備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10單元空間向量在立體幾何中的應(yīng)用單元訓(xùn)練A卷理含解析

此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)第10單元空間向量在立體幾何中的應(yīng)用注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是，，那么這條斜線與平面所成的角是（）A．90° B．30° C．45° D．60°2．平面QUOTE經(jīng)過(guò)三點(diǎn)QUOTE，QUOTE，QUOTE，則平面QUOTE的法向量可以是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE3．若直線QUOTE的方向向量為，平面QUOTE的法向量為，則（）A． B． C． D．與相交4．如圖，在平行六面體QUOTE中，QUOTE為QUOTE的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A． B． C． D．5．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B． C． D．6．正方體中，直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．對(duì)于空間任意一點(diǎn)QUOTE和不共線的三點(diǎn)QUOTE，QUOTE，QUOTE，且有，則QUOTE，QUOTE，QUOTE是QUOTE四點(diǎn)共面的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件8．已知二面角QUOTE，其中平面QUOTE的一個(gè)法向量，平面QUOTE的一個(gè)法向量，則二面角QUOTE的大小可能為（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE或QUOTE D．QUOTE9．已知在平行六面體QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTE的長(zhǎng)為（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE10．如圖，已知矩形QUOTE與矩形QUOTE全等，二面角QUOTE為直二面角，QUOTE為QUOTE中點(diǎn)，QUOTE與QUOTE所成角為QUOTE，且，則（）A．1 B． C． D．11．在空間直角坐標(biāo)系QUOTE中，四面體QUOTE各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，QUOTE，則該四面體外接球的表面積是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE12．如圖，四邊形QUOTE，QUOTE，QUOTE，現(xiàn)將QUOTE沿QUOTE折起，當(dāng)二面角QUOTE的大小在時(shí)，直線QUOTE和QUOTE所成角為QUOTE，則QUOTE的最大值為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______．14．在直三棱柱QUOTE中，QUOTE，則異面直線QUOTE與QUOTE所成角的余弦值為_(kāi)_________．15．如圖，在正方體QUOTE中，QUOTE、QUOTE分別為QUOTE的中點(diǎn)，則平面QUOTE和平面QUOTE所成二面角的正弦值為_(kāi)_________．16．將直角三角形QUOTE沿斜邊上的高QUOTE折成QUOTE的二面角，已知直角邊QUOTE，那么下面說(shuō)法正確的是_________．（1）平面QUOTE平面QUOTE；（2）四面體QUOTE的體積是QUOTE；（3）二面角QUOTE的正切值是；（4）QUOTE與平面QUOTE所成角的正弦值是，三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）如圖，在正四棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．18．（12分）如圖，是以為直徑的半圓上異于的點(diǎn)，矩形所在的平面垂直于半圓所在的平面，且，．（1）求證：平面平面；（2）若的長(zhǎng)度為，求二面角的正弦值．19．（12分）如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，與交于點(diǎn)，平面平面，，，．（1）求證：平面；（2）若為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．20．（12分）已知四棱錐QUOTE的底面QUOTE是菱形，，QUOTE底面QUOTE，QUOTE是QUOTE上的任意一點(diǎn)．（1）求證：平面QUOTE平面QUOTE；（2）設(shè)QUOTE，是否存在點(diǎn)QUOTE使平面QUOTE與平面QUOTE所成的銳二面角的大小為QUOTE？如果存在，求出點(diǎn)QUOTE的位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（12分）如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E為CD中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，將△ADE沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（P?平面ABCE）．（1）證明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角的余弦值．22．（12分）如圖，已知四棱錐QUOTE的底面為邊長(zhǎng)為QUOTE的菱形，為QUOTE中點(diǎn)，連接QUOTE．（1）求證：平面QUOTE平面QUOTE；（2）若平面QUOTE平面QUOTE，且二面角QUOTE的余弦值為，求四棱錐QUOTE的體積．單元訓(xùn)練金卷?高三?數(shù)學(xué)卷（A）第10單元空間向量在立體幾何中的應(yīng)用答案第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】D【解析】∵，又由題意知，∴．答案D．2．【答案】D【解析】設(shè)平面QUOTE的法向量為，對(duì)于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，，故D選項(xiàng)符合題意．所以本題選D．3．【答案】C【解析】∵直線l的方向向量為，平面QUOTE的法向量為，∴，∴，∴QUOTE，故選C．4．【答案】A【解析】根據(jù)向量的三角形法則得到．故選A．5．【答案】A【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則，，，異面直線與所成角正切值為，故選A．6．【答案】A【解析】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)2，則，，，，所以，，因?yàn)樵谡襟w中，，平面，所以，又，所以平面，因此向量為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則．故選A．7．【答案】B【解析】空間任意一點(diǎn)QUOTE和不共線的三點(diǎn)QUOTE，QUOTE，QUOTE，且，則QUOTE四點(diǎn)共面等價(jià)于QUOTE，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTE，所以QUOTE四點(diǎn)共面，若QUOTE四點(diǎn)共面，則QUOTE，不能得到QUOTE，QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，QUOTE是QUOTE四點(diǎn)共面的充分不必要條件，故選B．8．【答案】C【解析】∵，，設(shè)與之間的夾角為QUOTE，，QUOTE，QUOTE，QUOTE二面角QUOTE的大小可能為QUOTE和QUOTE．9．【答案】D【解析】在平行六面體QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，，QUOTE，則，故選D．10．【答案】C【解析】以A為原點(diǎn)，AF為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2a，BC＝2b，則F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），D（0，0，2b），QUOTE（﹣2b，a，0），QUOTE（0，﹣2a，2b），∵FM與BD所成角為θ，且，∴，整理得，∴，解得，或（舍），∴，故選C．11．【答案】B【解析】如圖，在空間坐標(biāo)系里畫(huà)出QUOTE四個(gè)點(diǎn)，可得QUOTE面QUOTE，因此可以把四面體QUOTE補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，其外接球的半徑，所以外接球的表面積為QUOTE，故選B項(xiàng)．12．【答案】C【解析】取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CDQUOTE，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AOQUOTE，∴∠AOC是二面角的平面角，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，過(guò)點(diǎn)O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），設(shè)二面角的平面角為θ，則，連AO、BO，則∠AOC＝θ，，∴，，設(shè)AB、CD的夾角為α，則，∵，∴，∴．∴cosQUOTE的最大值為．故選C．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)A3的坐標(biāo)為，∴線段AA3的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為．14．【答案】【解析】因?yàn)镼UOTE，所以角QUOTE為直角，又直棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，所以QUOTE兩兩垂直，以QUOTE點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QUOTE方向分別為QUOTE軸，QUOTE軸，QUOTE軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，設(shè)異面直線QUOTE與QUOTE所成角為QUOTE，則．故答案為．15．【答案】【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體QUOTE的棱長(zhǎng)為2，則E(1，0，0)，F(xiàn)(0，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，，，設(shè)平面EFC1B的法向量，則，取QUOTE，得，平面BCC1的法向量，設(shè)平面EFC1B和平面BCC1所成二面角為QUOTE，則，所以，故填．16．【答案】（3）（4）【解析】畫(huà)出圖像如下圖所示，由圖可知（1）的判斷顯然錯(cuò)誤；由于QUOTE，故QUOTE是二面角QUOTE的平面角且QUOTE平面QUOTE，故QUOTE．過(guò)QUOTE作QUOTE交QUOTE的延長(zhǎng)線于QUOTE，由于QUOTE，故QUOTE是三棱錐QUOTE的高．在原圖中，QUOTE，，，，，所以，故（2）錯(cuò)誤；以QUOTE為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為QUOTE軸建立空間直角坐標(biāo)系．，，，，，設(shè)平面QUOTE的法向量為，則，令QUOTE，則，即．平面QUOTE的法向量是．設(shè)二面角QUOTE的平面角為QUOTE，由圖可知QUOTE為銳角，故，則其正切值為．故（3）判斷正確；平面QUOTE的法向量為QUOTE，，設(shè)直線QUOTE和平面QUOTE所成的角為QUOTE，則，故（4）判斷正確．綜上所述，正確的有（3），（4）．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：在正四棱柱中，，底面，，又，平面，則，，，，，則，，平面．又平面，∴平面平面．（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，．設(shè)是平面的法向量，，即，令，得，由（1）知，平面ABE的一個(gè)法向量為，，故平面與平面ABE所成銳二面角的余弦值為．18．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：平面平面，兩平面交線為，平面，，平面，平面，，是直角，，平面，平面，平面平面．（2）如圖，連結(jié)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面中，過(guò)作的垂線為軸，所在的直線為軸，在平面中，過(guò)作的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．的長(zhǎng)度為，，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得，，，平面的一個(gè)法向量，，，二面角的正弦值為．19．【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）．【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)、、，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以且．又，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面．（2）因?yàn)榱庑?，所以．所以，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，所以，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，可得，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為．20．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【解析】（1）證明：∵QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，∴QUOTE．∵四邊形QUOTE是菱形，∴QUOTE．∵QUOTE，∴QUOTE平面QUOTE．∵QUOTE平面QUOTE，∴平面QUOTE平面QUOTE．（2）設(shè)QUOTE與QUOTE的交點(diǎn)為QUOTE，以QUOTE、QUOTE所在直線分別為QUOTE、QUOTE軸，以過(guò)QUOTE垂直平面QUOTE的直線為QUOTE軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．設(shè)QUOTE，則，設(shè)，∴，∴，∴，，設(shè)平面QUOTE的法向量，∵，∴．求得為平面QUOTE的一個(gè)法向量．同理可得平面QUOTE的一個(gè)法向量為，∵平面QUOTE與平面QUOTE所成的銳二面角的大小為QUOTE，∴，解得QUOTE．∴QUOTE為QUOTE的中點(diǎn)．21．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE為等邊三角形，所以O(shè)D⊥AE，OB⊥AE，即在△PAE中，OP⊥AE，∴AE⊥平面POB，AE?平面ABCE，所