蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第1章直線與方程綜合拔高練含答案

綜合拔高練高考練考點直線方程及其應用1.(2020全國Ⅲ文,8)點(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()A.1B.2C.2.(2021上海,5)直線x=-2與直線3x-y+1=0的夾角為.

3.(2019江蘇,10)在平面直角坐標系xOy中,P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個動點,則點P到直線x+y=0的距離的最小值是模擬練應用實踐1.(多選題)(2024江蘇徐州第七中學月考)已知直線l過點P(-1,1),且與直線l1:2x-y+3=0以及x軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形,則下列結(jié)論正確的是()A.直線l與l1的斜率互為相反數(shù)B.所圍成的等腰三角形的面積為1C.直線l關(guān)于原點的對稱直線的方程為2x+y-1=0D.原點到直線l的距離為52.(2024山東濟南歷城第二中學聯(lián)考)瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上,這條直線被稱為歐拉線.已知△ABC的頂點A(-1,0),B(1,0),C(1,1),若直線l:ax+(a-3)y+1=0與△ABC的歐拉線垂直,則直線l與△ABC的歐拉線的交點坐標為()A.15,33.(2024江蘇南通海安高級中學月考)已知△ABC的頂點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=kx+b(k>0)將△ABC分成面積相等的兩部分,則b的取值范圍是()A.1-22,4.(多選題)(2024福建德化第一中學質(zhì)檢)已知點M(-1,1),N(2,1),且點P在直線l:x+y+2=0上,則()A.存在點P,使得PM⊥PNB.若△MNP為等腰三角形,則點P的個數(shù)為3C.PM+PN的值最小為29D.|PM-PN|的值最大為35.(2024山西部分名校聯(lián)考)某公園的示意圖為如圖所示的六邊形ABCDEF,其中AB⊥AF,AF∥BC,AB∥DE,∠BCD=∠AFE,且tan∠BCD=-34,CD=EF=50米,BC=DE=80米.若計劃在該公園內(nèi)建一個有一條邊在AB上的矩形娛樂健身區(qū)域,則該娛樂健身區(qū)域面積(單位:平方米)的最大值為6.(2023江蘇鹽城中學期中)已知P,Q分別在直線l1:x-y+1=0與直線l2:x-y-1=0上,且PQ⊥l1,點A(-4,4),B(4,0),則AP+PQ+QB的最小值為.

7.(2023遼寧省實驗中學月考)已知直線l經(jīng)過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點.(1)若點A(5,0)到l的距離為3,求l的方程;(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值.8.(2024重慶萬州沙河中學月考)如圖,直線l過點(3,4),與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點,△AOB的面積為24.點P為線段AB上一動點,PQ∥OB,且PQ交OA于點Q.(1)求直線l的斜率的大小;(2)若S△APQ=13S四邊形OQPB(3)在y軸上是否存在點M,使△MPQ為等腰直角三角形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.遷移創(chuàng)新9.(2023湖南懷化期中)某學校在矩形操場ABCD內(nèi)進行體操表演,其中AB=40,BC=15,O為AB上一點,且BO=10,線段OC,OD,MN為表演隊列所在位置(M,N分別在線段OD,OC上),△OCD內(nèi)的點P為領隊位置,且點P到OC,OD的距離分別為13,5,記OM=d,已知當(1)當d為何值時,P為隊列MN的中點?(2)求觀賞效果最好時△OMN的面積.答案與分層梯度式解析綜合拔高練高考練1.B解法一:點(0,-1)到直線y=k(x+1)的距離d=|k·0-(-1)+k|k2+1=|k+1|k2+1,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)=2k2+2=k2+k2+1+1≥k解法二:由題意知,直線l:y=k(x+1)是過點(-1,0)且斜率存在的直線,記點(-1,0)為P,點(0,-1)為Q.點Q(0,-1)到直線l的最大距離在直線l與直線PQ垂直時取得,此時k=1,最大距離為PQ=2,故選B.2.答案π解析∵直線x=-2的斜率不存在,傾斜角為π2,直線3x-y+1=0的斜率為3,傾斜角為π∴直線x=-2與直線3x-y+1=0的夾角為π23.答案4解析解法一:設Px0,x0+4x0,x0>0,則點P到直線x+y=0的距離d=x0+故點P到直線x+y=0的距離的最小值是4.解法二:作直線x+y=0的平行線x+y+C=0(C≠0)(圖略),當直線x+y+C=0與曲線y=x+4x(x>0)相切于點P時,點P到直線x+y=0的距離最小.由x+y+C=0,y=x+4模擬練1.ACD由題意可知直線l與l1:2x-y+3=0的傾斜角互補,∴直線l的斜率為-2,故A正確;∵直線l過點P(-1,1),∴直線l的方程為y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0,∵2×(-1)-1+3=0,∴點P在直線l1上,∴P為l1與l的交點,易求得l1與l在x軸上的截距分別為-32和-12,故所圍成的等腰三角形的面積為易知點P(-1,1)關(guān)于原點的對稱點為(1,-1),∴直線l關(guān)于原點的對稱直線的方程為y=-2(x-1)-1,即2x+y-1=0,故C正確;原點到直線l的距離為|1|22+12=52.B由題意得△ABC的重心為-1+1+13,1易得kAB=0,直線BC的斜率不存在,故△ABC為直角三角形,則其垂心為其直角頂點B(1,0),則△ABC的歐拉線方程為y-13因為直線l與歐拉線垂直,所以-a聯(lián)立y=-12x3.A設坐標原點為O,則△ABC的面積為12·AB·易知直線y=kx+b(k>0)與x軸的交點為-b由直線y=kx+b(k>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,可得b>0,故-bk設直線y=kx+b和BC的交點為N,易知直線BC的方程為x+y=1,聯(lián)立y=kx+①若點M和點A重合(如圖1),則點N為線段BC的中點,故N12把A、N兩點的坐標代入直線y=kx+b,得k=b=13圖1圖2②若點M在點O和點A之間(如圖2),則b>13,點N在點B和點C之間由題意可得△NMB的面積為12,故12·MB·yN=12,即12×1+③若點M在點A的左側(cè)(如圖3),則b<13,且-b圖3設直線y=kx+b和AC的交點為P,易知直線AC的方程為y=x+1,聯(lián)立y=kx+由題意可得△CPN的面積為12,即12·(1-b)·|xN-xP|=即12(1-b)·1-bk+1-由于此時13>b>k>0,∴2(1-b)2=|k2-1|=1-k2兩邊開方可得2(1?b)=1-k2<綜上,b的取值范圍是1-22,14.BCD對于A,設P(a,-a-2),當PM的斜率不存在時,a=-1,此時P(-1,-1),則kPN=1+12+1=當PN的斜率不存在時,a=2,此時P(2,-4),則kPM=1+4-1-2=?當a≠-1且a≠2時,kPM=-a若PM⊥PN,則-a+3a由于Δ=-31<0,所以方程無解,故PM與PN不垂直.綜上,不存在點P,使得PM⊥PN,A錯誤.對于B,若PM=PN,此時P在MN的垂直平分線上,則P點的橫坐標為12,此時P1若MP=MN,由于點M到直線l的距離d1=|-1+1+2|2故直線l上必存在兩點滿足PM=MN=3,設這兩點為P1,P2,由于l上縱坐標為1的點為(-3,1),該點和M的距離為2,故P1,P2和M,N不共線,適合題意;若PN=MN,由于N點到直線l的距離d2=|2+1+2|2綜上,若△MNP為等腰三角形,則點P的個數(shù)是3,B正確.對于C,設點M(-1,1)關(guān)于直線l的對稱點為M'(m,n),則n-1故PM+PN=PM'+PN≥M'N=(-3-2)當且僅當M',P,N三點共線(P在M',N之間)時取得等號,故PM+PN的值最小為29,C正確.對于D,|PM-PN|≤MN=3,當且僅當P為NM的延長線與l的交點時等號成立,即|PM-PN|的值最大為3,D正確.故選BCD.5.答案33800解析以AF所在直線為x軸,DE所在直線為y軸建立平面直角坐標系,娛樂健身區(qū)域為矩形PNMQ.由tan∠AFE=tan∠BCD=-34,得tan∠OFE=3則OEOF=34,又EF=50,所以OE=30,OF=40,所以E(0,30),F(40,0),D(0,110),C(40,140),A(120,0),B(120,140),故直線EF的方程為y=-設Pa,-34a+30,其中0≤a≤40,則Qa,34則PQ=32a+80,PN=120-a,所以四邊形PNMQ的面積S=PQ·PN=32a+80(120?a)=?當a=1003時,S取得最大值,最大值為338006.答案58解析由題意得l1∥l2,則l1與l2間的距離為2,即PQ=2,過B作直線l垂直于l1,如圖,則直線l的方程為y=-x+4,將B沿著直線l向上平移2個單位到點B',有B'(3,1),連接AB',交直線l1于點P,連接BQ,有BB'∥PQ,BB'=PQ,即四邊形BB'PQ為平行四邊形,則PB'=BQ,即有AP+QB=AP+PB'=AB',因此AP+QB的最小值,即AP+PB'的最小值,為AB',而AB'=(-4-3)所以AP+PQ+QB的最小值為AB'+PQ=58+7.解析(1)設直線l的方程為2x+y-5+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,所以|10+5λ-5|(2+λ)所以l的方程為x=2或4x-3y-5=0.(2)設直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點為P,由2x設d為點A到直線l的距離,則d≤PA(當l⊥PA時等號成立).所以dmax=PA=(5-2)知識拓展直線系方程:具有某種共同性質(zhì)(過某點、共斜率等)的直線的集合叫直線系,它的方程叫直線系方程.幾種常見的直線系方程:(1)過已知點P(x0,y0)的直線系方程為y-y0=k(x-x0)(k為參數(shù)),但此方程不能表示直線x=x0.(2)斜率為k的直線系方程為y=kx+b(b是參數(shù)).(3)與直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)平行的直線系方程為Ax+By+λ=0(A,B不同時為0,λ≠C).(4)與直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)垂直的直線系方程為Bx-Ay+λ=0(A,B不同時為0).(5)過直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為0)與l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時為0)交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ為參數(shù)),但此方程不能表示直線l2.8.解析(1)顯然直線l的斜率存在,設其方程為y-4=k(x-3),則A3-4k,0,B(0,4-3k),于是S△AOB=12所以直線l的斜率為-43(2)由(1)知直線l的方程為y-4=-43因為S△APQ=13S四邊形OQPB,所以S△APQ=14S△又PQ∥OB,所以△APQ∽△ABO,于是有PQ2BO2=S△APQS(3)假定在y軸上存在點M,使△MPQ為等腰直角三角形,由(2)知直線l的方程為4x+3y-24=0,如圖,設Q(t,0),0<t<6.當∠PQM=90°時,點M在y軸上,點Q在x軸的正半軸上,則M必與原點O重合,因為MQ=PQ,所以P(t,t),于是有4t+3t-24=0,解得t=247當∠MPQ=90°時,由PQ∥OB,MP=PQ知四邊形OQPM為正方形,則P(t,t),M(0,t),于是有4t+3t-24=0,解得t=247<6,此時M0,當∠PMQ=90°時,由PQ∥OB,MQ=MP得∠OQM=∠PQM=45°,即OM=OQ,則M(0,t),Pt,8-顯然直線QM的斜率為-1,則PM的斜率為1,即8-43t-t綜上,y軸上存在點M(0,0)或M0,247或M0,129.思路分析(1)(2)M,N,P共線m,n的關(guān)系式求出面積解析(1)以O為坐標原點,AB所在直線為x軸,過點O且垂直于AB的直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則C(10,15),B(10,0),D(-30,15),所以直線OC的方程為y=32OD的方程為y=-12設P(a,b),M(-2m,m),Nn,由題