江西省南昌市選課走班調研2023-2024學年高一上學期1月期末檢測數學試題

2023級高一選課走班調研檢測數學本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.己知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，得到集合的補集，利用交集的定義即可求.【詳解】因為，所以，又因為，所以.故選：C2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.，有【答案】B【解析】【分析】利用命題否定的知識直接求解即可.【詳解】易知命題“”的否定是.故選：B3.以下函數中滿足，都有的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對于ABC，取即可判斷；對于D，畫出圖形，通過數形結合即可判斷.【詳解】對于A，取，則，故A錯誤；對于B，取，則，故B錯誤；對于C，取，則，故C錯誤；對于D，如圖所示：函數的增長速度越來越慢，不妨取任取函數圖象上兩點，點為線段中點，垂直于軸，點為與函數圖象的交點，所以，故D正確.故選：D.4.給出下列說法，其中不正確的是（）A.若事件A的對立事件為B，則A與B為互斥事件B.若事件A和B的概率都不為0，且，則事件A與相互獨立C.若將一組數據的每個數都加上同一個正數，則平均數和方差都會發(fā)生改變D.若一組數據的方差為0，則這組數據的眾數唯一【答案】C【解析】【分析】根據互斥事件和對立事件的概念判斷A的真假；根據獨立事件的判定方法判斷B的真假；根據相關數據的平均數和方差的關系判斷C的真假；根據方差的概念判斷D的真假.【詳解】對A：若、是對立事件，則前提是、為互斥，故A正確；對B：因為，且，，所以、相互獨立，故B正確；對C：若，則，，所以一組數據的每個數都加上同一個正數，那么平均數改變，方差不變.故C錯誤；對D：對一組數據，，說明這組數據是常數，故眾數唯一.故D正確.該題要選出不正確的說法.故選：C5.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，解一元二次不等式即可，利用指數函數單調性即可解.【詳解】設，則不等式可化為，解得，所以，解得.故選：A6.已知函數，，則（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】由題意首先將代入得的值，進一步將代入即可求解.【詳解】由題意，解得，所以.故選：C.7.納皮爾精確的對數定義來源于一個運動的幾何模型：假設有兩個沿兩平行直線運動的動點C和F，其中點C從線段的端點A向B運動，點F從射線的端點D出發(fā)向E運動，其中的長為a，的長無限大．若的長度滿足在第t秒時，的長度滿足在第t秒時，記，，則x是關于y的一個對數函數．根據以上定義，當時，則（）A.15 B.18 C.21 D.24【答案】B【解析】【分析】由題意得，代入的值，結合指對互換以及對數運算即可求解.【詳解】由題意得，所以當時，，解得.故選：B.8.已知函數是上的偶函數，若，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是偶函數可得，代入解析式，判斷出單調性，利用單調性解不等式即可求.【詳解】因為是偶函數，所以，所以，整理得，由題意可知，所以，所以，所以，又，則，任取，，且，所以，因為，，則，又，，所以，所以，所以，所以，所以在上單調遞增，又因為是偶函數，所以在上單調遞減，因為，所以，又，解得，故選：D二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.一名籃球運動員，號稱投籃“百發(fā)百中”，則他投籃一次，命中為必然事件B.隨機事件發(fā)生的可能性越大，它發(fā)生的概率越接近1C.投擲兩枚均勻的骰子，觀察出現的點數和，點數和為2是一個樣本點D.試驗“連續(xù)投擲一枚均勻的骰子直到出現3點停止，觀察投擲的次數”的樣本空間為【答案】BC【解析】【分析】由隨機事件以及它的概率范圍即可判斷AB，由樣本點，樣本空間的定義即可判斷CD.【詳解】對于A，他投籃一次，命中為隨機事件，故A錯誤；對于B，隨機事件發(fā)生的可能性越大，它發(fā)生的概率越接近1，故B正確；對于C，點數和為2當且僅當兩枚骰子出現的點數都為1，這是有可能的，故C正確；對于D，試驗“連續(xù)投擲一枚均勻的骰子直到出現3點停止，觀察投擲的次數”的樣本空間為，故D錯誤.故選：BC.10.下列選項中正確的是（）A.函數（，且）過定點B.若函數定義域為，則函數的定義域為C.函數的最小值為2D.若對任意的實數都有不等式恒成立，則【答案】BD【解析】【分析】用指數函數的性質判斷A，抽象函數的定義域判斷B，舉反例判斷C，分離討論的范圍判斷D即可.【詳解】當時，，則該函數過定點，故A錯誤，若函數的定義域為，則在中，解得，故B正確，當時，，則函數的最小值不為2，顯然C錯誤，若在時恒成立，當時，不等式不成立，當時，令，此時有且，故有且，此時無解，故排除，當時，令，此時有或，故有或，解得，綜上，故D正確.故選：BD11.某中學高二學生500人，首選科目為物理的300人，首選科目為歷史的200人，現對高二年級全體學生進行數學學科質量檢測，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經計算得到首選科目為物理的學生該次質量檢測的數學平均成績?yōu)?5分，方差為154，首選科目為歷史的平均成績?yōu)?5分，所有樣本的標準差為16，下列說法中正確的是（）A.首選科目為歷史的學生樣本容量為20B.所有樣本的均值為87分C.每個首選科目為歷史的學生被抽入到樣本的概率為D.首選科目為歷史的學生的成績的標準差為13【答案】ABD【解析】【分析】根據分層抽樣的抽樣比可判斷A；根據分層抽樣的平均數計算公式可判斷B；利用古典概型概率公式判斷C；根據分層抽樣的方差計算公式可判斷D.【詳解】設歷史類學生抽取人數為，則，解得，故A正確；設物理類學生成績的平均數為，方差為，歷史類學生成績的平均數為，方差為，所以樣本的平均數為，方差為，則由題意可得，，，，所以所有樣本的均值，故B正確；每個首選科目為歷史的學生被抽入到樣本的概率為，故C錯誤；由方差的計算公式可得，解得，所以歷史類學生成績的標準差為，故D正確.故選：ABD12.已知函數，函數的一個零點為a，的一個零點為b，則以下說法正確的是（）A.與圖象關于直線對稱B.的的圖象通過平移變換可以得到一個奇函數的圖象C.D【答案】ABD【解析】【分析】對于A，說明與是否互為反函數即可；對于B，通過分離常數即可判斷；對于CD，由函數單調性以及零點的定義即可判斷求解.【詳解】對于A，由，得，即是函數的反函數，所以與的圖象關于直線對稱，故A正確；對于B，，若將函數的圖象向下平移一個單位，再向左平移一個單位即可得反比例函數的圖象，而函數是奇函數，滿足題意，故B正確；對于C，，由復合函數單調性可知單調遞增，又指數函數也單調遞增，所以在定義域內單調遞增，但時，，且，故的零點不在區(qū)間內，故C錯誤；對于D，，由復合函數單調性可知單調遞增，又指數函數也單調遞增，所以在定義域內單調遞增，因為，所以，，所以，由C選項分析可知，所以，故D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：判斷CD選項的關鍵是結合函數單調性以及零點的定義，由此即可順利得解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數的值域為__________________.【答案】【解析】【分析】先求出函數的定義域，再令，則，然后利用配方法結合二次函數的性質求出的取值范圍，從而可求出函數的值域【詳解】解：由，得，令，則，因為，所以，所以，即，所以函數的值域為，故答案為：【點睛】此題考查求復合函數的值域，利用了換元法，屬于基礎題14.已知，則的最小值是___________．【答案】16【解析】【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由題意得，解得，等號成立當且僅當，所以的最小值是16.故答案為：16.15.支原體肺炎是學齡前兒童及青年人常見的一種肺炎，全年均可發(fā)病，以冬季多見，主要通過飛沫傳播，潛伏期較長，近期，某班級出現許多學生感染支原體肺炎的現象，為確保班級的正常教學，該班班主任統(tǒng)計了最近一周5天感染支原體肺炎的學生人數，已知這5天的人數互不相等，且5天數據的平均數為，若最后一天的數據不小心被墨水污染，前4天的數據的平均數為，若，則4天數據的第60百分位數___________（填“大于”，“小于”“等于”）這5天數據的第60百分位數．【答案】大于【解析】【分析】先求出污染數據的值，再結合百分位數的定義，即可求解.【詳解】5天數據的平均數為，前4天的數據的平均數為且，則被污染的數據為，不妨設5天的數據關系為，其中，則5天數據的第60百分位數為，污染后的數據關系為，則4天數據的第60百分位數為，顯然.故答案為：大于16.如圖，指數函數與直線分別交于點A，B，C，若A，B，C的橫坐標分別為，滿足，則___________，___________．【答案】①.2②.4【解析】【分析】根據指數函數與對數函數的定義，求出，根據得出的值，再結合題意求出的值.【詳解】由題意知，所以，，，所以，因為，所以，即，又因為，均不為1且，，所以.故答案為：2；4四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.化簡求值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）23【解析】【分析】（1）利用冪的運算法則求解即可；（2）利用對數的運算法則求解即可.【小問1詳解】原式．【小問2詳解】原式．18.在①；②“”是“”的必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答．間題：已知集合．（1）當時，求；（2）若___________，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，求得或，，結合集合的運算，即可求解；（2）由或和，若選擇①②，轉化為，列出不等式，即可求得的取值范圍；若選擇③：得到，結合集合的運算，列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：由不等式，解得或，可得或，當時，可得，則，所以．【小問2詳解】解：由集合或和，若選擇①：由，即，可得，解得，所以實數的取值范圍為；若選擇②：由“”是“”的必要條件，可得，可得，解得，所以實數的取值范圍為；若選擇③：由或，可得，要使得，則，解得，所以實數的取值范圍為.19.已知函數，不等式的解集為．（1）求實數a，b的值；（2）函數滿足條件：①是偶函數；②時，．已知函數有四個零點，求實數m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解集結合韋達定理求解參數即可.（2）將零點問題轉化為函數圖象與直線的交點問題，數形結合即得.【小問1詳解】由已知，的解集為．則方程的兩根為，所以，解得．【小問2詳解】由（1），因為，且是偶函數，又因為，作出函數的圖象，由圖可知，．20.某新鮮蛋糕供應商推出了一款新品小蛋糕，每斤小蛋糕的成本為8元，售價為20元，未售出的小蛋糕，另外渠道半賣半送，每斤損失4元，根據歷史資料，得到該小蛋糕的每日需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求出a的值，并根據頻率分布直方圖估計該小蛋糕的每日平均需求量的平均數；（2）若蛋糕供應商每天準備100斤這種小蛋糕，根據頻率分布直方圖，估計這種蛋糕每日利潤不少于1000元的概率．【答案】（1），（2）0.55【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質求出參數，再求平均數即可.（2）求出對應情況的每日需求量，再求概率即可.【小問1詳解】由題意可得，解得，該小蛋糕的每日平均需求量的平均數為．【小問2詳解】設每日銷售這種小蛋糕x斤，所獲利潤為y元，則，當時，，這種蛋糕每日利潤不少于1000元，即每日需求量不少于87.5斤，所以概率為，所以估計這種蛋糕每日利潤不少于1000元的概率為0.55．21.如圖，數軸上O為原點，點A對應實數6，現從1，2，3，4，5中隨機取出兩個數，分別對應數軸上的點B，C（點B對應的實數小于點C對應的實數）．（1）記事件E為：線段OB的長小于等于2，寫出事件E的所有樣本點；（2）記事件F為：線段OB，BC，CA能圍成一個三角形，求事件F發(fā)生的概率．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）分別令或，一一列舉，寫出事件的所有樣本點；（2）按古典概型的概率計算公式進行計算.【小問1詳解】事件E的樣本點有：．【小問2詳解】樣本空間為：，其中事件F包含的樣本點只有：，所以事件F發(fā)生的概率．22.己知某產品市場供應量P滿足關系式（其中t為關稅的稅率，x為市場價格（單位：千元），k，m為常數）．研究表明，當關稅稅率時，市場供應量曲線如圖所示：（1）求k，m的值；（2）若市場對此產品的需求量Q滿足關系式（其中t為關稅的稅率，x（單位：千元）為市場價格）．規(guī)定“供求比”為供給與需求的比例．根據市場調查，當產品的供求比在0.8到