2025版新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.5三角恒等變換5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

5.5.2簡(jiǎn)潔的三角恒等變換【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)能用二倍角公式推導(dǎo)出半角公式，并進(jìn)行簡(jiǎn)潔的應(yīng)用．(2)能運(yùn)用兩角和與差及二倍角的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)潔的恒等變換．(3)駕馭三角恒等變換在三角函數(shù)中的應(yīng)用．題型1半角公式【問(wèn)題探究1】(1)我們知道在倍角公式中，“倍角是相對(duì)的”，對(duì)余弦的二倍角公式，若用α替換2α，則能得到什么結(jié)論？(2)依據(jù)上述結(jié)果，試用cosα表示sinα2，cosα2，tan例1已知sinθ＝45，且5π2<θ<3π，求sinθ2，cos題后師說(shuō)利用半角公式求值的步驟跟蹤訓(xùn)練1已知π＜θ＜2π，且cosθ＝－45，則tanθA．－3B．3C．－13D．題型2三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、證明例2已知π<α<3π2，化簡(jiǎn)：學(xué)霸筆記：化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題中的“三變”(1)變角：三角變換時(shí)通常先找尋式子中各角之間的關(guān)系，通過(guò)拆、湊等手段消退角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．(2)變名：視察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．(3)變式：視察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?，如升冪、降冪、配方、開(kāi)方等．跟蹤訓(xùn)練2求證：2sinxcos題型3協(xié)助角公式的應(yīng)用【問(wèn)題探究2】(1)請(qǐng)同學(xué)們依據(jù)兩角和與差的正弦公式合并式子：sinx±cosx，sinx±3cosx，cosx±3sinx．(2)一般地，對(duì)于y＝asinx＋bcosx，如何進(jìn)行合并呢？例3已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx＋cos(2x－π6)＋cos(2x＋π6)，x∈(1)求fπ12(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[π2學(xué)霸筆記：解此類問(wèn)題首先利用兩角和與差的正弦公式、二倍角公式、協(xié)助角公式化簡(jiǎn)已知函數(shù)式，轉(zhuǎn)化為正弦(余弦)型函數(shù)，再探討三角函數(shù)的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)＝sinxcosx－32(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)在[0，π2題型4三角恒等變換的實(shí)際應(yīng)用例4(見(jiàn)教材5.5.2例10)如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為π3學(xué)霸筆記：(1)解答此類問(wèn)題，關(guān)鍵是合理引入?yún)f(xié)助角，確定各量之間的關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，再利用三角函數(shù)的有關(guān)學(xué)問(wèn)求解．(2)在求解過(guò)程中，要留意三點(diǎn)：①充分借助平面幾何性質(zhì)，找尋數(shù)量關(guān)系．②留意實(shí)際問(wèn)題中變量的范圍．③重視三角函數(shù)有界性的影響．跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長(zhǎng)方形，應(yīng)怎樣截取才能使△OAB的周長(zhǎng)最大？隨堂練習(xí)1.已知cosα＝－15，πA．－105B．C．－155D．2．函數(shù)f(x)＝sinx2＋cosxA．2π和2B．2π和2C．4π和2D．4π和23．已知α∈(π，3π2)，則A．sinα2B．cosC．－sinα2D．－cos4．若函數(shù)y＝2sinx＋acosx的最大值為3，則a的值為_(kāi)_______．課堂小結(jié)1.半角公式的推導(dǎo)．2．利用半角公式解決三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與三角恒等式的證明．3．協(xié)助角公式的推導(dǎo)．4．利用協(xié)助角公式探討三角函數(shù)的性質(zhì)．5．協(xié)助角公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用．5．5.2簡(jiǎn)潔的三角恒等變換問(wèn)題探究1提示：(1)cosα＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2＝cos2α2－sin(2)∵cos2α2＝1+cosα2，∴cosα同理sinα2＝±1tanα2＝sinα2例1解析：∵sinθ＝45，5∴cosθ＝－1-sin2∵5π4<θ2<3π2，∴sinθ2cosθ2＝－1+cosθ2＝－55跟蹤訓(xùn)練1解析：因?yàn)棣校鸡龋?π，所以π2<θ2<π，所以tanθ2＝－1答案：A例2解析：原式＝sinα2+∵π<α<3π2，∴π2<α∴cosα2<0，sinα∴原式＝sin＝－sin＝－2cosα2跟蹤訓(xùn)練2證明：左邊＝2＝2sinx＝sinx2sin＝2cos2x所以原等式成立．問(wèn)題探究2提示：(1)sinx±cosx＝2sin(x±π4)，sinx±3cosx＝2sin(x±π3)，cosx±3sinx＝2sin(π6(2)第一步：提常數(shù)，提出a2+b2，得到a2+b2×(其次步：定角度，確定一個(gè)角φ滿意cosφ＝aa2+b2，sinφ＝ba2+b2，得到第三步：化簡(jiǎn)、逆用公式得asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋φ)，其中tan例3解析：(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋cos(2x－π6)＋cos(2x＋π＝sin2x＋cos2xcosπ6＋sin2xsinπ6＋cos2xcosπ6－sin2＝sin2x＋3cos2x＝2(12sin2x＋32cos2＝2sin(2x＋π3∴fπ12＝2sin(2×π12+(2)∵π2≤x≤π，∴4π3≤2x所以當(dāng)4π3≤2x＋π3≤3π2時(shí)，即π2≤當(dāng)3π2≤2x＋π3≤7π3時(shí)，即7故f(x)在區(qū)間[π2，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[π2，跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)f(x)＝sinxcosx－32cos2＝12sin2x－32cos2x＝sin(2x－∴f(x)的最小正周期T＝2π(2)當(dāng)0≤x≤π2時(shí)，－π3≤2x－∴－32≤sin(2x－π3)≤1，∴－32≤f即f(x)在[0，π2]上的值域?yàn)閇－3例4解析：在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.在Rt△OAD中，DAOA＝tan60°＝3所以O(shè)A＝33DA＝33BC＝33AB＝OB－OA＝cosα－33sinα設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S＝AB·BC＝(cosα－33sinα)sin＝sinαcosα－33sin2＝12sin2α－36(1－cos2＝12sin2α＋36cos2α＝13(32sin2α＋1＝13sin(2α＋π6)－由0<α<π3，得π6<2α＋π6所以當(dāng)2α＋π6＝π2，即α＝S最大＝13-3因此，當(dāng)α＝π6時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為3跟蹤訓(xùn)練4解析：設(shè)∠AOB＝α，△OAB的周長(zhǎng)為l，則AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l(xiāng)＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝2Rsin(α＋π4)＋R∵0<α<π2，∴π4<α＋π4∴l(xiāng)的最大值為2R＋R＝(2＋1)R，此時(shí)，α＋π4＝π2，即α＝故當(dāng)α＝π4時(shí)，△OAB[隨堂練習(xí)]1．解析：∵π2＜α＜π，∴π4＜α2＜π2，∵cosα＝－15，∴sinα答案：D2．解析：∵f(x)＝sinx2＋cosx2＝2sin(x2