福州金山中學2024屆九年級上學期月考數(shù)學試卷(含解析)

數(shù)學試卷完成時間：120分鐘一、選擇題（本大題共10小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下面的圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.趙爽弦圖 B.笛卡爾心形線C.科克曲線 D.斐波那契螺旋線答案：C解析：詳解：A．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項正確；D．不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；故選C．2.下列圖形中表示的角是圓心角的是（）A. B. C. D.答案：A解析：詳解：根據(jù)圓心角的定義：頂點在圓心的角是圓心角可知，B，C，D項圖形中的頂點都不在圓心上，所以它們都不是圓心角．故選A．3.一根排水管的橫截面如圖所示．已知排水管的橫截面圓的半徑，圓心O到水面的距離是3，則水面的寬是（）A.8 B.5 C.4 D.3答案：A解析：詳解：解：∵截面圓圓心O到水面的距離OC是3，∴，∴，在中，，，∴∴．4.如圖，AB是⊙O的切線，A為切點，連接OA，OB，若∠B=35°，則∠AOB的度數(shù)為（）A.65° B.55° C.45° D.35°答案：B解析：詳解：解：∵AB為⊙O切線，∴∠OAB=90°，∵∠B=35°，∴∠AOB=90°-∠B=55°．故選：B．5.如圖，在矩形中，，，若以點D為圓心，12為半徑作，則下列各點在外的是（）A.點A B.點B C.點C D.點D答案：B解析：詳解：解：由題意可得，，，∴，∴點A在圓上，B在圓外，C在圓內(nèi)，D是圓心，故選B．6.如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)度得到，當點的對應(yīng)點恰好落在邊上時，則的長為（）A.1.6 B.1.8 C.2 D.2.6答案：A解析：詳解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∵，，∴為等邊三角形，∴，∴，故選A．7.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（）A.點P B.點Q C.點R D.點M答案：B解析：詳解：解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，它們都經(jīng)過Q，所以點Q為這條圓弧所在圓的圓心．故選：B．

8.如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到．若點恰好在線段BC的延長線上，且，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A.60° B.70° C.100° D.110°答案：C解析：詳解：繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，，，故選：C．9.已知銳角∠AOB如圖，（1）在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作，交射線OB于點D，連接CD；（2）分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交于點M，N；（3）連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A.∠COM=∠COD B.若OM=MN，則∠AOB=20°C.MN∥CD D.MN=3CD答案：D解析：詳解：解：由作圖知CM=CD=DN，

∴∠COM=∠COD，故A選項正確；

∵OM=ON=MN，

∴△OMN是等邊三角形，

∴∠MON=60°，

∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B選項正確；∵∠MOA=∠AOB=∠BON，

∴∠OCD=∠OCM=，

∴∠MCD=，

又∠CMN=∠AON=∠COD，∴∠MCD+∠CMN=180°，

∴MN∥CD，故C選項正確；

∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，

∴3CD＞MN，故D選項錯誤；

故選D．10.如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點，連接，則的最小值為()A. B. C. D.答案：B解析：詳解：解：作QM⊥x軸于點M，Q′N⊥x軸于N，設(shè)Q(，)，則PM=，QM=，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，當m=2時，OQ′2有最小值為5，∴OQ′的最小值為，故選：B．二、填空題（本大題共6小題，共24分）11.點關(guān)于原點對稱的點的坐標是________．答案：解析：詳解：解：點關(guān)于原點對稱點的坐標是，故答案為：．12.如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點、且∠D=130°，則∠BAC的度數(shù)是_____°．答案：40°．解析：詳解：試題解析：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B=180°-∠D=50°，∴∠BAC=90°-∠B=40°．13.如圖，，是的切線，切點分別為A，B．若，，則的長為______．答案：3解析：詳解：解：∵，是的切線，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，故答案：3．14.如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是______．答案：1解析：詳解：解：連接、，，，，即，解得：，故答案為：1．15.如圖，已知中，，將繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，F(xiàn)是中點，連接，則的長為_____．答案：解析：詳解：解：作于H，如圖，∵將繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵F是中點，∴，∴，∴，∴，故答案：．16.如圖，四邊形和四邊形均為正方形，點D為的中點，若，連接，則的長為______．答案：解析：詳解：解：如圖，連接，讓繞點順時針旋轉(zhuǎn)，此時與重合，得到，連接，四邊形和四邊形均為正方形，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，，，，，，，，可得三點共線，，，點D為的中點，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，，即，解得（舍去負值），，，，，，，,故答案為：．三、解答題（共9道題，共86分）17.解方程：．答案：解析：詳解：解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．18.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求這個二次函數(shù)的解析式：（2）直接寫出滿足時，x的取值范圍．答案：（1）（2）解析：小問1詳解：解：由圖象可知拋物線的頂點是，經(jīng)過點，∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入得得，，解得，∴這個二次函數(shù)的解析式為；小問2詳解：當時，，解得，∴拋物線與x軸交點坐標為和，由圖象可知：拋物線位于x軸下方的部分，對應(yīng)的，此時．19.如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，點B，點O均為格點（每個小正方形的頂點叫做格點）．（1）作點A關(guān)于點O的對稱點；（2）連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得點B對應(yīng)點，畫出旋轉(zhuǎn)后的線段；（3）連接，求出四邊形的面積．答案：作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）24．解析：詳解：如圖所示（1）作出點A關(guān)于點O的對稱點；（2）連接，畫出線段；（3）連接，過點A作于點E，過點作于點F；．∴四邊形的面積是24．20.“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學語言可表達為：“如圖，為的直徑，弦于點E，寸，寸，則直徑的長為多少？答案：寸解析：詳解：解：連接，∵∴，設(shè)圓O的半徑的長為x，則∵，∴，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：，化簡得：，即，解得：所以（寸）．21.如圖，在中，，，D是AB邊上一點（點D與A，B不重合），連接CD，將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段CE，連接BE．（1）根據(jù)題意將圖形補充完整；（要求尺規(guī)作圖，保留作圖狼跡，不寫作法）（2）求證：．答案：（1）見解析；（2）見解析．解析：小問1詳解：解：根據(jù)題意作圖如下：小問2詳解：證明：將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，在和中，，，，，，．22.如圖，在中，，O是邊上一點，以O(shè)為圓心，為半徑的圓與相交于點D，連接，且．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為1，求的長，答案：（1）見解析（2）解析：小問1詳解：證明：連接，如圖所示：，，，，∵，∴，，，∵為半徑，∴是的切線；小問2詳解：解：∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．23.如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中點，過點D作⊙O的切線，分別交AC、AB的延長線于點E和點F，連接CD、BD．（1）求證：∠A＝2∠BDF；（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的長．

答案：（1）見解析；（2）1解析：詳解：（1）證明：連接AD，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵EF為切線，∴OD⊥DF，∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，∴∠BDF＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠BDF，∵D是弧BC的中點，∴∠COD＝∠OAD，∴∠CAB＝2∠BDF；（2）解：連接BC交OD于H，如圖，∵D是弧BC的中點，∴OD⊥BC，∴CH＝BH，∴OH為△ABC的中位線，∴，∴HD＝2.5－1.5＝1，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴四邊形DHCE為矩形，∴CE＝DH＝1．24.在中，為的平分線，E為邊的中點，線段繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段（點F是點A的對應(yīng)點），旋轉(zhuǎn)角不超過，連接，直線交直線于點G．（1）如圖1，當為邊長為a的等邊三角形且點G恰好與點B重合時，求的長；（2）如圖2，點G在邊上，與交于點D，，，求證：；（3）如圖3，若，過點C作直線于點M，連接，當時，按要求畫圖并探究與之間的數(shù)量關(guān)系．答案：（1）（2）證明見解析（3）數(shù)量關(guān)系為：解析：小問1詳解：∵是等邊三角形，點E為邊的中點，∴，，∴，由旋轉(zhuǎn)可知，，∴；小問2詳解：證明：如圖2中，∵平分，∴，設(shè)，，則，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，∴，∴．小問3詳解：如圖3中，結(jié)論：，理由：連接，∵，∴，∵，∴，∴A，F(xiàn)，M，C四點共圓，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴．25.已知拋物線C：，頂點為．（1）求b，c的值；（2）若，拋物線與直線L：相交，P為y軸右側(cè)拋物線C上一動點，過P作直線軸交x軸于點N，交直線L于M點，設(shè)P點的橫坐標為m，當時，求m的值；（3）點為y軸正半軸上一定點，點A、B均為y軸右側(cè)拋物線C上兩動點，若，求證：直線經(jīng)過一個定點．答案：（1），（2）m的值是或（3）見解析解析：小問1詳解：解：設(shè)拋物線表達式為，∵頂點為，∴，，∴