滬教版暑假新九年級(jí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第14講二次函數(shù)中的平移問題(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)

第14講二次函數(shù)中的平移問題（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識(shí)】一．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．二．坐標(biāo)與圖形變化-平移（1）平移變換與坐標(biāo)變化①向右平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x+a，y）①向左平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x﹣a，y）①向上平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y+b）①向下平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個(gè)整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加（或減去）一個(gè)整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度．（即：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減．）三、二次函數(shù)中的平移問題主要是點(diǎn)的平移和圖形的平移：針對(duì)頂點(diǎn)式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號(hào)內(nèi)），上加下減”，同時(shí)保持a不變?！究键c(diǎn)剖析】1．(2023普陀二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）將拋物線向左平移個(gè)單位，設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)．①求的度數(shù)；②將線段繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°，點(diǎn)落在點(diǎn)M處，點(diǎn)N是平移后的拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△MNB的面積為1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．2.(2023寶山二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=13x2+bx﹣1與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在x軸的正半軸上），與y軸交于點(diǎn)（1）求頂點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到的新拋物線與y軸交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)和△APM的面積；（3）如果點(diǎn)N在原拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△PMN與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【過關(guān)檢測(cè)】1．(2023普陀區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x+1交于點(diǎn)A（m，0），B（﹣3，n），與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC．（1）求m、n的值和拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D在拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸上，當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）將△AOC平移，平移后點(diǎn)A仍在拋物線上，記作點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．yx2bxc（0和（4Px軸相Q.BCBQ=CP3(2023閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與牰交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．（1）用含的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）當(dāng)頂點(diǎn)在△AOB內(nèi)部，且S△AOC（3）如果將拋物線向右平移一個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后，平移后的拋物線的頂點(diǎn)仍在△AOB內(nèi)，求的取值范圍．4(2023奉賢一模24）（本題滿分12分,第(1)小題滿分4分,第(2)小題每小題滿分4分)如圖11,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y(1)求該拋物線的表達(dá)式的頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)將拋物線沿y軸上下平移,平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為M,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.①如果點(diǎn)M落在線段BC上,求∠DBE的度數(shù)②設(shè)直線ME與x軸正半軸交于點(diǎn)P,與線段BC交于點(diǎn)Q,當(dāng)PE=2PQ時(shí),圖圖115．(2023?松江區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y＝ax2+bx﹣5a經(jīng)過點(diǎn)A．將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求拋物線的對(duì)稱軸；（3）若拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，求a的取值范圍．6.【2023年靜安區(qū)二模24】（本題滿分12分，其中第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0）（如圖），經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線與y軸相交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．求此拋物線表達(dá)式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；求∠ABC的正弦值；將此拋物線向上平移，所得新拋物線頂點(diǎn)為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．（第2（第24題圖）AOxy7.【2023年長(zhǎng)寧二模24】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，聯(lián)結(jié)AC、BC，當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的值；（3）如果點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)B的右側(cè)，聯(lián)結(jié)PC，直線PA交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)∠PCE＝∠PEC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．8.【2023年奉賢二模】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A、C．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線先向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上的點(diǎn)C′處，求m的值；（3）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，聯(lián)結(jié)AC，如果點(diǎn)F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．9.【2023年浦東新區(qū)二模24】（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)P、Q，（點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)），平移后拋物線的頂點(diǎn)為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．第14講二次函數(shù)中的平移問題（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識(shí)】一．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．二．坐標(biāo)與圖形變化-平移（1）平移變換與坐標(biāo)變化①向右平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x+a，y）①向左平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x﹣a，y）①向上平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y+b）①向下平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個(gè)整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加（或減去）一個(gè)整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度．（即：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減．）三、二次函數(shù)中的平移問題主要是點(diǎn)的平移和圖形的平移：針對(duì)頂點(diǎn)式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號(hào)內(nèi)），上加下減”，同時(shí)保持a不變?！究键c(diǎn)剖析】1．(2023普陀二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）將拋物線向左平移個(gè)單位，設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)．①求的度數(shù)；②將線段繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°，點(diǎn)落在點(diǎn)M處，點(diǎn)N是平移后的拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△MNB的面積為1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．答案:（1），（2）①；②或分析：（1）根據(jù)題意待定系數(shù)法求解析式即可，然后化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）①連接，則軸，設(shè)交點(diǎn)為C，則，根據(jù)平移求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求得的度數(shù)，②根據(jù)題意畫出圖形，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)E，根據(jù)△MNB的面積為1建立方程，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：∵拋物線經(jīng)過、解得∴∴【小問2詳解】∵拋物線向左平移個(gè)單位，設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)∴連接，則軸，設(shè)交點(diǎn)為C，則∵∴，在中，∴②過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)E，∵在中，，，∴，，則∵將線段繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°，點(diǎn)落在點(diǎn)M處，∴∴在與△BMD中∴∴，∵∴∵將拋物線向左平移個(gè)單位，平移后的拋物線頂點(diǎn)∴平移后的拋物線解析式為設(shè)，則∴，∵∴∴∵∴解得或∴N的坐標(biāo)為或【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，平移問題，勾股定理解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．2.(2023寶山二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=13x2+bx﹣1與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在x軸的正半軸上），與y軸交于點(diǎn)（1）求頂點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到的新拋物線與y軸交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)和△APM的面積；（3）如果點(diǎn)N在原拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△PMN與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．分析：（1）根據(jù)題意可畫出函數(shù)圖象，由tan∠CAB=13可得OCOA=13，令x＝0可得y＝﹣1，進(jìn)而可得C（0，﹣1），即OC＝1，由此可得A（3，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出b的值，化作頂點(diǎn)式可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；令（2）根據(jù)拋物線的平移可求出新拋物線，令x＝0，可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可求出△APM的面積；（3）過點(diǎn)M作MQ垂直于原拋物線的對(duì)稱軸，可得出MQ和PQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出tan∠MPQ＝tan∠CAB=13，由△PMN與△ABC相似可得，PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，由此可得出點(diǎn)【解答】解：（1）根據(jù)題意可畫出函數(shù)圖象，令x＝0可得y＝﹣1，∴C（0，﹣1），即OC＝1．在Rt△AOC中，tan∠CAB=1∴OCOA∴OA＝3，∴A（3，0）．將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，13×32+3b﹣1＝0，解得b∴拋物線的解析式為：y=13x2?23x﹣1∴頂點(diǎn)P（1，?4令y＝0，即13（x﹣1）2?∴x＝3或x＝﹣1，∴B（﹣1，0）．（2）將（1）中拋物線向右平移2個(gè)單位，得到的新拋物線y=13（x﹣3）2令x＝0，則y=5∴M（0，53連接AP并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D，∴直線AP的解析式為：y=23∴D（0，﹣2），∴S△APM=12（xA﹣xP）?MD=12×（3）在△ABC中，A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1），tan∠CAB=1∴AB＝4，AC=10如圖，過點(diǎn)M作MQ垂直于原拋物線的對(duì)稱軸，∴MQ＝1，PQ53∴tan∠MPQ=MQPQ=1∴∠MPQ＝∠CAB，若△PMN與△ABC相似，則PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，設(shè)N（1，t），則PN＝t+4∴10：（t+43）＝4：10或10：（t+4解得t=76或t∴N（1，76）或（1，8【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)與幾何綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角函數(shù)值，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論思想等知識(shí)．第（3）問得出∠MPQ＝∠CAB是解題關(guān)鍵．【過關(guān)檢測(cè)】1．(2023普陀區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x+1交于點(diǎn)A（m，0），B（﹣3，n），與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC．（1）求m、n的值和拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D在拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸上，當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）將△AOC平移，平移后點(diǎn)A仍在拋物線上，記作點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．分析：（1）利用待定系數(shù)法求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．（2）過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，由直角三角形的性質(zhì)得出tan∠ACO＝tan∠CDH，則，可列出方程求出CH的長(zhǎng)，則可得出答案；（3）設(shè)P（t，），得出N（t﹣3，），由點(diǎn)N在直線AB上可得出t的值，則可得出答案．【解答】解：（1）將A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），將B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．（2）如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，∵拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如圖2，若平移后的三角形為△PMN，則MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，設(shè)P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵點(diǎn)N在直線y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，平移的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程確定點(diǎn)的坐標(biāo)．yx2bxc（0和（4Px軸相Q.BCBQ=CP解：（1）根據(jù)題意………（2分）解得：，。∴拋物線的表達(dá)式是…………………（2分）（2），∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，5）.對(duì)稱軸是直線x=2，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）.…………（1分）∴，，；……………………（1分）∴，∴∠COM=90°，…………………（2分）（3）根據(jù)題意，BC∥PQ.如果點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方,PC∥BQ時(shí)，四邊形BCPQ是平行四邊形，∴BQ=CP，BC=PQ=5，即拋物線向上平移5個(gè)單位，平移后的拋物線解析式是.…………（2分）如果點(diǎn)C在點(diǎn)B的下方，四邊形BCQP是等腰梯形時(shí)BQ=CP，作BE⊥PQ，CF⊥PQ，垂足分別為E、F.根據(jù)題意可得，PE=QF=1，PQ=5，BC=EF=3，即拋物線向下平移3個(gè)單位，平移后的拋物線解析式是……………（2分）.綜上所述，平移后的拋物線解析式是或.3(2023閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與牰交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．（1）用含的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）當(dāng)頂點(diǎn)在△AOB內(nèi)部，且S△AOC（3）如果將拋物線向右平移一個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后，平移后的拋物線的頂點(diǎn)仍在△AOB內(nèi)，求的取值范圍．【小問1詳解】解：拋物線，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：對(duì)于，當(dāng)x=0時(shí)，y=5，當(dāng)y=0時(shí)，x=5，∴A（5，0），B（0，5），∵頂點(diǎn)C在△AOB內(nèi)部，且S∴，∴a=2，∴拋物線的表達(dá)式為；【小問3詳解】解：由題意，平移后的拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵平移后的拋物線的頂點(diǎn)仍在△AOB內(nèi)，∴，解得：1＜a＜3，即的取值范圍為1＜a＜3．4(2023奉賢一模24）（本題滿分12分,第(1)小題滿分4分,第(2)小題每小題滿分4分)如圖11,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y(1)求該拋物線的表達(dá)式的頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)將拋物線沿y軸上下平移,平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為M,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.①如果點(diǎn)M落在線段BC上,求∠DBE的度數(shù)②設(shè)直線ME與x軸正半軸交于點(diǎn)P,與線段BC交于點(diǎn)Q,當(dāng)PE=2PQ時(shí),圖圖11【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D（1，4）；（2）①設(shè)直線x＝1交x軸于G，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴GM＝GB＝2，∴DM＝DG﹣GM＝2，∴將拋物線y＝﹣x2+2x+3沿y軸向下平移2個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)M落在BC上，此時(shí)E（0，1），∵D（1，4），E（0，1），B（3，0），∴DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20，∴DE2+BE2＝BD2，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)，則點(diǎn)M在x軸下方，如圖，作QH⊥x軸于H，由C（0，3），D（1，4）可知，直線CD與x軸夾角為45°，∴平移后∠QPB＝45°，∴PH＝BH，∵OE∥QH，PE＝2PQ，∴OP＝2PH，∴4BH＝3，∴BH＝∴OP＝2BH＝，∴GM＝GP＝，∴M（1，﹣），∴平移后拋物線為y＝﹣（x﹣1）2﹣．5．(2023?松江區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y＝ax2+bx﹣5a經(jīng)過點(diǎn)A．將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求拋物線的對(duì)稱軸；（3）若拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，求a的取值范圍．分析：（1）由y＝3x+3與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，可求出A、B坐標(biāo)，B向右移動(dòng)5個(gè)單位即得C坐標(biāo)；（2）將A坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根據(jù)對(duì)稱軸公式可得答案；（3）對(duì)稱軸x＝2與BC交于D，與OC交于E，拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，則頂點(diǎn)在D和E之間，用a表示頂點(diǎn)縱坐標(biāo)列不等式可得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C．∴C（5，3）；（2）∵A（﹣1，0），拋物線y＝ax2+bx﹣5a經(jīng)過點(diǎn)A，∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，∴拋物線y＝ax2+bx﹣5a對(duì)稱軸為x＝＝﹣＝2；（3）對(duì)稱軸x＝2與BC交于D，與OC交于E，如圖：設(shè)OC解析式為y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴k＝，∴OC解析式為y＝x，令x＝2得y＝，即E（2，），由（1）知b＝﹣4a，∴拋物線為y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣9a），拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，則頂點(diǎn)在D和E之間，而D（2，3），∴＜﹣9a＜3，∴﹣＜a＜﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的平移、二次函數(shù)圖象等知識(shí)，表示頂點(diǎn)坐標(biāo)列不等式是解題的關(guān)鍵．6.【2023年靜安區(qū)二模24】（本題滿分12分，其中第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0）（如圖），經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線與y軸相交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．求此拋物線表達(dá)式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；求∠ABC的正弦值；將此拋物線向上平移，所得新拋物線頂點(diǎn)為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．（第2（第24題圖）AOxy解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），∴． （1分）∴． （1分）∴拋物線表達(dá)式為，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）． （2分）（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸、AB分別相交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E（3，0）．∵點(diǎn)B（0，5），∴OA=OB=5,AB＝，∠OAB=45°，∴EF=AE=2，CF=6． （1分）∴． （2分）過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，∵BC=，∴． （1分）∴．∴． （1分）（3）∵，∴Rt△AEC∽R(shí)t△AHB，∴∠ACE=∠A∵△DCA與△ABC相似，∴或． （1分）∴或．∴CD=或CD=6． （1分）∵拋物線和y軸的交點(diǎn)向上平移的距離與頂點(diǎn)平移的距離相同，∴平移后的拋物線的表達(dá)式為或． （1分）7.【2023年長(zhǎng)寧二模24】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，聯(lián)結(jié)AC、BC，當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的值；（3）如果點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)B的右側(cè)，聯(lián)結(jié)PC，直線PA交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)∠PCE＝∠PEC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．答案:（1）；（2）m＝4；（3）分析：（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則拋物線過點(diǎn)C（0，4），即可求解；（3）求出直線PA的表達(dá)式，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，?t＋4），由∠PCE＝∠PEC，則點(diǎn)P在CE的中垂線上，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得故拋物線的表達(dá)式為；（2）令x=0，y=4∴C（0，4）當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則拋物線過點(diǎn)C（0，4）由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x＝2，則平移后拋物線再過點(diǎn)C時(shí)，m＝4；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，)，設(shè)直線PA的表達(dá)式為y＝kx+b，代入A、P坐標(biāo)得，解得，∴直線PA的表達(dá)式為y＝（）x，令x=0，y=故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣t+4），而點(diǎn)C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，則點(diǎn)P在CE的中垂線上，由中點(diǎn)公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），解得t＝1（舍去）或，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、圖形的平移等，有一定的綜合性，難度適中．8.【2023年奉賢二模】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A、C．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線先向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上的點(diǎn)C′處，求m的值；（3）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，聯(lián)結(jié)AC，如果點(diǎn)F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．答案:（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐標(biāo)為（4，）或（4，﹣1.5）．分析：（1）求出A坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐標(biāo)代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方兩種情況畫出圖形，構(gòu)造相似三角形利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得答案．【詳解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴將A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x；（2）設(shè)直線AB的解析式是y＝mx＋n，將A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直線AB的解析式是y＝﹣x＋2，∵拋物線y＝x2﹣2x向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，則其上的點(diǎn)C也向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，而C（1，﹣），∴C′（1＋m，﹣），∵C′（1＋m，﹣）在直線AB上，∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x對(duì)稱軸為x＝2，B（0，2），點(diǎn)B關(guān)于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直線AB′為x＝4，點(diǎn)F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，分兩種情況：①F在A上方，如圖：過A作AG⊥CF于G，過G作GH//x軸交直線x＝4于H，過C作CM⊥x軸交直線GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝GH，MG＝2AH，設(shè)G（m，n），則MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（28，0.9），又C，∴直線GC解析式為：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在