張?zhí)煨ⅲ骸短岣邤?shù)學素養(yǎng)-降低學習難度》課件

提高數(shù)學素養(yǎng)

降低學習難度

杭州新思維教育培訓中心

張?zhí)煨?024/7/301張?zhí)煨⒄憬∈孜还捉處煛⑻丶壗處煟贾莠F(xiàn)代小學數(shù)學教研名譽主任。生于1937年，生肖屬牛，正是小學數(shù)學界的“老黃牛”，50年如一日孜孜不倦、持之以恒地研究小學數(shù)學，完成了5套教材的編寫，多次獲得浙江省人民政府基礎教育教學成果一等獎，出版專著150多部，在國際國內(nèi)學術(shù)刊物發(fā)表文章120余篇。目前，帶領團隊主編義務教育課程標準《新數(shù)學讀本》。2024/7/302

2002年，我們在《現(xiàn)代小學數(shù)學》實驗的基礎上，開展了以“提高數(shù)學素養(yǎng)、降低學習難度”為目標的新思維小學數(shù)學教學序列和教學方式的研究。2024/7/303我們認為，數(shù)學課程改革不能以降低學生數(shù)學水平為代價來減輕學生的負擔。2024/7/304《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》（以下簡稱《教育規(guī)劃綱要》）在論及“減輕學生課業(yè)負擔”時，關于課程內(nèi)容方面的提法是2024/7/305“調(diào)整教材內(nèi)容，科學設計課程難度”。2024/7/306“減輕負擔”不是削減數(shù)學教學內(nèi)容，降低數(shù)學能力要求，而是通過設計科學的學習序列，來降低學生學習的難度。2024/7/307“降低學習難度”就是要降低學生學習新知識時第一時間產(chǎn)生的難度，減少學生解題起始狀態(tài)所遇到的困難。2024/7/308新思維小學數(shù)學教學體系，致力于使學生在學習重要知識與形成能力時，能象“滾雪球“那樣滾動發(fā)展，經(jīng)歷逐步積累的過程。2024/7/309采取“前有孕伏，中有突破，后有發(fā)展”的呈現(xiàn)序列，按照“為進而退，退中悟理，執(zhí)理而進”的思路設計訓練系列。2024/7/3010“前有孕伏”，是指結(jié)合可以聯(lián)系的知識點，將學習一個重要知識所必需的基礎進行前期鋪墊，降低在新知識學習時第一時間產(chǎn)生的難度。2024/7/3011如“約分和通分”，在三年級學習“商不變性質(zhì)”時，就設計了這樣的練習：

（1）48÷16=□÷2

360÷15=72÷□

2024/7/3012把被除數(shù)或除數(shù)改小，為學習約分作鋪墊。

2024/7/3013

把不同的除數(shù)轉(zhuǎn)化為相同的除數(shù)，為學習通分作準備。2024/7/3014在學習“分數(shù)的意義和性質(zhì)”之前，四年級安排了“分數(shù)與除法”這一單元，在學習“公因數(shù)”時，出現(xiàn)了：2024/7/3015寫出下列各分數(shù)分子、分母的最大公因數(shù)。

2024/7/3016在學習“公倍數(shù)”時，出現(xiàn)了：

2024/7/3017在學習分數(shù)的基本性質(zhì)時，又出現(xiàn)了：

2024/7/3018

為學習“約分和通分”作好充分準備。

2024/7/3019“中有突破”，有了以上“孕伏”，降低了學習“約分和通分”第一時間產(chǎn)生的難度，學生能主動利用原有的知識，突破新知識探索中的難點。2024/7/3020在通常情況下，總是把約分、通分分開來學，學生不容易掌握約分與通分的聯(lián)系與區(qū)別，難以形成整體的認知結(jié)構(gòu)。2024/7/3021《新思維數(shù)學》把它安排在同節(jié)課學習，在學生掌握簡分數(shù)和分數(shù)基本性質(zhì)的基礎上，把約分與通分兩種分數(shù)的變形作為分數(shù)基本性質(zhì)應用的一個整體，2024/7/3022在把非簡分數(shù)化簡分數(shù)的過程中引出約分，在把兩個異分母的簡分數(shù)化成同分母的非簡分數(shù)的過程中引出通分。2024/7/3023在不同的轉(zhuǎn)化中找出轉(zhuǎn)化的共同依據(jù)，從聯(lián)系中進一步考察它們的區(qū)別。2024/7/3024教學時，引導學生觀察下面四個分數(shù)。

2024/7/3025（1）你能將，

兩個非簡分數(shù)應用分數(shù)基本性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，使它們能夠直接比較大小嗎？2024/7/3026根據(jù)學生回答出示

2024/7/30272024/7/30282024/7/30292024/7/3030（2）你能按照轉(zhuǎn)化的方式分成兩類嗎？

分數(shù)的分子和分母同時除以一個數(shù)作為一類。2024/7/30312024/7/3032想一想，轉(zhuǎn)化結(jié)果有什么共同點？

得出：一個數(shù)的分子、分母同時除以公因數(shù)，分數(shù)的大小不變，這個過程叫約分。2024/7/3033分數(shù)的分子和分母同時乘一個分數(shù)作為另一類

2024/7/30342024/7/3035想一想，轉(zhuǎn)化的結(jié)果有什么共同點？

得出：把幾個異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化成與原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，這個過程叫通分。2024/7/3036這樣處理，把靜態(tài)的知識結(jié)論轉(zhuǎn)化為動態(tài)的探索對象，強調(diào)學生主動參與，讓他們在探索新知識的過程中付出2024/7/3037與前人發(fā)現(xiàn)這些知識結(jié)論時大體相同的智力價值，從而有效地實現(xiàn)學知識，長智慧的目的。2024/7/3038“后有發(fā)展”，是指把探索中獲得的數(shù)學知識和方法進行遷移，在知識應用的深度、廣度和靈活度上有所拓展。2024/7/3039如出現(xiàn)這樣的習題：

分母是12的簡分數(shù)有哪些？

2024/7/3040第一步，根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，把通分，得

2024/7/3041第二步，考慮從

分母是180的分數(shù)中，哪些是約分以后分母是12的分數(shù)，

2024/7/3042因為180÷15＝12,所以

2024/7/3043得到，，

三個分數(shù)；

第三步排除，

即是答案。2024/7/3044減少學生在解題起始狀態(tài)所遇到的困難，我們按照“為進而退，退中悟理，執(zhí)理而進”的思路，進行題組訓練。2024/7/3045如《新思維數(shù)學》（浙教版小學《數(shù)學》）第一冊第107頁有這樣一道題：2024/7/3046從1～9這九個數(shù)中，各選一個數(shù)填入□里（每個數(shù)只能填一次）。

□+□+□=□+□2024/7/3047這道題有一定難度，對難題不是知難而退，而是要設計系列口算訓練。如，2024/7/30482024/7/3049降低難度。2024/7/3050經(jīng)口算訓練后，據(jù)12個班569名學生的測查，5分鐘內(nèi)有95.2%的學生能得到1個以上的解，2024/7/3051其中5個解以上的有359人，占63.2%，10個解以上的有116人，占20.3%。有一位學生得到了19個解。2024/7/3052難題不難了，在限定時間能能否解答，能得到幾個解，充分反映了學生的基本運算能力和解題的策略水平。2024/7/3053“提高數(shù)學素養(yǎng)”，不是增加知識點，也不是延長教學時間，而是堅持能力為重，2024/7/3054在知識應用的深度、廣度、靈活度上有所拓展，著力提高學生的學習能力、實踐能力、創(chuàng)新能力，促進智慧的生長。2024/7/3055為此，要配合知識點設計一些簡結(jié)構(gòu)大容量的習題，既是基礎知識與基本技能的訓練，又是基本思想方法的訓練和基本活動經(jīng)驗的積累和解決問題策略的訓練。2024/7/30562024/7/30572024/7/3058連接方格里的數(shù)，使和為30.

2024/7/3059連接方格里的數(shù)，使和為57。

2024/7/30602024/7/30612024/7/30622024/7/3063

在方格中找出四連方圖形，并用圖形中的4個數(shù)算出24。

2024/7/3064這是一道數(shù)形結(jié)合題，通過學生主動構(gòu)建算式，開拓思路。2024/7/30652024/7/30662024/7/30672024/7/30682024/7/30692024/7/30702024/7/30712024/7/30722024/7/30732024/7/3074提高數(shù)學素養(yǎng)，在教學中要處理好兩個關系：

第一，學知識與長智慧的關系。2024/7/3075居于當前課堂教學主導地位的還不是智慧，仍然是以知識傳授為主的課堂，評價課堂教學的標準仍然是知識的多少，智慧被邊緣化。2024/7/3076這樣的課堂肯定不是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力的課堂。小學數(shù)學課堂教學應當從知識信息的傳遞，走向智慧教育的軌道。2024/7/3077智慧是人們獲取、應用、創(chuàng)造知識，以及創(chuàng)造性地解決問題的能力、方法、謀略和思維方式。2024/7/3078智慧不是實體，體面在過程之中，體現(xiàn)在思考的活動中。數(shù)學學習中的智慧整合于分析、概括、推理和化歸的過程。2024/7/3079在數(shù)學學習中，每個人都有智慧的潛質(zhì)，通過知識的獲取，思維的訓練，解決問題的鍛煉，2024/7/3080人人都有潛能可開發(fā)，人人都能發(fā)展智慧，所以數(shù)學教育不能只關注學生的現(xiàn)實性，更應該關注從現(xiàn)實性走向更高的可能性。2024/7/3081知識不等于智慧，知識的積累并不一定直接帶來智慧的增長。但智慧在很大程度上又依賴于知識，本質(zhì)上不依賴知識的多少，2024/7/3082而依賴于對知識的理解，依賴于種種知識之間聯(lián)系的把握，依賴于運用知識解決問題。2024/7/3083因此，把知識傳授為主的課堂轉(zhuǎn)變到智慧教育的軌道，關鍵是基于知識又超越知識。2024/7/3084基于知識，要重視知識教學，依托知識，打好知識基礎；超越知識，強調(diào)的不能滿足于知識，不能止于知識，重要的是把知識轉(zhuǎn)化為智慧。2024/7/3085學數(shù)學長智慧，在數(shù)學學習過程中，從學生已有知識出發(fā)，在解決數(shù)學問題的過程中，促進數(shù)學思考，加強數(shù)學思想方法訓練，提高學生的思維品質(zhì)。2024/7/3086例如，我們在三、四年級的數(shù)學興趣活動中，開展了“三角形填數(shù)”的訓練，學生興趣十分濃厚，在探索中理性思維得到訓練，感受到數(shù)學的魅力。2024/7/3087兩個一樣大的等邊三角形，各內(nèi)含4個一樣大的小三角形，將涂色的小三角形重疊：

2024/7/3088

在小三角形內(nèi)填入1～7這七個數(shù)，分別使兩個大三角形內(nèi)四個數(shù)的和相等。2024/7/3089思考：

（1）1～7這七個數(shù)的和是多少？

（1+7）×7÷2＝282024/7/3090（2）哪個小三角形內(nèi)的數(shù)需要重復計算？要重復計算的可能是哪幾個數(shù)？為什么？2024/7/3091（3）需要重復計算的數(shù)填入后，余下的六個數(shù)怎樣填才能保證兩個大三角形4個數(shù)的和相等？2024/7/30922024/7/30932024/7/30942024/7/3095（4）如果在小三角形填入2～8,又怎樣填呢？

（2+8）×7÷2＝352024/7/30962024/7/30972024/7/30982024/7/30992.如果增加一個

2024/7/30100三個一樣大的三角形，涂色部分重疊，在小三角形內(nèi)填入0～9十個數(shù)，使四個大三角形內(nèi)的4個數(shù)的和相等。2024/7/30101思考：

（1）0～10這十個數(shù)的和是多少？

（0+9）×10÷2＝452024/7/30102（2）哪些小三角形里的數(shù)要重復計算？各要重復計算幾次？2024/7/30103（3）重復計算最多的可能是哪幾個數(shù)？你是怎樣確定的？這些數(shù)應該填在哪里？2024/7/30104（4）確定中間小三角形所填的數(shù)后，余下的九個數(shù)怎樣填才能保證四個大三角形內(nèi)四個數(shù)的和相等？2024/7/3010545減去中間小三角形所填的數(shù)，將余下的九個數(shù)分成和相等的“三數(shù)組”。2024/7/30106（5）中間大三角形（倒三角形）三個數(shù)怎樣填？2024/7/30107在三數(shù)組中各選一個數(shù)，所選的3個數(shù)的和與三數(shù)組相等，把所選的三個數(shù)分別填入需要重復計算一次的小三角形內(nèi)。這樣就得到如下基本解法：2024/7/30108①（45－0）÷3＝15和＝15+0＝15

9+1+5＝8+3+4＝7+6+22024/7/301092024/7/301102024/7/301112024/7/301122024/7/301132024/7/301142024/7/30115②（45－3）÷3＝14和＝14+3＝17

9+5+0＝7+6+1＝8+4+22024/7/301162024/7/301172024/7/301182024/7/301192024/7/30120③（45－6）÷3＝13和＝13+6＝19

9+4+0＝1+5+7＝8+2+32024/7/301212024/7/301222024/7/301232024/7/301242024/7/30125④（45－9）÷3＝12和＝12+9＝21

8+4+0＝1+6+5＝3+7+22024/7/301262024/7/301272024/7/301282024/7/301292024/7/30130第二，處理好大眾數(shù)學教育與英才數(shù)學教育的關系。2024/7/30131數(shù)學課程改革倡導的是大眾數(shù)學教育，同時倡導不同的人學習不同的數(shù)學，近幾年一些學者發(fā)出“英才教育之憂”的呼喊，引發(fā)了對數(shù)學教育的思考。2024/7/30132在教育大普及的背景下，世界各國正在強化英才教育。任何一個強國都是重視英才教育的。因為英才教育是關系國家的前途和民族命運。2024/7/30133數(shù)學課程是英才教育的核心課程，法國教育部中法教育合作項目招收中國學生只考數(shù)學，說明數(shù)學對人才選拔的重要性，從數(shù)學問題解決中可反映一個人的智慧水平。2024/7/30134《教育規(guī)劃綱要》有一句話應引起我們的注意：“尊重教育規(guī)律和學生身心發(fā)展規(guī)律，為每個學生提供適合的教育”。這為我們的教育改革指明了一個方向。2024/7/30135許多老師在多年的教學實踐中，會發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象：不少原來智力突出的孩子，因為“吃不飽”，2024/7/30136“吃不好”而喪失對學習的興趣和探索的欲望，而導致“不想吃”，有的甚至變成了后進生。2024/7/30137關注教育公平，同樣應尊重這部分孩子受到良好教育的權(quán)利，“數(shù)學英才教育”要為每個孩子提供適合的教育。2024/7/30138《教育規(guī)劃綱要》提出，鼓勵學校辦出特色，辦出水平，出名師，育英才”。2024/7/30139數(shù)學在培養(yǎng)拔尖人才所能貢獻的力量是眾所周知的。拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，要從娃娃抓起。2024/7/30140在小學要“人人學數(shù)學”，確保達到基本要求的前提下，應倡導數(shù)學英才教育，研究數(shù)學英才教育。2024/7/30141小學數(shù)學英才教育不是數(shù)學知識逐年級下放，也不是加快教學進度，而是在所學的知識范圍內(nèi)，2024/7/30142在知識應用的深度、廣度、靈活度上有所擴展，形成以數(shù)學能力為核心的訓練體系。2024/7/30143通過訓練提高思維能力，促進智慧的生長。如四則運算，不能停留在根據(jù)給出的算式，按標準程序操作。2024/7/30144例如連加，除必要的基本練習外，還可以安排一些思考性的習題。如用3,6,9三個數(shù)字組成的所有三位數(shù)的和是幾？2024/7/30145在頭腦中形成

2024/7/30146這樣的思維模式，進而研究，還有哪三個數(shù)字組成的所有三位數(shù)的和也是3996,促進函數(shù)思考能力的發(fā)展。又如2024/7/30147a,b,c,k的值各是多少？2024/7/30148在純數(shù)學結(jié)構(gòu)性問題中，主動構(gòu)建算式，以求得問題的解決。例如，

如下數(shù)表，在相鄰的四個數(shù)中勾畫出三連方，2024/7/301492024/7/301502024/7/301512024/7/301522024/7/301532024/7/30154如果要使三連方三個數(shù)的和是173,252,340,請找出三連方延伸后的位置，并確定三個數(shù)各是多少？2024/7/30155在數(shù)表中各自向右移1格，三連方三個數(shù)的和各自增加3,各自向下移1格，則三個數(shù)的和增加21.不論右移或下移，所增加的數(shù)都是3的倍數(shù)。2024/7/301562024/7/30157已知三連方三個數(shù)的和，要確定延伸后的位置及三個數(shù)，首先要確定屬于哪個模式。2024/7/30158三連方三個數(shù)的和分別減去各模式三個數(shù)的和，它們的差如果能被3整除，就屬此模式。2024/7/30159（1）三連方三個數(shù)的和是173,則

a:(173-11)÷3=54b:(173-12)÷3=53…2

c:(173-18)÷3=51…2d:(173-19)÷3=51…12024/7/30160