福建省泉州市惠安縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)“達利杯”學(xué)科素養(yǎng)競賽試題

PAGEPAGE10福建省泉州市惠安縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)“達利杯”學(xué)科素養(yǎng)競賽試題（考試時間：120分鐘；滿分：100分）一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，集合，則（）A.B.C.D.2．已知數(shù)列中，，，則（）A.B.C.D.3.斐波拉契數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在數(shù)學(xué)上，斐波拉契數(shù)列定義如下：，（，），隨著的增大，越來越靠近黃金分割，故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列，而以、為長和寬的長方形稱為“最美長方形”，已知某“最美長方形”的面積約為200平方厘米，則該長方形的長大約是（）A.20厘米B.19厘米C.18厘米D.17厘米4．已知，，若可以表示成的形式，其中是正整數(shù)，則（）A.8B.32C.48D.505．已知一個正三棱柱的底面邊長為1，且兩個側(cè)面的異面對角線相互垂直，則它的側(cè)棱長為（）A.B.C.D.6．等腰直角三角形中，斜邊，一個橢圓以為其焦點，另一個焦點在線段上，且橢圓經(jīng)過，兩點，則該橢圓（焦點在軸上）的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．B．C．D．7．已知點、在內(nèi)，且，則等于()A．B．C．D．8．設(shè)和分別表示的整數(shù)部分與小數(shù)部分，其中，函數(shù)的零點個數(shù)為()A.2024B.2024C.2024D.2024二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分．9．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則____________．10．用三種顏色給立方體的八個頂點染色，其中至少有一種顏色恰好染四個頂點．則任一條棱的兩個端點都不同色的概率是____________．11．方程的滿意的全部正整數(shù)解為____________．（以形式填寫答案）12．已知，，是平面上的隨意三點，且，，，則表達式的最小值是____________．三、解答題：本題共6小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．13．（本題8分）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角對邊分別為且，外接圓半徑為．（1）求角的大??；（2）求周長的取值范圍．14．（本題8分）已知數(shù)列中，．（1）求的通項公式；（2）數(shù)列滿意，數(shù)列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍．15．（本題9分）如圖1，菱形中，，，于．將沿翻折到，使，如圖2．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）設(shè)為線段上一點，若平面，求的值．16．（本題9分）為了拓展城市的旅游業(yè)，實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資溝通，政府確定在市與市之間建一條直達馬路，中間設(shè)有12個十字路口現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一棵楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為．（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植看法，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A市居民B市居民喜愛楊樹300200喜愛木棉樹250250是否有的把握認(rèn)為喜愛樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性？（2）表示所抽取的4個路口中種植楊樹的路口個數(shù)，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）在全部的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：．附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中．17．（本題9分）設(shè)是橢圓：的右焦點，，分別為的右頂點、上頂點，，，是軸的正半軸上一點，，，三點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列．（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線和交于，兩點，求的內(nèi)切圓的圓心的軌跡方程．18．（本題9分）已知，．（1）若恒成立，求的最大值；（2）若，?。?）中的，當(dāng)時，證明：．2024年學(xué)科素養(yǎng)競賽高二年數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分．BCCDBAAA二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分．，，，三、解答題：本題共6小題，共52分．13.解：（1）由正弦定理得由得，∴∴，又∴……3分(2)記周長為，……6分∵∴∴，即的取值范圍是，當(dāng)時，即正三角形周長達到最大值.……8分14.解：（1）由，得，

，

所以數(shù)列是以3為公比，以為首項的等比數(shù)列，

從而，；……3分

（2），

，

，

兩式相減得，

，……6分

．

若n為偶數(shù)，則，，，

若n為奇數(shù)，則，，，即，

．……8分15.解：（1）在菱形中，因為，所以，．所以．因為，，平面，平面，所以平面．因為平面，所以平面⊥平面．……2分（2）由（1）知，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，,,，所以，,．…3分設(shè)平面的法向量，由得所以令，則.所以．所以，又,，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為．……6分（3）由（2）可知，,設(shè)，則．因為平面，所以，即．所以，即．所以．……9分16.解：（1）本次試驗中，，

故沒有的把握認(rèn)為喜愛樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性．……………2分

（2）依題意，X的可能取值為．

故，，，

，．

隨機變量X的分布列為：X0123P故．……5分（3）首先證明：對隨意，有．

證明：因為，所以．

設(shè)12個路口中有個路口種植楊樹．

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，

．

綜上，．……9分17.解：（1）由已知F的坐標(biāo)為，A，B的坐標(biāo)分別為，，

又，

故，由此得，

由，得，

又，

聯(lián)立，解得，，，

所以橢圓的方程為；……3分（2）設(shè)P的坐標(biāo)為，由已知得，

故，

設(shè)直線l的方程為，，，

由，得，

即，

所以，，

因此，，

下面先證直線PM，PN關(guān)于x軸對稱，

設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為，直線PM的方程為，

因為，

所以點在直線PM上，即直線PM，PN關(guān)于x軸對稱，……5分

因此可設(shè)內(nèi)切圓圓心C的坐標(biāo)為，

直線PM的方程為，

同理直線PN的方程為，

由點到直線的距離公式得：，

化簡得，

即，

同理有，

兩式相加，得，

即，

得，

即，

因此，……7分考慮到，若，

當(dāng)，即時，不成立；

當(dāng)，即時，

，解得，即；

當(dāng)，即時，

，解得，不存在．

當(dāng)時，，

所以圓心C的軌跡方程為．……9分18.解：（1）因為函數(shù)是偶函數(shù)，，且當(dāng)時，不恒成立，

所以問題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)，時，若恒成立，求a的最大值．

因為，，

……1分當(dāng)時，，因此，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

又因為，所以，

因此函數(shù)在上單調(diào)遞增．

又因為，所以，

因此a的最大值．……3分當(dāng)時，，因此在上有解，

所以存在最小正數(shù)，使成立，此時．

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．

又因為，所以，

因此函數(shù)在上單調(diào)遞減．

又因為，所以，

因此在上不恒成立，

所以a無最