高中數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)完整教案

第一章三角函數(shù)

4-1.1.1任意角（1）

教學(xué)目標(biāo)：要求學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學(xué)會在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

來討論角：并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

教學(xué)重點：理解“正角”''負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義

教學(xué)難點：“旋轉(zhuǎn)”定義角

課標(biāo)要求：了解任意角的概念

教學(xué)過程：

一、引入

同學(xué)們在初中時，曾初步接觸過三角函數(shù)，那時的運用僅限于計算一些特殊的三角函數(shù)值、研究一些三角

形中簡單的邊角關(guān)系等。三角函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，在今后的學(xué)習(xí)中大家會發(fā)現(xiàn)三角學(xué)有著

極其豐富的內(nèi)容，它能夠簡單地解決許多數(shù)學(xué)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用。

二、新課

1.回憶：初中是任何定義角的？

（從一個點出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形）這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端

在于“狹隘”

師：初中時，我們已學(xué)習(xí)了0°?360。角的概念，它是如何定義的呢？

生：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。

師：如圖1,一條射線由原來的位置0A,繞著它的端點0按逆時針方向旋

轉(zhuǎn)到終止位置OB,就形成角a。旋轉(zhuǎn)開始時的射線0A叫做角的始邊，OBB

叫終邊，射線的端點0叫做叫a的頂點。\

師：在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體720"'（即轉(zhuǎn)體2周），\a

“轉(zhuǎn)體1080””（即轉(zhuǎn)體3周）；再如時鐘快了5分鐘，現(xiàn)要校正，需將分X--------------A-

針怎樣旋轉(zhuǎn)？如果慢了5分鐘，又該如何校正？圖1

生：逆時針旋轉(zhuǎn)30"；順時針旋轉(zhuǎn)30tl.

師：（1）用扳手擰螺母：（2）跳水運動員身體旋轉(zhuǎn).說明旋轉(zhuǎn)第二周、第三周……，則形成了更大范圍內(nèi)

的角，這些角顯然超出了我們已有的認識范圍。本節(jié)課將在已掌握0??360"角的范圍基礎(chǔ)上，重新給

出角的定義，并研究這些角的分類及記法.

2.角的概念的推廣：

（1）定義：一條射線OA由原來的位置OA,繞著它的端點0按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置0B,就形成了角a。

其中射線0A叫角a的始邊，射線0B叫角a的終邊，。叫角a的頂點。

3.正角、負角、零角概念

師：為了區(qū)別起見，我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，如圖2中的角為正角，它等于30"及750”：

我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，那么同學(xué)們猜猜看，負角怎么規(guī)定呢？零角呢？

生：按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角，如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。

師：如圖3,以0A為始邊的角a=-150°,P=-660°o特別地，當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認為

這是形成了一個角，并把這個角稱為零角。

師：好，角的概念經(jīng)過這樣的推廣之后，就應(yīng)該包括正角、負角、零角。這里還有一點要說明：為了簡單

起見，在不引起混淆的前提下，“角a”或“Na”可簡記為a.

'1,象限角B,”石蚪/

師：在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此75。小〉#^

我們必須了解象限角這個概念。同學(xué)們已經(jīng)經(jīng)過預(yù)習(xí)，請一_

位同學(xué)回答什么叫：象限角？dO

圖2Ml5。。

圖3

生：角的頂點及原點重合，角的始邊及X軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，

我們就說這個角是第兒象限角。

師：很好，從剛才這位同學(xué)的回答可以知道，她己經(jīng)基本理解了“象限角”的概念了。下面請大家將書上

象限角的定義劃好，同時思考這么三個問題：

1.定義中說：角的始邊及X軸的非負半軸重合，如果改為及X軸的正半軸重合行不行，為什么？

2.定義中有個小括號，內(nèi)容是：除端點外，請問課本為什么要加這四個字？

3.是不是任意角都可以歸結(jié)為是象限角，為什么？

處理：學(xué)生思考片刻后回答，教師適時予以糾正.

答：1.不行，始邊包括端點（原點）；2.端點在原點上；

3.不是，一些特殊角終邊可能落在坐標(biāo)軸上；如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認為這個角不屬于任

一象?限。

師：同學(xué)們一定要學(xué)會看數(shù)學(xué)書，特別是一些重要的概念、定理、性質(zhì)要斟字酌句，每個字都要弄清楚，

這樣的預(yù)習(xí)才是有效果的。

師生討論：好,按照象限角定義，圖中的30°,3900,-330°角，都是第一象限角；300°,-60°角,都是第四

象限角；585°角是第三象眼角。

師：很好，不過老師還有幾事不明，要請教大家：（1）銳角是第一象限角嗎？第一象限角是銳角嗎？為什

么？

生：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；

師：（2）銳角就是小于90°的角嗎？

生：小于90°的角可能是零角或負角，故它不一定是銳角；

師：（3）銳角就是0°?90°的角嗎？

生：銳角：｛6lO\OOO0）；0"?90"的角：｛6|0°^6<90°）.

學(xué)生練習(xí)（口答）已知角的頂點及坐標(biāo)系原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指

出它們是哪個象限的角？

（1）420"；（2）-75°；（3）855°；（4）-510°.

答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）笫三象限角.

5.終邊相同的角的表示法

師：觀察下列角你有什么發(fā)現(xiàn)？3903303014701770

生:終邊重合.

師:請同學(xué)們思考為什么？能否再舉三個及30"角同終邊的角？

生：圖中發(fā)現(xiàn)390”,-330°及30°相差360°的整數(shù)倍,例如，390°=360°+30°,-33Oo=-36O°+3Ol>；及30°角同終

邊的角還有750°,-690"等。

師：好!這位同學(xué)發(fā)現(xiàn)了兩個同終邊角的特征，即：終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍。例如：750°=2X360"+30"；

-690"=-2X3600+30°。那么除了這些角之外，及30°角終邊相同的角還有：

3XSeC+SO"-3X3600+30°

4X360"+30<l-4X360°+30°

由此，S=｛1?IP=kX360°+30'\k《Z｝來表示所有及30°角終邊相同的角的集合。

師：那好，對于任意一個角a,及它終邊相同的角的集合應(yīng)如何表示？

生：S=｛P|P=a+kX360°,kGZ｝,即任一及角a終邊相同的角，都可以表示成角a及整數(shù)個周角的和。

6.例題講評

例1設(shè)后=｛小于90°的角｝F=｛銳角｝,G=｛第一象限的角｝,

"=（小于90■但不小于。?的角），那么有（D）.

A.F&G導(dǎo)EB.c.（SC\G）D.GC\M=F

例2用集合表示：

（1）各象限的角組成的集合.（2）終邊落在y軸右側(cè)的角的集合.

解：（1）第一象限角：{a|k360"Jt<a<k3600+90\keZ）

第二象限角:{ak3600+90°<a<k360"+180",kez）

第三象限角：{a|k360o+180°<a<k3600+270",k《Z}

第四象限角:{a|k360"+270"<a<k360°+360°,keZ）

（2）在-180.?180?中，y軸右側(cè)的角可記為-90"<90,，同樣把該范圍“旋轉(zhuǎn)”^'3600

后，得-9CT+如360"<a<9（7+336CT,keZ,故V軸右側(cè)角的集合為

{a|^-360'-90'<a<^?360°+90，,kel}

說明：一個角按順、逆時針旋轉(zhuǎn)化’36（T（keZ）后及原來角終邊重合，同樣一個“區(qū)間”內(nèi)的角,

按順逆時針旋轉(zhuǎn)發(fā)‘360'（化eZ）角后，所得“區(qū)間”仍及原區(qū)間重疊.

例3（1）如圖，終邊落在%位置時的角的集合是{a［a=

k360O+i2。，kez}；終邊落在08位置，且在［-360°,360°］內(nèi)的角

的集合是{-45。,225°}:終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合

是{a|k360"-45yaVk3600+120",kCZ}.

練習(xí)：

（1）請用集合表示下列各角.

①。??9CT間的角②第一象限角③銳角④小于90"角.

解答⑴①4a〈90）；②仙爐360"<a<9CT+左TGO",k&z}

（2）分別寫出：

①終邊落在y軸負半軸上的角的集合：②終邊落在x軸上的角的集合：

③終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合；

④終邊落在四象限角平分線上的角的集合.

解答（2）⑴=一90"+上,360",k&Z\②|a|a=jtT80",keZ

說明：第一象限角未必是銳角，小于90"的角不一定是銳角，CT?90■間的角，根據(jù)課本約定它包

括0',但不包含90'.

例4在0°?360°間，找出及下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角

（1）-120-,（2）6607（3）-950-08\

解：⑴,/-120°=240°-360°

.?.及720■角終邊相同的角是240"角，它是第三象限的角；

(2)v660'=300'+360"

...及6600終邊相同的角是300",它是第四象限的角；

⑶-950,08/=129'52,-3x360,

所以及-95CT08'角終邊相同的角是12爐52',它是第二象眼角.

總結(jié)：草式寫在草稿紙上，正的角度除以360°,按通常除去進行；負的角度除以360",商是負數(shù),

它的絕對值應(yīng)比被除數(shù)為其相反數(shù)時相應(yīng)的商大1,以使余數(shù)為正值.

練習(xí)：

(1)一角為30",其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為_111義_.

(2)集合M={a=k-90",kGZ}中，各角的終邊都在(C)

A.X軸正半軸上，B.丁軸正半軸上，

C.X軸或V軸上，D.X軸正半軸或y軸正半軸上

(3)設(shè)工={a|a=爐360"+45",左GZ),3=卜,=妒360"+225",上ez)

C={a|a=ki800+45\kez},少==曰360-135,keZ)

則相等的角集合為B=l),C=E.

三.本課小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正角、負角和零角的概念，象眼角的概念，要注意如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認為這

個角不屬于任何象限，本節(jié)課的重點是學(xué)習(xí)終邊相同的角的表示法。

判斷一個角a是第幾象限角，只要把&改寫成c'+如360",keZ0'<a'<360*,那么a'在

第幾象限，a就是第幾象限角，若角c及角口適合關(guān)系：=(2k)T8CT,則a、

月終邊相同；若角a及N適合關(guān)系：=(2化+l)T80,匯eZ,則a、/終邊互為反向

延長線.判斷一個角所有象限或不同角之間的終邊關(guān)系，可首先把它們化為：c'+k'36(T,左eZ這

種模式(O'<a<360°),然后只要考查的相關(guān)問題即可.另外，數(shù)形結(jié)合思想、運動變化觀點都

是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法.

四.作業(yè):

4T.1.1任意角(2)

教學(xué)目標(biāo)：要求學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學(xué)會在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

來討論角；并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

教學(xué)重點：理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義

教學(xué)難點：“旋轉(zhuǎn)”定義角

課標(biāo)要求：了解任意角的概念

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了角的概念的推廣，推廣后的角分為正角、負角和零角；另外還學(xué)習(xí)了象限角的概念,

下面請一位同學(xué)敘述一下它們的定義。

生：略

師：上節(jié)課我們還學(xué)習(xí)了所有及a角終邊相同的角的集合的表示法，［板書］

S={0|P=a+kX360",kez}

這節(jié)課我們將進一步學(xué)習(xí)并運用角的概念的推廣，解決一些簡單問題。

二、例題選講

例1寫出及下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-360"WB〈720"的元素6寫出來：

(1)60°；(2)-21°；(3)363"14,

解：(1)S={PIP=60°+kX360°,kWZ}S中適合-360°WB<720°的元素是

60"+(-1)XSeO^-SOO"60"+OX360°=60°60"+1X360"=420".

(2)S={P|P=-21^X360°,k￡Z}S中適合-360"W8<720"的元素是

-21°+0X3600=-21°-21°+1X360"=339"-21°+2X360"=699"

說明：-21"不是0"到360"的角，但仍可用上述方法來構(gòu)成及-21"角終邊相同的角的集合。

(3)S={3|P=363°141+kX360°,kez}S中適合-360°WB〈720°的元素是

363014+(-2)X360°=-356°46,363°14-+(-1)X360°=3°14,363°14'+0X360°=363°14,

說明：這種終邊相同的角的表示法非常重要，應(yīng)熟練掌握。

例2.寫出終邊在下列位置的角的集合

(l)x軸的負半軸上；(2)y軸上

分析：要求這些角的集合，根據(jù)終邊相同的角的表示法，關(guān)鍵只要找出符合這個條件的一個角即a,然后

在后面加上kX360"即可。

解：(1);在0°?360°間，終邊在x軸負半軸上的角為180°,.?.終邊在x軸負半軸上的所有角構(gòu)成的

集合是{BI3=180^X360°,kez}

(2)?.?在0°?360°間,終邊在y軸上的角有兩個,即90°和270",.?.及90°角終邊相同的角構(gòu)成的集

合是Si={B|P=90°+kX360°,kez}

同理，及270°角終邊相同的角構(gòu)成的集合是S尸{B,B=270"+kX360l),kez}

提問：同學(xué)們思考一下，能否將這兩條式子寫成統(tǒng)一表達式？

師：一下子可能看不出來，這時我們將這兩條式子作一簡單變化：

SF{B|B=90"+kX360°,kez}={0|P=90°+2kX180°,kez}.........................(1)

S2={P|6=2700+kX360",kez}={P|B=90°+180°+2kxi80",k￡Z}

={B|B=90"+(2k+l)X180",keZ}.............................(2)

師：在(1)式等號右邊后一項是180°的所有偶數(shù)(2k)倍；在(2)式等號右邊后一項是180°的所有奇數(shù)

(2k+l)倍。因此，它們可以合并為180"的所有整數(shù)倍，(1)式和⑵式可統(tǒng)一寫成90°+nX1800(nGZ),

故終邊在y軸上的角的集合為

,>

S=SiUS2={PIP=90°+2kX180,keZ}U{P|3=90°+(2k+l)X180",kez}

={B|P=90^X180°,nGZ}

處理：師生討論，教師板演。

提問：終邊落在x軸上的角的集合如何表示？終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合如何表示？

(思考后)答：{B|B=kX180",kez},{B|0=kX9O\kez}

進一步：終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合如何表示？

答：{BIP=45°+nX180D,nSZ}

推廣：{p|p=a+kX180°,kGZ},B,a有何關(guān)系？(圖形表示)

處理：“提問”由學(xué)生作答；“進一步”教師引導(dǎo)，學(xué)生作答；“推廣”由學(xué)生歸納。

伊”若a是第二象限角，則2a,—,4分別是第幾象限的角？

23

師：a是第二象限角，如何表示？

解：(1)是第二象限角,90°+kX360°<a<180"+kX360"(kGZ)

180°+kX720"<2a<360°+kX7200

???2a是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上。

(2)vJl-180°+45°<-<^-1800+90(左eZ),

處理：先將k取幾個具體的數(shù)看一下(k=o,1,2,3…)，再歸納出以下規(guī)律：

aOL

當(dāng)々=2〃(〃eZ)時，n-3600+45°<-<?-360°+90°(^GZ),"是第一象限的角；

22

aOL

當(dāng)々=2"+1(〃eZ)時，〃-360°+225°<上<小360°+270°(左eZ),差是第三象限的角。

22

a

一是第一或第三象限的角。

2

說明：配以圖形加以說明。

(3)學(xué)生練習(xí)后教師講解并配以圖形說明。(2■是第一或第二或第四象限的角)

3

進一步求一a是第幾象限的角(一a是第三象限的角)，學(xué)生練習(xí)，教師校對答案。

三、例題小結(jié)

1.要注意某一區(qū)間內(nèi)的角和象限角的區(qū)別，象限角是由無數(shù)各區(qū)間角組成的；

2.要學(xué)會正確運用不等式進行角的表述同時要會以k取不同的值討論型如

0=a+kX120°(kez)所表示的角所在的象限。

四、課堂練習(xí)

練習(xí)2若a的終邊在第一、三象限的角平分線上，則2a的終邊在y軸的非負半軸上.

a

練習(xí)3若。的終邊及60°角的終邊相同，試寫出在(0",360")內(nèi)，及一角的終邊相同的角。(20"

3

140°,260°)

(備用題)練習(xí)4如右圖，寫出陰影部分(包括邊界)的角

的集合，并指出-950-12?是否是該集合中的角。

({a|I20°+kX360°Wa近2500+kX360°,keZ)；是)

探究活動

經(jīng)過5小時又25分鐘，時鐘的分針、時針各轉(zhuǎn)多少度？

五、作業(yè)

A組：

1.及-490°終邊相同的角的集合是,它們是第^象限的角，其中最小的正角是

>最大負角是.

2.在00~36(r范圍內(nèi)，找出下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個象限的角；

(1)-265(2)-1000"(3)-84310'(4)3900"

B組

3.寫出終邊在x軸上的角的集合。

4.寫出及下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式一360WB<360'的元素寫出來:

(1)60°(2)-75"(3)-824"30'(4)475"(5)90"(6)270°(7)180"(8)0"

aa

c組：若C是第二象限角時，則2a,2,3分別是第幾象限的角？

4-1.1.2弧度制(1)

教學(xué)目的：要求學(xué)生掌握弧度制的定義，學(xué)會弧度制及角度制互化，并進而建立角的集合及實數(shù)集/?一一

對應(yīng)關(guān)系的概念。

教學(xué)過程：一、回憶(復(fù)習(xí))度量角的大小第一種單位制一角度制的定義。

二、提出課題：弧度制一另一種度量角的單位制

它的單位是rad讀作弧度

定義：長度等于半徑

長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。

如圖:AOB=lrad

A0C=2rad

周

角二2rad

1.正角的弧度數(shù)是正數(shù),負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0

2.角的弧度數(shù)的絕對值|二|=一(/為弧長，r為半徑)

r

3.用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同(都是0)

用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。

三、角度制及弧度制的換算

抓?。?60=2rad/.180rad

71

1=----rad?0.01745n3d

180

例一把67°30'化成弧度

解：67。30'=（67口67°30'=—raJx67-=-7urad

I2；18028

3,

例二把一mad化成度

5

33

解：=2x180°=108°

55

注意幾點：1.度數(shù)及弧度數(shù)的換算也可借助“計算器”《中學(xué)數(shù)學(xué)用表》進行；

2.今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略如：3表示3radsin

表示rad角的正弦

3.一些特殊角的度數(shù)及弧度數(shù)的對應(yīng)值應(yīng)該記?。ㄒ娬n本P9表）

4.應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合及實

數(shù)的集合之間建立一種—對應(yīng)的關(guān)系。

2終邊在y軸上的角的集合3

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合

解：1終邊在X軸上的角的集合S\={/3\/3=k冗,keZ}

2終邊在y軸上的角的集合S2={力|力=版■+5,ZeZ

3終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合S3尸|尸

五、小結(jié)：1.弧度制定義2.及弧度制的互化

六、作業(yè)：

4-1.1.2弧度制（1）

教學(xué)目的：加深學(xué)生對弧度制的理解，逐步習(xí)慣在具體應(yīng)用中運用弧度制解決具體的問題。

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)：弧度制的定義，它及角度制互化的方法。

二、由公式：,=r-\a\比相應(yīng)的公式/="公簡單

弧長等于弧所對的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對值及半徑的積

例一利用弧度制證明扇形面積公式5='〃?其中/是扇形弧長，R是圓的半徑。

2

c〃兀R°

比較這及扇形面積公式S扇=------要簡單

360

例二直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對的弧長⑴一⑵165°

3

4萬40萬

解：r=10cm（1）：I=a?r=——xl0=---（cm）

33

例三如圖，已知扇形A08的周長是6cm,該扇形

的中心角是1弧度，求該扇形的面積。

解：設(shè)扇形的半徑為r,弧長為/,則有

2r+/=6[r=2]

1__?=<扇形的面積S=—rl=2(cm)

1/=22

冗

例四計算sin一tan1.5

4

TTsin—=sin45°=^-

解”2=45°

442

例五將下列各角化成0到2%的角加上2k?kGZ）的形式

解：—71-F6萬

33

TT

—315°=45°—360=2—2萬

4

例六求圖中公路彎道處弧AB的長/（精確到1m）

圖中長度單位為：m

7T

解：60°=-

3

三、練習(xí)：

四、作業(yè)：

4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（1）

教學(xué)目的：

知識目標(biāo)：1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

2.已知角a終邊上一點，會求角a的各三角函數(shù)值；

3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。

能力目標(biāo)：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

（2）樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)；

（3）通過對定義域,三角函數(shù)值的符號，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解

決問題的能力。

德育目標(biāo)：（1）使學(xué)生認識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）及比值（函數(shù)值）

的一種聯(lián)系方式；

（2）學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；

教學(xué)重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號），

以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個重點。

教學(xué)難點：利用及單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角。的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合形式

表示出來.

授課類型：新授課

教學(xué)模式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).

教具：多媒體、實物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？

在RtAABC中，設(shè)A對邊為a,B對邊為b,C對邊為c,銳角A的正弦、余弦、正切依次為

.aba

sinA4=—,cosA4--,tanAt=—.

ccb

角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對三角函數(shù)重新定義。

二、講解新課：

1.三角函數(shù)定義

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)。是一個任意角，a終邊上任意一點P(除了原點)的坐標(biāo)為(x,y),它及原點

的距離為r(r=+3?=yjx2+y2>0),那么

比值上y

(1)叫做a的正弦，記作sina,即sina=—

rr

XX

(2)比值一叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=一

rr

比值上y

(3)叫做a的正切，記作tana,即tan=—

XX

XX

(4)比值一叫做a的余切，記作cota,即cota=—

yy

比值二r

(5)叫做a的正割，記作seca,即seccr=一

XX

(6)比值L叫做a的余割，記作esca,即CSC6Z=—

yy

說明：①a的始邊及X軸的非負半軸重合，a的終邊沒有表明a一定是正角或負角，以及a的大小，只表

明及a的終邊相同的角所在的位置：

②根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角a,六個比值不以點P(X,y)在a的終邊上的位置的改

變而改變大小：

7T

③當(dāng)。=,+伏￡Z)時，a的終邊在y軸上，終邊上任意一點的橫坐標(biāo)了都等于0,所

以1@口。=2及5%。二1無意義；同理，當(dāng)。=%%(%￡Z)時，coya=2及csca=立無

xxyy

意義；

_yxyxrr

④除以上兩種情況外，對于確定的值a,比值土、一、上、一、一、一分別是一個確定的實

rrxyxy

數(shù)，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角為自變量，一比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函

數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。

2.三角函數(shù)的定義域、值域

函數(shù)定義域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

JI

y=tana\a\a^——卜k7i,keZ]R

2

注意:

(1)以后我們在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都及才軸的非負半軸重合.

(2)a是任意角，射線力是角a的終邊，a的各三角函數(shù)值(或是否有意義)及。x轉(zhuǎn)了幾圈，按

什么方向旋轉(zhuǎn)到0P的位置無關(guān).

(3)sina是個整體符號，不能認為是“sin”及“a”的積.其余五個符號也是這樣.

(4)任意角的三角函數(shù)的定義及銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系及區(qū)別：

銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似(直角)三角形的性質(zhì)，“r”

同為正值.所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)及距離、坐標(biāo)及

坐標(biāo)、距離及坐標(biāo)的比來定義的，它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角

的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認識和研究過程.

(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的

第一象限，使一銳角頂點及原點重合，一直角邊及x軸的非負半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類

比記憶.

3.例題分析

例1.已知角。的終邊經(jīng)過點尸(2,-3),求a的六個函數(shù)制值。

解：因為％=2,y=-3,所以/=,2?+(-3)2=V13,于是

例2.求下列各角的六個三角函數(shù)值：

八3萬

(1)0：(2)71\(3).

2

解：(1)因為當(dāng)a=()時，x=rty=0,所以

tanO=O,cotO不存在，

secO=l,cscO不存在。

(2)因為當(dāng)時，x=-r,y=0,所以

tan^=0,cot)不存在，

sec?=-l,esc乃不存在。

(3)因為當(dāng)a=—時，x=0,y=所以

2

3%?3乃

tan——不存在，cot——=0,

22

3萬一?3萬

sec—不存在，CSC——=-1

22

例3.已知角。的終邊過點求。的六個三角函數(shù)值。

解：因為過點。0),所以一=逐|。|,x=a,y-2a

業(yè)nm--y2。2。275

當(dāng)a>OH寸,sma=—=-7=---=—=----:

r\/5\a\y/5a5

cniv2a2a2^5

當(dāng)a<OD寸,smcif=—=—1=---=―f=-=-------；

r\j5\ci\—\j5a5

4.三角函數(shù)的符號

由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號，我們可以得知：

①正弦值)對于第一、二象限為正(y>0,r〉0),對于第三、四象限為負(y<0,r>0)；

②余弦值一對于第一、四象限為正(x>0,r>0),對于第二、三象限為負(x<0,r>0)；

r

③正切值上對于第一、三象限為正(x,y同號)，對于第二、四象限為負異號).

X

說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。

sina

為正全正

csca

tanacosa

為正為正

cotasecar

誘導(dǎo)公式

5由.三角言數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。

即有：

cos(a+2k/r)=cosa,其中ZwZ.

這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為。?2Ji間角的三角函數(shù)值問題.

三、鞏固及練習(xí)

1確定下列三角函數(shù)值的符號：

兀1\TI

(1)cos250°；(2)sin(--)；(3)tan(-672°)；(4)tan---.

3

Icos^ltanx

L

2求函數(shù)y=J--------+1--------的值域

cosx|tanx|

解:定義域：cosx0；.X的終邊不在X軸上

又..?tanx0/.x的終邊不在y軸上

,當(dāng)x是第I象限角時，X>0,y>0cosx=|cosx|tanx=itanxiy=2

...........II................,X<0,y>0cosx|=cosx|tanx|=tanxy=2

...............IIIIV...........,Icosx|=cosx|tanx|=tanx/.y=0

x>u,y<u

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.任意角的三角函數(shù)的定義：

2.三角函數(shù)的定義域、值域；

3.三角函數(shù)的符號及誘導(dǎo)公式。

五、課后作業(yè)：

補充：1已知點P(3r,-4r)(rwO),在角a的終邊上，求sina、cosa>tane的值。

2已知角的終邊經(jīng)過P(4,3),求2sin+cos的值

(34.2

解：由定義r=5sin=—cos=-??2sin+cos

555

六、板書設(shè)計：

4T.2.1任意角的三角函數(shù)(2)

教學(xué)目的：

知識目標(biāo)：1.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、定義域及值域、符號、及誘導(dǎo)公式；

2.利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值；

3.利用三角函數(shù)線比較兩個同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍。

能力目標(biāo)：掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學(xué)生對三角函數(shù)的定義域、值域有更深的

理解。

②三條有向線段的方向：通藕由垂足需向a的終邊及單位圓的交平；余弦線由原點指向垂

足：正切線由切點指向及a的終邊的交點。

③三條有向線段的正負：三條有向線段凡及x軸或y軸同向的為正值，及x軸或y軸反向的

線在x軸上；正切線在過唧立胡勒e軸正方向的交點的切除上，斗條有向我段中兩條在單位

圓內(nèi)，~~條在單位圓外一_j

德育目標(biāo)：學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；

教學(xué)重點：正弦、余弦、正切線的概念。

教學(xué)難點：正弦、余弦、正切線的利用。

授課類型：新授課

教學(xué)模式：講練結(jié)合

教具：多媒體、實物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.三角函數(shù)的定義及定義域、值域：

練習(xí)1：已知角a的終邊上一點尸(一6,加)，且sina=------,求cosa,sina的值。

4

解：由題設(shè)知R=y=m.所以/?=|Oq『=(—GT，得r=，3+〃廣，

.y/lmmm,八「,,入2.rz

從而sina=------=—=/,解得/%=0或16=6+=>m=±A/5.

4rV3+m2

當(dāng)加=0時，r=V3,x=-V3,

當(dāng)〃2=有時，r=20,x=—6,

當(dāng)m=—時，r=2>/2,x=—A/3,

2.三角函數(shù)的符號：

練習(xí)2：已知sina<0且tana>0,

aaaa

(1)求角a的集合：(2)求角一終邊所在的象限：(3)試判斷tan—,sin—cos—的符號。

2222

3.誘導(dǎo)公式：

練習(xí)3：求下列三角函數(shù)的值：

9萬,111、.94

(1)cos—,(2)tan(------),(3)sin—.

462

二、講解新課:

當(dāng)角的終邊上一點P(x,y)的坐標(biāo)滿足Jx2+丁=1時,有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表

示一三角函數(shù)線。

1.單位圓：圓心在圓點O,半徑等于單位長的圓叫做單位圓。

2.有向線段：

坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么及之平行的線段亦可規(guī)定方向。

規(guī)定：及坐標(biāo)軸方向一致時為正，及坐標(biāo)方向相反時為負。

3.三角函數(shù)線的定義：

設(shè)任意角a的頂點在原點。，始邊及x軸非負半軸重合，終邊及單位圓相交及點P(x,y),

過尸作x軸的垂線，垂足為M；過點4(1,0)作單位圓的切線，它及角a的終邊或其反向延

長線交及點T.

由四個圖看出：T/

當(dāng)角a的終邊不在坐標(biāo)軸上4向線段=x,MP=y,

我們就分別稱有向為正弦線、余弦線、/正切線

52條有向線段的」》:純?yōu)閍/羯及單位圓的爻卜到X犧J線';上余弦

為負值。

④三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。

4.例題分析：

例1.作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。

式5萬27r137

(1)—(2)—(3)----(4)

363

解：圖略。

例2.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小: