2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.1-直線的方程【課件】

第八章平面解析幾何第1節(jié)直線的方程ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l______的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為______；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是______________________.1.直線的傾斜角向上0°{α|0°≤α<180°}(1)定義：我們把一條直線的傾斜角α的________叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝______________.(2)計算公式2.直線的斜率正切值tanα3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率______________與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率_______________兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)————————與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距————————不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線y＝kx＋by－y0＝k(x－x0)1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系：2.截距和距離的不同之處“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個非負(fù)數(shù).×解析(1)當(dāng)直線的傾斜角α1＝135°，α2＝45°時，α1＞α2，但其對應(yīng)斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)當(dāng)直線斜率為tan(－45°)時，其傾斜角為135°.(3)兩直線的斜率相等，則其傾斜角一定相等.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大.(

) (2)直線的斜率為tanα，則其傾斜角為α.(

) (3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.(

) (4)經(jīng)過任意兩個不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(

)××√C解析設(shè)直線傾斜角為α，∵y＝－xtan60°＋2，2.(易錯題)直線xtan60°＋y－2＝0的傾斜角為(

) A.30°

B.60° C.120° D.150°∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.ABD3.(多選)下列說法正確的是(

)解析由于直線ax＋by＋c＝0同時要經(jīng)過第一、二、四象限，故斜率小于0，在y軸上的截距大于0，4.直線ax＋by＋c＝0同時要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足(

) A.ab＞0，bc＜0

B.ab＞0，bc＞0 C.ab＜0，bc＞0

D.ab＜0，bc＜0A即x－4y＝0.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，5.(易錯題)經(jīng)過點(diǎn)(4，1)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程為______________________________.x－4y＝0或x＋y－5＝0故直線方程是x＋y－5＝0.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2當(dāng)直線l由PA變化到與y軸平行的位置PC時，它的傾斜角由α增至90°，斜率的取值范圍為[1，＋∞).解析因?yàn)橹本€l2，l3的傾斜角為銳角，且直線l2的傾斜角大于直線l3的傾斜角，所以0＜k3＜k2.直線l1的傾斜角為鈍角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.(2)若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(

)A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2D解析直線l：y＝k(x－2)＋1經(jīng)過定點(diǎn)P(2，1)，訓(xùn)練1(1)已知點(diǎn)A(1，3)，B(－2，－1).若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是(

)D又直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，D則其傾斜角為30°，(2)過點(diǎn)(2，1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為_____________________________.故所求直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0(3)經(jīng)過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點(diǎn)，且直線的一個方向向量v＝(－3，2)的直線方程為________________.∴直線過點(diǎn)(1，1).∵直線的方向向量v＝(－3，2)，2x＋3y－5＝0即2x＋3y－5＝0.解析設(shè)C(x0，y0)，訓(xùn)練2(1)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中點(diǎn)M在y軸上，BC的中點(diǎn)N在x軸上，則直線MN的方程為________________.5x－2y－5＝0解得x0＝－5.解得y0＝－3.即5x－2y－5＝0.此時直線的方程為x－y－1＝0.綜上可得，所求直線的方程為3x－2y＝0或x－y－1＝0.(2)過點(diǎn)(－2，－3)，且在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是______________________________.3x－2y＝0或x－y－1＝0∵與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，(3)若一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(－2，2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則此直線的方程為_______________________________.x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0①k＞0時，(2k＋2)2＝2k，2k2＋3k＋2＝0，無解.②k＜0時，(2k＋2)2＝－2k，則所求直線為2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.證明

直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，例3

已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)證明：直線l過定點(diǎn)；∴無論k取何值，直線l總經(jīng)過定點(diǎn)(－2，1).在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；當(dāng)k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞).∴Smin＝4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時直線l的方程.解

由題意可知k≠0，再由l的方程，

∵l與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，訓(xùn)練3

已知直線l過點(diǎn)M(2，1)，且分別與x軸的正半軸，y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時，求直線l的方程.

解

法一設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)，即x＋2y－4＝0.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3利用斜截式直接寫出方程，1.傾斜角為120°且在y軸上的截距為－2的直線方程為(

)B2.若過點(diǎn)P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

) A.(－2，1) B.(－1，2) C.(－∞，0) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)A解析∵直線y＝ax＋c經(jīng)過第一、二、三象限，∴直線的斜率a＞0，在y軸上的截距c＞0.3.若直線y＝ax＋c經(jīng)過第一、二、三象限，則有(

) A.a＞0，c＞0 B.a＞0，c＜0 C.a＜0，c＞0 D.a＜0，c＜0A解析直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，B由所求直線過點(diǎn)(0，1)，5.過點(diǎn)(0，1)且與直線2x－y＋1＝0垂直的直線方程是(

) A.x＋2y－1＝0

B.x＋2y－2＝0 C.2x－y－1＝0

D.2x－y－2＝0B解析∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴斜率k＝tanα≥－1，BA所求直線為y＝2x，即2x－y＝0.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)所求直線方程為x±y＝k，把點(diǎn)A(1，2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直線方程為x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.8.(多選)若直線過點(diǎn)A(1，2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線l的方程為(

) A.x－y＋1＝0

B.x＋y－3＝0 C.2x－y＝0

D.x－y－1＝0ABC解析已知直線的斜率為1，則其傾斜角為45°，繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)15°后，得到的直線l的傾斜角α＝45°＋15°＝60°，即x＋13y＋5＝0.10.已知三角形的三個頂點(diǎn)A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，則BC邊上中線所在的直線方程為______________.x＋13y＋5＝0解析因?yàn)橹本€l的斜率存在，11.設(shè)直線l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直線l的斜率為－1，則k＝________；若直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0，則k＝________.51由題意得k－3＋2＝0，解得k＝1.解析依題意，設(shè)點(diǎn)P(a，1)，Q(7，b)，12.若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為________.解析由題意知，y′＝2x＋2，設(shè)P(x0，y0)，則在點(diǎn)P處的切線的斜