5．【解答】解：作DH⊥AB于H，如圖，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝2，∴△ABD的面積＝×5×2＝5．故答案為5．12．（3分）一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和12，則第三邊的長(zhǎng)是13或．【解答】解：設(shè)第三邊為x，（1）若12是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理得：52+122＝x2，∴x＝13；（2）若12是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理得：52+x2＝122，∴x＝；∴第三邊的長(zhǎng)為13或．故答案為：13或．13．（3分）如圖，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC交AC于點(diǎn)F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝135°，則∠EDF＝45°．【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED＝∠CDF＝90°，在Rt△BED和Rt△CDF中，∴Rt△BED≌Rt△CDF（HL），∴∠BDE＝∠CFD，∵∠AFD＝135°，∴∠CFD＝180°﹣∠AFD＝180°﹣135°＝45°，∴∠BDE＝45°，∴∠EDF＝180°﹣∠BDE﹣∠CDF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，故答案為：45°．14．（3分）如圖，在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．若AB＝5，AC＝4，則△ADE的周長(zhǎng)是9．【解答】解：∵在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點(diǎn)O，∴∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，∴∠DBO＝∠DOB，∠ECO＝∠EOC，∴OD＝BD，OE＝CE，∵AB＝5，AC＝4，∴△ADE的周長(zhǎng)為：AD+DE+AE＝AD+DO+EO+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．故答案為：9．15．（3分）在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為8、15、17，那么△ABC的面積為60．【解答】解：∵82+152＝172，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積是：×8×15＝60，故答案為：60．16．（3分）如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝BC，E是AC的中點(diǎn)．若AD＝12，DE＝10，則CD的長(zhǎng)等于16．【解答】解：∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝12，即D為AB的中點(diǎn)，∵E是AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC，∴BC＝2DE＝20，在Rt△BCD中，CD＝＝＝16．故答案為：16．17．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，AD＝24，BC＝14，點(diǎn)E、F分別是AD、AB上的任意一點(diǎn)，連接BE、EF，則BE+EF的最小值為．【解答】解：作F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接BM交AD于E，連接EF，過B作BN⊥AC于N，∵AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于D，∴BD＝DC＝7，AD平分∠BAC，∴M在AC上，∵AD＝24，∴AB＝25，∴S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BN，∴BN＝＝＝，∵F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M，∴EF＝EM，∴BE+EF＝BE+EM＝BM，根據(jù)垂線段最短得出：BM≥BN，即BE+EF≥，即BF+EF的最小值是，故答案為：．18．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形，∠ADC＝30°，AD＝8，BD＝10，則CD的長(zhǎng)為6．【解答】解：如圖，以CD為邊，在CD的下方作等邊三角形CDH，連接AH，∵△ABC和△CDH都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝CH＝DH，∠ACB＝∠DCH＝∠CDH＝60°，∴∠ACH＝∠BCD，∠ADH＝∠ADC+∠CDH＝90°，在△ACH和△BCD中，，∴△ACH≌△BCD（SAS），∴BD＝AH＝10，∴DH＝＝＝6，∴CD＝DH＝6，故答案為：6．三、解答題（共96分，解答應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明）19．（8分）如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1．（1）畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形△A1B1C1；（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使PB+PC值最??；（要求在直線l上標(biāo)出點(diǎn)P的位置）（3）在直線l上找一點(diǎn)Q，使QB＝QC（要求在直線l上標(biāo)出點(diǎn)Q的位置）【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，點(diǎn)P即為所求；（3）如圖，點(diǎn)Q即為所求．20．（8分）如圖在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，有下面四個(gè)論斷：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）∠B＝∠D；（4）AD∥BC．請(qǐng)用其中三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，編一道數(shù)學(xué)問題，并寫出解答過程．【解答】答案不唯一，如：解：已知：如圖，在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求證：∠B＝∠D．證明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即：AF＝CE．∵在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB∴∠B＝∠D．21．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)，∠B＝30°，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度數(shù)；（2）求證：DC＝AB．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；（2）證明：∵∠DAB＝45°，∠DAC＝75°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°+45°＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∵AB＝AC，∴DC＝AB．22．（8分）如圖，在三角形ABC中，AB＝5，BC＝6，AD為BC邊上的中線，且AD＝4，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：AD⊥BC；（2）求DE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵BC＝6，AD為BC邊上的中線，∴BD＝DC＝BC＝3，∵AD＝4，AB＝5，∴BD2+AD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC；（2）解：∵AD⊥BC，AD為BC邊上的中線，∴AB＝AC，∵AB＝5，∴AC＝5，∵△ADC的面積S＝＝，∴×，解得：DE＝2.4．23．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，連接DE交AC于點(diǎn)F．（1）若∠B＝80°，求∠C的度數(shù)；（2）若AE＝AC，DA平分∠BDE是否成立？請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵∠B＝80°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝80°，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝20°，∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＝20°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝20°．（2）AD平分∠BDE，理由如下，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴∠B＝∠ADE，∵∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∴AD平分∠BDE．24．（10分）如圖，△ABC，點(diǎn)E是邊AB上的中點(diǎn)，AD是邊BC上的高，DC＝BE，DG⊥CE，G是垂足，求證：（1）G是CE的中點(diǎn)；（2）∠B＝2∠BCE．【解答】證明：（1）連接DE，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵DE是中線，∴DE＝BE＝AE，∵DC＝BE，∴DC＝DE，∵DG⊥CE，∴CG＝EG，即G是CE的中點(diǎn)；（2）由（1）知DE＝CD＝BE，∴∠DCE＝∠DEC，∠B＝∠BDE，∵∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝2∠DCE，∴∠B＝2∠DCE．25．（10分）如圖，△ABC的外角平分線AD與邊BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分別為F、G．（1）求證：BG＝CF；（2）若AB＝18，AC＝6，求AF的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：連接BD、CD，∵△ABC的外角平分線AD與邊BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，DF⊥CA，DG⊥AB，∴BD＝CD，DG＝DF，∠DGB＝∠DFC＝90°，∴Rt△DBG≌Rt△DCF（HL），∴BG＝CF．（2）解：∵AD平分∠BAF，∴∠DAG＝∠DAF，∵DF⊥CA，DG⊥AB，∴∠DGA＝∠DFA＝90°，DG＝DF，∴△DGA≌△DFA（AAS），∴AG＝AF，∵BG＝AB﹣AG，CF＝AF+AC，CF＝BG，∴AB﹣AF＝AF+AC，∵AC＝6，AB＝18，∴18﹣AF＝AF+6，∴AF＝6．26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，以AC為腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC＝90°，連接BE，交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G．（1）若∠BAC＝50°，求∠AEB的度數(shù)；（2）求證：∠AEB＝∠ACF；（3）求證：EF2+BF2＝2AC2．【解答】（1）解：∵△ACE是等腰直角三角形，∠EAC＝90°，∴AC＝AE，∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，又∵∠BAC＝50°，∠EAC＝90°，∴∠BAE＝50°+90°＝140°，∴∠AEB＝（180°﹣140°）÷2＝20°；（2）證明：∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAF＝∠CAF．又∵AF＝AF，∴△BAF≌△CAF（SAS），∴∠ABF＝∠ACF，∵△ACE是等腰直角三角形，∠EAC＝90°，∴AC＝AE，∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠ACF；（3）證明：∵△BAF≌△CAF，∴BF＝CF，∵∠AGF＝∠AEB+∠EAG，∠AGF＝∠ACF+∠CFG，∠AEB＝∠ACF，∴∠CFG＝∠EAG＝90°，∴EF2+BF2＝EF2+CF2＝EC2，∵△ACE是等腰直角三角形，∠EAC＝90°，∴AC＝AE，∴EC2＝AC2+AE2＝2AC2，∴EF2+BF2＝2AC2．27．（12分）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD與BE相交于F．（1）線段AF與BC的數(shù)量關(guān)系是：AF＝BC（用＞，＜，＝填空）；（2）若∠ABC＝67.5°，試猜想線段AF與BD有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，已知∠BAC＝45°，∠C＝22.5°，AD＝2，求△ABC的面積．【解答】解：（1）∵BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BEC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴EA＝EB，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠EAF＝90°，∵∠C+∠EBC＝90°，∴∠EAF＝∠EBC，∴△AEF≌△BEC（ASA）