備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)沖刺專項訓(xùn)練（全國）專題07 二次函數(shù)中特殊四邊形存在性（五大題型）90題專練（解析版）

專題07二次函數(shù)中特殊四邊形存在性（五大題型）90專練通用的解題思路：題型一：平行四邊形的存在性解題策略：1.直接計算法根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等，按這條線段為邊或為對角線兩大類，分別計算

（適用于：已知兩點的連線就在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸）2.構(gòu)造全等法過頂點作坐標(biāo)軸的垂線，利用對邊所在的兩個三角形全等，把平行且相等的對邊轉(zhuǎn)化為水平或者垂直方向的兩條對應(yīng)邊相等

（適用于：已知兩點的連線，不與坐標(biāo)軸平行，容易畫出草圖）3.平移坐標(biāo)法

利用平移的意義，根據(jù)已知兩點間橫、縱坐標(biāo)的距離關(guān)系，得待定兩點也有同樣的數(shù)量關(guān)系。

（適用于：直接寫出答案的題）題型二：菱形存在性由于菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形，因此解決菱形存在性問題需要綜合運用平行四邊形和等腰三角形存在性問題的方法。題型三：矩形存在性由于矩形是含90度角的平行四邊形，因此解決矩形存在性問題需要綜合運用平行四邊形和直角三角形存在性問題的方法。題型四：正方形存在性由于正方形即是矩形又是菱形，因此解決正方形存在性問題需要靈活選用所有存在性問題的方法。題型五：梯形存在性解梯形的存在性問題一般分三步：第一步分類，第二步畫圖，第三步計算．一般是已知三角形的三個頂點，在某個圖象上求第四個點，使得四個點圍成梯形．過三角形的每個頂點畫對邊的平行線，這條直線與圖象的交點就是要探尋的梯形的頂點．因為梯形有一組對邊平行，因此根據(jù)同位角或內(nèi)錯角，一定可以構(gòu)造一組相等的角，然后根據(jù)相似比列方程，可以使得解題簡便．題型一：平行四邊形的存在性1．（2024·甘肅武威·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于兩點，與軸交于點，且．(1)求此拋物線的表達式；(2)已知拋物線的對稱軸上存在一點，使得的周長最小，請求出點的坐標(biāo)；(3)連接，點是線段上一點，過點作軸的平行線交拋物線于點，求當(dāng)四邊形為平行四邊形時點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)則點P的坐標(biāo)為：）或【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對稱最短路徑的計算方法，平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式可求出，可得點的坐標(biāo)，運用交點式即可求解二次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)拋物線的解析式可得點的對稱點為點，結(jié)合軸對稱最短路徑可得的周長為最小，根據(jù)點的坐標(biāo)可求出直線的解析式是，由拋物線的對稱軸為，代入直線的解析式即可求解；（3）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得，設(shè)點，則，由此列式求解即可．【詳解】（1）解：由拋物線的表達式可知，，∴，∴，∴，，，設(shè)拋物線的表達式為：，∴，∴，故拋物線的表達式為：；（2）解：由（1）可知，拋物線的表達式為：，∴對稱軸為，∴點關(guān)于拋物線對稱軸得對稱點為點，∴交拋物線的對稱軸于點即為所求點的位置，即的周長為最小，已知，，設(shè)直線的解析式為：，∴，解得，，∴直線的解析式為：，∵拋物線的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，，則點；（3）解：由（1）和（2）可知，拋物線的解析式為，直線的解析式為，∴如圖所示，設(shè)點，根據(jù)過點作軸的平行線交拋物線于點，四邊形為平行四邊形，則，∴，∴，∴解得：，，∴當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即∴點的坐標(biāo)為：）或．2．（2024·江蘇宿遷·一模）材料一；《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索題發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常會用到類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關(guān)思想，解答下列問題．材料二：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種解題策略，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)多，它能使許多看似非常復(fù)雜的問題簡單化．因此在用分類討論解決數(shù)學(xué)問題時要遵循一定的規(guī)則，注意合理的分類，對全體對象的分類必須做到不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持在同一標(biāo)準(zhǔn)．請閱讀上述材料，完成題目：如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），點的坐標(biāo)為，與軸交于點，直線與軸交于點．動點在拋物線上運動，過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點在線段上時，的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)點是拋物線對稱軸與軸的交點，點是軸上一動點，點在運動過程中，若以為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)存在．的最大值為；(3)點坐標(biāo)為或或，．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）設(shè)，則，則，根據(jù)三角形面積公式得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；（3）先求出拋物線的對稱軸為直線得到，討論：當(dāng)時，則，利用平行四邊形的性質(zhì)得，從而得到此時點坐標(biāo)；當(dāng)時，由于點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，所以點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，設(shè)，則，然后把代入得，則解方程求出得到此時點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點，點，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：存在．當(dāng)，，解得，則，設(shè)，則，，，，當(dāng)時，有最大值為；（3）解：拋物線的對稱軸為直線，，當(dāng)時，則，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，，點坐標(biāo)為或；當(dāng)時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，，點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，點向右平移1個單位，向下平移2個單位得到點，設(shè)，則，把代入得，解得，，此時點坐標(biāo)為，，綜上所述，點坐標(biāo)為或或，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵．3．（2024·廣東珠海·一模）已知拋物線與軸交于點和，與軸交于點C(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，點是線段上的一個動點（不與點，重合），過點作軸的垂線交拋物線于點，連接，當(dāng)四邊形恰好是平行四邊形時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，是的中點，過點的直線與拋物線交于點，且，在直線上是否存在點，使得與相似？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的坐標(biāo)為或．【分析】（1）用待定系數(shù)法可得；（2）由，可得直線解析式為，設(shè)，由，有，即可解得；（3）可得直線的表達式為，知在直線上，，，過點作軸于點，過作軸于，根據(jù)，可得直線和直線關(guān)于直線對稱，有，，，從而可得直線的表達式為，點的坐標(biāo)為，即得，，故，與相似，點與點是對應(yīng)點，設(shè)點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，有，解得；當(dāng)時，，解得．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，；（2）解：由，可得直線解析式為，設(shè)，則，，，要使四邊形恰好是平行四邊形，只需，，解得，；（3）解：在直線上存在點，使得與相似，理由如下：是的中點，點，點，由（2）知，直線的表達式為，，在直線上，，，過點作軸于點，過作軸于，如圖：，故，，，直線和直線關(guān)于直線對稱，，，，由點，可得直線的表達式為，聯(lián)立，解得或，點的坐標(biāo)為，，，，，，，，，，即，與相似，點與點是對應(yīng)點，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，當(dāng)時，有，，解得或（在右側(cè)，舍去），；當(dāng)時，，，解得（舍去）或，，綜上所述，的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，平行四邊形，相似三角形等知識，難度較大，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是證明，從而得到與相似，點與點是對應(yīng)點．4．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與二次函數(shù)的圖象交于點．(1)求一次函數(shù)與二次函數(shù)的表達式；(2)設(shè)是直線上一點，過點作軸，交二次函數(shù)的圖象于點，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)點坐標(biāo)為，，，【分析】（1）由待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可得到答案；（2）求出點坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，設(shè)，，由列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）解：∵過點，∴，解得，∴一次函數(shù)表達式為：；∵點在上，∴，即，∵點在上，∴，解得，∴二次函數(shù)表達式為：；（2）解：∵點在軸上，且在上，∴，即，如圖所示：∵以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，∴，設(shè)，，則有，或，解得或，是直線上的點，∴點坐標(biāo)為，，，．【點睛】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、直線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)、拋物線與坐標(biāo)軸交點、平行四邊形性質(zhì)、二次函數(shù)與平行四邊形綜合等知識，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)綜合題型解法是解決問題的關(guān)鍵．5．（2024·陜西渭南·二模）如圖，已知拋物線交軸于兩點，交軸于點，點的坐標(biāo)為，點為拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若直線與拋物線的對稱軸交于點，點是拋物線上的動點，點是直線上的動點，是否存在以為頂點的四邊形是以為邊的平行四邊形，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；點的坐標(biāo)為：，或，或．【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式等；（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)為對角線時，由中點坐標(biāo)公式列出方程組，即可求解；當(dāng)為對角線時，同理可解．【詳解】（1）解：（1）的坐標(biāo)為，，則點，，則點，設(shè)拋物線的表達式為：，則，∵，∴，∴，則；（2）存在，理由：由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線，由點、的坐標(biāo)得，設(shè)直線的表達式為，∴解得：∴直線的表達式為：，設(shè)點，點，當(dāng)為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得：，解得：，則點，或，；當(dāng)為對角線時，同理可得：，解得：（舍去）或2，則點，綜上，點的坐標(biāo)為：，或，或．6．（2024·甘肅武威·一模）如圖．拋物線交軸于點和點，交軸于點，點在第二象限的拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點的坐標(biāo)為時，求的面積；(3)過點作軸，交直線于點，是否存在點，使得四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)點的坐標(biāo)為【分析】（1）把和代入拋物線，求出和的值即可解決問題；（2）連接,把代入得到點的坐標(biāo)，根據(jù)即可求出結(jié)果；（3）求出直線的表達式，作軸,交于點,設(shè)，得到的表達式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程即可求出點的坐標(biāo);【詳解】（1）解：∵拋物線交軸于點和點,交軸于點,，解得，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）連接,由拋物線的解析式為，代入，得，解得，∴點的坐標(biāo)為,，，，得，，得；（3）設(shè)直線的表達式為，代入，，解得，，作軸,交于點,設(shè)∴，∵四邊形是平行四邊形，，，解得，，∴點的坐標(biāo)為．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，割補法求三角形面積，平行四邊形的存在性問題，本題的關(guān)鍵是理解平行四邊形的性質(zhì).7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，．(1)求該拋物線的表達式；(2)將拋物線沿軸的正方向平移個單位長度得到新拋物線，是新拋物線與軸的交點靠近軸，是原拋物線對稱軸上一動點，在新拋物線上存在一點，使得以為邊，且以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)滿足條件的點的坐標(biāo)為或【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，平行四邊形的性質(zhì)；（1）將點，代入拋物線表達式，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律得出，進而求得點，設(shè)，，根據(jù)題意得出，即可求解．【詳解】（1）解：將點，代入拋物線表達式，得解得該拋物線的表達式為．（2），拋物線的對稱軸為直線，平移后的拋物線表達式為，把代入：得，解得，．是原拋物線對稱軸上一動點，點在新拋物線上，設(shè)，．當(dāng)為平行四邊形的一邊時，且．由題可知．．即，解得或．點的坐標(biāo)為或．綜上所述，滿足條件的點的坐標(biāo)為或．8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線與x軸交于，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點P在拋物線上，點Q在x軸上，是否存在以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)如圖2，若點D是第四象限拋物線上的一個動點，直線與直線交于點E，連接，設(shè)的面積為，的面積為，求的最大值及此時點D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，Q的坐標(biāo)為或或或．(3)最大值，D的坐標(biāo)為【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，涉及到三角形相似、平行四邊形的性質(zhì)等知識點；（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)為對角線時，由中點坐標(biāo)公式列出方程組，即可求解；當(dāng)或為對角線時，同理可解；（3）過點D作軸交于點M，過點A作軸交于點N，證明，得到，即，即可求解．【詳解】（1）∵∴∴∴把，代入拋物線解析式得：，解得：，∴該拋物線解析式為；（2）存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，設(shè)，，分三種情況考慮：①當(dāng)與為對角線時，由，，得：，解得：（舍去），∴；②當(dāng)與為對角線時，得：，解得：（舍去），∴；③當(dāng)與為對角線時，得：，解得：，，∴或；綜上，存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，Q的坐標(biāo)為或或或．（3）∵拋物線對稱軸為直線，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，過點D作軸交于點M，過點A作軸交于點N，

∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)時，有最大值，此時點D的坐標(biāo)為．9．（2024·山西大同·二模）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，，與軸交于點．作直線，是拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式并直接寫出直線的函數(shù)表達式．(2)當(dāng)點P在直線下方時，連接，，．當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；直線的函數(shù)表達式為，(2)(3)存在，點的坐標(biāo)為()，()，【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合運用；待定系數(shù)法求解析式，面積問題，平行四邊形問題；（1）待定系數(shù)法求得拋物線解析式，進而得出的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求直線的解析式，即可求解；（2）過點作于點，則四邊形為矩形，根據(jù)得出，進而表示出，解方程，即可求解．（3）先求得拋物線對稱軸，設(shè))，當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時,當(dāng)為對角線時,根據(jù)中點坐標(biāo)公式，即可求解．【詳解】（1）解：把，分別代入得解得拋物線的函數(shù)表達式為當(dāng)時，，則設(shè)直線的解析式為，將點代入，得，解得：，直線的函數(shù)表達式為，（2）如圖過點作軸于點，交于，過點作于點，則四邊形為矩形設(shè)則，解得(舍棄)，（3）存在，點的坐標(biāo)為()或()或()由題知，拋物線拋物線的對稱軸，把代入，的)設(shè))分以下三種情況討論：當(dāng)為對角線時，，，解得)當(dāng)為對角線時，，，解得)當(dāng)為對角線時，，，解得綜上所述，點的坐標(biāo)為()，()，．10．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線與y軸交于點D．(1)求該拋物線的表達式；(2)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)對稱軸上存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點Q的坐標(biāo)為或或．【分析】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了求二次函數(shù)解析式，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）運用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達式；（2）利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，進而可得，分三種情況：當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分即對角線的中點重合，分別列方程組求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點，解得：，∴該拋物線的表達式為；（2）對稱軸上存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形．理由如下：∴頂點，設(shè)直線的解析式為，則：解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時，，∴，∵點是拋物線上一動點，∴設(shè)，∵拋物線的對稱軸為直線，∴設(shè)，當(dāng)為對角線時，的中點重合，解得：，當(dāng)為對角線時，的中點重合，解得：，當(dāng)為對角線時，的中點重合，解得：，∴；綜上所述，對稱軸上存在點，使得以，為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標(biāo)為或或．11．（2024·上海虹口·二模）新定義：已知拋物線（其中），我們把拋物線稱為的“輪換拋物線”．例如：拋物線的“輪換拋物線”為．已知拋物線：的“輪換拋物線”為，拋物線、與軸分別交于點、，點在點的上方，拋物線的頂點為．(1)如果點的坐標(biāo)為，求拋物線的表達式；(2)設(shè)拋物線的對稱軸與直線相交于點，如果四邊形為平行四邊形，求點的坐標(biāo)；(3)已知點在拋物線上，點坐標(biāo)為，當(dāng)時，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，重點考查二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)，（1）將點代入表達式，求出m的值，根據(jù)“輪換拋物線”定義寫出即可；（2）根據(jù)輪換拋物線定義得出拋物線表達式及點E、F坐標(biāo)，并求出P、Q坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出列方程并解出m值，進而解決問題；（3）先求，結(jié)合求出的點P、E、F坐標(biāo)得出及，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，解方程即可解決．【詳解】（1）解：拋物線：與軸交于點坐標(biāo)為，當(dāng)，代入，得，，拋物線表達式為，拋物線的“輪換拋物線”為表達式為；（2）解：拋物線：，當(dāng)時，，即與y軸交點為，拋物線：的“輪換拋物線”為，拋物線表達式為，同理拋物線與y軸交點為，拋物線對稱軸為直線，當(dāng)時，，拋物線的頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，拋物線的對稱軸與直線交點，點在點的上方，，解得：，，四邊形為平行四邊形，，即，解得：，；（3）解：點在拋物線上，當(dāng)時，，即，點坐標(biāo)為，，，，，，，，，，解得：．12．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線解析式及，兩點坐標(biāo)；(2)以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標(biāo)；(3)該拋物線對稱軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為，，(2)或或(3)【分析】（1）將點代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進而分別令，即可求得兩點的坐標(biāo)；（2）分三種情況討論，當(dāng)，為對角線時，根據(jù)中點坐標(biāo)即可求解；（3）根據(jù)題意，作出圖形，作交于點，為的中點，連接，則在上，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出在上，進而勾股定理，根據(jù)建立方程，求得點的坐標(biāo)，進而得出的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，∴解得：，∴拋物線解析式為，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，解得：，∴（2）∵，，，設(shè)，∵以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形當(dāng)為對角線時，解得：，∴；當(dāng)為對角線時，解得：∴當(dāng)為對角線時，解得：∴綜上所述，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，或或（3）解：如圖所示，作交于點，為的中點，連接，

∵∴是等腰直角三角形，∴在上，∵，，∴，，∵，∴在上，設(shè)，則解得：（舍去）∴點設(shè)直線的解析式為∴解得：.∴直線的解析式∵，，∴拋物線對稱軸為直線，當(dāng)時，，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13．（2023·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點和，其頂點的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達式．(2)若直線與軸交于點，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點，當(dāng)取何值時，使得有最大值，并求出最大值．(3)若點為拋物線的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移個單位長度后，為平移后拋物線上一動點．在（）的條件下求得的點，是否能與、、構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出點坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時，有最大值為(3)能，【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設(shè)，進而分別表示出，得出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，，即可求得最大值；（3）由（1）知，向左平移后的拋物線為，由（2）知，設(shè)，假設(shè)存在以、、、為頂點的平行四邊形．根據(jù)中點坐標(biāo)公式，分類討論即可求解，①當(dāng)以為對角線時，②當(dāng)以為對角線時，③當(dāng)以為對角線時．【詳解】（1）解：拋物線的頂點橫坐標(biāo)為對稱軸為與x軸另一交點為

∴設(shè)拋物線為∴拋物線的表達式為（2）在拋物線上∴設(shè)在第一象限

∴當(dāng)時，有最大值為（3）由（1）知，向左平移后的拋物線為由（2）知設(shè)，假設(shè)存在以、、、為頂點的平行四邊形．

①當(dāng)以為對角線時，平行四邊形對角線互相平分，即在拋物線上的坐標(biāo)為

②當(dāng)以為對角線時同理可得，即則的坐標(biāo)為

③當(dāng)以為對角線時，即則的坐標(biāo)為綜上所述：存在以、、、為頂點的平行四邊形．的坐標(biāo)為【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，線段最值問題，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達式；(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，進而得到的最小值為的長，利用兩點間距離公式進行求解即可；（3）分，，分別為對角線，三種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點，∴，解得：，∴；（2）∵，∴，設(shè)直線，則：，解得：，∴，當(dāng)時，，∴；作點關(guān)于軸的對稱點，連接，則：，，∴當(dāng)三點共線時，有最小值為的長，

∵，，∴，即：的最小值為：；（3）解：存在；∵，∴對稱軸為直線，設(shè)，，當(dāng)以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時：①為對角線時：，

∴，當(dāng)時，，∴，∴；②當(dāng)為對角線時：，

∴，當(dāng)時，，∴，∴；③當(dāng)為對角線時：，

∴，當(dāng)時，，∴，∴；綜上：當(dāng)以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．15．（2024·山西晉城·一模）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點B在點A的左側(cè)），與y軸交于點C，P是直線上方拋物線上一動點．(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達式．(2)連接，，求面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，若F是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是否存在點Q，使以B，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)的面積最大值為9，此時點P的坐標(biāo)為(3)或或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式分別求出自變量和函數(shù)值為0時自變量或函數(shù)值即可求出A、B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達式即可；（2）過點P作軸交于D，設(shè)，則，則，根據(jù)，可得，則當(dāng)時，的面積最大，最大值為9，此時點P的坐標(biāo)為（3）設(shè)，，再分當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時，由平行四邊形對角線中點坐標(biāo)相同建立方程求解即可?！驹斀狻浚?）解：在中，當(dāng)時，，∴；在中，當(dāng)時，解得或，∴；設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為；（2）解：如圖所示，過點P作軸交于D，設(shè)，則，∴，∵∴，∵，∴當(dāng)時，的面積最大，最大值為9，此時點P的坐標(biāo)為（3）解：∵，∴拋物線對稱軸為直線，設(shè)，，當(dāng)為對角線時，由平行四邊形對角線中點坐標(biāo)相同可得：，解得，∴點Q的坐標(biāo)為；當(dāng)為對角線時，由平行四邊形對角線中點坐標(biāo)相同可得：，解得，∴點Q的坐標(biāo)為；當(dāng)為對角線時，由平行四邊形對角線中點坐標(biāo)相同可得：，解得，∴點Q的坐標(biāo)為；綜上所述，點Q的坐標(biāo)為或或．16．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．(1)求拋物線的表達式；(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，當(dāng)點從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作，交AC于點E，作，垂足為點D．當(dāng)m為何值時，面積最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)點Q坐標(biāo)，或或；(3)時，有最大值，最大值為．【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（2）由二次函數(shù)，求得點，設(shè)點，點，分類討論：當(dāng)為邊，為對角線時，當(dāng)為邊，為對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求解；（3）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，可證，；運用待定系數(shù)法求直線解析式，直線解析式；設(shè)點，，則，，，，運用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時，最大值為．【詳解】（1）將，代入，得，解得∴拋物線解析式為：（2）二次函數(shù)，當(dāng)時，∴點設(shè)點，點，當(dāng)為邊，為對角線時，∵四邊形為平行四邊形，∴，互相平分∴解得，（舍去）或點Q坐標(biāo)；當(dāng)為邊，為對角線時，同理得，解得，或，∴∴點Q坐標(biāo)或綜上，點Q坐標(biāo)，或或；（3）如圖，過點D作，過點E作，垂足為G，F(xiàn)，∵，∴∴∵∴，同理可得設(shè)直線的解析式為：則，解得∴直線：同理由點，，可求得直線：設(shè)點，，則，，，中，，∴，中，∴，解得，∴∵∴；中，∴，解得，∴∵∴∴，即．∵∴時，，有最大值，最大值為．【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動點運動情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．17．（2024·山西晉城·一模）綜合與探究：如圖1，已知拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸相交于點，直線與軸相交于點，交線段于點，且.(1)求，，三點的坐標(biāo)；(2)求直線的函數(shù)表達式；(3)如圖2，若拋物線的對稱軸與直線交于點，試探究，在平面內(nèi)是否存在一點，使以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形.若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【答案】(1)，，(2)(3)或或【分析】（1）由，得，解得，.可得點，的坐標(biāo)，由，得.可得點的坐標(biāo)；（2）過點作軸交于，由平行線分線段成比例性質(zhì)得，再求得直線的解析式為，再設(shè)直線的解析式為，用待定系數(shù)法求解即可；（3）分為為對角線時；為對角線時；為對角線時三種情況分類討論，利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）由，得，解得，點，的坐標(biāo)分別為，由，得∴點的坐標(biāo)為；（2）過點作軸交于，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得∴直線的解析式為，，設(shè)直線的解析式為，解，得∴直線的解析式為；（3）在平面內(nèi)存在一點，使以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形∵拋物線與軸交于點，點，∴對稱軸為直線.由（2）可得，當(dāng)時，由（1）可知，，；①當(dāng)為對角線時，將點向下平移1個單位，再向左平移3個單位長度，即可得到點，此時點的坐標(biāo)為②當(dāng)為對角線時，將點向下平移3個單位，再向右平移1個單位長度，即可得到點，③當(dāng)是對角線時，將點向上平移一個單位，再向右平移3個單位長度，即可得到點，點Q為綜上所述，在平面內(nèi)存在一點，使以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，點的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．18．（2024·山西呂梁·一模）綜合與探究如圖1，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點，點是拋物線的頂點，點是直線上方拋物線上的一動點．

(1)求拋物線的頂點的坐標(biāo)和直線的解析式；(2)如圖，連接交于點，若，求此時點的坐標(biāo)；(3)如圖，直線與拋物線交于，兩點，過頂點作軸，交直線于點．若點是拋物線上一動點，試探究在直線上是否存在一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)點的坐標(biāo)的或(3)存在，點的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點式，即可得出頂點的坐標(biāo)，然后根據(jù)當(dāng)時，得，解方程求出的值即可；根據(jù)，坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）過點作軸于點，交于點，過點作軸交于點，證明得，設(shè)，，得到，求解即可；（3）確定直線的解析式為，確定，設(shè)，，然后分三種情況：①若為平行四邊形的對角線；②若為平行四邊形的邊；③若為平行四邊形的邊，分別建立一元二次方程求解即可．【詳解】（1）解：，∴，當(dāng)時，得：，解得：，，∴，，當(dāng)時，得：，∴，設(shè)直線的解析式為，過點，，∴，解得：，∴直線的解析式為，∴拋物線的頂點的坐標(biāo)為和直線的解析式為；（2）過點作軸于點，交于點，過點作軸交于點，∴，∴，∴，設(shè)，∴，∴，把代入，得：，∴，∴，∵，∴，解得：，，∴點的坐標(biāo)的或；

（3）∵點在直線上，∴，解得：，∴直線的解析式為，∵直線與拋物線交于，兩點，∴，解得：，，∴，設(shè)在直線上存在一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，設(shè)，，①若為平行四邊形的對角線，則：，得：，∵點在拋物線上，∴，解得：，（舍去），此時點的坐標(biāo)為；②若為平行四邊形的邊，∴，∵軸，∴軸，則：，得：，∵點在拋物線上，∴，解得：，（舍去），此時點的坐標(biāo)為；③若為平行四邊形的邊，∴，∵軸，∴軸，則：，得：，∵點在拋物線上，∴，解得：，，此時點的坐標(biāo)為或；綜上所述，點的坐標(biāo)為或或或時，以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，平行四邊形的判定和性質(zhì)，中點坐標(biāo)公式等知識點，本題運用了分類討論的思想．掌握函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2024·山東泰安·一模）綜合與實踐如圖，拋物線與x軸交于，兩點，且點在點的左側(cè)，與軸交于點，點是拋物線上的一動點．

(1)求，，三點的坐標(biāo)；(2)如圖2，當(dāng)點在第四象限時，連接和，得到，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點的坐標(biāo)；(3)點在軸上運動，以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，請借助圖1探究，直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)，，(2)(3)或或或【分析】（1）將代入，求出點坐標(biāo)，將代入，求出點，點坐標(biāo)，即可求解，（2）過點作直線，根據(jù)，，得到直線表達式，設(shè)直線的表達式為：，與拋物線聯(lián)立，得到，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，點與拋物線只有一個交點，此時，，代入，即可求解，（3）設(shè)，，分、、分別為對角線三種情況討論，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，即可求解，本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，平行四邊形的性質(zhì)等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵當(dāng)時，，∴，∵當(dāng)時，，解得：，，∴，，（2）解：過點作直線，

∵，，設(shè)直線表達式為：，則：，解得：，∴直線表達式為：，∵，∴設(shè)直線的表達式為：，與拋物線聯(lián)立，，得：，整理得：，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，點與拋物線只有一個交點，此時，，當(dāng)時，，∴，故答案為：，（3）解：，，設(shè)，，當(dāng)是對角線時，，解得：或，∴或當(dāng)是對角線時，，解得：或（舍），∴，當(dāng)是對角線時，，解得：或（舍），∴，故答案為：或或或．20．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）若直線與y軸交于點A，與x軸交于點B，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，點B，且與x軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若點P為直線下方拋物線上一點，過點P作直線的垂線，垂足為E，作軸交直線于點F，求線段最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿x軸的正方向平移2個單位長度得到新拋物線，Q是新拋物線與x軸的交點（靠近y軸），N是原拋物線對稱軸上一動點，在新拋物線上存在一點M，使得以M、N、B、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件的點M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)線段最大值為，點P的坐標(biāo)為(3)滿足條件的點M的坐標(biāo)有或或【分析】（1）先求出A，B點坐標(biāo)，根據(jù)B點和C點坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)交點式，將A點坐標(biāo)代入即可求解；（2）延長交于點H，設(shè)，則，用含m的式子表示出的長，化為頂點式即可求出最值；（3）分為邊、為對角線兩種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：把代入得：，∴，把代入得：，解得：，∴，∴函數(shù)的表達式為：，把代入得：，解得：，故該拋物線得表達式為；（2）解：延長交于點H，如圖，設(shè)，則，∴，∵，∴當(dāng)時，有最大值，，∴此時點P的坐標(biāo)為；（3）解：∵，∴拋物線y的對稱軸為直線，平移后的拋物線表達式為，把代入得：，解得：，，∴，∵N是原拋物線對稱軸上一動點，∴設(shè)，∵點M在新拋物線上，∴設(shè)，①當(dāng)為邊時，點向右平移4個單位得到點，∴點向右平移4個單位得到，或點向右平移4個單位得到點，∴或，解得：或6，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴點M的坐標(biāo)為或；②當(dāng)為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得：，解得：，當(dāng)時，，∴點M的坐標(biāo)為；綜上，滿足條件的點M的坐標(biāo)有或或．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的存在性問題等，熟練運用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．21．（2024·山東聊城·一模）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于（為坐標(biāo)原點）、兩點，且二次函數(shù)的最小值為，點是其對稱軸上一點，點在軸上，．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點，連接，，求面積的最大值；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）先求出頂點坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)解析式為，將點代入即可求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，過點P作x軸的垂線交于點Q，直線的解析式，則點Q的坐標(biāo)為，可得，當(dāng)時，有最大值，即可得的最大值；（3）設(shè)N點坐標(biāo)為，根據(jù)平行四邊形對角線的性質(zhì)，分三種情況討論，利用中點坐標(biāo)公式建立方程求n的值即可求N點坐標(biāo)．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的最小值為，點是其對稱軸上一點，∴二次函數(shù)頂點為，設(shè)二次函數(shù)解析式為，將點代入得，，∴，∴；（2）設(shè)，過點P作x軸的垂線交于點Q，則點Q的橫坐標(biāo)為t，令拋物線解析式的，得到，解得，，∴A的坐標(biāo)為，設(shè)直線AB的解析式為，將，代入，得∴，解得：，∴直線的解析式為：，∴點Q的坐標(biāo)為，∴，∴當(dāng)時，有最大值，∴面積的最大值為；（3）存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：設(shè)N點坐標(biāo)為，當(dāng)為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，，∴，∴，當(dāng)為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，，∴，∴，當(dāng)為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，，∴，∴，綜上所述：或或．【點睛】本題考查待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·山東·中考真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點，交軸負半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標(biāo)為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)若，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形？(3)若，設(shè)直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；（3）分3種情況求解：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；根據(jù)，確定點坐標(biāo)，從而利用一次函數(shù)圖象上點的特征計算求解．【詳解】（1）解：在直線中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴點，點，設(shè)拋物線的解析式為，把點，點代入可得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由題意，，∴，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，，∴，∴，，設(shè)直線的解析式為，把代入可得，解得，∴直線的解析式為，又∵過點作軸的平行線交拋物線于另一點，且拋物線對稱軸為，∴∴，解得（不合題意，舍去），；（3）解：存在，理由如下．由題意，，∴，．當(dāng)時，點P在x軸的上方，∵，∴點E為線段的中點，∴，，∴，代入整理得，，解得（不合題意，舍去），．當(dāng)時，點P在x軸上，此時點E與點M重合，所以此種情況不存在；當(dāng)時，點P在x軸的下方，點E在射線上，如圖，設(shè)線段的中點為R，

∴，，∴．∵，∴M為的中點，∴，，∴，代入整理得，，解得（不合題意，舍去），．綜上可知，存在或，使．【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想解題是關(guān)鍵．23．（2024·江蘇連云港·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線與x軸交于點A，B兩點，它的對稱軸直線交拋物線于點M，過點M作軸于點C，連接，已知點A的坐標(biāo)為．(1)求此拋物線的函數(shù)表達式；(2)動點P，Q在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為，其中．①若，請求此時點Q的坐標(biāo)；②在線段上是否存在一點D，使得以C，P，D，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出此時m的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)①；②【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、線段長度的表示方法、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中（2），確定是本題解題的關(guān)鍵．（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）①證明，得到直線的表達式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：，解得：，即可求解；②當(dāng)為對角線時，由中點坐標(biāo)公式列出方程組，即可求解；當(dāng)或角線時，同理可解．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，則拋物線的表達式為：；（2）由拋物線的表達式知，點、的坐標(biāo)分別為：，則點，設(shè)點，則點，①由點的坐標(biāo)得，直線的表達式為：，∵，則，則直線的表達式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：，解得：，解得：，則點的坐標(biāo)為：；②存在，理由：由點、的坐標(biāo)得，直線的表達式為：，當(dāng)為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得：，解得：(不合題意的值已舍去)；當(dāng)或角線時，同理可得：，或，解得：(舍去)；綜上，．24．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點、點，M是拋物線上第一象限內(nèi)的點，過點M作直線軸于點N.(1)求拋物線的表達式；(2)當(dāng)直線是拋物線的對稱軸時，求四邊形的面積(3)求的最大值，并求此時點M的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若P是拋物線的對稱軸上的一動點，Q是拋物線上的一動點，是否存點點P、Q，使以點A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)5(3)最大值為，.(4)存在，或或【分析】本題考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）先求出點M、N的坐標(biāo)，然后利用求出面積即可；（3）設(shè)點M的坐標(biāo)是，則點，表示，然后利用二次函數(shù)的配方法求最值即可；（4）分是對角線、是對角線和是對角線三種情況，利用中點坐標(biāo)公式計算解題．【詳解】（1）由題意得：.解得：∴拋物線的函數(shù)解析式是：.（2）∵.∴當(dāng)MN是拋物線的對稱軸時，拋物線的頂點是，點.連接BN.則；（3）設(shè)點M的坐標(biāo)是，則點.∴，.∴.∴當(dāng)時，有最大值，這時點.（4）存在，理由如下：由（1）（3）拋物線的對稱軸是直線，點.設(shè)點，.分三種情況討論：①當(dāng)是對角線時，，解得：，這時點.②當(dāng)是對角線時，，解得：，這時點.③當(dāng)是對角線時，，解得：，這時點.綜上所述，存或或，使以點A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形.25．（2024·四川宜賓·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點與y軸交于點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點P為直線AB上方拋物線上一動點，過點P作PQ⊥x軸于點Q，交AB于點M，求的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點與點P關(guān)于拋物線的對稱軸l對稱．點C在拋物線上，點D在對稱軸l上，直接寫出所有使得以點A、、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)最大值為，此時，點坐標(biāo)為(3)點坐標(biāo)為或或【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點與y軸交于點，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為．（2）∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，設(shè)直線解析式為，∵，，∴，解得：，∴直線解析式為，設(shè)，則，∴，，∴，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，當(dāng)時，，∴點坐標(biāo)為．（3）∵，∴對稱軸為直線，∵，點與點P關(guān)于拋物線的對稱軸l對稱，∴，即點與點重合，設(shè)，，∵以點A、、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，∴對角線的中點的坐標(biāo)相同，如圖，①當(dāng)、為對角線時，，解得：，∴．②當(dāng)、為對角線時，，解得：，∴．③當(dāng)、為對角線時，，解得：，∴．綜上所述：點坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識點，解題的關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式．26．（2024·甘肅天水·一模）拋物線經(jīng)過、兩點，與軸交于另一點．(1)求拋物線、直線的函數(shù)解析式；(2)在直線上方拋物線上是否存在一點，使得的面積達到最大，若存在則求這個最大值及點坐標(biāo)，若不存在則說明理由．(3)點為拋物線上一動點，點為軸上一動點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為：，直線的函數(shù)解析式為(2)存在使得的面積達到最大，最大值為8(3)存在這樣的點E，坐標(biāo)為或或【分析】（1）先將、代入拋物線，即可求出拋物線解析式，求出B點坐標(biāo)，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，再將點B，點C的坐標(biāo)代入求解即可；（2）過點作軸的垂線，交于點H，垂足為G，連接，設(shè)點，則，根據(jù)的面積為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）設(shè)，，根據(jù)平行四邊形的定義分為對角線時，為對角線時，和為對角線時，三種情況求解即可．【詳解】（1）解：將、代入拋物線，得，解得：，拋物線的解析式為：；令，則，解得：或，，，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將點B，點C的坐標(biāo)代入得：，解得：，直線的函數(shù)解析式為；（2）解：過點作軸的垂線，交于點H，垂足為G，連接，設(shè)點，則，，，的面積為，則，，當(dāng)時，的面積最大，最大值為8，此時；（3）解：存在，求解過程如下：設(shè)，，由平行四邊形的定義分以下2種情況：①如圖，當(dāng)為對角線時，F(xiàn)點在x軸上，，，，則，解得或（舍去），，②如圖，當(dāng)為對角線時，則，即，解得或，點的坐標(biāo)為或，③如圖，當(dāng)為對角線時，∵F點在x軸上，∴，，∴，則，即，解得或（舍去），，綜上，存在這樣的點E，坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、平行四邊形的定義等知識點，較難的是題（3），依據(jù)題意，正確分3種情況討論是解題關(guān)鍵，勿出現(xiàn)漏解．27．（2024·山東濟南·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的圖象過原點，頂點坐標(biāo)為．

(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)如圖1，在軸下方作軸的平行線，交二次函數(shù)圖象于兩點，過兩點分別作軸的垂線，垂足分別為點、點．當(dāng)矩形為正方形時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，作直線，動點從點出發(fā)沿射線以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點以相同的速度從點出發(fā)沿線段勻速運動，到達點時立即原速返回，當(dāng)動點返回到點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為秒．過點向軸作垂線，交拋物線于點，交直線于點，當(dāng)以四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求的值．【答案】(1)(2)(3)的值為4或6或【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進行求解是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)出頂點式，將原點坐標(biāo)代入求解即可；（2）設(shè)，對稱性得到，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形，得到，列出方程求解即可；（3）分，，三種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：拋物線的頂點為，設(shè)，將代入得：，解得：，，即；（2）設(shè)，則，對稱軸為直線∴，∴，由題意，得：四邊形為矩形，∴當(dāng)時，矩形為正方形，∴解得：（舍），把代入得，當(dāng)矩形為正方形時，，（3）由（2）可知：．設(shè)直線的解析式為，將代入，得：解的：，直線的解析式為．聯(lián)立，解得，當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．以四點為頂點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且，，分三種情況考慮：①當(dāng)時，如圖所示，，

．，解得：（舍去），；②當(dāng)時，，，解得：（舍去），；③，如圖所示，，

解得（舍去），，綜上所述，當(dāng)以四點為頂點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時，的值為4或6或．28．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點在函數(shù)的圖象上．(1)若，求n的值；(2)拋物線與x軸交于兩點M，N（M在N的左邊），與y軸交于點G，記拋物線的頂點為E．①m為何值時，點E到達最高處；②設(shè)的外接圓圓心為C，與y軸的另一個交點為F，當(dāng)時，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)的值為1；(2)①；②假設(shè)存在，頂點E的坐標(biāo)為，或．【分析】（1）把代入得，即可求解；（2）①，得，即可求解；②求出直線的表達式為：，得到點的坐標(biāo)為；由垂徑定理知，點在的中垂線上，則；由四邊形為平行四邊形，則，求出，進而求解．【詳解】（1）解：把代入得；故的值為1；（2）解：①在中，令，則，解得或，，，點在函數(shù)的圖象上，，令，得，即當(dāng)，且，則，解得：（正值已舍去），即時，點到達最高處；②假設(shè)存在，理由：對于，當(dāng)時，，即點，由①得，，，，對稱軸為直線，由點、的坐標(biāo)知，，作的中垂線交于點，交軸于點，交軸于點，則點，則，則直線的表達式為：．當(dāng)時，，則點的坐標(biāo)為．由垂徑定理知，點在的中垂線上，則．四邊形為平行四邊形，則，解得：，即，且，則，∴頂點E的坐標(biāo)為，或．【點睛】本題為反比例函數(shù)和二次函數(shù)綜合運用題，涉及到一次函數(shù)基本知識、解直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、圓的基本知識，其中（3），數(shù)據(jù)處理是解題的難點．29．（2024·山西陽泉·二模）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點．過點作直線軸，連接，過點作，交直線于點，作直線．(1)求拋物線的函數(shù)表達式并直接寫出直線的函數(shù)表達式；(2)如圖，點為拋物線上第二象限內(nèi)的點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，連接與交于點，當(dāng)點為線段的中點時，求；(3)若點為軸上一個動點，點為拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達式為，直線的函數(shù)表達式為；(2)；(3)點的坐標(biāo)為或或或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的函數(shù)表達式；證明，求得，得到點，再利用待定系數(shù)法即可求得直線的函數(shù)表達式；（2）作軸，軸，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得是的中位線，用分別表示的坐標(biāo)，利用，列式計算即可求解；（3）由題意得即軸，求得解方程，求得，得到點的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得點的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和點，∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式為，對稱軸為直線，∴點，∵點，∴點，∴，，，由題意得，∴，∴，∴，即，∴，∴點，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，把代入得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為；（2）解：作軸，軸，垂足分別為，連接，∵，點為線段的中點，∴，∴，∴是的中位線，∴，∵點的橫坐標(biāo)為，∴點，，∴，當(dāng)時，，∴，∴，，∴，解得（舍去正值），∴；（3）解：由題意得即軸，∵點，∴點縱坐標(biāo)為6，解方程，得，∴點或，當(dāng)點時，，∴當(dāng)四邊形是平行四邊形時，點的坐標(biāo)為,當(dāng)四邊形是平行四邊形時，點的坐標(biāo)為；當(dāng)點時，，∴當(dāng)四邊形是平行四邊形時，點的坐標(biāo)為；當(dāng)四邊形是平行四邊形時，點的坐標(biāo)為；綜上，點的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，運用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．30．（2024·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知，，連接，點P是拋物線上的一個動點，點N是對稱軸上的一個動點．

備用圖(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)在線段的下方是否存在點P，使得的面積最大？若存在，求點P的坐標(biāo)及面積最大值．(3)在對稱軸上是否存在點N，使得以點B，C，P，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，點P的坐標(biāo)為，的面積最大值為；(3)存在，N點坐標(biāo)為或或．【分析】（1）將點，代入拋物線的函數(shù)解析式求解，即可解題；（2）過點P作軸，交于點Q，設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)點，則點，表示出，利用二次函數(shù)的最值，得到的最大值，推出點P的坐標(biāo)，進而得到的面積最大值；（3）根據(jù)以點B，C，P，N為頂點的四邊形是平行四邊形，分以下三種情況討論，①當(dāng)，為對角線時，②當(dāng)，為對角線時，③以，為對角線時，利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)求解，即可解題．【詳解】（1）解：將點，代入中，有，解得，拋物線的解析式為；（2）解：存在，理由如下：如圖，過點P作軸，交于點Q，設(shè)直線的解析式為，把，代入，可得，解得，直線的解析式為，設(shè)點，則點，點P在直線的下方，，，當(dāng)時，有最大值，最大值為4，此時點P的坐標(biāo)為，的面積最大值為；（3）解：存在，理由如下：點N是對稱軸上的一點，點P是拋物線上一點，設(shè)N點坐標(biāo)為，P點坐標(biāo)為，以點B，C，P，N為頂點的平行四邊形：①當(dāng)，為對角線時，，且，解得，，此時N點坐標(biāo)為；②當(dāng)，為對角線時，，且，解得，，此時N點坐標(biāo)為；③以，為對角線時，，且，解得，，此時N點坐標(biāo)為．綜上，N點坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積公式等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．31．（2024·廣東惠州·一模）綜合探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點在第一象限拋物線上一點，連接、，若，求點的坐標(biāo)；(3)若點為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點，使得，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸交于、兩點，可設(shè)拋物線解析式為，知，代入得到完整解析式即可；（2）作，交延長線于點，交軸于點，根據(jù)相似三角形的判定證明，設(shè)，得出數(shù)據(jù)代入中求解，得到點的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)拋物線的解析式為，設(shè)，結(jié)合已知，，分“以為對角線”、“以為對角線”和“以為對角線”三種情況討論，根據(jù)坐標(biāo)系中平行四邊形頂點的相對位置，用含式子表示出點的坐標(biāo)，求出完整坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于、兩點，∴設(shè)拋物線解析式為，，∴拋物線解析式為，即；（2）解：如圖，作，交延長線于點，交軸于點，∵，，拋物線表達式為，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，∴，，∵，，∴，，∴，∴數(shù)據(jù)代入中，得：，解得：（舍去），，∴，∴點的坐標(biāo)為；（3）解：存在；∵拋物線的解析式為，∴拋物線對稱軸為直線，設(shè)，∵拋物線解析式中，∴，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形是以為對角線的平行四邊形時，∵，，，∴，，則，把代入，得：，∴；當(dāng)以，，，為頂點的四邊形是以為對角線的平行四邊形時，∵，，，∴，，則，把代入，得：，∴；當(dāng)以，，，為頂點的四邊形是以為對角線的平行四邊形時，∵，，，∴，，則，把代入，得：，∴．綜上所述，滿足條件的點坐標(biāo)為或或．【點睛】本題主要考查了圖形與坐標(biāo)、二次函數(shù)的綜合運用、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分類討論是解題的關(guān)鍵．32．（2024·甘肅隴南·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點．

(1)求該拋物線的解析式；(2)若D為拋物線的頂點，求的面積；(3)若P是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，是否存在以A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)；(3)點P的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先根據(jù)拋物線的解析式求得頂點坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，待定系數(shù)法求出解析式，得到，根據(jù)的面積為求解即可；（3）根據(jù)題意分三種情況討論，①當(dāng)，時，②當(dāng)，時，③當(dāng)，時，作于點，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由題知，拋物線過點，，，解得，該拋物線的解析式為；（2）解：，D為拋物線的頂點，，設(shè)直線的解析式為，拋物線與x軸交于A，兩點（點A在點B的左側(cè)），又拋物線對稱軸為，，將代入中，有，解得，直線的解析式為，作軸，交于點，連接，，

有，，的面積為：；（3）解：存在，

①當(dāng)，時，，的坐標(biāo)為；②當(dāng)，時，，的坐標(biāo)為；③當(dāng)，時，作于點，有，，，，，，的坐標(biāo)為；綜上所述，點P的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運用．33．（2024·山東淄博·一模）已知拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖，若直線下方的拋物線上有一動點，過點作軸平行線交于，過點作的垂線，垂足為，求周長的最大值；(3)若點在拋物線的對稱軸上，點在軸上，是否存在以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(4)將拋物線向左平移個單位，再向上平移個單位，得到一個新的拋物線，問在軸正半軸上是否存在一點，使得當(dāng)經(jīng)過點的任意一條直線與新拋物線交于，兩點時，總有為定值？若存在，求出點坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點的坐標(biāo)為，，(4)存在，定點，的值為【分析】（1）把，點代入，得出關(guān)于、的二元一次方程組，解方程組求出、的值，即可得答案；（2）根據(jù)拋物線解析式求出點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，設(shè)，則，根據(jù)，及、兩點坐標(biāo)得出是等腰直角三角形，利用表示出的周長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可得答案；（3）根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸為直線，點坐標(biāo)為，點Q坐標(biāo)為，根據(jù)平行四邊形對角線中點的坐標(biāo)相同，分、、為對角線三種情況，列方程組求出、的值即可得答案；（4）根據(jù)平移規(guī)律得出新的拋物線解析式為，設(shè)的解析式為，，，則，聯(lián)立拋物線與直線的解析式得，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系用、、、分別表示和，代入，根據(jù)為定值得出值及定值即可．【詳解】（1）解：∵，在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的表達式為：．（2）∵拋物線的表達式為：，∴當(dāng)時，，∴，設(shè)直線的解析式為，∵，，∴，解得：∴直線的解析式為，設(shè)其中，則，∴∵，，∴∵軸，∴，∵，∴是等腰直角三角形，，∴的周長，∴當(dāng)時，的周長有最大值，．（3）由題意知，拋物線的對稱軸為直線，，，設(shè)點坐標(biāo)為，點Q坐標(biāo)為，①當(dāng)為對角線時，，解得：，∴，②當(dāng)為對角線時，，解得：，∴，③當(dāng)為對角線時，，解得：，解得：，綜上所述，存在點，以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，點的坐標(biāo)為，，．（4）當(dāng)拋物線向左平移1個單位，向上平移4個單位后，得到新的拋物線，即，設(shè)的解析式為，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，則，聯(lián)立新拋物線與直線的解析式得：∴，∴，，，同理，，，∵為定值，∴，解得：，當(dāng)時，，∴定點的值為4．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，包括待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖像的平移、求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、求二次函數(shù)的最大值、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性強，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及規(guī)律是解題關(guān)鍵34．（2024·山西朔州·二模）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于C點．點D與點C關(guān)于x軸對稱，直線交拋物線于另一點E．(1)求拋物線的函數(shù)表達式，并直接寫出直線的函數(shù)表達式．(2)點P是直線下方拋物線上的一點，過點P作直線的垂線，垂足為F．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，試探究當(dāng)m為何值時，線段最大？請求出的最大值．(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時，若點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點B，P，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)存在，當(dāng)時，有最大值為(3)存在，點M的坐標(biāo)為，或【分析】（1）將，代入得：，求解即可得出拋物線解析式，從而得出點的坐標(biāo)，進而得出點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點作軸的平行線交于，，求出得出，從而得到當(dāng)取得最大值時，取得最大值，設(shè)點，則，則，求出的最大值即可；（3）求出點的橫坐標(biāo)為，設(shè)點，分三種情況：當(dāng)為對角線時；當(dāng)為邊，平行四邊形為時；當(dāng)為邊，平行四邊形為時；分別利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將，代入得：，解得：，二次函數(shù)的解析式為：；在中，當(dāng)時，，，點D與點C關(guān)于x軸對稱，，設(shè)直線的表達式為，將，代入解析式得：，解得：，直線的表達式為；（2）解：存在，如圖，過點作軸的平行線交于，，，，，，，，在中，，，當(dāng)取得最大值時，取得最大值，設(shè)點，則，，，當(dāng)時，取得最大值為，的最大值為；（3）解：，拋物線的對稱軸為直線，點的橫坐標(biāo)為，由（2）可得，點，設(shè)點，點B，P，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，，當(dāng)為對角線時，則，解得：，此時，即；當(dāng)為邊，平行四邊形為時，，解得：，此時，即；當(dāng)為邊，平行四邊形為時，，解得：，此時，即；綜上所述，點的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合—線段問題，二次函數(shù)綜合—特殊四邊形問題，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當(dāng)輔助線，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．35．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知拋物線與x軸交于、B兩點，頂點為P，與y軸交于C點，且的面積為6．(1)求拋物線的對稱軸和解析式；(2)平移這條拋物線，平移后的拋物線交y軸于E，頂點Q在原拋物線上，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求平移后拋物線的表達式；(3)若過定點K的直線交拋物線于M、N兩點（N在M點右側(cè)），過N點的直線與拋物線交于點G，求證：直線必過定點．【答案】(1)直線,(2)(3)見解析【分析】（1）拋物線的對稱軸為直線，可得，根據(jù)的面積可得點的坐標(biāo)，據(jù)此即可求解；（2）設(shè)點，由平行四邊形的性質(zhì)可得，據(jù)此即可求解；（3）設(shè)，可求出直線的解析式；根據(jù)直線過定點K可得；結(jié)合題意可求出點，即可進一步求出直線的解析式，即可求解；【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的對稱軸為直線∵，∴令，則∴∵的面積為6．∴，解得：∴，將代入得：，解得：，∴（2）解：∵，∴設(shè)點，∵四邊形是平行四邊形，∴且∴，即：∵頂點Q在原拋物線上，∴，解得：∴∴平移后拋物線的表達式為：（3）解：設(shè)，設(shè)直線的解析式為：，則，解得：，∴直線的解析式為：，∵直線過定點∴得：∵直線過N點，∴，，∴令，解得：∴設(shè)直線的解析式為：，則，解得：，∴直線的解析式為：，∵，∴直線的解析式為：，當(dāng)時，，∴直線必過定點【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，涉及了函數(shù)解析式的求解，平行四邊形的性質(zhì)，函數(shù)的平移等知識點，掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．36．（2015·山東臨沂·一模）如圖，拋物線與軸交于點和．(1)求拋物線的解析式；(2)若拋物線的對稱軸交x軸于點E，點F是位于x軸上方對稱軸上一點，軸，與對稱軸右側(cè)的拋物線交于點C，且四邊形是平行四邊形，求點C的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)C的坐標(biāo)是；(3)P的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）將，代入，列方程組并且解該方程組求出a、b的值，即可得到拋物線的解析式為；（2）將拋物線的解析式配方成頂點式，求得拋物線的對稱軸為直線，，由平行四邊形的性質(zhì)得，則點C的橫坐標(biāo)為5，即可求得點C的坐標(biāo)是；（3）分三種情況，一是；當(dāng)時，過點C作軸于點L，作交的延長線于點H，則，證，設(shè)，則，于是得，求得，則；二是，可證明，則，得，．三是，設(shè)交于點J，則，由平行四邊形的性質(zhì)得，，所以，則．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：，∴拋物線的對稱軸為直線，，∵四邊形是平行四邊形，，∴點C的橫坐標(biāo)為，拋物線，當(dāng)時，，∴點C的坐標(biāo)是．（3）解：存在點P，使是直角三角形，①當(dāng)時，作交的延長線于點H，則，，，，設(shè)，則，，，解得，，②點O是直角頂點時，過點C作軸于點L．，，，，，，，，．③當(dāng)時，設(shè)交于點J，作軸于點L，，，，，軸，，，∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，；綜上所述，存在點P，使是直角三角形，點P的坐標(biāo)為或或或．【點睛】此題重點考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運用等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．37．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中為坐標(biāo)原點，點，點在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)求點的坐標(biāo)；(3)設(shè)為線段的中點，為直線上的一個動點，連接，，將沿翻折，點的對應(yīng)點為．問是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線，將點代入，進而待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設(shè)，過點作軸交于點，過點作交于點，繼而表示出的面積，根據(jù)的面積為，解方程，即可求解．（3）先得出直線的解析式為，設(shè)，當(dāng)為平行四邊形的對角線時，可得，當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，進而建立方程，得出點的坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）解：∵對稱軸為直線，∴①，將點代入得，∴②，聯(lián)立①②得，，∴解析式為；（2）設(shè)，如圖所示，過點作軸交于點，過點作交于點，

∴，，則，∴解得：或（舍去），（3）存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，如圖所示，當(dāng)BP為平行四邊形的對角線時，，

，∵，∴，由對稱性可知，，∴，∴解得：∴點的坐標(biāo)為或如圖3，當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，，

由對稱性可知，，∴，∴，解得：或，∴點的坐標(biāo)為或綜上所述，點的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．38．（2023·四川南充·中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)或或(3)定值，理由見詳解【分析】（1）將兩點代入拋物線的解析式即可求解；（2）根據(jù)P，Q的不確定性，進行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當(dāng)為平行四邊形的對角線時，在①中，只要點Q在點B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點P的坐標(biāo)仍是①中的坐標(biāo)；（3）可設(shè)直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點，，解得，故拋物線的解析式為．（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，四邊形是平行四邊形，，，解得：，，；②如圖，在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，四邊形是平行四邊形，，在和中，，()，，，，解得：，，；如上圖，根據(jù)對稱性：，③當(dāng)為平行四邊形的對角線時，由①知，點Q在點B的左邊，且時，也滿足條件，此時點P的坐標(biāo)仍為；綜上所述：的坐標(biāo)為或或．（3）解：是定值，理由：如圖，直線經(jīng)過，可設(shè)直線的解析式為，、在拋物線上，可設(shè)，，，整理得：，，，，當(dāng)時，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線的解析式為，當(dāng)時，，解得：，，，同理可求：，；當(dāng)與對調(diào)位置后，同理可求；故的定值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，動點產(chǎn)生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點，與對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，掌握具體的解法，并會根據(jù)題意設(shè)合適的輔助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．39．（2024·四川廣元·二模）如圖，已知直線：交x軸于點B，交y軸于點C，拋物線的圖象過點B，C，且與x軸交于另一點A（點A在點B的左側(cè)）．在直