湘教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-3-2拋物線的簡單幾何性質(zhì)練習含答案

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)基礎過關練題組一拋物線的幾何性質(zhì)1.(2020山東壽光現(xiàn)代中學月考)若點P在拋物線x2=-12y上,且P到拋物線準線的距離為d,則d的取值范圍是()A.[6,+∞)B.[3,+∞)C.(6,+∞)D.(3,+∞)2.(2020湖南岳陽一中期中)等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點,且OA⊥OB,則△AOB的面積是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p23.頂點在原點,對稱軸為y軸且經(jīng)過點(4,1)的拋物線,其準線與對稱軸的交點坐標是.

4.(2022山東聊城三模)已知點A(0,5),過拋物線x2=12y上一點P作直線y=-3的垂線,垂足為B,若|PB|=|PA|,則|PB|=.

題組二直線與拋物線的位置關系5.(2022湖南長郡中學期末)過點P(2,2)作拋物線y2=4x的弦AB,若弦AB恰好被P平分,則弦AB所在的直線方程是()A.x-y=0B.2x-y-2=0C.x+y-4=0D.x+2y-6=06.(2022北京朝陽期末)過拋物線y2=4x上的一點A(3,y0)(y0>0)作其準線的垂線,垂足為B,拋物線的焦點為F,直線BF在x軸下方交拋物線于點E,則|FE|=()A.1B.3C.3D.47.(2022河南平頂山期末)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F的直線分別交拋物線于A,B兩點,若|AF|=4,|BF|=1,則p=()A.165C.858.(2022四川成都七中期中)若過點P(0,2)的直線l與拋物線C:y2=2x有且只有一個公共點,則這樣的直線l共有()A.1條B.2條C.3條D.4條9.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點,O是坐標原點.(1)求證:OA⊥OB;(2)當△OAB的面積等于10時,求k的值.10.(2021湖南婁底期末)在平面直角坐標系中,已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F到雙曲線x2-y23=1的漸近線的距離為(1)求該拋物線的方程;(2)設拋物線的準線與x軸交于點M,過M作斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點,弦AB的中點為P,AB的中垂線交x軸于點N,求點N橫坐標的取值范圍.題組三拋物線的綜合應用11.(2022廣東廣大附中期末)下列圖形中,可能是方程ax+by2=0和ax2+by2=1(a≠0且b≠0)圖形的是()12.蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑,“門”的造型是東方之門的立意基礎,“門”的內(nèi)側曲線呈拋物線形,如圖1,兩棟建筑第八層由一條長60m的連橋連接,在該拋物線兩側距連橋150m處各有一窗戶,兩窗戶的水平距離為30m,如圖2,則此拋物線頂端O到連橋AB的距離為()A.180mB.200mC.220mD.240m13.(2022河南鄭州期末)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,過F的直線與拋物線C交于點A,B,與l交于點D,若DB=4BF,|AF|=4,則p=()A.2B.3C.4D.6能力提升練題組一拋物線的幾何性質(zhì)1.(多選)(2022湖南長郡中學期中)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,斜率為3且經(jīng)過點F的直線與拋物線C交于A,B兩點(點A在第一象限),與拋物線的準線l交于點D,若|AF|=4,則以下結論正確的是()A.p=2B.F為AD的中點C.|BD|=2|BF|D.|BF|=22.(2022湖南桃江一中開學檢測)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標原點,C的準線l與x軸相交于點B,A為C上的一點,直線AO與直線l相交于點E,若∠BOE=∠BEF,|AF|=6,則C的標準方程為.

3.(2022廣東佛山期末)已知拋物線x2=8y的焦點為F,準線為l,點P是l上一點,過點P作PF的垂線交x軸的正半軸于點A,AF交拋物線于點B,PB與y軸平行,則|FA|=.

題組二直線與拋物線的位置關系4.(2022北京交大附中期末)已知斜率為k的直線l與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m>0),則斜率k的取值范圍是()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)5.(2022湖南衡陽八中期中)已知點A是拋物線x2=4y的對稱軸與準線的交點,點F為拋物線的焦點,點P在拋物線上,且滿足|PA|=m|PF|,則m的最大值是()A.1B.2C.2D.46.(多選)(2022吉林東北師大附中期中)過拋物線x2=6y的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,M為線段AB的中點,則()A.以線段AB為直徑的圓與直線y=-32B.以線段BM為直徑的圓與y軸相切C.當AF=2FB時,|AB|=27D.|AB|的最小值為6題組三拋物線的綜合應用7.(2022江西景德鎮(zhèn)期末)已知雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點O,A,B(O為坐標原點),若△OAB的垂心為拋物線C2的焦點A.32B.322C.8.(2021福建南平期末)扎花燈是中國的一門傳統(tǒng)手藝,逢年過節(jié)常?？梢栽诖蠼中∠锟吹礁魇礁鳂拥幕?現(xiàn)有一個花燈,它的外圍輪廓是由兩段形狀完全相同的拋物線繞著它們共同的對稱軸旋轉(zhuǎn)而來的(縱截面如圖),花燈的下頂點為A,上頂點為B,AB=8分米,在它的內(nèi)部放有一個半徑為1分米的球形燈泡,球心C在軸AB上,且AC=2分米,若球形燈泡的球心C到四周輪廓上的點的最近距離是在下頂點A處取得,建立適當?shù)淖鴺讼悼傻靡訟為頂點的拋物線方程為y=ax2(a>0),則實數(shù)a的取值范圍是.

答案與分層梯度式解析基礎過關練1.B由已知得2p=12,所以p2=3,因此d的取值范圍是2.B不妨設點A在x軸上方,由拋物線的對稱性及OA⊥OB,可知kOA=1,故直線OA的方程為y=x,則A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=123.答案(0,-4)解析依題意設拋物線的方程為x2=2py(p>0),則有42=2p,即p=8,則拋物線的準線方程為y=-4,準線與對稱軸的交點坐標是(0,-4).4.答案7解析由題意得,焦點為F(0,3),準線方程為y=-3,由拋物線的定義可得|PB|=|PF|,又∵|PB|=|PA|,∴|PA|=|PF|,即△PAF是等腰三角形,∵A(0,5),F(0,3),∴yP=3+52=4,∴|PB|=yP5.A易知弦AB所在的直線斜率存在,且不為0.設A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直線的方程為y-2=k(x-2),即y=kx+2-2k,由y=kx+2-2k,y2=4x,消去y并整理,得k2x2+[2k(2-2k)-4]x+(2-2k)2=0,則x∴-2k(2-2k)-46.D如圖,將(3,y0)(y0>0)代入y2=4x,得y0=23,則B(-1,23),又因為F(1,0),所以直線BF的方程為y=-3x+3,與y2=4x聯(lián)立并消去y,得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=13,因為點E在x軸下方,所以xE=3,所以|FE|=xE+1=4,故選7.C由題意可知直線AB的斜率存在,設為k,則其方程為y=kx-p2,由y=kx-p2,y2=2px,消去y可得k2x2-(k2+2)px+k2p24=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令x1>x2>0,則x1x2=p28.C當直線l的斜率不存在時,直線l:x=0與拋物線y2=2x有且只有一個交點;當直線l的斜率為0時,直線l:y=2與拋物線y2=2x有且只有一個交點;當直線l的斜率存在且不為0時,若直線l與拋物線y2=2x有且只有一個公共點,則直線與拋物線相切,設直線方程為y=kx+2(k≠0),代入拋物線方程y2=2x,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,則Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=14,即直線的方程為y=1綜上,滿足條件的直線l共有3條,故選C.9.解析(1)證明:當k=0時,直線與拋物線僅有一個交點,不符合題意,∴k≠0.由y=k(x+1),y2=-x消去x并整理,得y2+1k設A(-y12,y1),B(-y2則y1+y2=-1k,y1y2∴kOA·kOB=y1-y12·y2-(2)設直線AB與x軸交于點E,則E(-1,0),∴|OE|=1,∴S△OAB=12|OE|(|y1|+|y2|)=12|y1-y2|=121k2+410.解析(1)易知Fp2,0,雙曲線x2-y23=1的漸近線方程為y=±3x,即3x±y=0,則F到漸近線的距離d=3∴拋物線的方程為y2=4x.(2)由(1)知M(-1,0),則直線l的方程為y=k(x+1),k≠0.聯(lián)立y=k(x+1),y2=4x則Δ=4(k2-2)2-4k4>0,所以0<k2<1.設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),N(x0,0),則x3=x1+x22=-k2-∴直線PN的方程為y=-1kx+令y=0,得x0=1+2k又∵k2∈(0,1),∴x0>3.∴點N橫坐標的取值范圍為(3,+∞).11.D方程ax+by2=0化為標準方程為y2=-abx,則拋物線的焦點在x軸上,故B錯誤;若方程ax2+by2=1表示橢圓,則a>0,b>0,則-ab<0,拋物線應開口向左,故A錯誤;若方程ax2+by2=1表示焦點在y軸上的雙曲線,則a<0,b>0,則-ab>0,則拋物線應開口向右,故C錯誤12.B建立平面直角坐標系,如圖所示,設拋物線的標準方程為x2=-2py(p>0),D(15,t)(t<0),則點B(30,-150+t),由B,D在拋物線上,得152=所以拋物線頂端O到連橋AB的距離為150+50=200(m),故選B.13.B如圖所示,過點A作AN⊥l于點N,過點B作BM⊥l于點M,則|AF|=|AN|,|BM|=|BF|,又因為DB=4BF,即|DB|=4|BF|=4|BM|,所以cos∠DBM=|BM||BD|=14,所以cos∠FAN=14,過點F作FH⊥AN于點H,則cos∠FAN=|AH||AF所以點F到準線l的距離為3,由拋物線的定義可得p=3.能力提升練1.ABC設準線l與x軸交于點N.如圖所示,過點A作AC⊥l于點C,AM⊥x軸于點M,過點B作BE⊥l于點E.因為直線的斜率為3,所以tan∠AFM=3,∠AFM=π3,又因為|AF|=4,所以|MF|=2,|AM|=23,所以Ap2+2,23,將點A的坐標代入拋物線方程可求得p=2,所以|NF|=|FM|=2,故△AMF≌△DNF,故F為AD的中點,又因為∠BDE=π6,所以2.答案y2=8x解析∵∠BOE=∠BEF,∠OBE=∠EBF=90°,∴△OBE∽△EBF,∴|OB||BE|=|BE||BF|,即|BE|2=|OB|·∴tan∠BOE=|BE||OB|=2,不妨令點A在第一象限,則直線聯(lián)立y=2x,y2=2px得x=p,y=2p,即A(p,3.答案6解析由題意得焦點為F(0,2),準線方程為y=-2,設P(m,-2)(m>0),∴kPF=-2-2∵PF⊥PA,∴kPA=m4,∴直線PA的方程為y+2=m4(x-m),令y=0,解得x=8m+m,即∵PB與y軸平行,且B點在拋物線上,∴可設Bm,m28,∵F,A,B三點共線,∴即m4+8m2-128=0,解得m=22或m=-22(舍去),∴A(42,0),∴|FA|=224.C設直線l的方程為y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx+b,y2=4x,消去y,并整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,∴Δ=(2kb-4)2-4k2b2>0,且x1+x2=4-2kbk2,x1x2=b2k2,∴kb<1,y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k.∵線段AB的中點為M(1,m)(m>0),∴x1+x2=4-2kbk2=2,y1+y25.B由拋物線x2=4y可得準線方程為y=-1,故A(0,-1).如圖,不妨設點P在第一象限或為原點,過P作準線y=-1的垂線,垂足為E,則|PE|=|PF|,故1m=|PF||PA當直線AP與拋物線相切時,∠PAE最小,而當點P的位置變化時,0<∠PAE≤π2,當∠PAE=π2時,點P與點O重合,此時m=1;當0<∠PAE<π2時,設直線AP:y=kx-1,由x2=4y,y=kx-1得x2-4kx+4=0,令Δ=16k2-16=0,得k=1或k=-1(舍去),所以直線AP與拋物線相切時,∠PAE=π46.ACD由拋物線方程知F0,32,準線方程為y=-32,由題意可知,直線AB的斜率存在,可設AB:y=kx+32,設A(x1,y1),B(x2,y2).對于A,易知|AB|=y1+y2+3,∵M為AB的中點,∴點M到準線y=-32的距離d=y1+y22+32=y1+y2+32,∴以線段AB為直徑的圓與直線y=-32相切,A正確;對于B,由y=kx+32,x2=6y得∴M3k,6k2+32,設BM的中點為12|BM|=14|AB|=y1+y2+34=3k2+32,∵3k2+32=3k+x22不恒成立,∴以線段BM為直徑的圓與y軸未必相切,B錯誤;對于C,若AF=2FB,則x1=-2x2,不妨設x1<0,x2>0,∵x1x2=-9,∴x2=322,x1=-32,則A(-32,3),B322