2024年吉林長春市中考數(shù)學試卷真題（含答案解析）

2024年長春市初中學業(yè)水平考試數(shù)學本試卷包括三道大題，共6頁。全卷滿分為120分，考試時間為120分鐘。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時，考生務(wù)必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．根據(jù)有理數(shù)加法法則，計算過程正確的是（）A． B． C． D．2．南湖公園是長春市著名旅游景點之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的（）A．主視圖 B．俯視圖 C．左視圖 D．右視圖3．在剪紙活動中，小花同學想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（）A． B． C． D．4．下列運算一定正確的是（）A． B． C． D．5．不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學的身高，表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現(xiàn)的數(shù)學原理是（）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則6．2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射．當火箭上升到點時，位于海平面處的雷達測得點到點的距離為千米，仰角為，則此時火箭距海平面的高度為（）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米7．如圖，在中，是邊的中點．按下列要求作圖：①以點為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段于點，交于點；②以點為圓心、長為半徑畫弧，交線段于點；③以點為圓心、長為半徑畫弧，交前一條弧于點，點與點在直線同側(cè)；④作直線，交于點．下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B．C． D．8．如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，點在函數(shù)的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點，與函數(shù)的圖象交于點．若，則點的坐標是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9．單項式的次數(shù)為________．10．計算：________．11．若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點，則的取值范圍是________．12．已知直線（、是常數(shù)）經(jīng)過點，且隨的增大而減小，則的值可以是________．（寫出一個即可）13．一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，邊與直線重合，．現(xiàn)將該三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點的對應(yīng)點落在直線上，則點經(jīng)過的路徑長至少為________．（結(jié)果保留）14．如圖，是半圓的直徑，是一條弦，是的中點，于點，交于點，交于點，連結(jié)．給出下面四個結(jié)論：①；②；③當，時，；④當，時，的面積是．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有________．三、解答題：本題共10小題，共78分。15．（6分）先化簡，再求值：，其中．16．（6分）2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式，此模式有若干種學科組合，每位高中生可根據(jù)自己的實際情況選擇一種．一對雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合，該校要將所有選報這種組合的學生分成、、三個班，其中每位學生被分到這三個班的機會均等．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率．17．（6分）《九章算術(shù)》是我國第一部自成體系的數(shù)學專著，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)、金價各幾何？譯文：今有人合伙買金，每人出400錢，剩余3400錢；每人出300錢，剩余100錢．問合伙人數(shù)和金價各是多少？請解答這個問題．18．（7分）如圖，在四邊形中，，是邊的中點，．求證：四邊形是矩形．19．（7分）某校為調(diào)研學生對本校食堂的滿意度，從初中部和高中部各隨機抽取20名學生對食堂進行滿意度評分（滿分10分），將收集到的評分數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．高中部20名學生所評分數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如下圖：（數(shù)據(jù)分成4組：，，，）b．高中部20名學生所評分數(shù)在這一組的是：8.08.18.28.28.48.58.68.78.8c．初中部、高中部各20名學生所評分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)初中部8.38.5高中部8.3根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表中的值為________；（2）根據(jù)調(diào)查前制定的滿意度等級劃分標準，評分不低于8.5分為“非常滿意”．①在被調(diào)查的學生中，設(shè)初中部、高中部對食堂“非常滿意”的人數(shù)分別為、，則________；（填“>”“<”或“=”）②高中部共有800名學生在食堂就餐，估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù)．20．（7分）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點、均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形，使其是軸對稱圖形且點、均在格點上．（1）在圖①中，四邊形面積為2；（2）在圖②中，四邊形面積為3；（3）在圖③中，四邊形面積為4．21．（8分）區(qū)間測速是指在某一路段前后設(shè)置兩個監(jiān)控點，根據(jù)車輛通過兩個監(jiān)控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經(jīng)過一段長度為20千米的區(qū)間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區(qū)間測速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時間（時）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）的值為________；（2）當時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）通過計算說明在此區(qū)間測速路段內(nèi)，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）22．（9分）【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊中，，點、分別在邊、上，且，試探究線段長度的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線．在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：；（2）的大小為度，線段長度的最小值為________．【方法應(yīng)用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，是等腰三角形，四邊形是矩形，米，．是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點在上，點在上．在調(diào)整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持．鋼絲繩長度的最小值為米．23．（10分）如圖，在中，，．點是邊上的一點（點不與點、重合），作射線，在射線上取點，使，以為邊作正方形，使點和點在直線同側(cè)．（1）當點是邊的中點時，求的長；（2）當時，點到直線的距離為________；（3）連結(jié)，當時，求正方形的邊長；（4）若點到直線的距離是點到直線距離的3倍，則的長為________．（寫出一個即可）24．（12分）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點、是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為、，點的橫坐標為，點的縱坐標與點的縱坐標相同，連結(jié)、．（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）求證：當取不為零的任意實數(shù)時，的值始終為2；（3）作的垂直平分線交直線于點，以為邊、為對角線作菱形，連結(jié)．①當與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形的面積；②當此拋物線在菱形內(nèi)部的點的縱坐標隨的增大而增大時，直接寫出的取值范圍．2024年長春市初中學業(yè)水平考試數(shù)學答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.根據(jù)有理數(shù)加法法則，計算2+(-3)過程正確的是()A.+(3+2)B.+(3-2)C.-(3+2)D.-(3-2)【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法，掌握“將兩個數(shù)的絕對值相減，結(jié)果的符號與絕對值較大的數(shù)的符號相同”成為解題的關(guān)鍵.根據(jù)將兩個數(shù)的絕對值相減，結(jié)果的符號與絕對值較大的數(shù)的符號相同即可解答.【詳解】解:2+(-3)=-(3-2).故選D.2.南湖公園是長春市著名旅游景點之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的().A.主視圖B.俯視圖C.左視圖D.右視圖【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解決本題的關(guān)鍵.第1頁/共30頁根據(jù)三視圖主視圖、俯視圖、左視圖的定義即可解答.【詳解】解：由題意可知圖③是從“四角亭”上方看到的，即為俯視圖.故選B.3.在剪紙活動中，小花同學想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則.∠α的大小為()A.54°B.60°C.70°D.72°【答案】D【解析】【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，正多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和公式和鄰補角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解:∠α=180故選:D.4.下列運算一定正確的是()A.2a·3a=6aB.a2?a3=a?C.ab2=a2b2【答案】C【解析】【分析】本題考查了單項式乘單項式、同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方與積的乘方，掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)單項式乘單項式的運算法則計算并判斷A；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算并判斷B；根據(jù)積的乘方運算法則計算并判斷C；根據(jù)冪的乘方運算法則計算并判斷D.【詳解】解:A.2a?3a=6a2,故本選項不符合題意；B.a2?a3=a?,故本選項不符合題意；第2頁/共30頁C.abD.a3故選:C.5.不等關(guān)系在生活中廣泛存在.如圖，a、b分別表示兩位同學的身高，c表示臺階的高度.圖中兩人的對話體現(xiàn)的數(shù)學原理是()A.若a>b,則a+c>b+cB.若a>b,b>c,則a>cC.若a>b,c>0,則ac>bcD.若a>b,c>0,則a【答案】A【解析】【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟記不等式性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答.【詳解】解:由作圖可知:a>b,由右圖可知:a+c>b+c,即A選項符合題意.故選:A.6.2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射.當火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為a千米，仰角為θ，則此時火箭距海平面的高度AL為()A.asinθ千米B.asinθ千米C.acosθ【答案】A【解析】【分析】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵，根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義即可第3頁/共30頁求解【詳解】解：由題意得：si∴AL=asinθ千米故選:A7.如圖,在△ABC中,O是邊AB的中點.按下列要求作圖:①以點B為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段BO于點D，交BC于點E；②以點O為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段OA于點F；③以點F為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G，點G與點C在直線AB同側(cè)；④作直線OG，交AC于點M.下列結(jié)論不一定成立的是()A∠AOM=∠BB.∠OMC+∠C=180°C.AM=CMD.OM=【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了作一個角等于已知角，平行線的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，先根據(jù)作圖得出∠AOM=∠B，根據(jù)平行線的判定得出OM∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠OMC+∠C=180°，根據(jù)平行線分線段成比例得出AMCM=AOOB=1,【詳解】解:A.根據(jù)作圖可知:∠AOM=∠B一定成立,故A不符合題意;B.∵∠AOM=∠B,∴OM∥BC,∴∠OMC+∠C=180°一定成立,故B不符合題意;C.∵O是邊AB的中點,∴AO=BO,∵OM∥BC,第4頁/共30頁∴∴AM=CM一定成立,故C不符合題意;D.OM=12AB8.如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，點A(4，2)在函數(shù)y=kxk0,x>0)的圖象上.將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點B，與函數(shù)y=kxk0,x>0)A.(0,5)B.(0,3)C.(0,4)D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)、解直角三角形、平移的性質(zhì)等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵.如圖：過點A作x軸的垂線交x軸于點E，過點C作y軸的垂線交y軸于點D，先根據(jù)點A坐標計算出sin∠OAE、k值，再根據(jù)平移、平行線的性質(zhì)證明∠DBC=∠OAE，進而根據(jù)sin∠DBC=CDBC=sin∠OAE求出CD,最后代入反比例函數(shù)解析式取得點C的坐標，進而確定CD=2，【詳解】解：如圖，過點A作x軸的垂線交x軸于點E，過點C作y軸的垂線交y軸于點D，則AE∥y軸，第5頁/共30頁∵A(4,2),∴OE=4,OA=∴∵A(4，2)在反比例函數(shù)的圖象上，∴k=4×2=8.∴將直線OA向上平移若干個單位長度后得到直線BC，∴OA∥BC,∴∠OAE=∠BOA,∵AE‖y軸,∴∠DBC=∠BOA,∴∠DBC=∠OAE,∴∴CD5=255,解得:CD將x=2代入y=8x,得y∴C點的坐標為(2,4),∴CD=2,OD=4,∴BD=∴OB=OD-BD=4-1=3,∴B(0,3)故選:B.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分.9.單項式-2a2b的次數(shù)是.【答案】3【解析】【分析】此題考查單項式有關(guān)概念，根據(jù)單項式次數(shù)的定義來求解，解題的關(guān)鍵是需靈活掌握單項式的系數(shù)和次數(shù)的定義，單項式中數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù).第6頁/共30頁【詳解】單項式-2a2b的次數(shù)是:2+1=3,故答案為:3.10.計算:12【答案】3【解析】【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡，再相減.【詳解】解:12=2=故答案是：3【點睛】本題考查了二次根式的減法，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及性質(zhì).11.若拋物線y=x2-x+c(C是常數(shù))與x軸沒有交點，則C的取值范圍是.【答案】c>【解析】【分析】本題主要考查了拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點問題，掌握拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒有交點與x2-x+c=0沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵.由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關(guān)于c的一元一次不等式求解即可.【詳解】解：∵拋物線y=x2-x+c與x軸沒有交點，∴x2-x+c=0沒有實數(shù)根，∴Δ=故答案為：c>12.已知直線y=kx+b(k、b是常數(shù))經(jīng)過點(1,1),且y隨x的增大而減小,則b的值可以是.(寫出一個即可)【答案】2(答案不唯一)第7頁/共30頁【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k>0,，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵.利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可得出1=k+b,，由y隨x的增大而減小，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出k<0,若代入k=-1,求出b值即可.【詳解】解:∵直線y=kx+b(k、b是常數(shù))經(jīng)過點(1,1),∴1=k+b.∵y隨x的增大而減小，∴k<0,當k=-1時,1=-1+b,解得：b=2,∴b的值可以是2.故答案為：2(答案不唯一)13.一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊AB與直線l重合，AB=12cm..現(xiàn)將該三角板繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點C'落在直線l上，則點A經(jīng)過的路徑長至少為cm.(結(jié)果保留π)【答案】20π【解析】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關(guān)鍵.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABC=∠A'BC=60°,即∠A'BA=120°,再根據(jù)點【詳解】解：∵將該三角板繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)點C'落在直線l∴∠ABC=∠A'BC=60°,即∠A'BA=120°,第8頁/共30頁

∴點A經(jīng)過的路徑長至少為120故答案為：20π14.如圖,AB是半圓的直徑,AC是一條弦,D是AC的中點，DE⊥AB于點E,交AC于點F,DB交AC于點G，連結(jié)AD.給出下面四個結(jié)論：①∠ABD=∠DAC;②AF=FG;③當DG=2,GB=3時,FG=④當BD=2AD,AB=6時,△DFG上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有.【答案】①②③【解析】【分析】如圖：連接DC，由圓周角定理可判定①；先說明.∠BDE=∠AGD、∠ADE=∠DAC可得DF=FG、AF=FD,即AF=FG可判定②;先證明△ADG∽△BDA可得ADBD=GDAD,即ADDG+BG=GDAD,代入數(shù)據(jù)可得AD=10,然后運用勾股定理可得AG=14,再結(jié)合AF=FG即可判定③;如圖:假設(shè)半圓的圓心為O,連接OD,CO,CD,易得【詳解】解:如圖:連接DC,第9頁/共30頁∵D是AC的中點，∴AD=DC∴∠ABD=∠DAC,即①正確;∵AB是直徑,∴∠ADB=90°,∴∠DAC+∠AGD=90°,∵DE⊥AB∴?BDE?ABD90?,∵∠ABD=∠DAC,∴∠BDE=∠AGD,∴DF=FG,∵?BDE?ABD90?,∠BDE+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠ABD,∵∠ABD=∠DAC,∴∠ADE=∠DAC,∴AF=FD,∴AF=FG,即②正確;在△ADG和△BDA,∠ADG=∠BDA=90∴△ADG∽△BDA,∴ADBD=∴AD2+3=∴AG=∵AF=FG,∴FG=1如圖:假設(shè)半圓的圓心為O,連接OD,CO,CD,第10頁/共30頁∵BD=2AD,AB=6,D∴∴∠AOD=∠DOC=60°,∵OA=OD=OC,..△AOD,△ODC是等邊三角形,∴OA=AD=CD=OC=OD=6,即ADCO是菱形,∴∠DAC=∠OAC=∵∠ADB=90°,∴tan∠DAC=tan30∴∵AF=FG∴S故答案為:①②③.【點睛】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.三、解答題：本題共10小題，共78分.15.先化簡,再求值:x3x-2-【答案】x2,2【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值問題，先算分式的減法運算，再代入求值即可.【詳解】解：原式=第11頁/共30頁∵x=∴原式=216.2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式，此模式有若干種學科組合，每位高中生可根據(jù)自己的實際情況選擇一種.一對雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合，該校要將所有選報這種組合的學生分成A、B、C三個班，其中每位學生被分到這三個班的機會均等.用畫樹狀圖(或列表)的方法，求這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率.【答案】1【解析】【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法、概率公式等知識點，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.先列表確定出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的結(jié)果數(shù)，然后再利用概率公式計算即可.【詳解】解：列表如下：ABCAA,AA,BA,CBB,AB,BB,CCC,AC,BC,C共有9種等可能的結(jié)果，其中這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的結(jié)果有3種，所以這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率為317.《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學家尊為“算經(jīng)之首”.下面是其卷中記載的關(guān)于“盈不足”的一個問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.問人數(shù)、金價各幾何?這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢.合伙人數(shù)、金價各是多少?請解決上述問題.【答案】共33人合伙買金，金價為9800錢【解析】【分析】設(shè)共x人合伙買金，金價為y錢，根據(jù)“每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論.第12頁/共30頁【詳解】解：設(shè)共x人合伙買金，金價為y錢，依題意得：400x-3400=y解得：x=33答:共33人合伙買金,金價為9800錢.【點睛】本題考查了二元-次方程組的應(yīng)用以及數(shù)學常識，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.18.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是邊AB的中點,∠AOD=∠BOC.求證：四邊形ABCD是矩形.【答案】證明見解析.【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定及矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵.利用SAS可證明△AOD≌△BOC,得出AD=BC,根據(jù).∠A=∠B=90°得出AD‖BC,即可證明四邊形ABCD是平行四邊形，進而根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形ABCD是矩形.【詳解】證明:∵O是邊AB的中點,∴OA=OB,在△AOD和△BOC中,∠A=∠B=90∴△AOD≌△BOC,∴AD=BC,∵∠A=∠B=90°,∴AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠A=∠B=90°,第13頁/共30頁

∴四邊形ABCD是矩形.19.某校為調(diào)研學生對本校食堂的滿意度，從初中部和高中部各隨機抽取20名學生對食堂進行滿意度評分(滿分10分)，將收集到的評分數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息：a.高中部20名學生所評分數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如下圖：(數(shù)據(jù)分成4組：(6≤x<7,7≤x<8,8≤x<9,9≤x≤10)b.高中部20名學生所評分數(shù)在8≤x<9這一組的是：8.08.18.28.28.48.58.68.78.8c.初中部、高中部各20名學生所評分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)初中部8.38.5高中部8.3m根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)表中m的值為;(2)根據(jù)調(diào)查前制定的滿意度等級劃分標準，評分不低于8.5分為“非常滿意”.①在被調(diào)查的學生中，設(shè)初中部、高中部對食堂“非常滿意”的人數(shù)分別為a、b，則ab；(填“>”“<”或“=”)②高中部共有800名學生在食堂就餐，估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù).【答案】(1)8.3(2)①>；②估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù)為360人【解析】第14頁/共30頁【分析】(1)由題意知，高中部評分的中位數(shù)為第10，11位數(shù)的平均數(shù)，即m=8.2+8.42,計算求解即可；(1)①利用中位數(shù)進行決策即可；②根據(jù)【小問1詳解】解：由題意知，高中部評分的中位數(shù)為第10，11位數(shù)的平均數(shù)，即m=故答案為:8.3;【小問2詳解】①解：由題意知，初中部評分的中位數(shù)為8.5，高中部評分的中位數(shù)為8.3，∴a>b,故答案為:>;②解:∵800×∴估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù)為360人.【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖，中位數(shù)，利用中位數(shù)進行決策，用樣本估計總體.熟練掌握條形統(tǒng)計圖，中位數(shù)，利用中位數(shù)進行決策，用樣本估計總體是解題的關(guān)鍵.20.圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點.點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形ABCD，使其是軸對稱圖形且點C、D均在格點上.(1)在圖①中,四邊形ABCD面積為2;(2)在圖②中,四邊形ABCD面積為3;(3)在圖③中,四邊形ABCD面積為4.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】【分析】本題考查網(wǎng)格作圖、設(shè)計圖案、軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識點，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作圖是解題的關(guān)鍵.第15頁/共30頁(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為2四邊形ABCD即可.(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為3四邊形ABCD即可.(3)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)作出面積為4四邊形ABCD即可.【小問1詳解】解:如圖①:四邊形ABCD即為所求;(不唯一).【小問2詳解】解:如圖②:四邊形ABCD即為所求;(不唯一).【小問3詳解】解:如圖③:四邊形ABCD即為所求;(不唯一).21.區(qū)間測速是指在某一路段前后設(shè)置兩個監(jiān)控點，根據(jù)車輛通過兩個監(jiān)控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度.小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經(jīng)過一段長度為20千米的區(qū)間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛112第16頁/共30頁到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時.汽車在區(qū)間測速路段行駛的路程y(千米)與在此路段行駛的時間x(時)之間的函數(shù)圖象如圖所示.(1)a的值為;(2)當112≤x≤a時，求y與(3)通過計算說明在此區(qū)間測速路段內(nèi)，該輛汽車減速前是否超速.(此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時)【答案】(1)12(3)沒有超速【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的圖像、求函數(shù)解析式等知識點，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.(1)由題意可得：當以平均時速為100千米/時行駛時，a小時路程為20千米，據(jù)此即可解答；(2)利用待定系數(shù)法求解即可；(3)求出先勻速行駛112【小問1詳解】解:由題意可得:100a=20,解得:a=故答案為：15【小問2詳解】解：設(shè)當112≤x≤15時,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(第17頁/共30頁

則:16k+b=171∴y=90x+2【小問3詳解】解:當x=112時,∴先勻速行駛112小時的速度為：9.5÷∵114<120,∴輛汽車減速前沒有超速.22.(9分)【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，AB=3,點M、N分別在邊AC、BC上,且AM=CN,試探究線段MN長度的最小值.【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題.【問題解決】如圖②,過點C、M分別作MN、BC的平行線,并交于點P,作射線AP.在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：(1)證明:AM=MP;(2)∠CAP的大小為30度,線段MN長度的最小值為-【方法應(yīng)用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③.小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù),并畫出了示意圖,如圖④,△ABC是等腰三角形,四邊形BCDE是矩形,AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°.MN是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點M在AC上，點N在DE上.在調(diào)整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持AM=DN.鋼絲繩MN長度的最小值為ˉ6【分析】(1)先證四邊形CPMN是平行四邊形得到MP=NC=AM.(2)利用等腰三角形可得∠CAP=∠MPA=30°,再將MN轉(zhuǎn)化成PC,PC⊥AP時有最小值,即可求解;(3)參考上述思路構(gòu)造平行四邊形，將MN轉(zhuǎn)化成DP，再求得∠PAD=45°,.AD=23即可求解.【解答】(1)證明:∵CP∥MN,MP∥NC,∴四邊形CPMN是平行四邊形，∴MP=NC,又∵AM=CN,∴AM=MP.(2)解:∵AM=MP,∴∠CAP=∠MPA,∵∠PMC=∠ACB=60°,∴∠CAP=∠MPA=30°.∵四邊形CPMN是平行四邊形，∴MN=PC,當PC⊥AP最小時,MN也有最小值,此時PC=∴MN最小值是3故答案為：30,32(3)解:如圖過M、D作ED、MN的平行線,則四邊形MNDP是平行四邊形,∴MN=DP,∠PMC=∠ACB=30°,∴∠PAM=∠APM=15°,當DP⊥AP時,DP最小,∵∠ACD=120°,∴∠CAD=30°,∴∠PAD=∠CAD+∠PAM=45°,在△ACD中,AD=∴DP=AD?故答案為：6【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解直角三角形等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識和理解題干給的方法是解題關(guān)鍵.23.如圖,在△ABC中,.AB=AC=5,BC=6..點D是邊BC上的一點(點D不與點B、C重合)，作射線AD,在射線AD上取點P,使AP=BD,以AP為邊作正方形APMN,使點M和點C在直線AD同側(cè).(1)當點D是邊BC的中點時,求AD的長;(2)當BD=4時,點D到直線AC的距離為;(3)連結(jié)PN,當PN⊥AC時,求正方形APMN的邊長;(4)若點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，則CD的長為.(寫出一個即可)【答案】(1)4234256或【解析】【分析】本題考查等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握面積法是解題的關(guān)鍵；(1)根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，利用勾股定理即可求解；(2)利用面積法三角形面積相等即可；(3)設(shè)AP=x，則BD=x,CD=6-x,過點D作DH⊥AC于Q,根據(jù)AQ+CQ=AC,建立方程;即可求解;(4)第一種情況,M,N在AC異側(cè)時,設(shè)MQ=m,NQ=3m,則AN=4m,證明△CDE∽△ANQ,得到CENQ=CDAQ,即可求解；第二種情況，當M，N在AC同側(cè)，設(shè)CD=x,則【小問1詳解】解:根據(jù)題意可知:∵AB=AC=5,∴△ABC為等腰三角形,故點D是邊BC的中點時,AD⊥BC;第21頁/共30頁在Rt△ADC中,AD=【小問2詳解】根據(jù)題意作.DH⊥AC,，如圖所示；當BD=4時,則CD=2,設(shè)點D到直線AC的距離為DH=h，S解得：h=【小問3詳解】如圖,當NP⊥AC時,點M落在AC上,設(shè)AP=x,則BD=x,CD=6-x,過點D作DH⊥AC于Q則CQ=AQ=DQ=∵AQ+CQ=AC,∴解得：x=故AP=所以正方形APMN的邊長為17第22頁/共30頁

【小問4詳解】如圖,M,N在AC異側(cè)時;設(shè)MQ=m,NQ=3m,,則AN=4m..△ANQ三邊的比值為3:4:5,..∠AQN=∠C,..∠CAD=∠C,∴△CDE∽△ANQCE∴CD=當M,N在AC同側(cè)設(shè)MQ=m,則AN=AP=3m,PQ=2m,∴△APO三邊比為2:3:.△AQD三邊比為22:3:設(shè)CD=x,則CH=第23頁/共30頁∴解得：CD=x=綜上所述：CD的長為256或24.在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，拋物線y=x2+2x+c(C是常數(shù))經(jīng)過點-2-2.點A、B是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為m、-m，點C的橫坐標為-5m,，點C的縱坐標與點A的縱坐標相同,連結(jié)AB、(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)求證:當m取不為零的任意實數(shù)時,tan∠CAB的值始終為2;(