人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊學案：4 2 1 第1課時 等差數(shù)列的概念及通項公式

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊PAGEPAGE1§4.2等差數(shù)列4．2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念及通項公式學習目標1.理解等差數(shù)列、等差中項的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式，并能運用通項公式解決一些簡單的問題．導語同學們，上節(jié)課我們學習了數(shù)列的概念，并根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，實際上，生活中有一種特別的數(shù)列，比如，和生肖有關(guān)的問題，大家屬狗的居多一些，同樣是屬狗的，要么和你同歲，要么和你相差12的整數(shù)倍，今天我們就研究此類數(shù)列．一、等差數(shù)列的概念問題1觀察下面幾個問題中的數(shù)列，回答下面的問題．①在過去的300多年里，人們記下了哈雷彗星出現(xiàn)的時間：1682,1758,1834,1910,1986.②我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位來表示，常用的確定鞋號腳長值按從大到小的順序可排列為：275,270,265,260,255,250，…③為增強體質(zhì)，學校增加了體育訓練的項目，下面記錄了班內(nèi)5名男生1分鐘內(nèi)引體向上的個數(shù)：10,10,10,10,10.以上數(shù)列有什么共同特征？你能預測一下哈雷彗星下一次出現(xiàn)的時間嗎？〖提示〗對于①，我們發(fā)現(xiàn)1758－1682＝76,1834－1758＝76,1910－1834＝76,1986－1910＝76，也就是說該數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，于是我們可以大膽預測下一次哈雷彗星出現(xiàn)的時間應該是1986＋76＝2062.對于②有270－275＝－5…；對于③，10－10＝0，有同樣的取值規(guī)律．知識梳理一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示．注意點：(1)概念的符號表示：an－an－1＝d(n≥2)；(2)定義中強調(diào)“從第2項起”，因為第一項沒有前一項；(3)差必須是同一個常數(shù)；(4)公差可以是正數(shù)、負數(shù)、零；(5)當d>0時，是遞增數(shù)列，當d＝0時，是常數(shù)列，當d<0時，是遞減數(shù)列．例1判斷下列各組數(shù)列是不是等差數(shù)列．如果是，寫出首項a1和公差d.①1,3,5,7,9，…；②9,6,3,0，－3，…；③1,3,4,5,6，…；④7,7,7,7,7，…；⑤1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，….解①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是．反思感悟利用定義法判斷等差數(shù)列：從第2項起，檢驗每一項與它的前一項的差是否都等于同一個常數(shù)，若是同一個常數(shù)，則是等差數(shù)列，否則不是等差數(shù)列．跟蹤訓練1(多選)下列數(shù)列是等差數(shù)列的是()A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16C.eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，1，eq\f(4,3)，eq\f(5,3) D．－3，－2，－1,1,2〖答案〗ABC〖解析〗由等差數(shù)列的定義得，A項d＝0，故是等差數(shù)列；B項d＝3，故是等差數(shù)列；C項d＝eq\f(1,3)，故是等差數(shù)列；D項每一項與前一項的差不是同一個常數(shù)，故不是等差數(shù)列．二、等差中項問題2由等差數(shù)列的定義可知，如果1，x,3這三個數(shù)是等差數(shù)列，你能求出x的值嗎？〖提示〗由定義可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.知識梳理由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列．這時，A叫做a與b的等差中項，且2A＝a＋b.注意點：(1)任意兩個實數(shù)都有等差中項，且唯一；(2)等差中項的幾何意義是兩個實數(shù)的平均數(shù)，即A＝eq\f(a＋b,2)；(3)a3是a1和a5的等差中項．例2(1)若a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，則a，b的等差中項為()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(2),2)〖答案〗A〖解析〗由題意知a，b的等差中項為eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2))))＝eq\f(1,2)(eq\r(3)－eq\r(2)＋eq\r(3)＋eq\r(2))＝eq\r(3).(2)在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c，使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．解因為－1，a，b，c,7成等差數(shù)列，所以b是－1與7的等差中項，則b＝eq\f(－1＋7,2)＝3，又a是－1與3的等差中項，所以a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3與7的等差中項，所以c＝eq\f(3＋7,2)＝5.所以該數(shù)列為－1,1,3,5,7.反思感悟若a，A，b成等差數(shù)列，則A＝eq\f(a＋b,2)；反之，由A＝eq\f(a＋b,2)也可得到a，A，b成等差數(shù)列，所以A是a，b的等差中項?A＝eq\f(a＋b,2).跟蹤訓練2若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5，求m和n的等差中項．解由m和2n的等差中項為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項為5，得2m＋n＝10.兩式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中項為eq\f(m＋n,2)＝3.三、等差數(shù)列的通項公式問題3你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導它的通項公式嗎？〖提示〗設一個等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，由等差數(shù)列的定義可知，an－an－1＝d(n≥2)，思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…歸納可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d，左右兩邊分別相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．知識梳理首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d.注意點：(1)已知首項a1和公差d，便可寫出通項公式；(2)等差數(shù)列的通項公式是an，a1，d，n四個變量之間的關(guān)系，知三求一．例3在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1與d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.解(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5－1d＝－1，,a1＋8－1d＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.))(2)設等差數(shù)列的公差為d，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋6－1d＝12，,a1＋4－1d＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.反思感悟等差數(shù)列通項公式的求法與應用技巧(1)等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項公式，只需求出首項與公差即可．(2)等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個參數(shù)，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個數(shù)，那么就可以由通項公式求出第四個數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．跟蹤訓練3在等差數(shù)列{an}中，求解下列各題：(1)已知公差d＝－eq\f(1,3)，a7＝8，則a1＝________.(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，則公差d＝________.(3)已知{an}的前3項依次為2,6,10，則a15＝________.〖答案〗(1)10(2)－eq\f(1,2)(3)58〖解析〗(1)由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))，故a1＝10.(2)設首項為a1，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝0，,a1＋6d－2a1＋3d＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝－\f(1,2).))(3)由題意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，∴a15＝4×15－2＝58.1．知識清單：(1)等差數(shù)列的有關(guān)概念．(2)等差數(shù)列的通項公式．2．方法歸納：列方程組法、迭代法、構(gòu)造法．3．常見誤區(qū)：在具體應用問題中項數(shù)不清．1．(多選)下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的是()A．1,4,7,10 B．lg2，lg4，lg8，lg16C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2〖答案〗ABD〖解析〗A，B，D項滿足等差數(shù)列的定義，是等差數(shù)列；C中，因為24－25≠23－24≠22－23，不滿足等差數(shù)列的定義，所以不是等差數(shù)列．2．已知等差數(shù)列{an}的通項公式an＝3－2n(n∈N*)，則它的公差d為()A．2B．3C．－2D．－3〖答案〗C〖解析〗由等差數(shù)列的定義，得d＝－2.3．若5，x，y，z,21成等差數(shù)列，則x＋y＋z的值為()A．26B．29C．39D．52〖答案〗C〖解析〗∵5，x，y，z,21成等差數(shù)列，∴y既是5和21的等差中項也是x和