備戰(zhàn)2020年高考數學一輪復習第10單元空間向量在立體幾何中的應用單元訓練A卷理含解析

此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號第10單元空間向量在立體幾何中的應用注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是，，那么這條斜線與平面所成的角是（）A．90° B．30° C．45° D．60°2．平面QUOTE經過三點QUOTE，QUOTE，QUOTE，則平面QUOTE的法向量可以是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE3．若直線QUOTE的方向向量為，平面QUOTE的法向量為，則（）A． B． C． D．與相交4．如圖，在平行六面體QUOTE中，QUOTE為QUOTE的中點，設，，，則（）A． B． C． D．5．在長方體中，，，點為的中點，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B． C． D．6．正方體中，直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．對于空間任意一點QUOTE和不共線的三點QUOTE，QUOTE，QUOTE，且有，則QUOTE，QUOTE，QUOTE是QUOTE四點共面的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件8．已知二面角QUOTE，其中平面QUOTE的一個法向量，平面QUOTE的一個法向量，則二面角QUOTE的大小可能為（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE或QUOTE D．QUOTE9．已知在平行六面體QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTE的長為（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE10．如圖，已知矩形QUOTE與矩形QUOTE全等，二面角QUOTE為直二面角，QUOTE為QUOTE中點，QUOTE與QUOTE所成角為QUOTE，且，則（）A．1 B． C． D．11．在空間直角坐標系QUOTE中，四面體QUOTE各頂點坐標分別為，，QUOTE，則該四面體外接球的表面積是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE12．如圖，四邊形QUOTE，QUOTE，QUOTE，現將QUOTE沿QUOTE折起，當二面角QUOTE的大小在時，直線QUOTE和QUOTE所成角為QUOTE，則QUOTE的最大值為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知點關于坐標原點的對稱點為，關于平面的對稱點為，關于軸的對稱點為，則線段的中點的坐標為_______．14．在直三棱柱QUOTE中，QUOTE，則異面直線QUOTE與QUOTE所成角的余弦值為__________．15．如圖，在正方體QUOTE中，QUOTE、QUOTE分別為QUOTE的中點，則平面QUOTE和平面QUOTE所成二面角的正弦值為__________．16．將直角三角形QUOTE沿斜邊上的高QUOTE折成QUOTE的二面角，已知直角邊QUOTE，那么下面說法正確的是_________．（1）平面QUOTE平面QUOTE；（2）四面體QUOTE的體積是QUOTE；（3）二面角QUOTE的正切值是；（4）QUOTE與平面QUOTE所成角的正弦值是，三、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，在正四棱柱中，分別為棱的中點，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．18．（12分）如圖，是以為直徑的半圓上異于的點，矩形所在的平面垂直于半圓所在的平面，且，．（1）求證：平面平面；（2）若的長度為，求二面角的正弦值．19．（12分）如圖，在多面體中，四邊形是邊長為的菱形，，與交于點，平面平面，，，．（1）求證：平面；（2）若為等邊三角形，點為的中點，求二面角的余弦值．20．（12分）已知四棱錐QUOTE的底面QUOTE是菱形，，QUOTE底面QUOTE，QUOTE是QUOTE上的任意一點．（1）求證：平面QUOTE平面QUOTE；（2）設QUOTE，是否存在點QUOTE使平面QUOTE與平面QUOTE所成的銳二面角的大小為QUOTE？如果存在，求出點QUOTE的位置，如果不存在，請說明理由．21．（12分）如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E為CD中點，AE與BD交于點O，將△ADE沿AE折起，使點D到達點P的位置（P?平面ABCE）．（1）證明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角的余弦值．22．（12分）如圖，已知四棱錐QUOTE的底面為邊長為QUOTE的菱形，為QUOTE中點，連接QUOTE．（1）求證：平面QUOTE平面QUOTE；（2）若平面QUOTE平面QUOTE，且二面角QUOTE的余弦值為，求四棱錐QUOTE的體積．單元訓練金卷?高三?數學卷（A）第10單元空間向量在立體幾何中的應用答案第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】D【解析】∵，又由題意知，∴．答案D．2．【答案】D【解析】設平面QUOTE的法向量為，對于A選項，，故A選項錯誤；對于B選項，，故B選項錯誤；對于C選項，，故C選項錯誤；對于D選項，由于，，故D選項符合題意．所以本題選D．3．【答案】C【解析】∵直線l的方向向量為，平面QUOTE的法向量為，∴，∴，∴QUOTE，故選C．4．【答案】A【解析】根據向量的三角形法則得到．故選A．5．【答案】A【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設異面直線與所成角為，則，，，異面直線與所成角正切值為，故選A．6．【答案】A【解析】如圖，以點為坐標原點，以，，方向分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設棱長2，則，，，，所以，，因為在正方體中，，平面，所以，又，所以平面，因此向量為平面的一個法向量，設直線與平面所成的角為，則．故選A．7．【答案】B【解析】空間任意一點QUOTE和不共線的三點QUOTE，QUOTE，QUOTE，且，則QUOTE四點共面等價于QUOTE，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTE，所以QUOTE四點共面，若QUOTE四點共面，則QUOTE，不能得到QUOTE，QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，QUOTE是QUOTE四點共面的充分不必要條件，故選B．8．【答案】C【解析】∵，，設與之間的夾角為QUOTE，，QUOTE，QUOTE，QUOTE二面角QUOTE的大小可能為QUOTE和QUOTE．9．【答案】D【解析】在平行六面體QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，，QUOTE，則，故選D．10．【答案】C【解析】以A為原點，AF為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系，設AB＝2a，BC＝2b，則F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），D（0，0，2b），QUOTE（﹣2b，a，0），QUOTE（0，﹣2a，2b），∵FM與BD所成角為θ，且，∴，整理得，∴，解得，或（舍），∴，故選C．11．【答案】B【解析】如圖，在空間坐標系里畫出QUOTE四個點，可得QUOTE面QUOTE，因此可以把四面體QUOTE補成一個長方體，其外接球的半徑，所以外接球的表面積為QUOTE，故選B項．12．【答案】C【解析】取BD中點O，連結AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CDQUOTE，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AOQUOTE，∴∠AOC是二面角的平面角，以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，過點O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），設二面角的平面角為θ，則，連AO、BO，則∠AOC＝θ，，∴，，設AB、CD的夾角為α，則，∵，∴，∴．∴cosQUOTE的最大值為．故選C．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】點關于坐標原點的對稱點A1的坐標為，點關于xOz平面的對稱點A2的坐標為，點關于z軸的對稱點A3的坐標為，∴線段AA3的中點M的坐標為．14．【答案】【解析】因為QUOTE，所以角QUOTE為直角，又直棱柱中，側棱與底面垂直，所以QUOTE兩兩垂直，以QUOTE點為坐標原點，以QUOTE方向分別為QUOTE軸，QUOTE軸，QUOTE軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，設異面直線QUOTE與QUOTE所成角為QUOTE，則．故答案為．15．【答案】【解析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體QUOTE的棱長為2，則E(1，0，0)，F(0，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，，，設平面EFC1B的法向量，則，取QUOTE，得，平面BCC1的法向量，設平面EFC1B和平面BCC1所成二面角為QUOTE，則，所以，故填．16．【答案】（3）（4）【解析】畫出圖像如下圖所示，由圖可知（1）的判斷顯然錯誤；由于QUOTE，故QUOTE是二面角QUOTE的平面角且QUOTE平面QUOTE，故QUOTE．過QUOTE作QUOTE交QUOTE的延長線于QUOTE，由于QUOTE，故QUOTE是三棱錐QUOTE的高．在原圖中，QUOTE，，，，，所以，故（2）錯誤；以QUOTE為坐標原點，分別為QUOTE軸建立空間直角坐標系．，，，，，設平面QUOTE的法向量為，則，令QUOTE，則，即．平面QUOTE的法向量是．設二面角QUOTE的平面角為QUOTE，由圖可知QUOTE為銳角，故，則其正切值為．故（3）判斷正確；平面QUOTE的法向量為QUOTE，，設直線QUOTE和平面QUOTE所成的角為QUOTE，則，故（4）判斷正確．綜上所述，正確的有（3），（4）．三、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）證明：在正四棱柱中，，底面，，又，平面，則，，，，，則，，平面．又平面，∴平面平面．（2）以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，．設是平面的法向量，，即，令，得，由（1）知，平面ABE的一個法向量為，，故平面與平面ABE所成銳二面角的余弦值為．18．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）證明：平面平面，兩平面交線為，平面，，平面，平面，，是直角，，平面，平面，平面平面．（2）如圖，連結，以點為坐標原點，在平面中，過作的垂線為軸，所在的直線為軸，在平面中，過作的垂線為軸，建立空間直角坐標系．的長度為，，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，令，解得，，，平面的一個法向量，，，二面角的正弦值為．19．【答案】（1）見證明；（2）．【解析】（1）證明：取的中點，連結、、，因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為、分別為、的中點，所以且．又，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面．（2）因為菱形，所以．所以，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，所以，所以，，設平面的法向量為，由，得，取，可得，平面的一個法向量為，設二面角的平面角為，則，因為二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．20．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】（1）證明：∵QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，∴QUOTE．∵四邊形QUOTE是菱形，∴QUOTE．∵QUOTE，∴QUOTE平面QUOTE．∵QUOTE平面QUOTE，∴平面QUOTE平面QUOTE．（2）設QUOTE與QUOTE的交點為QUOTE，以QUOTE、QUOTE所在直線分別為QUOTE、QUOTE軸，以過QUOTE垂直平面QUOTE的直線為QUOTE軸建立空間直角坐標系（如圖），則QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．設QUOTE，則，設，∴，∴，∴，，設平面QUOTE的法向量，∵，∴．求得為平面QUOTE的一個法向量．同理可得平面QUOTE的一個法向量為，∵平面QUOTE與平面QUOTE所成的銳二面角的大小為QUOTE，∴，解得QUOTE．∴QUOTE為QUOTE的中點．21．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）證明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE為等邊三角形，所以OD⊥AE，OB⊥AE，即在△PAE中，OP⊥AE，∴AE⊥平面POB，AE?平面ABCE，所