全國統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第11章概率第2講古典概型與幾何概型1備考試題文含解析

第十一章概率其次講古典概型與幾何概型練好題·考點自測1.[2024全國卷Ⅰ,4,5分][文]設(shè)O為正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3點,則取到的3點共線的概率為()A.15 B.25 C.12.[2024貴陽高三摸底考試]某學(xué)校星期一至星期五每天上午共支配五節(jié)課,每節(jié)課的時間為40分鐘,第一節(jié)課上課的時間為7:50~8:30,課間休息10分鐘.某同學(xué)請假后返校,若他在8:50~9:30之間隨機到達(dá)教室,則他聽其次節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率為()A.15 B.14 C.13.[2024全國卷Ⅰ,10,5分]圖11-2-1來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則()A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3圖11-2-14.[2024武漢高三質(zhì)檢]我國古人認(rèn)為宇宙萬物是由金、木、水、火、土這五種元素構(gòu)成的,歷史文獻(xiàn)《尚書·洪范》提出了五行的說法,到戰(zhàn)國晚期,五行相生相克的思想被正式提出.這五種物質(zhì)屬性的相生相克關(guān)系如圖11-2-2所示,若從這五種物質(zhì)中隨機選取三種,則取出的三種物質(zhì)中,彼此間恰好有一個相生關(guān)系和兩個相克關(guān)系的概率為()A.35 B.12 C.2圖11-2-25.[2024江蘇,4,5分]將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次,視察向上的點數(shù),則點數(shù)和為5的概率是.

拓展變式1.[2024福建南平質(zhì)檢]由共青團中心宣揚部、中共山東省委宣揚部、共青團山東省委、山東廣播電視臺聯(lián)合出品的《國學(xué)小名士》第三季于2024年11月24日在山東衛(wèi)視首播.首期最精彩的節(jié)目片段是π的飛花令:出題者依次給出π所含數(shù)字3,1,4,1,5,9,2,6,5,3……答題者則須要說出含有此數(shù)字的詩句.雷海為、楊強、馬博文、張益銘與飛花令少女賀莉然同場PK,賽況激烈,最終π的飛花令突破204位.某校某班級開聯(lián)歡會,同學(xué)們也實行了一場π的飛花令,為了增加趣味性,他們的規(guī)則如下:答題者先擲兩個骰子,得到的點數(shù)分別記為(x,y)(1≤x≤6,1≤y≤6,x∈N*,y∈N*),再取出π的小數(shù)點后第x位和第y位的數(shù)字,然后說出含有這兩個數(shù)字的一個詩句,若能說出則可獲得獎品.依據(jù)這個規(guī)則,取出的兩個數(shù)字相同的概率為()A.118 B.1C.736 D.2.(1)[2024湖北武漢模擬][與向量交匯]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(3,0),B(1,2),D(3,2),動點P滿意OP=λOA+μOB,其中λ∈[0,1],μ∈[0,2],λ+μ∈[1,2],則點P落在三角形ABD內(nèi)的概率為()A.12 B.3C.32 D.(2)[2024江蘇,7,5分][與函數(shù)交匯]記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機取一個數(shù)x,則x∈3.采納隨機模擬的方法估計某運動員射擊擊中目標(biāo)的概率,先由計算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機數(shù),指定0,1,2,3表示沒有擊中目標(biāo),4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo),4個隨機數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為.

4.[2024湖南衡陽三模]洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源.其結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四隅黑點為陰數(shù).如圖11-2-7所示,若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中各隨機選取1個數(shù),則選取的兩數(shù)之和能被5整除的概率為()A.110 B.C.15 D.3答案第十一章概率其次講古典概型與幾何概型1.A依據(jù)題意作出圖形,如圖D11-2-1所示,在O,A,B,C,D中任取3點,有10種可能狀況,分別為(OAB),(OAC),(OAD),(OBC),(OBD),(OCD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),其中取到的3點共線有(OAC)和(OBD)2種可能狀況,所以在O,A,B,C,D中任取3點,則取到的3點共線的概率為210=152.B隨機到達(dá)教室總的時間長度為40分鐘,其次節(jié)課8:40起先,9:20結(jié)束,聽其次節(jié)課的時間不少于20分鐘,必需在9:00前到達(dá)教室,即8:50~9:00到達(dá)即可,時間長度為10分鐘,由幾何概型的概率計算公式知他聽其次節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率P=1040=13.A解法一設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積,為S1=12bc,區(qū)域Ⅱ的面積S2=12π×(c2)2+12π×(b2)2-[π×(a2)22-12bc]=18π(c2+b2-a2)+12bc=12bc解法二不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形,AB=AC=2,則BC=22,所以區(qū)域Ⅰ的面積(即△ABC的面積)為S1=12×2×2=2,區(qū)域Ⅱ的面積S2=π×12-[π×(2)22-2]=2,區(qū)域Ⅲ的面積S3=π×(2)22-2=π-2.依據(jù)幾何概型的概率計算公式,得p1=p2=2π+2,p3=π-2π+2,所以p1≠p3,p【試題評析】本題以古希臘數(shù)學(xué)家探討的幾何圖形為背景,考查幾何概型.4.B依題意,三種物質(zhì)間相生相克關(guān)系如下表,×√√√×××√×√所以彼此間恰好有一個相生關(guān)系和兩個相克關(guān)系的概率P=510=5.19將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次,向上的點數(shù)共有36種狀況,其中點數(shù)和為5的狀況有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種,則所求概率為41.D取出π的小數(shù)點后第x位和第y位的數(shù)字,基本領(lǐng)件共有36個,如下表所示:1415921(1,1)(1,4)(1,1)(1,5)(1,9)(1,2)4(4,1)(4,4)(4,1)(4,5)(4,9)(4,2)1(1,1)(1,4)(1,1)(1,5)(1,9)(1,2)5(5,1)(5,4)(5,1)(5,5)(5,9)(5,2)9(9,1)(9,4)(9,1)(9,5)(9,9)(9,2)2(2,1)(2,4)(2,1)(2,5)(2,9)(2,2)由表中數(shù)據(jù)可知取出的兩個數(shù)字相同的基本領(lǐng)件共有8個,所以取出的兩個數(shù)字相同的概率為P=836=2.(1)A由題意得OP=λOA+μOB=λ(3,0)+μ(1,2)=(3λ+μ,2μ).設(shè)P(x,y),則x=3因為λ∈[0,1],μ∈[0,2],λ+μ∈[1,2],所以0≤圖D11-2-2化簡得0≤2作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖D11-2-2中陰影部分所示,點P位于平行四邊形ABEC的內(nèi)部(包含邊界).記事務(wù)M為點P落在三角形ABD內(nèi),則由幾何概型的概率計算公式可得所求概率為P(M)=S△ABCS【試題評析】本題將平面幾何與線性規(guī)劃、平面對量有機結(jié)合,側(cè)重考查了三角形面積公式及以面積為測度的幾何概型的概率的求解.(2)59由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,則D=[-2,3],則所求概率為3-(-2)3.0.4依據(jù)數(shù)據(jù)得該運動員射擊4次至少擊中3次的數(shù)據(jù)分別為75279857863669474698804595977424,所以該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為820=0.44.C由題意可知,陰數(shù)為2,4,6,8,陽數(shù)為1,3,5,7,9.從陰數(shù)、陽數(shù)中各選一個數(shù),所含的基本領(lǐng)件有{2,1},{2,3},{2,5},{2,7