北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常考題專練專題09平行線的綜合運(yùn)用(原卷版+解析)

專題09平行線的綜合運(yùn)用題型一平行線中的推理題型1．如圖，已知中，于點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，．求證：．請(qǐng)把證明的過(guò)程填寫(xiě)完整．證明：，，（垂直的定義）又（已知）2．閱讀下面解答過(guò)程，并填空或在括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)理由．已知平分交于點(diǎn)，，且，，請(qǐng)說(shuō)明．解：平分（已知），（角平分線定義）．，．，（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），．．．3．已知：如圖，，，，，求證：．證明：，（已知）（垂直定義）（已知）（等量代換）（已知）題型二平行線中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題4．如圖①，已知，．（1）若點(diǎn)、在線段上，且滿足平分，平分，求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)、在射線上，且滿足平分，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律；（3）若點(diǎn)在直線上，且滿足，直接寫(xiě)出的值．5．如圖，已知，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），、分別平分和，分別交射線于點(diǎn)，．（1）①當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是；②，；（2）當(dāng)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的度數(shù)之比是否隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律．（4）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．6．如圖，已知直線射線，，是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接，作，交直線于點(diǎn)，平分，交直線于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)，，都在點(diǎn)的右側(cè)，求的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，若，求的度數(shù)；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的情形，使？若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，已知，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），、分別平分和，分別交射線于點(diǎn)，．（1）的度數(shù)是，的度數(shù)是；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，的度數(shù)是多少？8．如圖，已知直線射線，．是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接．作，交直線于點(diǎn)，平分．（1）若點(diǎn)，，都在點(diǎn)的右側(cè)．①求的度數(shù)；②若，求的度數(shù)．（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的情形，使？若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖，已知，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，分別平分和，分別交射線于點(diǎn)，．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的比值是否隨之變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，，求此時(shí)的度數(shù)．10．，在的右側(cè)，平分，平分，、所在的直線交于點(diǎn)．．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)；（3）將線段沿方向移動(dòng)，使得點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，其他條件不變，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．11．如圖，已知直線，直線與直線、分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)和點(diǎn)位于直線同一側(cè)．（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)和上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：．（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線上方時(shí)，試寫(xiě)出、和三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線下方時(shí)，直接寫(xiě)出、和三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．12．珠江某河段兩岸安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，．如圖1，2所示，假如河道兩岸是平行的，，且，燈射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，且燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．（1）填空：；（2）若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖3，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，若兩燈發(fā)出的射線與交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，且，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．13．如圖1，，點(diǎn)，分別在直線，上，，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）直接寫(xiě)出，，之間的關(guān)系：；（2）若，求；（3）如圖2，在（2）的條件下，將繞著點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，當(dāng)邊與射線重合時(shí)停止，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)?shù)钠渲幸贿吪c的某一邊平行時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)的值．14．已知，線段分別與、相交于點(diǎn)、．（1）如圖①，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括、兩點(diǎn)），、與之間有怎樣的數(shù)量？試證明你的結(jié)論；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，說(shuō)明理由；如果不成立，直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系．題型三平行線中的其他綜合問(wèn)題15．如圖，已知直線、被直線所截，，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)不在直線、、上），設(shè)，．下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④16．已知與的兩邊一邊平行，另一邊互相垂直，且，則的度數(shù)為．17．已知：如圖（1）直線、被直線所截，．（1）求證：；（2）如圖（2），點(diǎn)在，之間的直線上，、分別在直線、上，連接、，平分，平分，則和之間有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；（3）如圖（3），在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，若平分，，求的度數(shù)．18．已知，如圖，把直角三角形的直角頂點(diǎn)放在直線上，射線平分．（1）如圖1，若，求的度數(shù)．（2）若，則的度數(shù)為．（3）由（1）和（2），我們發(fā)現(xiàn)和之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？（4）若將三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，試問(wèn)和之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．19．已知，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，點(diǎn)在、之間，連接、．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)是上方一點(diǎn)，連接、，且的延長(zhǎng)線平分，平分，，求的度數(shù)20．已知直線、和點(diǎn)在同一平面內(nèi)，且，．（1）如圖1，求和之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若，垂足為，求證：；（3）如圖3，已知點(diǎn)、、都在直線上，且，平分，平分．若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．21．已知，，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)．（1）如圖1，若，，則．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)與交于點(diǎn)，則、、之間滿足怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，平分，且，，，求的度數(shù)．22．已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于．（1）如圖1，直接寫(xiě)出和之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，點(diǎn)、在上，連接、、，平分，平分，若，，求的度數(shù)．23．某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：已知直線，若直線，則．他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論運(yùn)用很廣，請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論解決以下問(wèn)題：已知直線，點(diǎn)在、之間，點(diǎn)、分別在直線、上，連接、．（1）如圖1，運(yùn)用上述結(jié)論，探究與之間的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由；（2）如圖2，平分，平分，當(dāng)時(shí)，求出的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)在的下方，平分，平分，的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．24．已知，，平分．（1）如圖1，若，，求的度數(shù)．（2）如圖2，若，的2倍與的補(bǔ)角的和為，求的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，為射線上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，平分，，平分，，求的度數(shù)．專題09平行線的綜合運(yùn)用題型一平行線中的推理題型1．如圖，已知中，于點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，．求證：．請(qǐng)把證明的過(guò)程填寫(xiě)完整．證明：，已知，（垂直的定義）又（已知）【解答】解：證明：，已知），（垂直的定義）同位角相等，兩直線平行）兩直線平行，同位角相等）又（已知）（等量代換）（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）故答案為：已知；；同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同位角相等；；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；2．閱讀下面解答過(guò)程，并填空或在括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)理由．已知平分交于點(diǎn)，，且，，請(qǐng)說(shuō)明．解：平分（已知），（角平分線定義）．，．，（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），．．．【解答】解：平分，（已知）．（角平分線定義），．，（已知）．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（兩直線平行，同位角相等），，故答案為：；55；；兩直線平行，同位角相等；；．3．已知：如圖，，，，，求證：．證明：，（已知）（垂直定義）同位角相等，兩直線平行（已知）（等量代換）（已知）【解答】解：證明過(guò)程如下：證明：，（已知）（垂直定義）（同位角相等，兩直線平行）（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（已知）（等量代換）（同位角相等，兩直線平行）（兩直線平行，同位角相等）（已知）（垂直定義）（等量代換）（垂直定義）．題型二平行線中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題4．如圖①，已知，．（1）若點(diǎn)、在線段上，且滿足平分，平分，求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)、在射線上，且滿足平分，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律；（3）若點(diǎn)在直線上，且滿足，直接寫(xiě)出的值．【解答】解：（1），，，，，，平分，平分，，，；（2）如圖，平分，，由（1）得，，，，，，故的度數(shù)比值不變，為．（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由（1）可得，，，又，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，由（1）可得，，，又，．5．如圖，已知，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），、分別平分和，分別交射線于點(diǎn)，．（1）①當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是；②，；（2）當(dāng)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的度數(shù)之比是否隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律．（4）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【解答】解：（1）①，，，；②，；故答案為：130度，；（2），，，，平分，平分，，，，；（3）不變，．，，，平分，，；（4），，當(dāng)時(shí)，則有，，，平分，平分，，，，，，，即．6．如圖，已知直線射線，，是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接，作，交直線于點(diǎn)，平分，交直線于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)，，都在點(diǎn)的右側(cè)，求的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，若，求的度數(shù)；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的情形，使？若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1），，，，平分，；（2），，，，又，，，平分，，，，，；（3）設(shè)，，則，①當(dāng)點(diǎn)、在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，則，，，解得，；②當(dāng)點(diǎn)、在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，則，，，，解得，，，．綜上所述：在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在，度數(shù)為或．7．如圖，已知，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），、分別平分和，分別交射線于點(diǎn)，．（1）的度數(shù)是，的度數(shù)是；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，的度數(shù)是多少？【解答】解：（1），，，；平分，平分，，，，，故答案為：，；（2）不變，，，，，平分，，；（3），，當(dāng)時(shí)，則有，，由（1），，，，故答案為：．8．如圖，已知直線射線，．是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接．作，交直線于點(diǎn)，平分．（1）若點(diǎn)，，都在點(diǎn)的右側(cè)．①求的度數(shù)；②若，求的度數(shù)．（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的情形，使？若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）①，，，，平分，；②，，又，，，，，；（2）設(shè)，，則，①當(dāng)點(diǎn)、在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，則，，，解得，；②當(dāng)點(diǎn)、在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，則，，，，解得，，，．9．如圖，已知，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，分別平分和，分別交射線于點(diǎn)，．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的比值是否隨之變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，，求此時(shí)的度數(shù)．【解答】解：（1），，又，分別平分和，．（2）不變．理由如下：，，，又平分，，即．（3），，又，，，，．10．，在的右側(cè)，平分，平分，、所在的直線交于點(diǎn)．．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)；（3）將線段沿方向移動(dòng)，使得點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，其他條件不變，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【解答】解：（1）平分，，；（2）（2）過(guò)點(diǎn)作，，，，，平分，平分，，，，，；（3）分三種情況：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，平分，平分，，，，，，，，，．如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，平分，平分，，，，，，，，，．如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，平分，平分，，，，，，，，，．綜上所述，的度數(shù)為或．11．如圖，已知直線，直線與直線、分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)和點(diǎn)位于直線同一側(cè)．（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)和上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：．（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線上方時(shí)，試寫(xiě)出、和三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線下方時(shí)，直接寫(xiě)出、和三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）證明：如圖（1），過(guò)點(diǎn)作，，又，，，，即；（2）解：如圖（2），，理由是：過(guò)點(diǎn)作，，又，，，，即；（3）解：如圖（3），，理由如下：過(guò)點(diǎn)作，，又，，，，．12．珠江某河段兩岸安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，．如圖1，2所示，假如河道兩岸是平行的，，且，燈射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，且燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．（1）填空：60；（2）若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖3，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，若兩燈發(fā)出的射線與交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，且，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1），，，故答案為：60；（2）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)時(shí)，如圖1，，，，，，解得；②當(dāng)時(shí)，如圖2，，，，，解得，綜上所述，當(dāng)秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）和關(guān)系不會(huì)變化．理由：設(shè)燈射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，，，又，，而，，，即，和關(guān)系不會(huì)變化．13．如圖1，，點(diǎn)，分別在直線，上，，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）直接寫(xiě)出，，之間的關(guān)系：；（2）若，求；（3）如圖2，在（2）的條件下，將繞著點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，當(dāng)邊與射線重合時(shí)停止，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)?shù)钠渲幸贿吪c的某一邊平行時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)的值．【解答】解：（1）故答案為：；；；（2）設(shè)，平分由（1）的結(jié)論可得：，；（3）由（2）可得，，，，，①當(dāng)時(shí)②當(dāng)時(shí)③當(dāng)時(shí)④當(dāng)時(shí)，⑤當(dāng)時(shí)，綜上所述，的值為：6或12或21或24或30．14．已知，線段分別與、相交于點(diǎn)、．（1）如圖①，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括、兩點(diǎn)），、與之間有怎樣的數(shù)量？試證明你的結(jié)論；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，說(shuō)明理由；如果不成立，直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）解：過(guò)作，，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，，；（2），證明：過(guò)作，，，，，；（3）解：①當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不成立，關(guān)系式是：，理由是：過(guò)作，，，，，，即；②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，新的相等關(guān)系為．理由：設(shè)與相交于，則．，，．③當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，成立，關(guān)系式為，證明：過(guò)作，，，，，；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（2）中的結(jié)論不一定成立．題型三平行線中的其他綜合問(wèn)題15．如圖，已知直線、被直線所截，，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)不在直線、、上），設(shè)，．下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解答】解：（1）如圖，由，可得，，．（2）如圖，過(guò)作平行線，則由，可得，，．（3）如圖，由，可得，，．（4）如圖，由，可得，．的度數(shù)可能為，，，．（5）當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，同理可得，或．故選：．16．已知與的兩邊一邊平行，另一邊互相垂直，且，則的度數(shù)為36或96或108．【解答】解：若是銳角時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，如圖1所示：，，又，，又，，又，，，，又，；若是鈍角時(shí)．過(guò)點(diǎn)作，如圖2所示：同理可得：，，，又，，，，，又，；當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖3，同理可得，，而，解得，綜合所述：的度數(shù)為或或，故答案為36或96或108．17．已知：如圖（1）直線、被直線所截，．（1）求證：；（2）如圖（2），點(diǎn)在，之間的直線上，、分別在直線、上，連接、，平分，平分，則和之間有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；（3）如圖（3），在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，若平分，，求的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖1中，，，，．（2）結(jié)論：如圖2中，．理由：作．，，，，，，，同法可證：，，，，，．（3）如圖3中，設(shè)，．，則，，，，，，平分，，，平分，，，，，，．18．已知，如圖，把直角三角形的直角頂點(diǎn)放在直線上，射線平分．（1）如圖1，若，求的度數(shù)．（2）若，則的度數(shù)為．（3）由（1）和（2），我們發(fā)現(xiàn)和之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？（4）若將三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，試問(wèn)和之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖1，，，，又平分，，，（2）如圖1，，，，又平分，，，故答案為：；（3）由（1）和（2）可得：；（4）和之間的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，如圖2，平分，，，，，即：．19．已知，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，點(diǎn)在、之間，連接、．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)是上方一點(diǎn)，連接、，且的延長(zhǎng)線平分，平分，，求的度數(shù)【解答】解：（1）如圖1，過(guò)作，，，，，，；（2）如圖2，過(guò)作，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，，，，，，，，平分，，，，，平分，，，，，，，；（3）如圖3，過(guò)作，過(guò)作，設(shè)，，，交于，平分，，，，，，，，，，，，，平分，，，，，，，，，，，，．20．已知直線、和點(diǎn)在同一平面內(nèi)，且，．（1）如圖1，求和之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若，垂足為，求證：；（3）如圖3，已知點(diǎn)、、都在直線上，且，平分，平分．若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖1，，，，，，，故答案為：；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，，，，．（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作，，，，平分，平分，，，，，，設(shè)，，則，，，，，，，，，，中，由得：，，，，，．21．已知，，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)．（1）如圖1，若，，則