高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：2 .4 .2 圓的一般方程

2.4.2圓的一般方程

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一圓的一般方程

1.圓x2+y2-2x+6y+8=0的面積為()

A.8兀B.4兀C.2兀D.兀

2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

11

A.m<-B.m>-C.m<lD.m>l

22

3.若圓x2+y2-2x-4y=0的圓心到直線x-y+a=O的距離為今則a的值為(

A.-2或2B.；或|C.2或0D.-2或0

4.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的圖形是()

A.一個(gè)圓B.只有當(dāng)a=0時(shí)，才能表示一個(gè)圓

C.一個(gè)點(diǎn)D.a,b不全為。時(shí)，才能表示一個(gè)圓

5.下列方程分別表示什么圖形?若表示圓,則寫(xiě)出圓心和半徑.

(l)x2+y2+5x-3y+1=0;(2)x2+y2+4x+4=0;

(3)x2+y2+x+2=0;(4)x2+y2+2by=0(b^0).

題組二圓的方程的求法

6.圓x2+y2-2x-l=0關(guān)于直線2x-y+3=0對(duì)稱(chēng)的圓的方程是()

-1-1

A.(x+3)2+(y-2)2=-B.(x-3)2+(y+2)2=-

C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=2

7.與圓C:x2+y2-2x+4y-l=0有相同的圓心，且半徑是圓C的半徑的一半的圓的方程

為()

A.x2+y2-2x+4y+2=0B.x2+y2-2x+4y+l=0

C.x2+y2-2x+4y-1=0D.x2+y2-2x+4y+j=0

8.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(l,0),若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|=2|PB|,則P的軌跡為()

A.直線B.線段C.圓D.半圓

9.設(shè)A為圓(x-l)2+y2=l上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓的切線且|PA|=1,則點(diǎn)P的軌跡方程

是.

10.(2020四川綿陽(yáng)中學(xué)高二上期末)已知AABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)分別是

D(5,3),E(4,2),F(1,1).

(1)求4ABC的邊AB所在直線的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)求△ABC的外接圓的方程.

題組三圓的方程的應(yīng)用

n.若點(diǎn)M(3,0)是圓x2+y2-8x-4y+10=0內(nèi)一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M(3,0)的最長(zhǎng)的弦所在的直

線方程是()

A.x+y-3=0B.x-y-3=0

C.2x-y-6=0D.2x+y-6=0

12.若直線2x-5y+a=0平分圓x2+y2-4x+2y-5=0,貝Ua=()

A.9B.-9C.lD.-l

13.已知兩點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),點(diǎn)C是圓x2+y2-2x=0上任意一點(diǎn)，則^ABC的面積的最

小值是()

A.3-V2B.3+V2C.3-yD.^

14.已知圓x2+y2+2x-4y+l=0上任一點(diǎn)A關(guān)于直線x-ay+2=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A，仍在該圓

上，則a=.

15.已知定點(diǎn)A(a,2)在圓x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部，則a的取值范圍為

錯(cuò)

能力提升練

題組一圓的一般方程

1.(*)當(dāng)方程x2+y2+ax+2y+a2=0所表示的圓的面積最大時(shí)，直線y=(a-l)x+2的傾斜

角為()

A，7CmD."

4424

2.(2020河南鄭州高一上期末,#?)已知圓x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m^0)

的圓心在直線x+y-7=0上，則該圓的面積為()

TT

A.4兀B.2兀C.TiD.-

3.(多選)(共)已知方程x2+y2+3ax+ay+|a2+a-l=0,若方程表示圓，則a的值可能為

()

A.-2B.OC.lD.3

題組二圓的方程的求法

4.(，)點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()

A.(x+2)2+(y-l)2=lB.(x-2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x-2)2+(y+l)2=1

5.(2019北京豐臺(tái)高一期末,北)過(guò)三點(diǎn)人(1,-1),：6(1,4),(2(4,-2)的圓的方程為()

A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0

C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=0

6.(2020浙江溫州中學(xué)高二上期中,")如圖，已知正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分

別為A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).

(1)求對(duì)角線AC所在直線的方程；

(2)求正方形ABCD外接圓的方程；

(3)若動(dòng)點(diǎn)P為外接圓上一點(diǎn)，點(diǎn)N(-2,0)為定點(diǎn)，問(wèn)線段PN中點(diǎn)的軌跡是什么？并求

出該軌跡方程.

題組三圓的方程的應(yīng)用

7.(2019福建福田高三月考,")已知：6(0,0)人(8,3),(2(2次,0),平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)

P,M滿(mǎn)足|?|=1,而=祝，則|麗F的最大值是()

37+2屈卜37+6V33

AA.^—

C.fD?

44

8.0)已知圓的方程為乂2+丫26-8丫=0.設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)(2,6)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為

AC和BD,則四邊形ABCD的面積為.

9.(2020湖南長(zhǎng)沙明德中學(xué)高一期中,")如圖,0是坐標(biāo)原點(diǎn)，圓。的半徑為1,點(diǎn)A(-

l,0),B(l,0),點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,B同時(shí)出發(fā)，在圓O上按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P的速

度大小是點(diǎn)Q的兩倍，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)一周的過(guò)程中，布-而的最大值為.

10.(")已知以點(diǎn)C為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-l,0)和B(3,4),且圓心在直線x+3y-15=0±.

設(shè)點(diǎn)P在圓C上，求APAB面積的最大值.

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.C原方程可化為(x-l)2+(y+3)2=2,

半徑r=V2,圓的面積S=7ir2=27i.

2.A由二元二次方程表示圓的充要條件可知,(-l)2+12-4m〉0,解得m<：,故選A.

3.C由題意得圓心為(1,2).則圓心(1,2)到直線的距離為點(diǎn)三=次,解得a=0或a=2.

4.D(2a>+4b2=4(a2+b2),所以當(dāng)a=b=O時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)aWO或bWO時(shí)，方程

表示一個(gè)圓.

5解析⑴原方程配方得(％+，+(月)2哆故該方程表示以(-汩為圓心,斗為半

徑的圓.

(2)原方程配方得(x+2>+y2=0,表示一個(gè)點(diǎn)(-2,0).

(3)二?原方程配方得(％+(f+y2=T，無(wú)實(shí)數(shù)解,.?.該方程不表示任何圖形.

(4)原方程配方得x2+(y+b)2=b2(bW0),故該方程表示圓心為(0,-b),半徑為|b|的圓.

6.C由x2+y2-2x-l=0得(x-l)2+y2=2,所以(x-l)2+y2=2的圓心01的坐標(biāo)為(1,0),半徑

為企,故排除A,B.又易求C中圓(x+3)2+(y-2)2=2的圓心。2的坐標(biāo)為G3,2),OQ2的

中點(diǎn)(-1,1)在直線2x-y+3=0上，而D中圓(x-3)2+(y+2>=2的圓心。3的坐標(biāo)為(3,-

2),0103的中點(diǎn)(2,-1)不在直線2x-y+3=0上，故選C.

7.D易知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2+(y+2)2=6,所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑為

逐，故所求圓的圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑為?，所以所求圓的方程為(x-

2

l>+(y+2)2=(乎)=；,即x2+y2-2x+4y+^=0.

8.C設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),

動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|=2|PB|,

...+2)2+y2=2j(x-l)2+y2,兩邊平方得(x+2)2+y2=4[(x-l)2+y2],

即(x-2>+y2=4.

??.P的軌跡為圓.故選c.

9.答案(x-l)2+y2=2

解析設(shè)P(x,y),易知圓(x-l)2+y2=l的圓心B(1,O),半徑r=l,

則|PAF+r2=|PBF,.\|PB|2=2.

...點(diǎn)P的軌跡是以(1,0)為圓心，魚(yú)為半徑的圓.

???點(diǎn)P的軌跡方程是(x-l)2+y2=2.

10.解析⑴由題意可知k=kB=—=1,XF(l,l)為AB的中點(diǎn)，

EDA5-4

，AB所在直線的方程為y-l=l,(x-1),即x-y=0.①

同理CA所在直線的方程為x-2y=0,②

聯(lián)立①②，得A(0,0).

同理可得B(2,2),C(8,4).

(2)由⑴可得B(2,2),C(8,4),

設(shè)4ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,WA,B,C的坐標(biāo)代入圓的方程可

(F=0,

得4+4+2D+2E+F=0,

(64+16+8D+4E+F=0,

(D=-16,

解方程組可得E=12,

[F=0,

圓的方程為x2+y2-16x+12y=0.

11.C圓x2+y2-8x-4y+10=0的圓心坐標(biāo)為(4,2),則過(guò)點(diǎn)乂(3,0)且過(guò)圓心(4,2)的弦最

長(zhǎng).則最長(zhǎng)弦所在直線的斜率k=.=2,結(jié)合選項(xiàng)知C正確.

4-3

12.B因?yàn)橹本€2x-5y+a=0平分圓x2+y2-4x+2y-5=0,所以直線2x-5y+a=0經(jīng)過(guò)該圓

的圓心(2,-1),則2x2-5x(1)+a=0,解得a=-9.故選B.

13.A易得直線AB的方程為x-y+2=0,圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為1,則圓心到直線

AB的距離延,所以點(diǎn)C到直線AB的最小距離為越-1,所以AABC面積

712+(-1)222

的最小值為,|AB|x(￥一1月x2&x(￥

14.答案:

解析根據(jù)題意得，圓心在直線x-ay+2=0上.由x2+y2+2x-4y+1=0,W(x+1)2+(y-2)2=4,

所以該圓的圓心是(-1,2),將(-1,2)代入x-ay+2=0中，得-l-2a+2=0,解得a=；.

15.答案(24

解析因?yàn)辄c(diǎn)A(a,2)在圓的外部,

斫以I"?+22-2a2-3X2+a2+a>0,

M“1(-2Q)2+(―3)2?4(小+a)>0.

所以2<a4.所以a的取值范圍為(2,)

易錯(cuò)警示在運(yùn)用圓的一般方程時(shí)，要注意隱含條件:D2+E2-4F〉。,防止忽略此條件

導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

能力提升練

1.B方程x2+y2+ax+2y+a2=0可化為

(%+9+(丫+1)2=為+1,

設(shè)圓的半徑為r(r>0),則於=1-穹,

4

當(dāng)a=0時(shí),F取得最大值,從而圓的面積最大.

此時(shí)，直線方程為y=-x+2,斜率k=-l,傾斜角為三故選B.

4

2.A圓的方程可化為(x-m)2+(y-2m-l)2=m2(mW0),其圓心為(m,2m+l).

依題意得,m+2m+l-7=0,解得m=2,

???圓的半徑為2,面積為4兀，故選A.

3.AB由(3a)2+a2-46a2+a-l)〉0,得a<l,所以滿(mǎn)足條件的只有-2與0.故選AB.

_%1+4

—'瞰1Z雉?

!y=-zy'4，

因?yàn)楹?資=4,所以(2x-4>+(2y+2)2=4.

化簡(jiǎn)得(x-2>+(y+1)2=1.故選D.

5.A設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.

(D-E+F+2=0,(D=-7,

依題意得。+4E+F+17=0,解得E=-3,

{4D-2E+F+20=0,=2.

因此，所求圓的方程為x2+y2-7x-3y+2=0,故選A.

6.解析⑴由兩點(diǎn)式可知，對(duì)角線AC所在直線的方程為"=言，整理得x-y-2=0.

(2)設(shè)G為外接圓的圓心，則G為AC的中點(diǎn),G"，手)，即(2,0),

設(shè)r為外接圓的半徑，則r=|AC|,

而|AC|=J(4-0)2+葉+2尸=4&,

/.r=2V2.

???外接圓方程為(x-2/+y2=8.

(3)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(xo,yo),線段PN的中點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,y),則x=手,y=￡,

xo=2x+2,yo=2y,①

?.?點(diǎn)P為外接圓上一點(diǎn),???(xo-2)2+羽=8,將①代入并整理，得x2+y2=2,

...該軌跡是以原點(diǎn)為圓心，a為半徑的圓，軌跡方程為x2+y2=2.

7.D由題易得，點(diǎn)P的軌跡為以A為圓心,1為半徑的圓.如圖所示，建立平面直角坐

標(biāo)系，取AC的中點(diǎn)N,

,/PM=MC,：.M為PC的中點(diǎn)，

,.?|萬(wàn)|=1,，|而|=；,從而M的軌跡為以N為圓心，;為半徑的圓,

三點(diǎn)共線時(shí),BM最大.

又”(遮,3),C(2魂,0),；.N件則BN=J(￥)2+GJ=3,

.??I麗|的最大值為3+1：,

|麗F的最大值是竺，故選D.

4

8.答案20V5

解析設(shè)圓心為P,圓的方程x2+y2-6x-8y=0可化為(x-3)?+(y-4)2=25.圓心坐標(biāo)為

P(3,4),半