高中數(shù)學課時作業(yè)(二十五) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

課時作業(yè)（二十五）三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

IA級?基礎達標|............................>?

JT

1.下列函數(shù)中，最小正周期為芻的是（）

A.y=cos\2x\B.y=|cosx\

C.y=cos（Zr+看）D.y=tan（2x—

D|A項，y=cos|2x|=cos2x,最小正周期為兀；

B項，由圖象知y=|cosx|的最小正周期為兀；

C項，y=cos（2了+專）的最小正周期T=^-=兀；

D項，y=tan（2九一的最小正周期7=^.]

2.（2020?吉林省實驗中學月考）函數(shù)y=sin（x+9）（0W3W7r）是定義在R上的偶函數(shù)，則

（P的值是（）

71兀

A.0B.C.2D.兀

C[當8=0時，y=sin（x+o）=sinx為奇函數(shù)，不符合題意，因此排除A；當力=亍時，

叮ji

y=sin（x+9）=sin（x+彳）為非奇非偶函數(shù)，因此排除B；當勿=3時，y=sin（x+p）=cos

式為偶函數(shù)，滿足條件；當e=n時，y=sina+°）=—sinx為奇函數(shù)，因此排除D.故選C]

3.y=|cosx|的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）

一兀兀1八1

A.-2B.[0,7i]

C.兀，竽D.[竽,2兀]

D[將y=cosx的圖象位于x軸下方的部分關于x軸對稱向上翻折衣軸上方（或x軸上）

的部分不變，即得y=|cosx|的圖象（如圖）.故選D.]

p。工rnr3n2F%

22~2~

4.（多選）已知函數(shù)?r）=cos（4x+W）+小sin（4x+1）,則下列判斷正確的是（）

A../U）為偶函數(shù)

B.氏v）的圖象關于直線x=￡對稱

C.兀v）的值域為[-1,3]

D.段）的圖象關于點（一10）對稱

ABD［Xx）=cos（4x+"y）+小sin（以+?。?2sin（4x+~+~^）=2cos4x,人工）為

偶函數(shù)，A正確；令4x=&兀,ZWZ,得x=?,kGZ,當k=\時，x=~^,B正確；因

為2cos4X￡［—2,2］,，於）的值域為［—2,2］,C不正確；令4x='+",x=y+1n,

JIJI

當左=-1時，x=-g-,所以函數(shù)圖象關于點（一至,0）對稱，故選ABD.］

5.若函數(shù)於）=sin（Q）X—袁）3>0）在［0,兀］上的值域為一J1，則①的最小值為（）

2343

--C--

A.3B.43D.2

A「??（XW冗,o?0,A一看W3l看W3打一看.又危）的值域為一.1

HH2

選

--/-故A

623

6.函數(shù)y=sin［一的對稱軸為,對稱中心為.

,nJI3冗,n

解析：由x—彳=-2+&冗，kGZ,得太=丁+左兀，kCZ,由x—彳=k穴，ke

Z,得l=彳+攵n，kGZ.

故函數(shù)y=sinQ一總的對稱軸為工=向一十%人，k^Z；對稱中心為仔+攵“，0）,

kGZ.

答案：x=^4+E，kGZ.+E，0J,kGZ

7.函數(shù)產(chǎn)一tan3一引的單調(diào)遞減區(qū)間為.

,兀3n兀1nA弘5冗女兀

解析：由-2+kn<2x-―^-<5+&n（RSZ）,行名+—<X<~S~+可

（3JTAfTIku5nk

（k￡Z）,所以y=-tan（2x一7）的單調(diào)遞減區(qū)間為（反~+可，^+―J

答案：俘+竽,y+y）（*ez）

8.（開放題）能說明“若兀v）/0）對任意的XG（O,2］都成立，則火X堆［0,2］上是增函數(shù)”

為假命題的一個函數(shù)是.

ji~\rJI

解析：設?r）=sinx,則於）在0,—上是增函數(shù)，在彳，2上是減函數(shù).由正弦

函數(shù)圖象的對稱性知，當xW(O,2］時，式x)》(O)=sinO=O,故4x)=sinx滿足條件式x)?0)

對任意的xG(O,2］都成立，但Xx)在［0,2］上不一直都是增函數(shù).

答案：./(x)=sinx(答案不唯一?)

9.已知函數(shù)_/(工)=小cos2;v+sin2x+m.

(1)求7U)的最小正周期；

⑵當xco,時，形)的最小值為5,求機的值.

解析：(1求不)=小cos2x+sin2x+m

=2sin+m,

所以7U)的最小正周期T=n.

(2)由(1)知#x)=2sin(21+于)+ni,

,「Ji-1JT「五4兀一

當0,了時，2x+yey,.

所以當2x+g=手時，兀v)取得最小值一小+/M.

又7U)的最小值為5,所以一小+/?1=5,即m=5+小.

10.已知函數(shù)J(x)=sincos3Mm>0)的最小正周期為冗.

(1)求函數(shù)y=/U)圖象的對稱軸方程；

(2)討論函數(shù)應0在［。，f］上的單調(diào)性.

解析：(l)V/(x)=sincos3冗=也sin(31一,且T=冗，/.co=^~=2.

于是，J(x)=yj2sin(2x—.

冗nA兀3n

令lx—1=kn+y(%ez),得x=~^-+—伏ez),

bJI3JI

即函數(shù)40圖象的對稱軸方程為x=-y+—(Jtez).

⑵令2Z:Jt—yW2x—：W2kJt+'(keZ),得函數(shù),/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

0+引(&CZ).注意到xC0,v,所以令上=0,得函數(shù)兀v)在［。，專上的單

調(diào)遞增區(qū)間為［0,亭］;同理，其單調(diào)遞減區(qū)間為「二，V.

IB級?技能提升|...........................?

11.(多選)已知函數(shù)段)=sinx+cosx,g(x)=2y［2sinx?cosx,則下列結(jié)論中正確的是

)

A.兩函數(shù)的圖象均關于點(一?0)成中心對稱

B.兩函數(shù)的圖象均關于直線x=一:成軸對稱

C.兩函數(shù)在區(qū)間(一會上都單調(diào)遞增

D.兩函數(shù)的最大值相同

CD［/(x)=sinx+cosx—y12sin(x+彳),g(x)=也sin2x,/(一丁)=啦sin

(一?■+總=巾sin0=0.則兀v)關于點(一?，0)成中心對稱.g(一總=用sin

［2x(一弓)=巾sin(一十)=�，則g(x)不關于點(一亍，0)對稱，故A項錯誤；

/JI、JIJIJI

7U)關于(一彳，0J成中心對稱，g(x)關于X=一彳成軸對稱，故B項錯誤；若一彳■了，

貝(04+寧<y,此時函數(shù)./U)為增函數(shù)，若一寧<x<^-,則一+<2x<y,此時函數(shù)g(x)

為增函數(shù)，即兩函數(shù)在區(qū)間(一亍，上都是單調(diào)增函數(shù)，故C項正確；兩函數(shù)的最大值

相同，都為也，D項正確，故選CD項.］

12.(2020?湖北八校第一次聯(lián)考)若函數(shù)人x)=sinx+小cosx在區(qū)間［小句上是減函數(shù)，

且共。)=2,#〃)=—2,則函數(shù)g(x)=cosx—小sinx在區(qū)間［小。］上()

A.是增函數(shù)B.是減函數(shù)

C.可以取得最大值2D.可以取得最小值一2

D［/(x)=sin%+小cosx=2sin(x+~j-),g(x)=cosx-小sinx=2cos(x+§)=2sin

JlJT,，、冗JI

(x+~+y)次>)在區(qū)間［a,h］上是減函數(shù)，且汽〃)=2,/(/?)=—2,不妨令。+7=y,

Jl3JlJlJlJIJT

〃+丁=—,則〃+爹+y=兀，fe+y+y=2五，故g(x)在［〃，以上既不是增函數(shù)，

也不是減函數(shù)，g(x)在［a,切上可以取得最小值-2,故選D.］

13.已知函數(shù)式%)=。sinxcosx-Z?(COS2JV—sin2x)(x￡R,a,b為常數(shù)),且=~4，

媼)=-4-

(1)求?r)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當xG—亍，?。輹r，求函數(shù)段)的最大值與最小值.

解析：（1）由題意得,/（x）=2。sin2x—bcos2x,

廣

，

」V43

,

得<3

11

2

平---

<4

?W)=4sin2x一坐cos2x=1sin

JIJIn

令2"—g<2x一弓"<2%人+巧~,kGZ,

n5n

得攵口一誦WxW左兀,k0L,

-JU）的單調(diào)遞增區(qū)間為［女冗一言，上R+*"（％￡Z）.

（2）由（1）得人r）=Tsin（2x一卷,

nJI5冗nn

由t一彳不得一^^2x-yW石,

「?一Kin（2x-W：,

'--24sinW5,

JIJI11

故人工）在一彳，了上的最大值為a,最小值為一］.

14.（開放題）在①/U）的圖象關于直線x=^對稱，②次x）的圖象關于點管，0）對稱，

TTJT

@/（x）在［一小制上單調(diào)遞增這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的正

實數(shù)〃存在，求出。的值；若。不存在，說明理由.

已知函數(shù)本）=4sin（ox+1）+a（sWN*）的最小正周期不小于1，且,是否存

在正實數(shù)”，使得函數(shù)加）在［。，古］上有最大值3?

n2n冗

解析：由于函數(shù)外幻的取小正周期不小于w，所以,所以3G

JGJJ1WCOW6,

N*.

若選擇①，即?x）的圖象關于直線x=￥對稱，則有等3+卷=%n（AWZ）,

Ao

解得①=5攵+q（k￡Z）,由于1WgW6,3￡N*,

kCZ,所以k=3,3=4.

此時段）=4sin（4%+2）+A.

JlJTJIJIJIJIJT

由0,五,得4x+de不，了，因此當4x+w=工,即x=五時，7W取

得最大值4+〃，令4+〃=3,解得。=—1,不符合題意.

故不存在正實數(shù)a,使得函數(shù);（X）在0,三上有最大值3.

若選擇②，即人1）的圖象關于點（爸，0）對稱，則有管。+看=%n（%ez）,解得。

=yk-j伏ez）,

由于G《N*,左￡Z,所以k=1,3=3.

此時?x）=4sin（3%+6，+A.

IT~|?！溉?冗1n5nJI

由工￡0,j2j?得3%+不不，~V1\，因此當3工+不=~[2'即X=~V2時，犬工）

取得最大值4sin+〃=加+6+a,令黃+啦+。=3,解得。=3—水一啦,不

符合題意.

故不存在正實數(shù)出使得函數(shù)段）在[（）,背上有最大值3.

6?JIJIJI

一丁+石》一了，

（k@Z）,

{3JTJTJI

r3式-8%+,，

解得《由于G￡N*,kRZ,所以①=1.

[3W8Z+1,

此時?x）=4sinQ+5）+A.

JI~\冗「無冗"]nJIn

由0,瓦，得工+石￡不"，7"，因此當x+不=彳,即尤=五時，?￥）取得

最大值25+小令2啦+〃=3,解得。=3—2色,符合題意.

故存在正實數(shù)”=3-2啦，使得函數(shù)?r）在[。，三上有最大值3.

IC級?高分挑戰(zhàn)|.........................

15.（創(chuàng)新型）（2020.全國卷24省4月聯(lián)考）己知函數(shù)兀v）=Asin（cox+

9）（其中A＞0,。＞0,19區(qū)號的圖象離原點最近的對稱軸為x=xo,若滿足|xo|q，則稱

Ax）為“近軸函數(shù)”.若函數(shù)y=2sin（2x一0）是“近軸函數(shù)”，則夕的取值范圍是（）

717C-1「兀兀

A?岳2]B.一勤

「兀兀"]「兀兀]「兀兀

C?L了一句”4,2JD.1飛,

C[函數(shù)y=2sin2x的圖象離原點最近的對稱軸是1=與~，函數(shù)y=2sin12（x一滿

冗冗兀0兀11n5冗，，兀

足|刈＜不,當夕＞0時，——不■＜彳+不，即wW，又I0|,

JiJi,JIJI0JiJI5n兀

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