2021屆高中數(shù)學知識過關(guān)學案（文理）模塊一三角函數(shù)與解三角形（原卷版）

高中數(shù)學輔導課程

模塊一三角函數(shù)與解三角形基礎(chǔ)知識丹描

［高中通用版（學生版）］

目錄

第一講、角的概念及弧度制.....................................................1

【知識點1】任意角..............................................................1

【知識點2】象限角.........................................................1

【知識點3］終邊相同的角的表示.............................................2

【知識點4】角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化...........................................4

【知識點5】弧長公式.......................................................5

第二講、任意角的三角函數(shù)......................................................5

【知識點1】三角函數(shù)的定義.................................................5

【知識點2】三角函數(shù)值的符號...............................................6

【知識點3】三角函數(shù)線.....................................................7

第三講、三角函數(shù)同角關(guān)系及誘導公式............................................8

【知識點1】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.......................................8

【知識點2】誘導公式......................................................11

第四講、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)圖像與性質(zhì)...............................15

【知識點1】五點作圖法................................................16

【知識點2］定義域、值域及取值范圍問題....................................19

【知識點3】函數(shù)的周期性..................................................22

【知識點4］三角函數(shù)的對稱軸和對稱中心....................................24

【知識點5］奇偶性........................................................25

【知識點6】單調(diào)性........................................................26

第五講/(%)=Asin(3￥+。)圖像與性質(zhì)........................................29

【知識點1】伸縮變化問題..................................................29

【知識點2］/(%)=Asin(@x+。)圖像與性質(zhì)................................31

第六講三角恒等變換..........................................................34

【知識點1］三角恒等變換及輔助公式........................................34

【知識點2】正切兩角和差公式變形..........................................36

【知識點3】二倍角公式....................................................37

【知識點4】輔助角公式....................................................41

第七講、解三角形.............................................................44

【知識點1】正弦定理......................................................44

【知識點2】余弦定理......................................................46

【知識點3］三角形的面積公式..............................................49

【知識點4］解三角形的實際應用舉例........................................52

第一講、角的概念及弧度制

【知識點1】任意角

平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所的圖形。（射線的起始位置稱為始邊，終止

位置稱為終邊。

正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角

負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角

零角：射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)所形成的角

例1.將射線0M繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。所得的角的大小為（）

A.1200B.-1200C.6O0D.24O0

變式1.在直角坐標系中，以x軸為始邊，繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)720。所得的角的大小為.

變式2.寫出圖（1）、（2）中的角a、P、丫的度數(shù).

⑴

【溫你一馨】任意角問題，帶有旋轉(zhuǎn)方向。

【知識點2】象限角

在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與X軸的非負半軸重合，角的

終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角.

如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，稱為

軸上角：終點與坐標軸重合的角，例如：0=90,180,…

例2.角a=105°是哪個象限角?o

變式1.角a=—215°是哪個象限角？。

變式2.下列命題正確的是（）

A.第一象限角是銳角B.鈍角是第二象限角

1

C.終邊相同的角一定相等D.不相等的角，它們終邊必不相同

變式3.若一30°角的始邊與x軸的非負半軸重合，現(xiàn)將一30°角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)2周，則所得角

是.

歸結(jié)；

TT

第一象限角的集合為P={x|2Z萬<x<2%乃+,,keZ}

TT

第二象限角的集合為P={%|2七7"+鼻<%<2左乃+"，kwZ\

第三象限角的集合為P={x\2k7r+7r<x<2k^+^3萬-，%eZ}

37r

第四象限角的集合為P={x|2Qr+/<x<2Rr+2%,E]

【知識點3]終邊相同的角的表示

。終邊與。終邊相同（。的終邊在，終邊所在射線上）oa=6+2版■/eZ）,

注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.

A組

例3.下列與150。角終邊相同的角是（）

A.30°B,-1500C.390°D,-2100

變式1.下列各角中，與一1110°的角終邊相同的角是（）

A.60°B.-60°C.30°D.-30°

變式2.與210°角的終邊相同的角（包括210°角）組成的角的集合是,

例4.若角a的終邊在函數(shù)y=-x的圖象上，試寫出角a的集合.

變式1.若角a的終邊在函數(shù)y=岳,（xN0）的圖象上，試寫出角a的集合.

2

變式2.已知集合4={0^=無」80。±45。，左GZ},集合8={緲=，90°+45°,左GZ},則A與8的關(guān)系是()

A.QBB.8二MC.A=BD.且BZA

H工

B組

例5.已知角a=2016°.

(I)把a改寫成左360。+川^^乙0。3?<360。)的形式，并指出它是第幾象限角；

(2)求仇使。與a終邊相同，且一360°二。<7與。.

反思與感悟：求適合某種條件且與已知角終邊相同的南，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般

形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.

變式1.與角-1825°的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是,弧度表示為—

變式2.已知角￡=心180。+45。,交Z,則角/?屬于第幾象限角？

例6.已知a為第二象限角，求］的終邊所在的象限.

變式1.若角a是第一象限角，問一a、2a、］是第幾象限角？

技巧與方法：此時此地你有什么領(lǐng)悟嗎？若討論a亍c所c屬象限，你能get到嗎?

3

【知識點4】角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化

弧度制：半徑為r的圓，其圓弧等于半徑所對的圓心角即為1弧度，記作：lrad.

角度制與弧度制的關(guān)系：

360°=2兀

常用特殊角的弧度數(shù)

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

7171兀7127r345434

07127

~67~37T~6T

例7.（1）將角度制轉(zhuǎn)換成弧度制：

①175。=rad.②—300°=rad.（3）2°—rad

（2）將弧度制轉(zhuǎn)換成角度制：

①2=。需=。③普。.

變式1.角度制與弧度制間的互化：

①°；②-75"=rad,5400=rad

變式2.a=-2rad,則a的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4

【知識點5】弧長公式

l=\a\R,扇形面積公式：S=^lR=^\a\R2（e為弧度制）.

例8.已知扇形AOB的周長是6cm,該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。

變式1.已知半徑為10cm的圓上，有一條弧的長是40cm,則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)是.

變式2.已知一扇形的周長為40cm,當它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積

是多少？

第二講、任意角的三角函數(shù)

【知識點1】三角函數(shù)的定義

①如圖，設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）,那么:

y叫做。的正弦，記作sina,即sina=y；

x叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=x；

即U做a的正切，記作tana,即tana=*xW0）.

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為閑數(shù)值的閑數(shù).

【補充延申】三角函數(shù)也可定義為：設(shè)a是任意一個角，P（x,y）是a的終邊上的任意一點（異于原點）,

它與原點的距離是7=J〉+V>0,那么sina=2,cosa=2,tana00）。

rrx

三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點P的位置無關(guān)。

例1.若角a的終邊與單位圓相交于點（乎，一冬，則Sina的值為.

例2.已知角a的終邊經(jīng)過點P（5,-12）,則sina+cosa的值為.

4

變式1.已知角a的終邊經(jīng)過點尸（〃八-3）,且cosa=一亍則相等于.

變式2.已知角a的終邊過點P（—3m,m）（m和），則sina=.

5

變式3.已知角的終邊落在直線y=2x上，求sina、cosa、tana的值.

【知識點2】三角函數(shù)值的符號

sina、cosa、tana在各個象限的符號如下:

【口訣記憶】

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

x

其含義是在第一象限各三角函數(shù)值全為正，O0

在第二象限只有正弦值為正，在第三象限

只有正切值為正，在第四象限只有余弦值為」sinacosatana

例3.判斷下列各式的符號：

①sin3-cos4-tan5；②a是第二象限角，sina-cosa.

⑵若cos6k0且sin6>0,貝碌是第()象限角

A.~B.三C.一或三D.任意象限角

變式1.已知點尸(tana,cosa)在第三象限，則a是第象限角.

變式2.設(shè)a是第三、四象限角，5山。=竽三，則形的取值范圍是_______

4-m

變式3.若應回+與幺=0,試判斷sinecos。的符號__________.

sina|cosa|

6

記一記.特殊角的三角函數(shù)值：

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

717171712萬3萬5〃3萬

07C

67T7-3~TTT

sinaj_V2V3V2

0皇10-1

2V2222

cosa5/3V2j_\__V2_V3

10-10

TV2'2F

tanaV3/_V3

01V3-V3-10

T/

例4.作出一苓的正弦線、余弦線和正切線.

O

變式1.在單位圓中畫出滿足sina=:的角a的終邊，并求角a的取值集合.

7

B組

例5.利用三角函數(shù)線比較sin段和sin季cos與和cos尊tan與和tan,的大小.

反思與感悟：利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時，一般分三步：（1）角的位置要“對號入座”；（2）

比較三角函數(shù)線的長度；（3）確定有向線段的正負.

變式1.比較sin1155。與sin（-l654。）的大小.

第三講、三角函數(shù)同角關(guān)系及誘導公式

【知識點1】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

知識9.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

win（y

（1）平方關(guān)系：sin2?+cos2a-1（2）商數(shù)關(guān)系：tantz=--------

cosa

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應用是，己知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值.

在運用平方關(guān)系解題時，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進行

定號；在具體求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三

角函數(shù)值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對值。

例1.（1）若sina=—/,且a為第四象限角，則tana的值為（）

12c5r5

A.yB.■yC.^2D.n

兀1

（2）已知一sina+cos0=亍則lana的值為（）

4334

A.—B.—C'D.2

反思與感悟：

（1）同角三角函數(shù)的關(guān)系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，其常用的用途是“知一求二”，即在sina,

cosa,tana三個值之間，知道其中一個可以求其余兩個.解題時要注意角a的象限，從而判斷三角函數(shù)

值的正負.

8

(2)已知三角函數(shù)值之間的關(guān)系式求其它三角函數(shù)值的問題，我們可利用平方關(guān)系或商數(shù)關(guān)系求解，其關(guān)

鍵在于運用方程的思想及(sinaicosa)2=l±2sinacosa的等價轉(zhuǎn)化，分析解決問題的突破口.

4

變式1.已知tan且a是第三象限角，求sina,cosa的值.

8

變式2.已知cosQ=-F，求sina,tana的值.

反思與感悟利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值時，若沒有給出角a是第幾象限角，則應分類討論，先由已知

三角函數(shù)的值推出a的終邊可能在的象限，再分類求解.

例2.已知tana=2,求下列代數(shù)式的值.

4sina—2cosa(2)^sin2?+^sinacosa+gcos%.

(1)5cosa+3sina;

反思與感悟：

(1)關(guān)于sina,cosa的齊次式，可以通過分子、分母同除以cosa或CQV?。轉(zhuǎn)化為關(guān)于tana的式子后再求

值.

(2)假如代數(shù)式中不含分母，可以視分母為1,靈活地進行“1”的代換，由1=sin?。+cad。代換后，再

同除以cas^a,構(gòu)造出關(guān)于tana的代數(shù)式.

9

sina+cosa、|田—一八

變式1.已知而二嬴a=2,計算下列各式的值.

3sina-cosa

(1)―；---------------?(2)sin2a—2sinacosa+1.

2sina+3cosa

cos2a

例3.(1)化簡：sin2atana+.+2sinacosa.

131M1(X

tanasinatana+sina

(2)求證:

tana—sinatanasina

反思與感悟：

(1)三角函數(shù)式的化簡技巧

①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化繁為簡的目的.

②對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的.

③對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造1=sin?。+CQS)。，以降低函數(shù)次數(shù),

達到化簡的目的.

(2)證明三角恒等式的過程，實質(zhì)上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：

①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡.

②證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一).

左邊

③比較法：即證左邊一右邊=0或手彳=1(右邊和).

石現(xiàn)

④證明與已知等式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立.

10

變式1.化簡tana念一1,其中a是第二象限角.

【知識點2】誘導公式

誘導公式I：sin(a+^-27i)=sina,cos(a+Q2?=cosa,tan(a+Z,2兀)=tana,其中

誘導公式2：sin(jc+a)=-sina,cos(7c+a)=—cosa,tan(兀+a)=tana.

誘導公式3：sin(—a)=-sina,cos(—a)=cosa,tan(—a)=-tana.

誘導公式4：sin(兀一a)=sina,cos(兀一a)=-cosa,tan(7i—a)=-tana.

誘導公式5：sin(匹-a)=cosa,cos^--a)-sina.

22

JIJI

誘導公式6：sin(—+a)=cosa,cos6+a)=-sina

22

口訣：

k

(乙萬+a)的本質(zhì)是：奇變偶不變(對左而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù))，符號看象限(看原函數(shù)，同時

2

可把a看成是銳角).誘導公式的應用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：

(1)負角變正角，再寫成2k乃+g),0We<2不；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。

例4.求下列各三角函數(shù)式的值：

(l)cos210°：(2)sin^

(3)cos(—1920°);(4)sin(—'^)+cos^|^tan4兀.

反思與感悟利用誘導公式求任意角三角函數(shù)值的步躲

11

(1)“負化正”:用公式一或三來轉(zhuǎn)化.

(2)“大化小”：用公式一將角化為0。到360。間的角.

(3)“角化銳”：用公式二或四將大于90。的角轉(zhuǎn)化為銳角.

(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.

變式1.求下列各三角函數(shù)式的值：

(l)sin1320°；(2)cos(-吉)；

(3)tan(-945°)；(4)sin810°+tan765°—cos3600.

tan(2兀-a)sin(—2兀—a)cos(6兀-a)

例5.化簡⑴

cos(a—兀)sin(5兀-a)

1+2sin290Ocos430°

sin250°+cos790°

反思與感悟：三角函數(shù)式的化簡方法

⑴利用誘導公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù).

(2)常用“切化弦”法，即表達式中的切函數(shù)通?；癁橄液瘮?shù).

(3)注意“1”的變式應用：如l=sin2a+cos2a=tan7.

變式1.化簡下列各式：

cos(o+sin(2兀+a)cos1900-sin(-210°)

^^sin(-a-7t)-cos(_a)*(2)cos(-350°)-tan(-585°),

12

例6.(給值求值或給值求角問題)

(1)己知sin(兀+。)=—，5cos(2兀一夕)，|。|《，則夕等于()

7t_717T_7T

A.一dB.-3D.3

(2)已知cos《一a)=坐,

(3)已知cos(a+^)=],和aW普，求sin(a+引的值.

反思與感悟：(1)解決條件求值問題的策略

①解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系.

②可以將已知式進行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M行變形向已知式轉(zhuǎn)化.

(2)對于給值求角問題，先通過化簡已給的式子得出某個角的某種三角函數(shù)值，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)

值逆向求角.

(3)注意觀察互余、互補關(guān)系：如胃一a與聿+a,g+a與襲一a,彳-a與彳+a等互余，1+8與專一仇彳+

。與牛一。等互補，遇到此類問題，不妨考慮兩個角的和，要善于利用角的變換來解決問題.

13

變式1.已知sin￡=；,cos(a+4)=—1,則sin(a+2份的值為()

A.1B.-1C.；D.一；

變式2.已知5皿(點+6()=坐，求cos停一a)的值.

tan（2兀-a）sin（—2兀-a）cos（67t—a）

例7.求證:tana.

反思與感悟利用誘導公式證明等式問題，關(guān)鍵在于公式的靈活應用，其證明的常用方法：

(1)從一邊開始，使得它等于另一邊，一般由繁到簡.

(2)左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個式子.

(3)湊合法：即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對性地進行變形，以消除其差異，簡言之，即化異為同.

sin8+cosj_2sin（6-騫4嗚）—1

變式1.求證:

sincos01—2sin2（n+0）

B組：應用：

14

sin(7t—a)cos(—a)sin^j+a]

例8.已知./(a)=cos(7t+?)sin(-ct)'

⑴化簡加)；

(2)若角4是△ABC的內(nèi)角，且火A)=|,求tanA-sinA的值.

反思與感悟：解決此類問題時，可先用誘導公式化簡變形，將三角函數(shù)的角統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)

系式，這樣可避免公式交錯使用而導致的混亂.

變式1.已知sina是方程5*—7x—6=0的根,a是第三象限角，求心1?(兀一a)的值.

第四講、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)圖像與性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

,y

yy

17T

圖象乙、帝一2元'I

3J(-

0IT0

■--1■~2""----2-1r

定義域RR{x|x￡R且冗#也+與左￡2}

值域L1J1|T』1R

TT對稱中心：管，0)(%ez),

對稱軸：x=E+](kGZ)；對稱軸:x=E(%GZ);

對稱性

對稱中心：

對稱中心：(E,0)伏GZ)無對稱軸

15

冗

(%〃+—,O)McZ

2

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

周期性最小正周期：27r最小正周期：2n最小正周期：匹

在-5+2E,,+2E

在［一兀+2E,2E］（ZGZ）

上單調(diào)遞增；

在開區(qū)間（航一號

*EZ）上單調(diào)遞增；

單調(diào)性

E+?（kez）上遞增

與竽+也

在+2ht,2在［2E,兀+2E］也CZ）上單

調(diào)遞減

（kEZ）

上單調(diào)遞減

兀

在x=1+2kli(keZ)時,ymax

在冗=2E/￡Z)時，ymax=

=1;1;

最值無最值

jr在X=7t+2E(%￡Z)時，ymin

在彳=一爹+2&兀(&62)時，

=一1

ymin1

【知識點1】五點作圖法

16

“五點法''作正弦函數(shù)y=sinx（xG[0,27r]）、余弦函數(shù)〉=85%，xG[0,2用圖象的步驟

⑴列表

7U3兀

X0兀2兀

2T

sinx010-10

cosX10-101

（2）描點

畫正弦函數(shù)y=sinx,xG[0,2句的圖象，五個關(guān)鍵點是：（0,0）,（多1），（兀，0）,（苧，-1）,（2兀，0）;

畫余弦函數(shù)尸cosx,何0,2句的圖象，五個關(guān)鍵點是：（0,1）,俘0）,（兀，-1）,停0）,（2兀，1）.

（3）用光滑曲線順次連接這五個點，得到正弦函數(shù)y=sinx（xG[0,2M）、余弦函數(shù)y=cosx（xG[0,2用）的簡

圖.

例1.利用“五點法”作出函數(shù)y=l-sinx（OWxW27t）的簡圖.

反思與感悟：作正弦曲線要理解幾何法作圖，掌握五點法作圖.“五點”即），=$皿》或＞=3$》的圖象

在[0,2兀]內(nèi)的最高點、最低點和與x軸的交點.“五點法”是作簡圖的常用方法.

例2.能作函數(shù)產(chǎn)tanx,x《一看習的簡圖嗎？怎樣畫？

反思與感悟：正切函數(shù)的圖象特征：正切曲線是被相互平行的直線x=^l■航，kGZ所隔開的無窮多支曲

線組成的.

17

變式1.用“五點法”作出函數(shù)y=l-cosM0〈xW27r）的簡圖.

變式2.利用正弦或余弦函數(shù)圖象作出），=卜也口+自）|的圖象.

B組題

例3.作出函數(shù)式x）=sinx+2|sinx|,xG[0,4句的圖象.

變式1.畫出函數(shù)y=|taar|+tairv的圖象,

18

例4.求方程sinx+2|sinx|—|log2x|=0解的個數(shù).

反思與感悟：判斷方程解的個數(shù)的關(guān)注點

(1)確定方程解的個數(shù)問題，常借助函數(shù)圖象用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

(2)當在同一坐標系中作兩個函數(shù)的圖象時，要注意其相對位置，常借助于函數(shù)值的大小來確定.

變式1.方程W—cosx=0的實數(shù)解的個數(shù)是.

【知識點2］定義域'值域及取值范圍問題

知識12；定義域、值域及取值范圍問題

例5.利用正弦曲線，求滿足￡<sinxW乎的x的集合.

反思與感悟：用三角函數(shù)圖象解三角不等式的方法

(1)作出相應正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在［0,2何上的圖象；(2)寫出適合不等式在區(qū)間［0,2句上的解集；(3)根據(jù)公式

一寫出不等式的解集.

19

變式L使不等式6一2sin尤NO成立的x的取值集合是()

2E+f?2E+季kQZ1B."2E+：?E+季kQZ

C.，2E—竽kGZ］D."2E+苧WxW2E+季kGZ

變式2.當［0,4兀］時，解不等式sinx>0.

例6.求函數(shù)段)=lgsin16—x2的定義域.

變式1.函數(shù)尸lg(sin2x)+39—f的定義域為.

變式2.函數(shù)y=1的定義域為___________________.

［-(6+3tanx)

7F

例7.(1)函數(shù)y=2sinx(0Wx《j)的值域是.

(2)函數(shù)y=,cosQx-2)，xel-e,生］的值域是.

2444

TTTT

變式1.函數(shù)式x)=sin(2x—R在區(qū)間［0,引上的最小值為.

TTTT

變式2,函數(shù)y=2tan(—x——)，XG(——，兀)的值域為

20

B組

例8.(1)求函數(shù)段)=2sin2x+2sinL4,蚩毯的值域.

7TJT

(2)已知一qWxWz，J(x)=tan2x+2tairv+2,求?r)的最值及相應的x值.

變式1,函數(shù)y=3-sinx-2cos2工，光c［生，2］的值域為

66

變式2.求函數(shù)產(chǎn)tan2(3x+W)+tan(3x+1)+1的定義域和值域.

反思與感悟：一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等.三角函數(shù)是函數(shù)

的特殊形式，一般方法也適用，但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì).

常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種：

⑴形如y=sin(cox+9)的三角函數(shù)，令t=a)x+s，根據(jù)題中x的取值范圍，求出1的取值范圍，再利用三

角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y=sint的最值(值域).

(2)形如y=asin%+bsinx+c(a#0)的三角函數(shù)，可先設(shè)r=sinx,將函數(shù)yuqsirPx+Ain工+。3#0)化為關(guān)

于t的二次函數(shù)丁=〃戶+初+c(〃W0),根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域(最值).

(3)對于形如y=〃sinx(或y=acosx)的函數(shù)的最值還要注意對a的討論.

21

延申思考3.已知函數(shù)式x)=2asinx+b的定義域為［一；，用，函數(shù)的最大值為1,最小值為一5,求。和

。的值.

【知識點3】函數(shù)的周期性

(1)對于函數(shù)凡丫)，如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有/k+T)=/U),

那么函數(shù),大x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

(2)如果在周期函數(shù)/U)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)叫做/U)的最小正周期.

【求三角函數(shù)周期的方法】

(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解.

(2)公式法，對形如y=Asin((ox+9^y=Acos(ft>x+0)(A,co,。是常數(shù)，A#),co/))的函數(shù)，T=言.

7T

y=Atan{cox+(p)的最小正周期為T=——.

\o)\

T

?般的，若函數(shù)y=/(x)的最小正周期為T,則y=的最小正周期為——.

1切

⑶觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期.

22

例9.(l)y=sin(2x+§(xGR)；

(2)y=|sinx|(x^R).

反思與感悟：對于形如函數(shù)4口聲0時的最小正周期的求法常直接利用7=而來求解,

對于v=\Asin5|的周期情況常結(jié)合圖象法來求解.

!了一總的最小正周期是,

變式1.函數(shù)y=3cos|

變式2.下列函數(shù)是以兀為周期的函數(shù)是()

.X..

A.y=sin2B.y=sinx+2C.y=cos2X~T2D.y=cos3x—1

變式3.函數(shù)y=sin(ox+：)的最小正周期為2,則3的值為.

B組

例10.(1)函數(shù)兀v)是周期函數(shù)，10是7U)的一個周期，且式2)=啦，則122)=.

TT

(2)已知函數(shù)7U)=cosy,求*1)+,?2)+13)+…+八2020)的值.

反思與感悟：函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時，可以首先斫究它在一個周期內(nèi)的函數(shù)值的變化情況,

再給予推廣求值.

23

jr

變式1.設(shè)函數(shù)式x)=sinqx,則火1)+/(2)+x3)+…+共2018)=.

【知識點4】三角函數(shù)的對稱軸和對稱中心

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

yy

_7T11

不宣21T

圖象-27r-iXJy由廣［j

。.豆丁7-/-X一臼IL

■"-i2

11

1■

對稱中心：（

對稱軸:x=E（%￡Z）;

對稱對稱軸：x=E+貨AWZ）；等。）

性對稱中心：（2"+工,0）,女GZ（ASZ）,

對稱中心：（E,0）（4GZ）2

無對稱軸

x=，+2fat(%GZ)時，ymax=l;X=2E(k￡Z)時，ymax=1;

最值x=n+2kn(k￡Z)時jmin=一無最值

X=—Z)時，Mnin=-I1

【三角函數(shù)對稱軸和對稱中心的求解方法】

正（余）弦函數(shù)的對稱軸是過函數(shù)的最高點或最低點且垂直于X軸的直線，

定義法

對稱中心.是圖象與X軸的交點，即函數(shù)的零點.

函數(shù)y=4sin（s+e）的對稱軸為》=辭一\+券對稱中心為得一舄0）：

函數(shù)y—4cos（3x+°）的對稱軸為x—八號，對稱中心為＞0）；

公式法

cjj（jj\ci/vjj/

函數(shù)y—4an（s：+0）的對稱中心為￡。）上述kGZ

例11.函數(shù)y=—2sin（2x—乙71）對稱軸是；對稱中心是.

例12.如果函數(shù)y=3cos（2x+（p）的圖像關(guān)于點（工-，。）中心對稱，那么|中|的最小值為（）

7171

A.—D.—

62

24

1JI

變式1.函數(shù)y=2cos(-x一一)-2對稱軸是________________;對稱中心是_________________.

24

971TC

變式2.函數(shù)y=-sin(2x-y)，在xw[-y,0]時的對稱軸是;對稱中心是.

nw

延申變式:設(shè)函數(shù)/(x)=2sin(-x+y),若對任意X&R都有)</(x)<f(x2)成立，則|再一/I

的最小值為—

【知識點5】奇偶性

三角函數(shù)中，判斷奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點對稱，奇函數(shù)一般可化為y=/si〃cox或

的形式，而偶函數(shù)一般可化為)u/cossx+6的形式.常見的結(jié)論有：

77

(1)若)=4加(5+夕)為偶函數(shù)，則有夕二版+萬伏6⑷；若為奇函數(shù)，則有e=E#GZ).