新教材蘇教版必修第二冊(cè)9 . 2.3向量的數(shù)量積作業(yè)

2021-2022學(xué)年新教材蘇教版必修第二冊(cè)9.2.3向量的數(shù)量

積作業(yè)

一、選擇題

1、

已知\a\=^3,\b\=^-,a-b=j則向量a與分的夾角為

A.60B.30C.120D.150

2、如圖所示，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，E為AO的中點(diǎn)，若DE=MB+pAD(入、

2?

H為實(shí)數(shù))，則入+口=()

515

A.8B.4c.1D.16

3

AB=1,AC=5,sinA=—

3、在中，若5,則AB-AC=（）

A.3B.±3C.4D.±4

4、已知"O'-2T）,方=（3,根，一1）,若打匕，則加等于（）

A.1B.2C.6D.3

5、如圖，AB=1，AC=3,/A=90°,C￡>=2￡>',貝ijA￡hAB=（

42]_

A.3B.1C.3D.3

6、對(duì)于非零向量"、"，定義運(yùn)算"#"：加其中。為加、〃

的夾角，有兩兩不共線的三個(gè)向量。、〃、。，下列結(jié)論：①若a#b=a#c,則人=，；

②a#b=b#a.③若a#b=O,則allb.④（a+b）#c=a#c+b#c；

⑤:其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

7、如圖，點(diǎn)P在.A6C的內(nèi)部，D,E是邊AB,AC的中點(diǎn)（。，P,E三點(diǎn)、

UUU1UI4U

不共線），PE=2PD=2,BC.PD=-4,則向量PO與PE的夾角大小為（）

A

8、己知。為“C所在平面內(nèi)—點(diǎn)，若（3+。孫回=W+"）及=。，

AB=6tAC=4,則AOBC=（）

A.-5B.-10C.10D.5

9、9知向量:'=（】』）,』（2,4）,則（力”=（）

A.-14B.-4C.4D.14

10、已知非零向量滿(mǎn)足M2H,且（a-b）_L%,則。與方的夾角為

兀兀2兀5兀

A.6B.3C.3D.6

11、如圖，直角三角形二A5c中，ZABC=90°,AB=3,5C=4jM點(diǎn)是線段AC

一動(dòng)點(diǎn)，若以"為圓心半徑為逐的圓與線段AC交于RQ兩點(diǎn)，則BP.BQ的最

小值為（）

]2w2.12

A.15B.25c.13D.15

12、對(duì)于任意兩個(gè)向量4和b,下列命題正確的是（）

A.若&,。滿(mǎn)足問(wèn)〉M,且。與B同向，則B.h-Z，|-H+H

C.卜力卜誹|]）,卜一〃卜同一問(wèn)

二,填空題

13、AABC的外接圓的圓心為0,AB=2,AC=^,BC=3,則A。？BC的值為_(kāi)___.

14、已知平行四邊形ABCD中，AD=2,NBAD=120。，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，AE-BD=1,則

BD-BE=.

15、已知向量AB,AC,AO滿(mǎn)足AC=AB+A。，M=2,網(wǎng)=1,￡/

DEBF=-—

分別是線段BC,的中點(diǎn)，若4,則向量A3與向量AO的夾角為

16、已知AABC外接圓的圓心為°,M為邊BC的中點(diǎn)，若羽=3,AC=5,則

AO-AM=

三、解答題

r?=4r?=2”“o

17、（本小題滿(mǎn)分10分）如圖，在AABO中，0A,OB，且0A與0B的夾角為60,

-=3一

BPPA.

⑴求。PAB的值；

TT->->T

==x?+y?

(2)若OQQA,PQOAOB,求x,y的值.

18、(本小題滿(mǎn)分12分)在正AABC中，AB=2,BP=tBC(teR).

(1)試用A8,AC表示AP：

(2)當(dāng)PA?尸。取得最小值時(shí)，求t的值.

a=(cos0,sin0),b=(5/2-sin0,cos0

19、(本小題滿(mǎn)分12分)已知向量')'

11

(1)若"b,求角0的集合；

cos(^-—)

求4的值.

參考答案

1、答案A

解析由卜.。|=問(wèn)步卜0$6=6*半856=1,得cos6=g,

又。€[()°,180°],，向量。與方的夾角6=60°.

本題選擇A選項(xiàng).

2、答案A

少1161今36

DE=-DA+-DO-AB--AD

解析由向量的線性運(yùn)算得22=44.即可.

詳解

少11111今

DE=-DA+-DO-DA+-DB-DA+-(DA+DC)

22=24=24

1■>36

-AB--AD

=44.

135

入=；日=1,22-

/.44,入+pi=8

故選A.

點(diǎn)睛

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

3、答案D

.3人，4

sinA4=-cosA=±-4k?x??x?用.

解析在JABC因?yàn)?,所以5,所以xWn=|A8|-|AC|cosA=±4

4、答案B

解析

Q_L〃，,\a-h=0f

即lx3+(—2)m+(—l)x(_l)=0,解得：m=2.

故選：B

5、答案C

AD=AB+BD=AB+-BC^AH+-(AC-AB)=-AB+-AC

詳解：由3333,

(21、221

ADAB=-AB+-AC\-AB=-AB+-ACAB

所以133J33

2191?

=—x『+-|AC||A81cos90o=±+±x3x0=W

33333.

故選：C

6、答案B

詳解：由向量“、c,兩兩不共線可得①、③錯(cuò)誤；

對(duì)于②，1祐T斗麻布,內(nèi)產(chǎn)心用麻皿府），所以

故②正確；

對(duì)于④，若。、8、C均為單位向量且兩兩夾角均為12°,如圖，

易俎(a+")〃ca+b=1

易得'7,,

所以(a+/?)#c=,+〃Jdsinl80=0

^#c+/?#c=|^|-|c|sin120+|z?|-|c|sinl20=>/3

所以(a+b)#cs#c+b#c,故④錯(cuò)誤；

對(duì)于⑤，■舫=|斗忖皿斯)，上@#叼-4件抽卜一?，硝明外山

故⑤正確.

故選:B.

7、答案B

詳解：連接?！?如下圖所示.

D匕=—

因?yàn)閛,E是邊AB,4。的中點(diǎn)，所以DE//BC,且2,所以3c=2DE,

UUDuimuunuim/iiuruimxuun

BCPD=2DEPD=2(PE-PD]PD

所以'>

uuriiunuun2uuruunULUI2

=2PEPD+2PD=2PEPDcosZDPE-2PD=4

cosNDPE-2--A解得

8S〃PE=4,又因?yàn)棰?

所以NOPE=120°.則向量P。與PE的夾角大小為120°,

故選：B.

點(diǎn)睛

本題考查向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積.

8、答案B

詳解：由已知得，(QA+O5A(O8—OA)=(O8+OC)-(OC—。8)=0

22

?OB'-(9A=OC-OB=0?\OA\=\OB\=\oc\人心「

IIIIIL則。為，MC的外心.

設(shè)OE±AC,垂足分別為。，E.

根據(jù)兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義，可知^OBC^AO(AC-AB)

=AO-AC-AO-AB=\AE\-\AC\-\AD\-\AB\=2X4-3X6=-\0

故選:B.

點(diǎn)睛

本題的關(guān)鍵點(diǎn)是確定三角形的外心，總結(jié)三角形的外心，內(nèi)心、重心、垂心如下：

三角形的外心為三邊垂直平分線的交點(diǎn)；

三角形的內(nèi)心為三條角平分線的交點(diǎn)；

三角形的重心為三條中線的交點(diǎn)；

三角形的垂心為三條高線的交點(diǎn).

9、答案B

.\a-b\-a

解析由條件算出進(jìn)而由公式算出I>.

詳解

Q?=(1,1)b=(2,4)a—=1,—3)

=(-l)xl+(-3)xl=-4

故選：B

10、答案B

解析

分析

本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長(zhǎng)度、夾角與垂直問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、

數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由(a-。),”得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向

量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角.

詳解因?yàn)?—")",所以加2=〃2-匕=o,所以a為=萬(wàn)，所以

ab|M21

cos?！笽II，所以“與〃的夾角為3,故選B.

11、答案B

詳解：因?yàn)镸P=—"Q,

所以=—=\BM|2-\MP\2

即8P-8Q=|BM|2-5,

只需要求忸"I的最小值即可，

當(dāng)時(shí)，忸M最小，此時(shí)忸叫-

,...■———IZ-LZ-L19

(BPBQ)min=--5

所以25

故選：B

12、答案B

詳解：A.向量不能比較大小，所以A不正確;

B.根據(jù)向量減法運(yùn)算公式可知，當(dāng)向量々與匕不共線時(shí)，兩邊之和大于第三邊，即

卜一索問(wèn)+性當(dāng)d與b反向時(shí)，等號(hào)成立，不B正確；

L*/?!=L||/?||cos0\<\a\\b\"丁丁.

C.??1HHIII",故C不正確；

〃與匕不共線時(shí)，根據(jù)向量減法法則可知，兩邊之差小于第三邊，即卜一">同一W,

故D不正確.

故選：B

3

13、答案彳

2

詳解：取BC的中點(diǎn)D,連接AD,0D,貝I」ODJ_BC,

AD=

2（AB+AC）,BC^AC-ABt

AOBC={AD+DO）-BC=AD?BC+DO?BC=AD-BC

=1(AB+AC)?(AC-AB)=AC2-=；[(")?-22]=|

2

故答案為：2.

點(diǎn)睛

本題考查了向量三角形與平行四邊形法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形外心性質(zhì)，考查了

推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

14、答案13

1li11—11?

--(AD+-AB)?(AD-AB)=AD-AB-AD—AB=1

解析由AEBD=1,得222

設(shè)陰=m,

11

4+-m——m2=1

...22,解得m=3.

BD?BE=(AD-AB)(AD—AB)=AD2—AD-AB+-AB2

222

319

=4+-x2x3x-+-=13

222

答案：13

點(diǎn)睛：給出向量a￡求a,，的三種方法：

(1)若兩個(gè)向量共起點(diǎn)，且兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向

量的起點(diǎn)不同，需要通過(guò)平移使它們的起點(diǎn)重合，然后再計(jì)算.

(2)根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長(zhǎng)度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出向量「，，，

然后再根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算求解.

(3)若圖形適合建立平面直角坐標(biāo)系，可建立坐標(biāo)系，求出』，'的坐標(biāo)，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求

解.

15、答案？

詳解：因?yàn)橄蛄緼B,AC,AO滿(mǎn)足AC=AB+AD,

所以四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AB=￡>C,AD=BC

??11

BF=BC+CF=AD——AB,DE=DC+CE=AB一一AD

所以22,

所以DE-BF=I\AD--2AB人\\AB--2AD\J,

S1.912

=-ABAD——AB~——AD

422

=-ABAD--X22--X\2=~-

4224,

UUULlUU

所以A8-AO=1,

設(shè)向量AB與向量A。的夾角為6,

cos0=—

即2,

因?yàn)橥?,司,

6=工

所以3,

7t

故答案為：T.

點(diǎn)睛

本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能

力，屬于中檔題.

17

16、答案彳

2

詳解：如圖，取AC的中點(diǎn)。，AB的中點(diǎn)￡,并連接8,0E,

則ODLAC,OE1AB,

AO-AC=(AD+DO\-AC=-AC=—

\>22

AOAB^^AE+EO)AB^^AB2

25+917

4-T

17

故答案為：2

點(diǎn)睛

本題考查幾何圖形中的向量問(wèn)題、平行四邊形法則、向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

1

x=y=--

17、答案(1)-9；(2)4.

詳解

-?->

選取向量。A'OB為基底.

（1）由已知得°P0BBP0B4BAOB4OAOB4OA4OB,

ABOBOA,

3.21.21.-

=—+—+—?

4OA4OB2OAOE

=-12+1+2

=-9.

13111

(2)由(1)得PQOQOP2OA4OA4OB4OA4OB,

=x,+y?

又PQOAOB,

1

x=y=--

??*4*

點(diǎn)睛

求向量數(shù)量積的方法

(1)根據(jù)數(shù)量積的定義求解，解題時(shí)需要選擇平面的基底，將向量統(tǒng)一用同一基底表

示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算量求解.

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算的問(wèn)

題求解.

解析

3

18、答案(1)AP=Cl-t)AB+tAC(2)t=-

4

(2)由(1)得尸4=根據(jù)PC=PA+AC得

PA=(r-l)AB+(l-r)AC,從而進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算得出尸4pc，配方即可得出當(dāng)

t=一時(shí)，PA-PC取最小值.

4

詳解

(1),：BP=tBC;

二AP-AB=KAC-AB);

???AP^(\-t)AB+tAC

(2):△ABC是正三角