2022-2023學(xué)年福建省福州某中學(xué)九年級上學(xué)期12月份適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)含詳解

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)科

九年級12月階段性考試卷

（完卷時間：120分鐘，總分：150分）

注意事項：請把答案填在答題卡上.

一.選擇題（每小題4分，共40分，請把正確選項的代號在答題卡的相應(yīng)位置涂黑）

1.下列品牌圖案中，是中心對稱圖形的是（)

AOI1B

2.下列事件是必然事件的是（）

A.下個月1號會下雨B.13個人中至少有2人生日在同一個月

C.平分弦的直徑垂直于弦D.從一副撲克牌中隨機抽取一張，抽到紅桃

3.將拋物線y=（x-Ip-4平移得到拋物線y=f,這個平移過程是（)

A.向左平移1個單位,再向上平移4個單位

B.向左平移1個單位,再向下平移4個單位

向右平移1個單位,再向下平移4個單位

D.向右平移1個單位,再向上平移4個單位

4.若關(guān)于x的一元二次方程—左=0沒有實數(shù)根，則％的值可以是（)

A.-2B.-1C.0D.1

5.用一個半徑為3,面積為3萬的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐（不計損耗）,則圓錐的底面半徑為（）

A.7CB.2?C.2D.1

6.一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，依題

意可列方程為（）

A.x+x(x+l)=⑵B.l+x+x(x+l)=121

C.x+x2=121D.1+%+X2=121

7.如圖，沿A8方向架橋BD，以橋兩端出發(fā)，修公路8C和。C,測得NA6c=150°,

BC=1800m,=105°,則公路OC的長為（

A900mB.900\/2mC.9006mD.1800m

8.如圖，正比例函數(shù)y=4x與反比例函數(shù)y=包的圖像交于41,，〃）、B兩點，當(dāng)年"石時，x的取值范

XX

-U<0或x±1B.x<-l^cO<x<l

C.x<-]^x>1D.-1<X<OWCO<X<1

9.如圖，在maABC中，ZABC=90°,NA=32。，點8、。在。。上，邊AB、AC分別交。。于。、E

兩點，點8是CO的中點，則N48E的度數(shù)是（）

B.16°C.18°D.21°

10.已知拋物線丁=江+兒+。（4、b、C?是常數(shù)，。。0）經(jīng)過點A（l，o）和點8（0,—3）,若該拋物線的

頂點在第三象限，記m=2。一/?+。，則〃z的取值范圍是（）

A.0<m<3B.-6<m<3C.—3<m<6D.-3<m<0

二.填空題（每小題4分，共24分）

11.拋物線丁=加+法+。交》軸于（—3,0）,（1,0）,則方程加+fec+c=O根為.12.如圖，

線段A8兩個端點的坐標(biāo)分別為A（6,6）,B（9,3）以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮

小為原來的!后得到線段CD,則端點D的坐標(biāo)為.

B13.己知點A（—3,y）,6（—5,%），C（2,%）在二次函數(shù)

X

y=-2x+6的圖象上，則,、為、%的大小關(guān)系為

14.如圖所示，兩個同心圓的半徑之比為3：6,A6是大圓的直徑，大圓的弦與小圓相切，若

AC=12,則BC=.

A15.如圖，在RsABC中，ZACB=90，ZBAC=30°>BC=2,線段BC

繞點B旋轉(zhuǎn)到B。，連A。，E為A。的中點，連接CE,則CE的最大值是.

16.如圖，在平行四邊形A8CO中，過點B作6E〃y軸，且OE=4CE,D

k

在線段A8上，AD:BD=2:3,連接BEDE、DC.反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過。、E兩點，若

x

△DEC的面積為3,則上的值為

三.解答題（本大題共9小題，滿分86分）

17.解方程：X2-8X+1=0

18.如圖，在等邊△4BC中，D為BC上一點,E為AC邊上一點，且NADE=60°，BD=4,CE=3,

A

(1)求證：AABDsADCE

19.如圖，在"IBC中，。是邊BC上一點，AD=AB.

（1）請用尺規(guī)作圖法作“RC繞點A旋轉(zhuǎn)后得到的VAD￡，使旋轉(zhuǎn)后的AB邊

與AD邊重合.（保留作圖痕跡，不寫作法）

(2)連接CE,若NB=60°,求證：CE=AE.

20.如圖，。。的直徑AD長為6,AB是弦，CD〃AB,/A=30。，且CD=百.

（1）求/C的度數(shù)；

（2）求證：BC是OO的切線.

端午節(jié)前夕,某超市從廠家分兩次購進A、8兩種品牌的粽子，兩次進

貨時，兩種品牌粽子的進價不變.第一次購進A品牌粽子100袋和8品牌粽子150袋，總費用為7000元;

第二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元.

（1）求A、8兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元：

（2）當(dāng)8品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對5品牌粽子進行降

價銷售.經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋.當(dāng)8品牌粽子每袋的銷

售價降低多少元時，每天售出8品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

22.某縣為了調(diào)研該縣初中學(xué)校落實國家“雙減”政策情況，隨機調(diào)查了部分初中學(xué)生課后完成作業(yè)的時

間3按完成時間長短劃分為A、B、C、。（A：f>1.5小時，8：1小時小時，C：0.5小時

<Y1小時，D：Y0.5小時）四個層次進行統(tǒng)計，并繪制了下面不完整的兩幅統(tǒng)計圖，請根據(jù)有關(guān)信息

解答問題.

名學(xué)生，并

補全條形統(tǒng)計圖;

(2)若該縣有20000名初中生，請估計全縣完成作業(yè)小于1.5小時的學(xué)生約有多少人?

(3)完成作業(yè)時間最短的前四各學(xué)生中恰好為2名男生和2名女生.現(xiàn)從中隨機抽取兩名學(xué)生進行“你是

怎樣能盡快完成作業(yè)的？”經(jīng)驗分享，試用列表法或樹狀圖求出剛好選中1名男生與1名女生的概率.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZAOB=90°,AB〃x軸，OB=2,雙曲線y=—經(jīng)過點B,將AAOB繞點

x

B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點O的對應(yīng)點D落在x軸的正半軸上.若AB的對應(yīng)線段CB恰好經(jīng)過點O.

(1)求點B的坐標(biāo)和雙曲線的解析式;

(2)判斷點C是否在雙曲線上，并說明理由.

24.在平行四邊形ABCQ中，M,N分別是邊A。，A8的點，AB=kAN,AD=

(1)如圖1,若連接MMBD,求證：MN//BD；

(2)如圖2,把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度a(0°<a<90°)得至QAFE,M,N的對應(yīng)點分別為點

E,F,連接BE,若NABF=NEBC,ZAEB=2ZDAE.

①直接寫出上的取值范圍；

②當(dāng)tan/EBC=1時，求k的值.

3

25.已知拋物線丁=一%2+法+。經(jīng)過4(7%ri),/?),C(l,4)三點，頂點為P.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如果AQ鉆是以AB為底邊的等腰直角三角形，求的面積；

(3)若直線(：、=人無一2人與拋物線交于。，E兩點，直線￡,=與拋物線交尸、G兩點,

OE的中點為M,FG的中點為N,勺e=-2,求點P到直線MN距離的最大值.

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)科

九年級12月階段性考試卷

（完卷時間：120分鐘，總分：150分）

注意事項：請把答案填在答題卡上.

一.選擇題（每小題4分，共40分，請把正確選項的代號在答題卡的相應(yīng)位置涂黑）

1.下列品牌圖案中，是中心對稱圖形的是（）

AB.0|jT|

D

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義即可進行解答.

【詳解】解：A、B、C都不是中心對稱圖形，不符合題意；D是中心對稱圖形，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是掌握：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋

轉(zhuǎn)18（）。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.

2.下列事件是必然事件是（）

A.下個月1號會下雨B.13個人中至少有2人生日在同一個月

C.平分弦的直徑垂直于弦D.從一副撲克牌中隨機抽取一張，抽到紅桃

B

【分析】根據(jù)必然事件的定義判斷即可.

【詳解】A：下個月1號會下雨，是隨機事件，不符合題意；

B：13個人中至少有2人生日在同一個月，是必然事件，符合題意；

C：平分弦的直徑垂直于弦，是隨機事件，不符合題意；

D：從一副撲克牌中隨機抽取一張，抽到紅桃，是隨機事件，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件是指在一定條件下，一定發(fā)生

的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不會發(fā)生的事件：隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也

可能不發(fā)生的事件，解題的關(guān)鍵是理解其定義.3.將拋物線＞=。-1）2-4平移得到拋物線卜=》2,這

個平移過程是（）

A.向左平移1個單位，再向上平移4個單位

B.向左平移1個單位，再向下平移4個單位

C.向右平移1個單位，再向下平移4個單位

D.向右平移1個單位，再向上平移4個單位

A

【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律解題.

【詳解】解：將拋物線y=(x-1)2-4向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，

得至U拋物線y=(x-l+l)2-4+4,即y

故選：A.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的平移，拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)的求法，要求熟練掌握平移的規(guī)

律：左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式.

4.若關(guān)于x的一元二次方程/一2%—左=0沒有實數(shù)根，則上的值可以是()

A.-2B.-1C.0D.1

A

【分析】根據(jù)根的判別式列出不等式求出k的范圍即可求出答案.

【詳解】解：???一元二次方程V―2%-左=0沒有實數(shù)根，

???A=(-2『-4xlx(-^)=4+4jt<0,

故選：A.

【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)A<0時，方程無實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

5.用一個半徑為3,面積為3萬的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐(不計損耗)，則圓錐的底面半徑為()

A.兀B.2"C.2D.1

D

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的

母線長和扇形面積公式得到3*2兀丁3=3兀，然后解方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得兀丁3=3兀，

解得r=l.

故選：D.

【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇

形的半徑等于圓錐的母線長.

6.一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，依題

意可列方程為()

A.x+x(x+l)=121B.l+x+x(x+l)=121

c.x+x2=mD.1+X+X2=121

B

【分析】患流感的人把流感傳染給別人，自己仍然患病,包括在總數(shù)中.設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人，則第一輪傳染了X個人，第二輪作為傳染源的是(X+1)人，則傳染了x(x+l)人，根據(jù)兩輪傳染后共

有121人患了流感，即可得出關(guān)于X的一元二次方程，此題得解.

【詳解】解：若每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是

(x+1)人，則傳染了x(x+l)人，

根據(jù)題意，可得：l+x+x(x+l)=121.

故選：B

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

7.如圖，沿A3方向架橋AD,以橋兩端氏。出發(fā)，修公路BC和。C，測得NA5C=150。，

3c=1800m,/BCD=105°,則公路OC的長為()

B.900>/2mC.90073mD.1800mB

【分析】過點C作CELBO,垂足為E,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出NCBZ),ZBCE的度數(shù)，進而求出

/0CE的度數(shù)，在直角三角形中，由特殊角三角函數(shù)以及直角三角形邊角的關(guān)系可得答案.

【詳解】過點C作CEL8O,垂足為E,

???ZABC=150°,

ZCBD=180°-150°=30°,

ZBC￡=90°-30°=60°,

???/BCD=105°,

ZDCE=105°—60°=45°,

在RjBCE中，ZCBE=30°,3c=1800m,

CE=-BC=900m,

2

在RJCDE中，ZDCE=45°,

CD=72CE=900V2m,

【點睛】本題考查解直角三角形和三角形內(nèi)角和定理,熟練掌握直角

三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

正比例函數(shù)y=與反比例函數(shù)y=4的圖像交于A(1,M、B兩點，當(dāng)時，x的取值范

8.如圖,

XX

-1<X<0^X>1B.%〈一1或0cx<1

C工<一1或D.-IWXVO或0<x〈lA

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)圖像的對稱點求出點8的坐標(biāo)，然后根據(jù)女聲4區(qū)的解集即為反比例函數(shù)在一次

X

函數(shù)上方的部分可得答案.

【詳解】解析：??,正比例函數(shù)y=%x與反比例函數(shù)y=勺的圖像交于A(l,m)、B兩點,

X

1.6(—1,-加),

由圖像可知，當(dāng)時，x的取值范圍是一14x<0或,

x

故選：A.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性得出點8的坐標(biāo)的坐標(biāo)是

解本題的關(guān)鍵.

9.如圖，在RfAABC中，ZABC=90°,NA=32°,點8、C在。。上，邊AB、AC分別交。。于。、E

C.18°D.21°

A

【分析】根據(jù)點8是CO的中點，可得/8Z）C=258=45°，再根據(jù)圓周角定理可得NBEC=45°,然后

根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可求解.

【詳解】：點3是C。的中點，

，BD=BC，

NBDC=NBCD,

；/ABC=90°,AZBDC=ZBCD=45°,

NBEC=NBDC,

：.ZBEC=45°,

?；NBEC=NA+NABE,N4=32°,

；.NABE=NBEC-NA=13°.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，三角形外角性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

10.已知拋物線丁=以2+法+。（/b、c,是常數(shù)，。。0）經(jīng)過點A（l，0）和點8（0,—3）,若該拋物線的

頂點在第三象限，記相=2。一/?+。，貝ij加的取值范圍是（）

A.0<m<3B.-6<m<3C.-3<m<6D.-3<m<0

B

b

【分析】由頂點在第三象限，經(jīng)過點A（l,0）和點5（（）,—3）,可得出：。>0,即可得出0vav3,

又由于加=2a—b+c=2a—（3—a）+（—3）=3a—6,求出3?！?的范圍即可.

【詳解】V拋物線y=/+fee+C過點（1,0）和點（0,-3）,

c——3,。+b+c=0,

即力=3—。，

???頂點在第三象限，經(jīng)過點A（l,0）和點8（°，-3），

**?4Z>0>----v0,

2a

：.b>09

，。=3—Q>0,

.二av3,

：.0<a<3

*/m=2cl—b+c=2cl—（3—a）+（—3）=3a—6,

:0vav3,

0<3tz<9

-6<3a-6v3,/.-6<m<3.

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)>="2+版+4。/0）的圖象為拋物線，

當(dāng)?！?,拋物線開口向上；對稱軸為直線》=-二；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0,C）.

二.填空題（每小題4分，共24分）

11.拋物線y=a?+bx+c交x軸于（-3,0）,（1,0）,則方程℃2+―+。=（）的根為.

西=-3,々=1【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)一元二次方程的解即可求解.

【詳解】解：：拋物線產(chǎn)加+法+。交x軸于（―3,0）,。,0）,

2

ax+bx+c=0的根為玉=-3,x2=\,

故答案為：玉=-3,々=1.

【點睛】本題考查了拋物線與X軸的交點問題，解題的關(guān)鍵是把求二次函數(shù)+法+c（a,h,C是

常數(shù)，a。0）與x軸的交點坐標(biāo)問題，轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程，即可求解.

12.如圖，線段兩個端點的坐標(biāo)分別為4（6,6）,B（9,3）以原點。為位似中心，在第一象限內(nèi)將

線段48縮小為原來的g后得到線段CD,則端點。的坐標(biāo)為.

(3,1)【分析】利用位似圖形的性質(zhì)，結(jié)合兩圖形的位似比進而

【詳解】解：.??線段AB端點B的坐標(biāo)分別為B(9,3),以原點。為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮

小為原來的，后得到線段CQ,...端點。的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)?點的!，

33

端點。的坐標(biāo)為：(3,1).

故答案是：(3,1).

【點睛】考查了位似圖形的性質(zhì)，利用兩圖形的位似比得出對應(yīng)點橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

13.已知點A(—3,y),8(—5,%)，C(2,%)在二次函數(shù)y=—f—2x+〃的圖象上，則%、為、

力的大小關(guān)系為

%<為<X【分析】根據(jù)函數(shù)的表達式，求出該函數(shù)的對稱軸，再結(jié)合函數(shù)的開口方向和增減性進行分析,

即可進行解答.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

該函數(shù)的對稱軸為直線尤=-—二一=-1,

-1x2

.?.點A到對稱軸的距離為：一1—(—3)=2,

點8到對稱軸的距離為：-1-(-5)=4,

點C到對稱軸的距離為：2—(—1)=3,

■:a——1<0?.

...該函數(shù)開口向下，

,Z2<3<4,

故答案為：y2<y3<yY.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對稱軸，增減性和對

稱性的相關(guān)內(nèi)容.

14.如圖所示，兩個同心圓的半徑之比為3:6,A8是大圓的直徑，大圓的弦8C與小圓相切，若

AC=12,則=

12百【分析】設(shè)弦與小圓相切于點。，連接。。，OD±BC,A8為大圓的直徑，AC1BC,故

0。為乙鉆。的中位線；AC=12,0。即可知，兩個同心圓的半徑之比為3:6,可求得大圓半徑，再由勾

股定理可求得的長.

【詳解】解：設(shè)點。是BC與小圓相切的切點，

,/A3為大圓的直徑，

0D1BC,

???OD±BC,過圓心，

O為BC的中點，

,/。為A8的中點，

OD//AC,

為A4BC的中位線，

AC=12,

OD=6,

?..兩個同心圓的半徑之比為3:6,

大圓的半徑為12，A3=24,

?*-BC=y]AB2-AC2=7242-122=12丘

故答案為：126.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)及垂徑定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì).

15.如圖，在RSABC中，NAC5=9(r,N8AC=30°，8c=2,線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到B。，連A。，E

為A。的中點，連接CE,則CE的最大值是一.

【分析】通過已知求得。在以B為圓心，8。長為半徑的圓上運動，為A。的中點，

在以BA中點為圓心，!劭長為半徑的圓上運動，再運用圓外一定點到圓上動點距離的最大值=定點

2

與圓心的距離+圓的半徑，求得CE的最大值.

【詳解】解：：BC=2,線段BC繞點8旋轉(zhuǎn)到

D

:.BD=2,

：.-BD=\.

2

由題意可知，。在以8為圓心，8。長為半徑的圓上運動，

YE為AD的中點，

.?.E在以BA中點為圓心，-劭長為半徑的圓上運動，CE的最大值即C到BA中點的距離加上！M長.

22

VZACB=903>ZBAC=30‘，BC=2,

.?.C到BA中點的距離即,AB=2,

2

又

2

???CE的最大值即，A8+LBO=2+1=3.

22

故答案為3.

【點睛】本題考查了與圓相關(guān)的動點問題，正確識別E點運動軌跡是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在平行四邊形4BCO中，過點8作軸，且O￡=4C￡,。在線段AB上，

k

AD:BD=2:3,連接BEDE、DC.反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過。、E兩點，若的面積為

x

3,則/的值為.

y【分析】過點。作。尸〃x軸，交BE于點F,交丫軸于點G,延長BE交

x軸于點H,連接。。，根據(jù)ADEC的面積為3,求出AODE的面積，設(shè)。點坐標(biāo)為則E點坐標(biāo)

為（4a,二］,根據(jù)面積列方程即可求出z的值.

I

：-SVDEO=4SVDEC=12,CE^OC,

,/BE//y軸,

???四邊形3MOE是平行四邊形,

BM=OE,

AM=CE=-OC=-AB,

55

,/AD:BD=2:3,

23

AAD^-AB,

55

DMAD-AM^-AB--AB=-AB,

555

DM=CE,

由平行四邊形得，/OEH=NEBM=/DMG,NOHE=/DGM=90,，

???NOHE^NDGM，

DGDMCE\

設(shè)。點坐標(biāo)為(則E點坐標(biāo)為(4a,k

4a

c4k1k1k1、/kk、

Svnnr=4Qx----cix----x4Qx------(4Q—u)x(------),

V°DEa2a24a2a4a

11932

=4k--k一一k--k=\2,解得：k=—,

2285

32

故答案為：y.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)左的幾何意義，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，設(shè)點的坐標(biāo)，利用相似三角形的

性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積公式列出關(guān)于k的方程.

三.解答題(本大題共9小題，滿分86分)

17.解方程：龍2一8工+1=0

x,=4+5/15,^=4-V15【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程即可.

【詳解】解：￡—8X+1=0

X2-8x=-lx2—8x+16=—1+16(x-4)'=15x-4=±Vl5解得：x,=4+V15,=4->/15.

【點睛】此題考查的是解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解決此題的關(guān)鍵.

18.如圖，在等邊△ABC中，。為BC上一點，E為月C邊上一點，且NAOE=60°,BD=4,CE=3,

A

//\(1)求證：△ABDS^DCE

BC

D

(2)求A8的邊長

(1)證明見解析

(2)16

【分析】(1)由NAZ)E=60°,結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證明ND48=/E￡>C,可證得△A8OsZ^)cE：

(2)利用(1)中相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出比例式，求解OC,即可表示等邊三角形的邊長.【小問

1詳解】

證明：；△ABC是等邊三角形，

ZB=ZC=60°.

：.ZBAD+ZADB=nQ°,

'：ZADE^GO0,

：.ZADB+ZEDC=[2Q°,

：.NDAB=NEDC,

又?.?NB=NC=60°,

^ABDs^DCE；

【小問2詳解】

解：?：/XABDs^DCE,

.ABBD

"~CD^~CE

,；BD=4,CE=3,AB=BC=BD+CD,

.4+CD_4

??=)

CD3

解得C￡>=12.

AB=12+4=16.

【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠證得△A3。SA￡)CE是解

答此題的關(guān)鍵.

19.如圖，在"IBC中，。是邊BC上一點，AD=AB.

(1)請用尺規(guī)作圖法作A4BC繞點A旋轉(zhuǎn)后得到的VADE，使旋轉(zhuǎn)后的AB邊

與4。邊重合.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)連接CE,若NB=60°,求證：CE=AE.

（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可作aABC繞點A旋轉(zhuǎn)后得到的△AOE,使旋轉(zhuǎn)后的AB邊與AD邊重

合.（2）由題意，先證明絲VADE，然后"CE是等邊三角形，即可得到結(jié)論成立.

【小問1詳解】

解：如圖所示，VADE即為所求.

【小問2詳解】

證明：連CE,

VAB^AD，/3=60°,

/.△A3。是等邊三角形,

ZBAT>=60.

?/"RC旋轉(zhuǎn)至VAD￡，

屈BC^YADE,

：.AC=AE,NDAE=ZBAC,

：.NC4E=N8M>=60。，

AACE是等邊三角形，

CE=AE.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握題意，正確的作出輔助線，從而進行解題.

20.如圖，。。的直徑AD長為6,AB是弦，CD〃AB,ZA=30°,且CD=?.

（1）求/C的度數(shù);

D

(2)求證：BC是。O的切線.

(1)60。；(2)見解析

【分析】(1)連接BD,由AD為圓的直徑，得到NABD為直角，再利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半

求出BD的長，根據(jù)CD與AB平行，得到一對內(nèi)錯角相等，確定出NCDB為直角，在直角三角形BCD中，利

用銳角三角函數(shù)定義求出tanC的值，即可確定出NC的度數(shù)：

(2)連接0B,由OA=OB,利用等邊對等角得到一對角相等，再由CD與AB平行，得到一對同旁內(nèi)角互

補，求出NABC度數(shù)，由NABC-NAB0度數(shù)確定出N0BC度數(shù)為90,即可得證；

【詳解】(1)如圖，連接BD,

AD為圓0的直徑,

.*.BD=-AD=3,

2

：CD〃AB,NABD=90。，

NCDB=NABD=90。，

^BD

在RtzkCDB中，tanC=——

CD

：.ZC=60°；

(2)連接OB,

VZA=30°,OA=OB,

?,.ZOBA=ZA=30°,

：CD〃AB,ZC=60°,

NABC=180°-NC=120°,

AZOBC=ZABC-ZABO=120°-30°=90°,AOB1BC,

；.BC為圓0的切線.

【點睛】此題考查了切線的判定，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.

21.端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、8兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不

變.第一次購進A品牌粽子100袋和8品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進A品牌粽子180袋

和B品牌粽子120袋，總費用為8100兀.

(1)求A、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；

(2)當(dāng)8品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進行降

價銷售.經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋.當(dāng)8品牌粽子每袋的銷

售價降低多少元時，每天售出8品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

(1)A種品牌粽子每袋的進價是25元，8種品牌粽子每袋的進價是30元

(2)當(dāng)8品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出8品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元

【分析】(1)根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組，即可求解；

(2)設(shè)8品牌粽子每袋的銷售價降低。元，利潤為卬元，列出卬關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)的最值即

可.

【小問1詳解】

解：設(shè)A種品牌粽子每袋的進價是x元，B種品牌粽子每袋的進價是V元，

100^+150y=7000

根據(jù)題意得，<

180x+120y=8100

x=25

解得《

y=30

故A種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元；

【小問2詳解】

解：設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價降低。元，利潤為卬元，

根據(jù)題意得，

卬=(54—a-30)(20+5a)--5a~+100a+480=-5(a-10)一+980?

???一5<0,

.?.當(dāng)B品牌粽子每袋銷售價降低10元時，每天售出8品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元.

【點睛】本題考查二次函數(shù)和二元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式和二元一次方

程組是解題的關(guān)鍵.

22.某縣為了調(diào)研該縣初中學(xué)校落實國家“雙減”政策情況，隨機調(diào)查了部分初中學(xué)生課后完成作業(yè)的時

間按完成時間長短劃分為A、B、C、D(A：f>1.5小時，8：1小時<Y1.5小時，C：0.5小時

小時，D：/W0.5小時)四個層次進行統(tǒng)計，并繪制了下面不完整的兩幅統(tǒng)計圖，請根據(jù)有關(guān)信息

名學(xué)生，并

補全條形統(tǒng)計圖;

（2）若該縣有20000名初中生，請估計全縣完成作業(yè)小于1.5小時的學(xué)生約有多少人？

（3）完成作業(yè)時間最短的前四各學(xué)生中恰好為2名男生和2名女生.現(xiàn)從中隨機抽取兩名學(xué)生進行“你是

怎樣能盡快完成作業(yè)的？”經(jīng)驗分享，試用列表法或樹狀圖求出剛好選中1名男生與1名女生的概率.

(1)200,條形統(tǒng)計圖見解析

(2)19200人

2

(3)

3

【分析】（1）根據(jù)時段B人數(shù)以及百分比，即可求得調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，求得時段C的人數(shù)，補全統(tǒng)計圖

即可;

（2）根據(jù)樣本中“完成作業(yè)不超過1.5小時的學(xué)生”所占百分比以及全縣初中學(xué)生人數(shù)求解即可;

（3）利用樹狀圖求解概率即可.

【小問1詳解】

解：由題意可得，時段8的人數(shù)為72,所占百分比為36%,

總?cè)藬?shù)為：72+36%=2（X）（人）,

時段C的人數(shù)為200—8—72—40=80（人）,

則條形統(tǒng)計圖如圖所示:

解：“完成作業(yè)不超過

200

全縣初中學(xué)生完成作業(yè)不超過1.5小時的人數(shù)約為2（XXX）x96%=19200（人）,

答：全縣完成作業(yè)不超過1.5小時的學(xué)生約有19200人;

【小問3詳解】

解：用樹狀圖表示選取的情況，如圖：

開始

F一選取的總可能數(shù)為12,一男一女的可能數(shù)為

第一次男1男2女1女2

小小小/K

第二次男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女1

8,

則剛好選到1名男生與1名女生的概率為

123

【點睛】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，掌握列表法或樹狀圖求概率是解

題的關(guān)鍵.

k

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZAOB=90°,AB〃x軸，OB=2,雙曲線廣一經(jīng)過點B,將△AOB繞點

x

B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點O的對應(yīng)點D落在x軸的正半軸上.若AB的對應(yīng)線段CB恰好經(jīng)過點O.

(1)求點B的坐標(biāo)和雙曲線的解析式;

(2)判斷點C是否在雙曲線上，并說明理由.(1)B(1,6)，雙曲線解析式為(2)點C在雙曲

x

線上；理由見解析.

【詳解】解：(1),?'AB〃x軸，

/.ZABO=ZBOD,

VZABO=ZCBD,

.\ZBOD=ZOBD,

VOB=BD,

Z.ZBOD=ZBDO,

?二△BOD是等邊三角形，

.\ZBOD=60°,

AB(1,乖,)；

k

???雙曲線y二一經(jīng)過點B,?,?k=lx6=

x

???雙曲線的解析式為y=3

X

(2)VZABO=60°,ZAOB=90°,

???ZA=30°,

.*.AB=20B,

VAB=BC,

.,.BC=2OB,

AOC=OB,

C(-1,-6),V-lx(-^/3)

???點C在雙曲線上.

【點睛】本題考查①反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；②坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

24.在平行四邊形A5C。中，M,N分別是邊AZ),A3的點，AB=kAN,AD=

(1)如圖1,若連接MN,BD,求證：MN〃BD；

(2)如圖2,把△AMN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度a(0°<a<90°)得到M,N的對應(yīng)點分別為點

E,F,連接8E,若NABF=NEBC,ZAEB=2ZDAE.

①直接寫出《的取值范圍；

②當(dāng)tan/EBC=1時，求k的值.

3

(1)見解析⑵①14/<2；②之叵

5

【分析】(1)根據(jù)題意，證明，可得Nl=/2,根據(jù)平行線的判定即可得證；

(2)①證明可得NAFB=NAED，結(jié)合已知條件可得NAED+NAEB=18()°,可

得B,E,。三點共線，根據(jù)題意，當(dāng)A6=AN=A/，此時％=1,由N3=N4=a,可得AE=EZ),根據(jù)

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得a>0°,即可求得左范圍；

②根據(jù)題意，tanZ3=tanZ2=-,過4作AG_L8D于G.用"GO中，tanZ3=—=-,設(shè)

3GD3

AG=a,GD=3a,則AO=Ji6a，中勾股定理列出方程，解方程求得x,根據(jù)

=即可求解.

【小問1詳解】

證明：如圖，

AMD

//VAB=kAN,AD=kAM

BC

圖1

AB,AD,ABAD

??—k，—k,f??—

ANAMANAM

又???/A=NA，

/\AMN^ZXABD

???N1=N2，

：.MN//BD.

【小問2詳解】

①連接DE.

1/???AAMN繞點A順時針轉(zhuǎn)角a得到

RC

/\AFE.

四△AEF,AF=AN,

AE=AM，ZFAB=ZEAD=a,

ABADABAD

由Q)——=——，則nl——=——

ANAMAFAE

即空="

ADAE

/\ABFs/\ADE，

，ZAFB=ZAED.

西邊形ABC。是平行四邊形，

，AD//BC

?：ABAD+ZABC=\^°,N2=N3

/.ZJ^4D+N4+ZAB￡+N2=180。

，ZBAE+Z5+ZABE+Z1=180°

/.ZAFB+ZAEB=18Q0,

/.ZAED+ZAEB=18Q°

；.B,E,。三點共線.當(dāng)N點與8點重合時，AB=ANAF,此時）=1,

-,?N3=N4=aAE=ED當(dāng)a=0°時，AE--AD

2

此時攵=2

a>0°：.Ic<2\<k<2,

②???ZAEB=N4+N3,ZAEB=2/4,

N4=N3,

：.AE=ED

?.22=/3,

/.tanZ3=tanZ2=-

3

過4作4G_LBO于G.

AG1

*'?Rt/\AGD中，tan/3==—